aula 10 equaçoes diferenciais

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Aula 10: Equac¸o˜es diferenciais lineares de 2a ordem.
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
To´pico: Equac¸o˜es diferenciais de 2a ordem
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
Uma equac¸a˜o diferencial linear de segunda ordem tem a forma:
d2y
dx2
+ P (x)
dy
dx
+Q(x)y = G(x),
onde P,Q e G sa˜o func¸o˜es cont´ınuas num dado intervalo I. Inicialmente
vamos estudar o caso em que, nesta equac¸a˜o, G(x) = 0 para todo x. Tais
equac¸o˜es sa˜o chamadas equac¸o˜es lineares homogeˆneas. Assim a forma de
uma equac¸a˜o diferencial linear homogeˆnea de segunda ordem e´:
d2y
dx2
+ P (x)
dy
dx
+Q(x)y = 0.
Se G(x) 6= 0 para algum x, a equac¸a˜o dada acima e´ na˜o homogeˆnea.
Dois fatos ba´sicos permitem-nos resolver equac¸o˜es lineares homogeˆneas. O
primeiro e´ que se conhecermos duas soluc¸o˜es y1 e y2 de tal equac¸a˜o, enta˜o a
combinac¸a˜o linear y = c1y1 + c2y2 tambe´m sera´ uma soluc¸a˜o.
Teorema: Se y1(x) e y2(x) forem ambas soluc¸o˜es da equac¸a˜o linear ho-
mogeˆnea
d2y
dx2
+P (x)
dy
dx
+Q(x)y = 0 e se c1 e c2 forem constantes quaisquer,
enta˜o a func¸a˜o
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x)
tambe´m sera´ uma soluc¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o: Uma vez que y1 e y2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o
d2y
dx2
+
P (x)
dy
dx
+Q(x)y = 0, temos:
1
y′′1 + P (x)y
′
1 +Q(x)y1 = 0
e
y′′2 + P (x)y
′
2 +Q(x)y2 = 0
Portanto, usando as regras ba´sicas de derivac¸a˜o:
y′′ + P (x)y′ +Q(x)y =
= (c1y1 + c2y2)
′′ + P (x)(c1y1 + c2y2)′ +Q(x)(c1y1 + c2y2)
= (c1y
′′
1 + c2y
′′
2) + P (x)(c1y
′
1 + c2y
′
2) +Q(x)(c1y1 + c2y2)
= c1[y
′′
1 + P (x)y
′
1 +Q(x)y1] + c2[y
′′
2 + P (x)y
′
2 +Q(x)y2]
= c1(0) + c2(0) = 0
Assim y = c1y1 + c2y2 e´ uma soluc¸a˜o de
d2y
dx2
+ P (x)
dy
dx
+Q(x)y = 0.
Vamos verificar o segundo fato.
Seja agora o problema de valor inicial:

y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = 0
y(x0) = y0
y′(x0) = y′0
em que y0 e y
′
0 sa˜o condic¸o˜es iniciais dadas no problema.
Vamos determinar condic¸o˜es sobre duas soluc¸o˜es y1(x) e y2(x) para que exis-
tam constantes c1 e c2 tais que y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) seja soluc¸a˜o do
problema de valor inicial dado.
Substituindo x = x0 na soluc¸a˜o y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) e na derivada de
y(x), y′(x) = c1y′1(x) + c2y
′
2(x) obtemos o sistema de equac¸o˜es lineares:
2
 c1y1(x0) + c2y2(x0) = y0c1y′1(x0) + c2y′2(x0) = y′0
que pode ser escrito na forma AX = B
em que A =
y1(x0) y2(x0)
y′1(x0) y
′
2(x0)
, X =
c1
c2
 e B =
y0
y′0

