Nocoes_de_mecanica_ondulatoria

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Introdução a Química Quântica
1
Bibliografia:
1. LEVINE, I., Quantum Chemistry. 4th ed. New Jersey: 
Prentice Hall, 1991.
2. NUSSENZVEIG, H. M., Curso de Física Básica - Vol. 4.
3. ATKINS, P. e PAULA J., Físico-Química - Vol. 1 - 9ª Ed. 
Editora LTC, 2012.
4. MCQUARRIE, D. A. e SIMON, J. D., Physical Chemistry: 
A Molecular Approach, University Science B, New York, 
1997.
5. PEIXOTO, E. M. A., Teoria Quântica, 1988.
2
Noções de mecânica ondulatória
3
Alguns fatos históricos:
Séc. XVII: qual é a natureza da luz?
Controvérsia:
natureza corpuscular (Newton) X natureza ondulatória (Huyghens)
1801 – Thomas Young: Observação do fenômeno de difração e
interferência para a luz visível – evidência experimental da
natureza ondulatória da luz (vide próximo slide).
1860 – James C. Maxwell: as Equações de Maxwell preveem que
cargas elétricas aceleradas dariam origem a uma radiação de
natureza ondulatória, ou seja, o campo eletromagnético produzido
satisfaz uma Equação de Onda (nasce a hipótese da natureza
eletromagnética da luz). 4
5
O que significa “natureza ondulatória”?
As Equações de Maxwell também preveem que a radiação
eletromagnética se propaga com uma velocidade .
Resultados experimentais para a velocidade da luz visível estão em
acordo com a velocidade prevista por Maxwell dando suporte para a
hipótese de que a luz visível é de natureza eletromagnética.
1888 – Heinrich Hertz: detecção experimental de ondas de rádio
produzidas por cargas elétricas em movimento - comprovação
experimental da teoria de Maxwell.
Entretanto, vários fenômenos observados, entre eles a radiação de
corpo negro, o efeito fotoelétrico e o espectro do átomo de
hidrogênio não podiam ser explicados pela teoria de Maxwell.
smc /103 8
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Novos paradigmas...
1900 – Max Planck: propôs uma formulação teórica que forneceu
um excelente acordo com observações experimentais para a
radiação de corpo negro. Entretanto, para isso, teve que romper
com o paradigma da época.
1905 – Albert Einstein: mostrou que o efeito fotoelétrico, cuja
explicação dada pela teoria ondulatória não era satisfatória, poderia
ser explicado considerando a luz como sendo constituída por
partículas, hoje denominada de fótons. Extensão das ideias de
Planck.
1912 – Niels Bohr: propôs um modelo atômico para o átomo de
hidrogênio – primeira proposta para a quantização do momento
angular.
1923 – Louis de Broglie: propôs a existência de ondas de matéria.
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Os slides a seguir buscam dar uma noção elementar
sobre a natureza ondulatória da luz e introduzir conceitos
que serão usados posteriormente na formulação da
Mecânica Quântica.
8
O espectro eletromagnético
9
10
)cos(),( max tkxBtxB 
k
c

 
max
max
B
E
B
E
c 
Ondas eletromagnéticas planas
Intensidade: 
2
max0
2
1
EcI 
Energia 
I
)cos(),( max tkxEtxE 
11
Ondas eletromagnéticas planas
12
Equações de Maxwell:
Lei de Gauss para o campo 
Lei de Gauss para o campo 
Lei de Indução de Faraday
Lei de Àmpere
E

B

13
Equações de Maxwell:
As equações de Maxwell são objeto de um curso de eletromagnetismo e não 
serão trabalhadas em nosso curso. Entretanto, é extremamente importante 
saber que delas decorrem os resultados apresentados no slide a seguir. 14
smc /103
1 8
00


