1 trabalho de Quântica

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Professor: Carlos Bielschowsky 
Disciplina: Introdução à Química Quântica - 2021.2 
 
 
 
 
1º Trabalho: Átomo de Hidrogênio 
 
 
 
 
Aluna: Beatriz Henrique da Rocha 
 
 
 
 
 
 
20/01/2022 
No passado, acreditava-se que as leis da mecânica clássica, expostas no século XVII por 
Isaac Newton poderiam também explicar o movimento dos átomos e das partículas 
subatômicas, visto que tiveram êxito na explicação dos movimentos dos objetos do dia a dia e 
dos planetas. No entanto, apareceram muitas evidências experimentais no final do século XIX 
mostrando as falhas da mecânica clássica na explicação do movimentos dessas partículas e 
átomos tão pequenos. Portanto, ocorreu uma evolução na formulação de conceitos e equações 
apropriadas para a explicação do movimento dessas partículas até a década de 1920. Realizando 
uma breve linha do tempo, temos: 
 1666 – Foi quando Newton produziu o primeiro espectro, ele descobriu que ao passar 
um feixe estreito de luz branca por um prisma de vidro, este feixe é transformado em um feixe 
mais largo e colorido, compondo as cores do arco-íris. Ou seja, a luz branca é uma superposição 
de várias cores. 
 1814 – Fraunhofer, um físico alemão, observou que o espectro da luz solar não é 
contínuo como o espectro apresentado por Newton. O espectro da luz solar apresentam linhas 
escuras, isso significa que alguns comprimentos de onda (frequências ou cores) da luz do sol 
foram absorvidos pela atmosfera. Dessa forma, este espectro da luz solar representa um espectro 
de absorção. Há um outro tipo de espectro que é o espectro de emissão, produzido ao fazer uma 
espécie atômica emitir luz, por exemplo, por aquecimento, e fazer esta luz passar por um 
prisma, que vai desviar cada cor de uma forma diferente, então o que aparece no espectro são 
linhas iluminadas em fundo escuro. 
 1853 – Angstrom ao estudar o espectro de emissão de um gás de hidrogênio na região 
do visível, observou que era composto de algumas linhas discretas. 
 1885 – o físico Balmer reparou que o comprimento de onda dessas linhas apresentavam 
uma certa regularidade e tentou descobrir uma fórmula para identificar todos os comprimentos 
de onda do espectro visível do átomo de hidrogênio. Sendo assim, ele a encontrou e a fórmula 
de Balmer é igual: 
1
𝜆
= 𝑅 (
1
4
− 
1
𝑛2
) 
Onde n = 3, 4, 5 ou 6 
R = 0,0110/nm 
Ele descobriu que essas 4 linhas do espectro de emissão visível do átomo de hidrogênio 
tinha um comprimento de onda dados precisamente por essa fórmula. N é um número inteiro 
entre 3 e 6, para cada número inteiro, ele obtém um dos comprimentos de onda. R é uma 
constante. Ele ainda sugeriu uma simetria: 
1
𝜆
= 𝑅 (
1
𝑛′2
− 
1
𝑛2
) 
n > n’ (para fazer sentido) 
Em seguida, o primeiro experimento contraditório à teoria da mecânica clássica é sobre 
a radiação do corpo negro. Corpo negro é um corpo com a capacidade de emitir e absorver 
uniformemente todas as frequências da radiação. É possível observar que a densidade de energia 
aumenta na região de comprimentos de onda menores conforme a temperatura se eleva. 
Nesta figura, podemos ver um bom modelo de corpo negro que é uma cavidade oca com 
um pequeno orifício. A radiação eletromagnética que entra pelo orifício, ou seja, absorvida, ela 
é refletida várias vezes no interior da cavidade até entrar em equilíbrio térmico com as paredes 
mantidas na temperatura T. 
 
