Funcoes_Homogeneas_T_de_Euler

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Vasco Simões 
ISIG 2002 
Funções Homogéneas – Teorema de Euler 
 
1. Definição 
 
Considere-se a função ),,...( 1 nxxf : RR
n a . 
Diz-se que f é Homogénea de grau p se 
),...,(),...,( 11 n
p
n xxfxxf lll = RÎ"l, 
 Por exemplo, a função 23)( xxf = é homogénea de grau 2, com efeito 
)()3(3)( 22222 xfxxxf llll === 
e a função )/sin(2),,( 2 zyyzxzyxf = é homogénea de grau 4. Já as funções )sin(),( xyyxf = 
e yxxyzzyxf ++= 2),,( não são homogéneas. 
 
 Uma propriedade importante das funções homogéneas é o facto de que se conhecermos o 
valor da função num ponto P, então conhecemos o valor da função em qualquer ponto P’ que tenha 
coordenadas proporcionais ás coordenadas de P, isto é, se soubermos por exemplo que ),( yxf é 
homogénea de grau 3, e que 1)3,2( =f , então sabemos imediatamente o valor de f no ponto 
(4,6), com efeito: 
 
818)3,2(2)32,22()6,4( 3 =×==××= fff 
 
 
 2. Teorema de Euler para funções homogéneas 
 
Outra propriedade importante das funções homogéneas é a que vamos expor de seguida. 
 Seja então RRf n a: homogénea de grau p. Então 
),...,(),...,( 11 n
p
n xxfxxf lll = RÎ"l, 
derivando esta equação em ordem a l obtemos: 
Vasco Simões 
ISIG 2002 
),...,(
)( 1
1
1
n
p
n
i
i
i
xxfpx
x
f -
=
=
¶
¶å ll 
e como esta relação deve ser válida para qualquer l real, se 1=l fica 
),...,(
)( 11
n
n
i
i
i
xxfpx
x
f
=
¶
¶å
=
 
Acabámos assim de demonstrar o chamado Teorema de Euler para funções homogéneas: 
 
TEOREMA 
Se RRf n a: é homogénea de grau p, então ),...,( 1
1
n
n
i
i
i
xxfpx
x
f
=
¶
¶å
=
. 
 
 Podemos agora estudar a homogeneidade das derivadas de f . 
 Para tal vamos derivar em ordem a jx a expressão anterior: 
),...,( 1
1
n
j
n
i
i
ij
xxf
x
px
x
f
x ¶
¶
=
¶
¶
¶
¶ å
=
 
j
n
ji
i
i
jij
j
j x
f
px
xx
f
x
f
x
x
f
¶
¶
=
¶¶
¶
+
¶
¶
+
¶
¶ å
¹
=1
2
2
2
 
j
n
ji
i
i
jij
j x
f
px
xx
f
x
f
x
¶
¶
-=
¶¶
¶
+
¶
¶ å
¹
=
)1(
1
2
2
2
 
j
n
ji
i
i
jijj
j x
f
px
x
f
xx
f
x
x
¶
¶
-=
¶
¶
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶ å
¹
=
)1(
1
 
j
n
i
i
ij x
f
px
x
f
x ¶
¶
-=
¶
¶
¶
¶å
=
)1(
1
 
que é a expressão do Teorema de Euler para a função 
jx
f
¶
¶
, e portanto pode concluir-se que se f é 
homogénea de grau p, as suas primeiras derivadas são homogéneas de grau 1-p . 
 
 
 
Vasco Simões 
ISIG 2002 
2. Consequências do Teorema de Euler 
 
2.1. Expoente simbólico 
 
 Chama-se “Expoente Simbólico” [ e indica-se entre parêntesis ] ao operador que quando 
aplicado a uma função, funciona como um expoente vulgar para escalares, mas funciona como 
operador de derivação para funções e suas derivadas. Por exemplo 
 
 
2
2
2
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
xd
fd
x
xd
fd
x trata-se de um expoente vulgar, mas: 
 
 2
2
2
)2(
xd
fd
x
xd
fd
x =÷÷
ø
ö
çç
è
æ
 trata-se de um expoente simbólico. 
 