As equações de Maxwell preveem que uma carga elétrica acelerada
produz uma onda eletromagnética cujos campos E e B satisfazem a 
Equação de Onda:
onde c (a velocidade da onda) é uma constante universal:
0
1
2
2
22
2






t
E
cx
E
)cos(),( max tkxEtxE 
Exercício 1: demonstre que a função de onda 
é solução da Equação de Onda
Exercício 2: demonstre que qualquer função cujo argumento é (kx - t) é 
solução da Equação de Onda. Qualquer função com esse argumento 
descreve uma Onda Progressiva.
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A equação de onda unidimensional
Temos que a função de onda para uma onda progressiva é dada por:
Lembrando que podemos escrever: 
Vamos calcular a aceleração e velocidade em um dado ponto x 
(derivadas em relação ao tempo):
)(),( tkxftxy 
k
v


)()(),( xfvtxftxy 
vtxx 
xd
df
v
t
x
xd
df
txy
t
velocidade








 ),(
t
x
xd
df
xd
d
v
xd
df
t
vtxy
t
aceleração




















 ),(
2
2
2
2
2
2
2
),(
xd
fd
vtxy
t 



(Eq. 1)
16
Por outro lado, temos que:
  1





vtx
xx
x
Fazendo as derivadas em relação a x, obtemos:
xd
df
x
x
xd
df
txy
x 







),(
2
2
2
2
2
2
),(
xd
fd
x
x
xd
fd
txy
x 







(Eq. 2)
Comparando (1) e (2), obtemos:
2
2
2
2
2
x
y
v
t
y





0
1
2
2
22
2






t
y
vx
y
Equação de Onda:
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Difração: fenômeno ondulatório 
(ocorre em ondas mecânicas, eletromagnéticas, ondas de matéria, etc.)
Difração de ondas mecânicas na superfície
de um tanque de água. Para que o
fenômeno seja observável é necessário que
o comprimento de onda seja da ordem da
dimensão do obstáculo, neste caso a fenda.
Fenômeno idêntico ocorre com ondas
eletromagnéticas. 18
19
Difração da luz produzida por uma fenda simples:
20
Quando a difração se torna um efeito observável?
21
Exemplos de difração com ondas luminosas 
monocromáticas
22
O princípio da superposição de ondas
),(1 txy
),(2 txy
),(),(),( 21 txytxytxy 
• Ondas superpostas não se afetam mutuamente.
• Ondas superpostas se somam algebricamente para 
produzir uma onda resultante ou onda total 
(princípio da superposição).
Deslocamento devido a onda 1
Deslocamento devido a onda 2
(Resultante)
Exemplo: um pulso se propagando em uma corda.
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Interferência de Ondas
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O experimento de Young (1801)
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http://media.pearsoncmg.com/bc/aw_young_physics_11/pt2a/Media/Physic
alOptics/1601TwoSrcsIntro/Main.html
Interferência:
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Reflexões em uma interface
(um pulso se deslocando em uma corda)
• Extremidade fixa: existe um nó.
• Extremidade móvel: existe um antinó.
Uma defasagem de meio ciclo 
corresponde a f  p rad ou em termos 
de comprimentos de onda, /2.
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Ondas estacionárias e ressonâncias
CONDIÇÕES DE CONTORNO: em determinadas condições a onda
original incidente e a onda refletida se combinam para formar uma onda
estacionária.
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Ondas estacionárias (transversais)
n=1: modo fundamental ou primeiro harmônico;
n=2: segundo harmônico;
n=3: terceiro harmônico, etc.
n: número harmônico
 Condições de contorno implicam em ondas estacionárias
com frequências específicas (ressonância).
n
L
nL
2
2
   ,...3,2,1n
Condição de contorno:
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Onda Progressiva X Onda Estacionária
1. Onda Progressiva:
A amplitude da onda é a mesma para todos os elementos da corda.
2. Onda Estacionária:
A amplitude varia com a posição.
  )()()cos()(2),( tgxftkxsenytxy m  
),()(),( txftkxsenytxy m  f
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Exercício 3: considere a solução de onda estacionária y(x,t)=f(x)g(t). Mostre 
que as funções f(x) e g(t) satisfazem, respectivamente, as equações:
0)(
)( 2
2
2
 xfk
dx
xfd
0)(
)( 2
2
2
 tg
dt
tgd 
NOTA: esse resultado será usado posteriormente para obtermos a Equação de 
Schrödinger.
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