 O físico Lorde Rayleigh propôs a primeira relação entre energia de radiação emitida e 
o comprimento de onda baseada na física clássica, que posteriormente ficou conhecida como 
Lei de Rayleigh-Jeans. Apesar da lei estar de acordo com os resultados experimentais para 
grandes comprimentos de onda, ela falha para pequenos comprimentos de onda. 
Esta lei prevê que a energia emitida deveria aumentar sem limites, assim quando o 
comprimento de onda diminui, energia aumenta sem passar por um máximo, enquanto os 
resultados experimentais nos mostra que a energia de radiação emitida tende a zero quando o 
comprimento de onda também tende a zero. Esta discrepância entre os resultados da teoria 
clássica e as observações experimentais ficou conhecida como Catástrofe do Ultravioleta. 
1900 - o físico Max Planck observou que se admitisse que a energia de cada oscilador 
eletromagnético estivesse limitada a certos valores discretos e não podendo ser alterada 
arbitrariamente, ele conseguiria explicar os resultados experimentais. Esta limitação de energia 
é chamada de quantização de energia. Ele ainda admitiu que as energias permitidas eram 
múltiplos inteiros de hv, podendo reproduzir a distribuição de valores experimentais a partir da 
seguinte expressão: 
E = nhv, (onde h é uma constante de Planck) 
 A hipótese de Planck diz que os corpos negros não poderiam emitir luz de qualquer 
frequência e sim só luz que fosse múltipla inteira de uma frequência fundamental, sendo essa a 
base da física quântica. Algo que é quântico ou quantizado significa que esse algo não pode 
assumir qualquer valor, ele tem que ser múltiplo de um número fundamental, chamado de valor 
discreto. 
 Outra evidência mais significativa da quantização da energia pode ser observada na 
espectroscopia (detecção e análise da radiação eletromagnética absorvida, emitida ou espalhada 
por uma substância. 
1905 – Einstein usou a hipótese apresentada por Planck para explicar o funcionamento 
do efeito fotoelétrico, reafirmando a hipótese de que a luz é formada por pequenos pacotes de 
energia bem definidos (posteriormente chamados de fótons), ou seja, interpretando a luz pelo 
seu caráter corpuscular, além disso supôs que no processo que o efeito fotoelétrico um elétron 
sempre irá absorver completamente um fóton, isso explica o motivo de algumas frequências de 
luz conseguirem arrancar elétron da placa metálica e outras não. Portanto, se a quantidade de 
energia transferida dos fótons para os elétrons for maior do que a energia mínima que se 
necessita para arrancar os elétrons, eles serão arrancados da superfície. 
Em relação aos modelos atômicos: 
1808 – modelo atômico proposto por Dalton, no qual o átomo se assemelha a uma bola 
de bilhar, esférica, maciça e indivisível. 
1904 – Modelo atômico de Thomson propõe que o átomo é divisível e possui partículas 
pequenas de cargas negativas (elétrons) distribuídos em uma esfera carregada positivamente 
para neutralização das cargas negativas. Esse modelo ficou então conhecido como Pudim de 
passas. 
 1911 – o modelo atômico de Rutherford foi publicado. Ele supôs que os desvios 
elevados das partículas alfa, carregadas positivamente, se deviam somente à carga central do 
átomo. Dessa forma, considerou um modelo com a seguinte estrutura: uma carga central 
positiva (+Ne), sendo este o núcleo, com uma zona difusa à sua volta com carga negativa (-Ne), 
sendo esta a nuvem eletrônica, onde e é a unidade fundamental de carga e N é a carga central 
do átomo. No entanto, esse modelo durou pouquíssimo tempo, visto que o elétron orbitando em 
torno do núcleo sofre aceleração centrípeta, emitindo radiação e podendo colapsar no núcleo. 
 1913 – modelo atômico publicado por Boh, no qual considerou um sistema constituído 
por um núcleo com dimensões muito pequenas e carga positiva +E e um elétron descrevendo 
órbitas elípticas estacionárias à sua volta. Considera também a massa do elétron desprezível em 
relação à massa do núcleo e que não há qualquer emissão de energia. No entanto, a permanência 
do elétron em órbita circular requer que a força atrativa ao núcleo seja igual à força centrífuga, 
dado que uma carga elétrica em movimento circular emite radiação eletromagnética, as órbitas 
do elétron deixariam de ser estacionárias. 
 O grande sucesso desta teoria foi a explicação quantitativa do espectro de emissão do 
átomo de hidrogênio, estudado por vários cientistas, dentre eles Rydberg, que verificou que a 
posição as riscas (frequências) respondiaà seguinte relação: 
 
 A quantidade de energia emitida na passagem de um estado para outro permite a 
obtenção das frequências das riscas do espectro de hidrogênio. 
 
 1922 – descoberta do efeito Compton, mostrou que o comprimento de onda do raio-x 
espalhado por um cristal era diferente do comprimento de onda da radiação incidente, dessa 
forma explicando a hipótese de Einstein sobre o efeito fotoelétrico e confirmou a hipótese da 
dualidade onda-partícula do elétron. 
 1924 – Louis de Broglie sugeriu que qualquer partícula, não só os fótons, deslocando-
se com um momento linear p = mv (m: massa e v: velocidade da partícula) tem um comprimento 
de onda dado pela relação de de Broglie: λ = h / p 
 Dessa forma, por simetria ele confirmou que a dualidade onda-partícula também estaria 
presente em partículas. 
 1926 – o físico Schrödinger sugeriu uma equação para determinar a função de onda de 
qualquer sistema: 
 
(independente do tempo, para uma partícula de massa m, movendo-se em uma dimensão com 
a energia E) 
 Ele aplicou essa equação para o problema do átomo de hidrogênio e obteve a 
quantização e as séries de Balmer. 
 1927 – Davisson e Guerner confirmou o caráter ondulatório das partículas através de 
experimentos de difração de elétrons. 
Átomo de Hidrogênio 
 Partindo para o átomo de hidrogênio, sendo um dos poucos problemas que possui uma 
solução exata. 
Inicialmente, temos uma expressão de 6 coordenadas, sendo 3 do elétron e 3 do núcleo): 
HΨ(re, RN) = EΨ(re, RN) 
 Dessa forma, é possível escrever a hamiltoniana da seguinte forma: 
𝐻 = −
ℏ2
2𝑀𝑁
∇𝑁
2 − 
ℏ2
2𝑚𝑒
∇𝑒
2 − 
𝑒2
|
𝑟𝑒
→− 
𝑅𝑁
→ |
 