Se a matriz do sistema A e´ invert´ıvel, enta˜o para todo par de condic¸o˜es iniciais
(y0, y
′
0) o sistema tem uma u´nica soluc¸a˜o (c1, c2). (A soluc¸a˜o e´ X = A
−1B).
Mas uma matriz quadrada e´ invert´ıvel se, e somente se, o seu determinante
e´ diferente de zero. Ou seja, se
det
y1(x0) y2(x0)
y′1(x0) y
′
2(x0)
 6= 0,
enta˜o para todo par de condic¸o˜es iniciais (y0, y
′
0) existe um u´nico par de
constantes (c1, c2) tal que y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) e´ soluc¸a˜o do problema de
valor inicial dado.
Definic¸a˜o: a) O determinante
W [y1, y2](x0) = det
y1(x0) y2(x0)
y′1(x0) y
′
2(x0)

e´ chamado wronskiano ds func¸o˜es y1(x) e y2(x) em x0.
b) Se duas soluc¸o˜es y1(x) e y2(x) de y
′′+P (x)y′+Q(x)y = 0 em um intervalo
aberto I onde P (x) e Q(x) sa˜o cont´ınuas, sa˜o tais que o seu wronskiano
e´ diferente de zero em um ponto x0 ∈ I dizemos que elas sa˜o soluc¸o˜es
fundamentais de y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = 0 no intervalo I.
Teorema: Se y1(x) e y2(x) sa˜o soluc¸o˜es fundamentais de y
′′ + P (x)y′ +
Q(x)y = 0 em um intervalo I enta˜o a famı´lia de soluc¸o˜es y(x) = c1y1(x) +
3
c2y2(x), para constantes c1 e c2 arbitra´rias e´ a soluc¸a˜o geral de y
′′+P (x)y′+
Q(x)y = 0 em I.
Teorema: Se y1(x) e y2(x) sa˜o func¸o˜es tais que
W [y1, y2](x0) = det
y1(x0) y2(x0)
y′1(x0) y
′
2(x0)
 6= 0
para algum x0 ∈ I enta˜o y1(x) e y2(x) sa˜o linearmente independentes (l.i.)
em I.
Dizemos que duas func¸o˜es y1(x) e y2(x) sa˜o linearmente dependentes
(l.d.) em um intervalo I se uma das func¸o˜es e´ um mu´ltiplo escalar da outra,
ou seja, se y1(x) = αy2(x) ou y2(x) = αy1(x), para todo x ∈ I.
Caso contra´rio dizemos que elas sa˜o linearmente independentes (l.i.). Se
duas func¸o˜es sa˜o l.d. em um intervalo I enta˜o
W [y1, y2](x0) = det
y1(x0) y2(x0)
y′1(x0) y
′
2(x0)
 = 0
para todo x ∈ I pois uma coluna da matriz acima e´ mu´ltiplo escalar da outra.
Logo outro fato que precisamos e´ que a soluc¸a˜o geral seja uma combinac¸a˜o
linear de duas soluc¸o˜es linearmente independentes y1 e y2.
Exemplo: Seja b um nu´mero real na˜o nulo. Vamos mostrar que y1(t) = cos bt
e y2(t) = sen bt sa˜o soluc¸o˜es fundamentais da equac¸a˜o y
′′ + b2y = 0
Como y′1(t) = −b sen bt, y′′1(t) = −b2 cos bt, y′2(t) = b cos bt e y′′2(t) =
−b2sen bt, enta˜o:
y′′1 + b
2y1 = −b2 cos bt+ b2 cos bt = 0
4
y′′2 + b
2y2 = −b2 sen bt+ b2 sen bt = 0.
Assim y1(t) e y2(t) sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o y
′′ + b2y = 0. Ale´m disso,
det
y1(t) y2(t)
y′1(t) y
′
2(t)
 = det
 cos bt sen bt
−b sen bt b cos bt
 = b 6= 0
para todo t ∈ R. Portanto y1(t) = cos bt e y2(t) = sen bt sa˜o soluc¸o˜es
fundamentais de y′′ + b2y = 0 e a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´
y(t) = c1 cos bt+ c2sen bt.
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