 
 Vejamos então o que representa 
)2(2
e ÷÷ø
ö
ççè
æ
¶
¶
+
¶
¶
÷÷ø
ö
ççè
æ
¶
¶
+
¶
¶
y
f
y
x
f
x
y
f
y
x
f
x 
 
2
2
2
2
2
2 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
y
f
y
y
f
x
f
xy
x
f
x
y
f
y
x
f
x
y
f
y
x
f
x
y
f
y
x
f
x 
e: 
2
2
2
2
2
2
2
)2(
2
y
f
y
yx
f
xy
x
f
x
y
f
y
x
f
x
y
f
y
x
f
x
y
f
y
x
f
x
¶
¶
+
¶¶
¶
+
¶
¶
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
à÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
 
 
onde se usou o símbolo à para distinguir a operação efectuada do produto usual. 
 
 
 
 
Vasco Simões 
ISIG 2002 
 
 
2.2. Operadores 
 
 Chama-se Operador, a uma regra operatória. Por exemplo, 
dx
d é o 
operador de derivação. Por si só não tem qualquer significado, mas quando 
aplicado a uma função )( xf , transforma-a na sua derivada. 
 Outro exemplo de operador é o Gradiente 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ ¶
¶
¶
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ ¶
¶
¶
=Ñ .....,,.....,,,....),(
dy
f
x
f
f
dyx
yxf 
 O operador Gradiente, ÷÷
ø
ö
çç
è
æ ¶
¶
¶ºÑ .....,,
dyx
 quando aplicado á função f transforma-a 
num vector cujas componentes são as derivadas parciais de f, vector esse que se chama gradiente 
de f. 
 
 Vamos então definir um novo Operador a que chamaremos Operador de Euler1 
å
= ¶
¶
º
n
i i
i x
xE
1
 
 Então, se f : RRn a for homogénea de grau p, tem-se, pelo Teorema de Euler 
fpfE = 
Vejamos agora o que sucede se aplicarmos duas vezes o operador E. 
== fEfEE 2 f
x
x
x
x
n
i i
i
n
i i
i ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶ åå
== 11
= 
å
å
åå
=
=
== ¶
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶¶
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶=
n
i i
n
j j
j
i
n
i i
i
n
i i
i x
x
fx
x
x
fx
x
x
1
1
11
= 
 
 
1 Nota: esta designação não é universal. 
Vasco Simões 
ISIG 2002 
å å å å
= = =
¹
=
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
¶
¶+
¶
¶+
¶¶
¶=÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶=
n
i
n
j
n
i
n
ij
j i
i
iji
ji
j
j
i
i x
fx
x
f
xx
fxx
x
fx
x
x
1 1 1 1
2
22
 
å å
=
¹
=
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
¶
¶
+
¶
¶
+
¶¶
¶
=
n
i
n
ij
j i
i
i
i
ji
ji x
f
x
x
f
x
xx
f
xx
1 1
2
2
2
2
 
å åå
=
¹
== ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
¶
¶+
¶¶
¶+
¶
¶=
n
i
n
ij
j i
i
ji
ji
n
i i
i x
fx
xx
fxx
x
fx
1 1
2
2
2
2
1
 
repare-se agora que o primeiro somatório é o operador de Euler aplicado á função f, e o segundo 
somatório é o expoente simbólico (2) de fE , temos portanto que 
( ) )2(2 fEfEfE += 
 Vejamos o que sucede no caso RRf a2: , homogénea de grau p. 
 Tem-se 
fp
y
f
y
x
f
xfE =
¶
¶
+
¶
¶
= 
e tornando a aplicar o operador E em ambos os membros fica: 
fEpfEE = 
isto é: 
fpfEfE 2)2()( =+ 
fpfEfp 2)2()( =+ 
fppfE )1()( )2( -= 
ou seja: 
fpp
y
f
y
x
f
x
y
f
y
yx
f
xy
x
f
x )1(2
)2(
2
2
2
2
2
2
2 -=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶
+
¶
¶
=
¶
¶
+
¶¶
¶
+
¶
¶
 
 
 Poderíamos continuar a aplicar o operador E, e um raciocínio semelhante mas cada vez 
mais trabalhoso levaria ao seguinte resultado 
 
 
Vasco Simões 
ISIG 2002 
· Se RRf n a: é homogénea de grau p, então 
fNppp
x
f
x
N
n
i i
i )1(....)1(
)(
1
+--=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
¶
¶å
=
 
 N factores