 A primeira parte está relacionada com a energia cinética do núcleo, a segunda com a 
energia cinética do elétron e a terceira representa a interação coulombiana entre o núcleo e o 
elétron. 
 A posição do centro de massa é dada por: 
𝑅𝐶𝑀
→ = 
(𝑚𝑒
𝑟𝑒
→+ 𝑀𝑁
𝑅𝑁
→ )
(𝑚𝑒 + 𝑀𝑁)
 
onde: m e r representam massa e posição do elétron (e) e do núcleo (N) 
 Além disso, temos que: 
𝑀 = 𝑀𝑁 + 𝑚𝑒 
𝑟
→ = 
𝑟𝑒
→− 
𝑅𝑁
→ 
𝜇 = 
𝑚𝑒𝑀𝑁
(𝑚𝑒+ 𝑀𝑁)
 ~ 𝑚𝑒 (massa do elétron é muito menor do que a do próton) 
 A partir das expressões acima, podemos transformar as coordenadas do elétron e do 
núcleo em coordenadas do centro de massa e coordenadas relativas, obtendo a seguinte 
hamiltoniana: 
𝐻 = −
ℏ2
2𝑀
∇𝑅
2 − 
ℏ2
2𝜇
∇𝑟
2 − 
𝑍𝑒2
𝑟
 
 
 
 
Simplificando, temos: 
H = HCM + Hr 
→ isso implica que a função de onda vai ser o produto entre duas funções: 
Ψ (RCM, r) = Ψ(RCM) Ψ(r) 
 Dessa forma, foi possível separar esse problema de 6 coordenadas em 2 de 3 
coordenadas cada. 
Escrevendo a equação de Schrödinger apenas em termos das coordenadas do centro de 
massa, obtemos: 
HCM Ψ(RCM) = ECM Ψ(RCM) 
−
ℏ2
2𝑀
∇𝐶𝑀
2 Ψ(𝑅𝐶𝑀) = 𝐸𝐶𝑀Ψ(𝑅𝐶𝑀) 
Sendo a sua solução igual à: Ψ (RCM) = 𝐴𝑒
𝑖
𝑘
→
𝑅𝐶𝑀
→ 
 
 Ao reescrever a função de onda, temos: 
Ψ (RCM, r) = 𝐴𝑒
𝑖
𝑘
→
𝑅𝐶𝑀
→ 
 Ψ(r,θ,Φ) 
Hamiltoniana 
do centro de 
massa (HCM) 
Hamiltoniana 
relativa, em relação 
ao CM (Hr) 
Em seguida, temos a equação de Schrödinger reescrita apenas em função das 
coordenadas relativas: 
𝐻Ψ(r, θ, Φ) = (−
ℏ2
2𝜇
∇2 −
𝑍𝑒2
𝑟
)Ψ(r, θ, Φ) = 𝐸Ψ(r, θ, Φ) 
Como: 
∇2=
𝜕2
𝜕𝑟2
+
2
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
(
𝜕2
𝜕𝜃2
+
1
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜕2
𝜕∅2
+ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃
𝜕
𝜕𝜃
) = 
𝜕2
𝜕𝑟2
+
2
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝐿2
ℏ2
 
 Assim, a equação de Schrödinger pode ser reescrita em função do operador L2, 
substituindo o ∇2: 
−
ℏ2
2𝑚
(
𝜕2
𝜕𝑟2
+
2
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
+
1
𝑟2
𝐿2
ℏ2
−
𝑍𝑒2
𝑟
)Ψ(r, θ, Φ) = 𝐸Ψ(r, θ,Φ) 
 Portanto, como a hamiltoniana comuta com L2, além disso a energia potencial é 
esferossimétrica, não dependente dos ângulos, pode-se mostrar que a função de onda pode ser 
escrita com uma parte radial e uma parte angular: 
[H, L2] = 0 → Ψ (r,θ,Φ) = R(r)Y(θ,Φ) 
Com isso, podemos mostrar também que a função de onda Ψ é autofunção do operador 
L2, obtendo duas equações: 
𝐿2𝜓(𝑟, 𝜃, ∅) = 𝑎𝜓(𝑟, 𝜃, ∅) 
Parte radial: −
ℏ2
2𝜇
(
𝜕2
𝜕𝑟2
+
2
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
+
𝑎
2𝜇𝑟2
−
𝑍𝑒2
𝑟
)R(r) = 𝐸R(r) 
Parte angular: 𝐿2𝜓(𝜃, ∅) = 𝑎𝜓(𝜃, ∅) 
 Retornando ao operador L2, temos que: 
L2 = Lx
2 + Ly
2 + Lz
2 
Onde Lx, Ly e Lz são obtidos da seguinte forma: 
 
Mas o foco é obter o L2 em coordenadas esféricas, para isso escrevemos: 
 
onde: x = rsenθcosΦ; y = rsenθsenΦ; z = rcosθ 
𝐿𝑥 = −𝑖ℏ(sen∅
∂
∂θ
+ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃𝑐𝑜𝑠∅
𝜕
𝜕∅
) 
𝐿𝑦 = −𝑖ℏ(cos∅
∂
∂θ
− 𝑐𝑜𝑡𝑔∅𝑐𝑜𝑠∅
𝜕
𝜕∅
) 
𝐿𝑥 = −𝑖ℏ
∂
∂θ
 
