Distribuição Binomial e Normal

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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - GST1079 
MODELOS TEÓRICOS DISCRETOS 
 
Distribuição Binomial 
Seja um experimento unitário, que admite somente dois resultados: 





fracassoF
sucessoS
 
com probabilidades P(S) = p e P(F)= q 
Chama-se de experimento binomial aquele que: 
 consiste em n repetições de Bernoulli; 
 cujas repetições são independentes; 
 a probabilidade de sucesso em cada repetição é sempre igual; 
 estamos interessados na ocorrência de x sucessos e (n-x) fracassos, 
então: 
 
  xnxqp
x
n
xXP 





 onde x=0,1,2,...,n 
sendo: 
 !!
!
xnx
n
x
n






 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Sabe-se que a probabilidade de uma lâmpada elétrica ser defeituosa é de 
10%. Determinar a probabilidade de que, entre 6 lâmpadas testadas, se-
jam defeituosas: 
a) nenhuma delas; 
b) pelo menos uma delas; 
c) mais de uma; 
d) menos de duas; 
e) três ou mais. 
 
2) A probabilidade de um estudante graduar-se quando ingressa em uma 
universidade é de 60%. Determine a probabilidade de, entre 5 estudan-
tes: 
a) nenhum se graduar; 
b) pelo menos um se graduar; 
c) mais de três se graduarem. 
 
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3) Um cronista esportivo acerta o vencedor 6 em cada 10 partidas de fute-
bol. Se uma pessoa qualquer tentar adivinhar o vencedor, qual a proba-
bilidade dela igualar ou superar o resultado do cronista? 
4) Uma pesquisa revelou que 20% dos estudantes que se matriculam numa 
determinada disciplina de Estatística não completam o semestre. Consi-
derando 10 alunos, determine a probabilidade de que dois ou menos não 
completem o semestre. 
 
5) Um time A tem probabilidade igual a 0,60 de vitória sempre que joga. Se 
A joga 4 partidas independentes, encontre a probabilidade de vencer: 
a) exatamente duas partidas; 
b) pelo menos uma partida; 
c) mais da metade das partidas. 
 
6) A probabilidade de um atirador acertar o alvo num único tiro é 0,05. 
Sabendo-se que o atirador disparou 10 tiros, determinar a probabilidade de 
que: 
a) nenhum tiro acerte o alvo. 
b) mais de 2 tiros acertem o alvo. 
 
 
 
MODELOS TEÓRICOS CONTÍNUOS 
 
De modo geral, as variáveis aleatórias cujos valores resultam de algum pro-
cesso de mensuração são contínuas. 
Ex.: 
- peso e altura das pessoas de uma cidade; 
- tempo de vida de uma lâmpada; 
- o diâmetro de rolamentos de esferas. 
 
Distribuição Normal 
Curva normal é unimodal, em forma de sino, em que o valor da média é 
igual a moda e à mediana. A média é o centro da curva. 
 
 
 
 
 
 
 
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 Característica do modelo: 
i. A distribuição normal é completamente determinada por dois parâme-
tros: 
 - Média da população =  
 - Desvio padrão da população =  
ii. A distribuição é simétrica em relação à média. 
iii. A curva é assintótica, se prolonga de -  à +  
iv. A área total sob a curva é igual a 1, ou 100%, com exatos 50% distri-
buídos à esquerda da média e 50% à sua direita. 
 
2
2
2
)(
22
1
)( 





x
exf
 
 
2 - Distribuição Normal Padrão 
Todas as curvas normais podem ser transformadas em uma curva normal 
padrão, usando o desvio padrão () como unidade de medida indicativa dos 
desvios dos valores da variável em estudo ( X ), em relação à média ( ). 
A variável aleatória Z é caracterizada pela média  = 0 e 2 = 1. 
 
Z ~ N(0 ; 1) 
 



X
Z
 
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EXERCÍCIOS 
 
1) Os balancetes semanais realizados em uma empresa mostram que o lu-
cro realizado distribui-se normalmente com média 48.000u.m. e desvio pa-
drão 8.000u.m.. Qual a probabilidade de que: 
a) na próxima semana o lucro seja maior que 50.000 u.m.? 
b) na próxima semana o lucro esteja entre 40.000 u.m. e 45.000 u.m.? 
 
2) Uma empresa produz um equipamento cuja vida útil admite distribuição 
normal com média 300h e desvio padrão 20h. Se a empresa garantiu uma 
vida útil de pelo menos 280h para uma das unidades vendidas, qual a pro-
babilidade de ela ter que repor essa unidade? 
 
3) As alturas de 10.000 alunos de um colégio tem distribuição aproxima-
damente normal com média 170cm e desvio padrão de 5cm. Qual o nú-
mero esperado de alunos com altura superior a 165cm? 
 
4) Seja um teste de inteligência aplicado a um grupo de 50 adolescentes 
do 3º. ano colegial. Obteve-se uma distribuição normal com média 50 e 
desvio padrão 6. Pergunta-se: 
a) qual a proporção de alunos com notas superiores a 60? 
b) qual o número de alunos com notas entre 35 e 45? 
 
5) Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com mé-
dia 100 e desvio padrão 25. Determine a probabilidade de um indivíduo 
submetido ao teste ter nota: 
 a) maior que 120 b) entre 75 e 125 c) entre 115 e 
125 
 
6) Os salários dos funcionários de uma escola têm distribuição normal com 
média de R$1.500,00, e desvio padrão de R$200,00. Qual a proporção 
de funcionários que ganham: 
a) entre R$1.400,00 e R$ 1.600,00? b) acima de R$1.500,00? 
c) acima de R$1.400,00? d) abaixo de R$1.400,00? 
e) acima de R$1.650,00? 
 
7) A renda anual média de uma grande comunidade pode ser aproximada 
por uma distribuição normal com média de R$ 7.000,00 e desvio padrão 
de R$ 3.000,00. Que porcentagem da população terá renda superior a 
R$ 13.000,00? 
 
8) Os resultados de um exame nacional para estudantes recém-formados 
apresentaram uma média de 500 com desvio padrão 100. Os resultados 
têm aproximadamente uma distribuição normal. Qual a probabilidade de 
que o grau de um indivíduo escolhido aleatoriamente esteja: 
 a) Entre 500 e 650? b) Entre 450 e 600?