Então: 
𝐿2 = −ℏ2(
∂2
∂𝜃2
+ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃
𝜕
𝜕𝜃
+
1
𝑠𝑒𝑛2𝜃
∂2
∂∅2
) 
 Resolvendo a parte angular da função de onda, obteremos as autofunções do operados 
L2: 
L2Y(θ,Φ) = aY(θ,Φ) 
 Sabe-se que o operador L2 comuta com o operador Lz, dessa forma, essa função Y será 
uma autofunção simultânea, tanto do operador L2 quanto do operador Lz. 
[L2, Lz] = 0 
 Consequentemente, escreve-se que: 
L2Y(θ,Φ) = aY(θ,Φ) 
LzY(θ,Φ) = cY(θ,Φ) 
 Isso significa que é possível escrever essa função com uma parte dependendo de θ e 
outra dependendo de Φ: 
Y(θ,Φ) = Θ(θ)φ(Φ) 
Como foi possível separar com duas variáveis em duas equações e resolvendo a primeira 
equação, teremos: 
Lzφ(Φ) = cφ(Φ) 
−𝑖ℏ
𝜕
𝜕𝜃
φ(Φ) = cφ(Φ) 
 Essa equação depende só de Φ, pois Lz depende somente de Φ. A equação obtida é fácil 
de resolver, visto que temos: 
φ(Φ) = 𝐴𝑒
𝑖𝑐∅
ℏ⁄ 
 No entanto, há uma condição de que essa função φ é a própria mais 2π: 
φ(Φ) = φ(Φ + 2π) 
𝐴𝑒
𝑖𝑐∅
ℏ⁄ = 𝐴𝑒
𝑖𝑐(∅+2𝜋)
ℏ⁄ 
𝐴𝑒
𝑖𝑐∅
ℏ⁄ = 𝐴𝑒
𝑖𝑐∅
ℏ⁄ 𝑒
𝑖𝑐2𝜋
ℏ⁄ 
𝑒
𝑖𝑐2𝜋
ℏ⁄ = 1 = cos (
𝑖𝑐2𝜋
ℏ
) + 𝑖𝑠𝑒𝑛 (
𝑖𝑐2𝜋
ℏ
) 
Mas para isso acontecer é que seja múltiplo de 2π, então:
 𝑐2𝜋
ℏ
= 𝑚(2𝜋) → 𝑐 = 𝑚ℏ, sendo m 
um número inteiro. 
 Resolvemos, obtendo a função de onda igual a: 
φ(Φ) = 𝐴𝑒
𝑖𝑐∅
ℏ⁄ 
O autovalor igual a: 𝑐 = 𝑚ℏ 
Agora, iremos resolver a equação dependente de θ: 
L2Y(θ,Φ) = aY(θ,Φ) 
Y(θ,Φ) = A𝑒𝑖𝑚∅Θ(𝜃), substituindo esta função no operador L2, sabendo que: 
Fazendo a derivada: 
𝜕2
𝜕∅2
(𝑒𝑖𝑚∅) = −𝑚2𝑒𝑖𝑚∅, iremos obter: 
𝐴𝑒𝑖𝑚∅ (−ℏ2 [
1
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜕2
𝜕𝜃2
+ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃
𝜕
𝜕𝜃
− 𝑚2])Θ(𝜃) = 𝑎A𝑒𝑖𝑚∅Θ(𝜃) 
Dividindo tudo por A𝑒𝑖𝑚∅, temos: 
(−ℏ2 [
1
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜕2
𝜕𝜃2
+ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃
𝜕
𝜕𝜃
−𝑚2]) Θ(𝜃) = 𝑎Θ(𝜃) 
A solução da equação acima são os Polinômios de Legendre → 𝑃𝑙
𝑚(𝜃) 
Também é obtida a partir da equação que: a = l (l+1), assim aparecendo dois números quânticos, 
são eles l e m. 
Os polinômios de Legendre possuem a seguinte expressão: 
𝑃𝑙
𝑚(𝜃)(𝜔) = 
𝑙
2𝑙𝑙!
(1 − 𝜔2)
|𝑚|
2⁄
𝑑𝑙+|𝑚|
𝑑𝜔𝑙 + |𝑚|
(𝜔2 − 1)𝑙 
Dessa forma, obtemos as autofunções e os autovalores do operador L2 e do operador Lz: 
𝑌𝑙
𝑚(𝜃, ∅) = [
2𝑙 + 1
4𝜋
(𝑙 − |𝑚|)!
(𝑙 + |𝑚|)!
]
1
2𝑃𝑙
|𝑚|(𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑒𝑖𝑚∅ 
 
 Essas funções de onda normalizadas são chamadas de harmônicos esféricos. 
𝐿2𝑌𝑙,𝑚(𝜃, ∅) = 𝑙(𝑙 + 1)ℏ
2𝑌𝑙,𝑚(𝜃, ∅) 
𝐿𝑧𝑌𝑙,𝑚(𝜃, ∅) = 𝑚ℏ𝑌𝑙,𝑚(𝜃, ∅) 
Essas funções Y obtidas são as funções dos orbitais atômicos, em particular, às do átomo 
de hidrogênio, onde Y0,0 representa as funções do tipo s, Y1,0 e Y1,-1 representam as funções do 
tipo p e as demais representam funções do tipo d. 
 Partindo para uma análise das autofunções para os estados s (m = 0,l = 0) e pz (m = 0, l 
= 1), onde: 
|Ψ𝑛,𝑙,𝑚(𝑟, 𝜃, 𝜙)|
2 = |𝑅𝑛,𝑙(𝑟)|
2|𝑌𝑙,𝑚(𝜃, 𝜙)|
2 
Colocamos a função ao quadrado para observar a probabilidade de encontrar o elétron. 
É mais interessante olharmos o módulo ao quadrado da parte angular com o objetivo de ver 
como se dá a distribuição angular de lugares que tenham a mesma probabilidade de encontrar 
o elétron em determinado orbital. 
 Por exemplo: 
 
O harmônico esférico do tipo s com m e l iguais a zero não depende do ângulo, então o 
lugar de maior probabilidade de encontrar o elétron quenão depende do ângulo é uma esfera. 
Já olhando para o orbital pz de harmônico esférico com m=0 e l=1, temos um formato 
semelhante ao do número 8. Essa função representa, para valore determinado de r, o lugar no 
qual haverá a mesma probabilidade de encontrar o elétron. 
|Ψ𝑛,𝑙,𝑚(𝑟, 𝜃, 𝜙)|
2 =
3
4𝜋
𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 
3
4𝜋
𝑍2
𝑟2
 
 
 Nesta parte, iremos obter as soluções radiais para o átomo de hidrogênio ainda sem 
considerar o spin. Recordando que as autofunções do operador L2 foram obtidas: 
𝐿2𝑌𝑙.𝑚(𝜃, 𝜙) = 𝑙(𝑙 + 1)ℏ
2𝑌𝑙.𝑚(𝜃, 𝜙), 
Vamos aplicar essas autofunções na equação abaixo para obter a equação radial: 
𝐻 = −
ℏ2
2𝑚
(
𝜕2
𝜕𝑟2
+
2
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
)
1
𝑟2
𝐿2
2𝑚
−
𝑍𝑒2
𝑟
), assim temos que: 
(−
ℏ2
2𝑚
(
𝜕2
𝜕𝑟2
+
2
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
)
1
𝑟2
𝐿2
2𝑚
−
𝑍𝑒2
𝑟
)𝑅(𝑟)𝑌𝑙,𝑚(𝜃, 𝜙) = 𝐸𝑅(𝑟)𝑌𝑙,𝑚(𝜃, 𝜙) 
Ao passar a parte angular pela equação entre parênteses, obtemos: 
𝑌𝑙,𝑚(𝜃, 𝜙)(−
ℏ2
2𝑚
(
𝜕2
𝜕𝑟2
+
2
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
)
1
𝑟2
𝑙(𝑙 + 1)ℏ2
2𝑚
−
𝑍𝑒2
𝑟
)𝑅(𝑟) = 𝐸𝑅(𝑟)𝑌𝑙,𝑚(𝜃, 𝜙) 
Ao dividir tudo por 𝑌𝑙,𝑚(𝜃, 𝜙), obteremos a equação radial dependendo apenas de uma 
coordenada: 
(−
ℏ2
2𝑚
(
𝜕2
𝜕𝑟2
+
2
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
)
1
𝑟2
𝑙(𝑙 + 1)ℏ2
2𝑚
−
𝑍𝑒2
𝑟
)𝑅(𝑟) = 𝐸𝑅(𝑟) 
Inicialmente, o que faremos é a “faxina”, substituição de variáveis: 
𝛼 = 
ℏ2
2𝜇𝑒2
 
Com isso, ao substituir, obtemos: 
 
O passo seguinte é transformar essa solução bem-comportada para pontos extremos (r = infinito 
e r = 0). 
 Para r = infinito, a solução aproximada é igual a: 
𝑑2𝑅(𝑟)
𝑑𝑟2
+ 
2𝐸
𝛼𝑒2
𝑅(𝑟) = 0 
𝑑2𝑅(𝑟)
𝑑𝑟2
= −𝑐2𝑅(𝑟) 
𝑅(𝑟) = 𝑒−𝑐𝑟 
 
Para r tendendo a zero, a solução tem que ter um comportamento de rl (para que não haja 
divergência para r = 0). Então, rescrevemos a função radial como sendo: 
𝑅(𝑟) = 𝑟𝑙𝑒−𝑐𝑟𝑀(𝑟) 
 A equação acima possui uma parte que remove a divergência para r igual à 0 e uma 
outra parte que remove a divergência para r igual à infinito. 
 Ao jogar essa função R (r) na equação abaixo: 
 
Teremos então: 
 
Em seguida, é feita uma expansão dessa função M(r) em série de potência. 
𝑀 (𝑟) = ∑𝑏𝑗𝑟
𝑗
𝑗
 
Ao jogar essa série de potência na equação abaixo, eu vou obter uma relação de 
recorrência entre os bj. 
 
Assim, a relação de ocorrência obtida é igual à: 
𝑏𝑗+1 = 
(2𝐶 + 2𝐶𝑙 + 2𝐶𝑗 − 2𝑍𝛼
−1)
𝑗(𝑗 + 1) + 2(𝑙 + 1)(𝑗 + 1)
𝑏𝑗 
Esta relação me define um polinômio e este polinômio diverge. No entanto, para não 
divergir, obtém-se que ele tem que ter um jmáximo e a série vai ser truncada a partir deste jmáx., 
onde: 
Jmáximo = n – l – 1 (n = 1,2,3,...) 
Ao realizar isto, obtém-se as energias quantizadas, ou seja, as energias que dependem 
do número quântico, n: 
𝐸 = −
𝑍2
𝑛2
(
𝑒′
2
2𝛼
) = 
𝑍2𝜇𝑒′
4
2𝑛2ℏ2
= 
−13,6
𝑛2
(𝑒𝑉) 
Essa energia, em eletrovolts, é igual a -13,6/n2. 
 Neste momento, iremos obter o que chamamos de c2. 
𝑐2 = 
2𝐸
𝛼𝑒2
 
𝑐 = (−
2𝐸
𝛼𝑒2
)
1
2 = (−
2
𝛼𝑒2
𝑍2𝜇𝑒′
4
2𝑛2ℏ2
)
1
2 = 
𝑍
𝛼𝑛
 
 Então, a nossa função radial será igual a: 
𝑅𝑛,𝑙(𝑟) = 𝑁𝑛,𝑙 ∑(𝑏𝑗𝑟
𝑗)𝑟𝑙𝑒
−𝑍𝑟
𝑛𝛼⁄
𝑗𝑚á𝑥
𝑗=0
 
Segue abaixo a resolução de algumas funções radiais para alguns valores de n e de l: 
Para n=1 e l=0, temos: jmáx = n – L – 1 = 1 – L – 1 = 0 
𝑅1,0(𝑟) = 𝑁1,0𝑟
0𝑒
−𝑍𝑟
1𝛼⁄ = 𝑁𝑒
−𝑍𝑟
𝛼⁄ (orbital 1s) 
Para n=2 e l=0, temos: jmáx = n – L – 1 = 2 – 0 -1 = 1 
𝑅2,0(𝑟) = 𝑁2,0∑ (1 + 𝑏1𝑟
1)𝑟0𝑒
−𝑍𝑟
2𝛼⁄1
𝑗=0 = 𝑁(1 + 𝑏1𝑟
1)𝑒
−𝑍𝑟
2𝛼⁄ (orbital 2s) 
Para n=2 e l=1, temos: jmáx
 = 2 – 1 – 1 = 0 
𝑅2,1(𝑟) = 𝑁2,1𝑟
1𝑒
−𝑍𝑟
2𝛼⁄ = 𝑁𝑟𝑒
−𝑍𝑟
2𝛼⁄ (orbital 2p) 
 É possível observar as soluções radiais normalizadas abaixo: 
𝑅1𝑠 = 2(
𝑍
𝛼
)
3
2𝑒
−𝑍𝑟
𝛼⁄ 
𝑅2𝑠 =
1
√2
(
𝑍
𝛼
)
3
2(1 −
𝑍𝑟
2𝛼
)𝑒
−𝑍𝑟
2𝛼⁄ 
𝑅2𝑝 =
1
2√6
(
𝑍
𝛼
)
5
2𝑟𝑒
−𝑍𝑟
2𝛼⁄ 
𝑅3𝑠 =
2
3√3
(
𝑍
𝛼
)
3
2(1 −
2𝑍𝑟
3𝛼
+
2𝑍2𝑟2
27𝛼2
)𝑒
−𝑍𝑟
3𝛼⁄ 
𝑅3𝑝 =
8
27√6
(
𝑍
𝛼
)
3
2(
𝑍𝑟
𝛼
−
𝑍2𝑟2
6𝛼2
)𝑒
−𝑍𝑟
3𝛼⁄ 
𝑅3𝑑 =
4
81√30
(
𝑍
𝛼
)
7
2𝑟2𝑒
−𝑍𝑟
3𝛼⁄ 
 Dessa forma, retornando à função de onda, que vai depender de n, l e m, vai ter uma 
determinada constante de normalização (dependente de n e l) multiplicada pela função radial 
(dependente de n e l) vezes os harmônicos esféricos (dependente de l e m). 
𝑌𝑛,𝑙,𝑚(𝑟, 𝜃, 𝜙) = 𝑁𝑛,𝑙𝑅𝑛,𝑙(𝑟)𝑌𝑙,𝑚(𝜃, 𝜙) 
 Vimos também que a energia é dada por essa expressão: 
𝐸 = −
𝑍2
𝑛2
(
𝑒′
2
2𝛼
) = 
𝑍2𝜇𝑒′
4
2𝑛2ℏ2
= 
−13,6
𝑛2
(𝑒𝑉) 
 Ao juntar isso tudo, obtemos a função abaixo: 
𝑌𝑛𝑙𝑚 = √(
2
𝑛𝛼
)3
(𝑛 − 𝑙 − 1)!
2𝑛[(𝑛 + 1)!]3
𝑒
−𝑟
𝑛𝛼⁄ (
2𝑟
𝑛𝛼
)𝑙[𝐿𝑛−𝑙−1
2𝑙+1 (
2𝑟
𝑛𝛼
)]𝑌𝑙
𝑚(𝜃, 𝜙) 
 
 
 
 
 
O polinômio associado de Legendre é igual a: 
𝐿𝑞−𝑝
𝑝 (𝑥) ≈ (−1)𝑝(
𝜕
𝜕𝑥
)𝑝𝐿𝑞(𝑥) 
O polinômio de Legendre sendo igual a: 
𝐿𝑞(𝑥) ≈ 𝑒
𝑥(
𝜕
𝜕𝑥
)𝑞(𝑒−𝑥𝑥𝑞) 
 Portanto, para resolver essas funções, o primeiro passo é resolver o polinômio de 
Legendre, em seguida resolve-se o polinômio associado de Legendre. Por fim, o polinômio 
associado de Legendre é aplicado na função de onda. 
Parte que anula 
a divergência em 
r = infinito 
Parte que anula 
a divergência em 
r = zero 
M(r) 
Polinômio 
associado de 
Legendre 
 Com isso, esse desenvolvimento que nos leva até a obtenção da função de onda e das 
energias para o átomo de hidrogênio termina aqui. 
 Veremos agora os orbitais atômicos desenhados no Geogebra dados pelas densidades 
de probabilidade radial. 
Probabilidade de encontrar a partícula em todo o espaço: 
∫ |Ψ(𝑟, 𝜃, 𝜙)|2𝑑𝑈 = 1 
Densidade de probabilidade radial: 
∫𝑟2𝑑𝑟|𝑅(𝑟)|2∫𝑑𝑟|𝑌(𝜃, 𝜙)|2 = 𝑟2|𝑅(𝑟)|2 = 𝑃(𝑟) 
Primeiramente, para o estado 1s temos a densidade de probabilidade radial igual à: 
𝑃(𝑟) = 4𝑟2(
1
𝛼
)3𝑒
−2𝑟
𝛼⁄ , sendo Z = 1 
 
Na imagem, podemos observar a probabilidade de encontrar o elétron em função da 
distância. O formato, como já vimos, é uma esfera e a probabilidade de encontrar o elétron em 
esferas com raios diferentes cresce até o ponto r/a = 1 (r = a), sendo a região de maior 
probabilidade de encontrar o elétron. Conforme nos distanciamos do núcleo, essa probabilidade 
diminui até que em distâncias razoavelmente grande, a probabilidade de encontrar o elétron é 
praticamente inexistente. 
 
Para o estado 2s temos a densidade de probabilidade radial igual à: 
𝑃(𝑟) =
1
2
𝑟2(
1
𝛼
)3(1 −
𝑟
2𝛼
)2𝑒
−𝑟
𝛼⁄ , sendo Z = 1 
 
É possível observar que a maior probabilidade de encontrar o elétron é na região entre 
4 e 6, mais distante do núcleo. No entanto, há ainda uma probabilidade razoável de ser 
encontrado próximo do núcleo. Além disso, o elétron não pode ser encontrado de jeito nenhum 
em r = 2a. 
Para o estado 2p temos a densidade de probabilidade radial igual à: 
𝑃(𝑟) =
1
24
𝑟4(
1
𝛼
)5𝑒
−𝑟
𝛼⁄ , sendo Z = 1 
 
Observa-se que o ponto de maior probabilidade de encontrar o elétron é em r = 3a, sendo 
também mais distante do núcleo. 
Recapitulando, podemos observar que o orbital 1s e 2s são representados por uma esfera 
e imaginar que essa esfera está crescendo, dessa forma o raio está aumentando e assim haverá 
uma atribuição da probabilidade de encontrar o elétron para cada raio dessa esfera. Para o orbital 
1s, a maior probabilidade, como já dito, é próxima ao núcleo em r = a (raio de Bohr), então 
conforme essa esfera cresce, a probabilidade de encontrar o elétron diminui. Já para o orbital 
2s, há uma probabilidade mínima de encontrar o elétron próxima ao núcleo, mas ao crescer um 
pouco mais a esfera e atingindo raio r = 2a não haverá nenhuma possibilidade do elétron ser 
encontrado. Logo depois, conforme aumenta-se mais um pouco o raio da esfera, há um aumento 
atingindo um máximo, sendo a maior probabilidade de encontrar o elétron entre r = 4a e r = 6a, 
voltando a diminuir, em seguida. Então, toda essa região, excetoa 2a, é uma distribuição de 
probabilidade. 
O elétron é descrito por uma onda e o que a gente pode conhecer é a justamente a 
probabilidade de encontrá-lo. Para isso, é necessário juntar as figuras radial e angular para 
construirmos, então, o que é chamado de nuvem eletrônica. 
Ao observar o orbital 2p, vemos que a densidade de probabilidade cresce à medida que 
o raio das esferas crescem, atingindo seu máximo em r = 4a e, após isso, a probabilidade vai 
caindo conforme se afasta do núcleo. É possível observar também que no plano xy não há 
probabilidade nenhuma do elétron ser encontrado. 
O átomo de hidrogênio é o que possui a estrutura mais simples, composta somente por 
um elétron e um próton que fazem uma interação coulombianas. Apesar disso, através de seu 
espectro de emissão, é possível observar e concluir que a energia do átomo não pode ser uma 
variável contínua. Podemos notar uma série de linhas na região do visível do vermelho ao 
violeta, de modo que o espaçamento e intensidade diminuem conforme o comprimento de onda 
diminui. 
Como falado anteriormente, o modelo atômico de Bohr conceitua as orbitas 
estacionárias, consequentemente explicando o aspecto do espectro de emissão discreto do 
hidrogênio. Apesar disso, este modelo não é suficiente para entender o átomo de hidrogênio. 
As moléculas de H2 são dissociadas quando uma descarga elétrica passa pelo hidrogênio 
gasoso e os átomos de H excitados emitem luz de frequências discretas, assim o espectro de 
uma série de linhas é produzido, como podemos observar na imagem o espectro completo. 
Como já dito, Rydberg em 1890 demonstrou que todas as linhas do espectro se ajustam 
à seguinte expressão: 
 
Com n1 = 1 (série de Lyman), 2 (série de Balmer) e 3 (série de Paschen). 
 
O número inteiro n representa os níveis de energia e correspondem aos autovalores. 
Como vimos, a energia depende do número quântico n. 
𝐸 = −
𝑍2
𝑛2
(
𝑒′
2
2𝛼
) = 
𝑍2𝜇𝑒′
4
2𝑛2ℏ2
= 
−13,6
𝑛2
(𝑒𝑉) 
É possível observar no diagrama de energia tal característica, visto que com o aumento 
do número quântico, há um aumento de energia. Dessa forma, o estado 1s apresenta a menor 
energia. As energias obtidas através dessa equação são negativas e referem-se a estados ligados 
do átomo, onde a energia do átomo é mais baixa do que a do elétron e do núcleo, 
correspondendo ao estado de energia nula. 
O número quântico n = 2 apresenta 4 estados com a mesma energia, ou seja, há uma 
degenerescência de 4. Já com n = 3, existem 9 estados degenerados. Isto é, quando n = 1, só 
existe um orbital, sendo l = 0 e ml = 0. Já quando n = 2, existem 4 orbitais, sendo 1 no estado 
2s (l = 0; ml = 0) e 3 no estado 2p (l = 1; ml = +1, 0, -1). Para n = 3 existem 9 orbitais, sendo 1 
no estado 3s (l = 0), 3 no estado 3p (l = 1) e 5 no estado 3d (l = 2). 
Ao aplicarmos um fóton, veremos que só é permitido fazer excitações do estado 1s para 
o estado p. A interação S→S tem um elemento de matriz dipolo igual à zero: 
< Ψ1𝑆|𝑟|Ψ2𝑆 > = 0 
Isso significa que será praticamente imperceptível no espectro. Resumidamente, temos 
que um elétron s não pode fazer uma transição para outro orbital s, pois dessa forma não há 
mudança do momento angular capaz de compensar o momento angular levado pelo fóton. Por 
conta disso, algumas transições são permitas e outras são proibidas No entanto, para a transição 
do estado S para o estado P, temos que esse elemento de matriz dipolo é: 
< Ψ1𝑆|𝑟|Ψ2𝑆 > ≠ 0 
Para os átomos hidrogenóides, as regras de seleção são: 
Δl = ±1 e Δml = 0, ±1 
Apenas o número quântico principal n pode ser alterado de forma arbitrária, de forma 
compatível com Δl, visto que não está associado de modo direto com o momento angular. 
Nesta parte, iremos ver a aplicação de um campo magnético externo (
𝐵
→ = 𝐵0�̂�). A 
hamiltoniana neste caso será igual à: 
𝐻 = [−
ℏ2
2𝑚
∇2 −
𝑍𝑒2
𝑟
] + 𝜇𝑒⃗⃗⃗⃗ × �⃗� 
Este novo termo 𝜇𝑒⃗⃗⃗⃗ × �⃗� representa a interação do momento magnético orbital do elétron e o 
campo magnético externo. 
Sendo: 𝜇𝑒⃗⃗⃗⃗ = 
𝑒
2𝑚𝑐
�⃗� (momento magnético externo) 
Então: 𝜇𝑒⃗⃗⃗⃗ × �⃗� = 
𝑒
2𝑚𝑐
�⃗� × 𝐵0�̂� = 
𝑒
2𝑚𝑐
𝐵0𝐿𝑧 = 𝜇0𝐵0𝐿𝑧 
 Aplicando isto na Hamiltoniana: 
𝐻Ψ(𝑟, 𝜃, 𝜙) = [−
ℏ2
2𝑚
∇2 −
𝑍𝑒2
𝑟
]Ψ(𝑟, 𝜃, 𝜙) + 𝜇0𝐵0𝐿𝑧Ψ(𝑟, 𝜃, 𝜙) 
𝐸 = −
13,6
𝑛2
+𝑚ℏ𝜇0𝐵0 
Isso significa que teremos um novo diagrama de energias, de forma que o campo magnético externo 
reduza a degenerescência, levantando e diminuindo a energia de alguns estado, há o desdobramento das 
raias espectrais, representando o chamado Efeito Zeeman. 
 Na literatura, o experimento de Stern-Gerlach realizado por Otto Stern e Walther Gerlach em 
1922 com o objetivo de determinar se os átomos possuem momento angular e magnético, como sugere 
o modelo atômico de Niels Bohr. Neste experimento, um feixe de átomos de prata atravessa uma região 
de campo magnético externo na direção z, perpendicular ao feixe. Assim, cada átomo que compõe o 
feixe experimenta uma força dependente do seu momento de dipolo magnético: 
𝐹𝑧 = 𝜇𝑧
𝜕𝐵
𝜕𝑧
 
Onde: B é o campo magnético 
− 𝜇𝑧𝐵 é a energia do átomo no campo magnético 
Orientações diferentes do momento magnético ferentes valores de 𝜇𝑧, ou seja, a 
intensidade da força depende do valor de 𝜇𝑧 e também da orientação do momento de dipolo 
magnético. Há também um anteparo registrando os locais os quais são atingidos pelos átomos. 
Este aparato permite o preparo de um feixe de átomos em um certo estado de spin, visto que o 
feixe é separado na direção do gradiente do campo em função dos momentos magnéticos dos 
átomos. Dessa forma, é possível obter um feixe de átomos com certo valor de spin por um 
filtragem para um feixe de átomos que possuem momento magnético devido a apenas um 
elétron desemparelhado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
ATKINS, P.; DE PAULA, J. Atkins, Físico-química. Rio de Janeiro: LTC, 2008. v. 1, 8ª ed.. 
ALENCAR, A. J. T. Efeitos de interferência envolvendo átomos de hidrogênio 
metaestáveis com e sem a presença de campo magnético externo. 2018. Tese de Doutorado. 
Universidade Federal do Rio de Janeiro. 
BRAUNN, R.A. LARSEN, G. EFEITO FOTOELÉTRICO. Enaproc, v. 1, n. 1, 2019. 
CORRÊA, C., (2014) Modelo atómico de Rutherford, Rev. Ciência Elem., V2(2):049. 
Disponível em: http://doi.org/10.24927/rce2014.049 
CORRÊA, C., (2014) Modelo atómico de Bohr, Rev. Ciência Elem., V2(2):050. Disponível 
em: http://doi.org/10.24927/rce2014.050 
SALA, O. Uma introdução à espectroscopia atômica: o átomo de hidrogênio. Química 
Nova, v. 30, p. 1773-1775, 2007. 
http://doi.org/10.24927/rce2014.049
http://doi.org/10.24927/rce2014.050