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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro 10/10/2014
Prof.: Felipe Leite
Lista 5 de Estat´ıstica
Probabilidade
1. Mostre as seguintes leis de Morgan utilizando diagrama.
a) A ∩B = A ∪B.
b) A ∪B = A ∩B.
2. Sejam A, B e C eventos de um espac¸o amostral. Represente os eventos, abaixo,
usando as operac¸o˜es: unia˜o, intersec¸a˜o e complementar.
a) pelo menos um dos eventos tenha ocorrido;
b) somente B tenha ocorrido;
c) nenhum dos eventos tenha ocorrido;
d) apenas dois enventos tenha ocorrido;
e) no ma´ximo dois eventos tenha ocorrido.
3. Mostre que
i) P (A−B) = P (A)− P (A ∩B);
ii) Se A ⊂ B, enta˜o P (A) ≤ P (B);
iii) P (A) ≤ 1 para qualquer evento A ⊂ Ω.
4. Para cada um dos casos abaixo, escreva o espac¸o amostral correspondente e deter-
mine o nu´mero de elementos.
a) Uma moeda e´ lanc¸ada quatro vezes e observam-se as faces obtidas.
b) Uma famı´lia deseja ter treˆs filhos, anotando-se o sexo de cada nascimento. Quais
sa˜o as sequ¨eˆncias poss´ıveis?
c) Treˆs candidatos A, B e C disputam posic¸o˜es em uma empresa. Quais sa˜o os
resultados poss´ıveis para os treˆs candidatos?
d) De um grupo de cinco pessoas A, B, C, D, E, sorteiam-se duas, uma apo´s a outra,
com reposic¸a˜o, e anota-se a configurac¸a˜o formada.
e) Mesmo enunciado que (d), sem reposic¸a˜o.
5. Os registros indicam que 34 de 956 pessoas que recentemente visitaram a A´frica
Central contra´ıram mala´ria. Qual e´ a probabilidade de que uma pessoa que recen-
temente visitou a A´frica Central na˜o tenha contra´ıdo mala´ria?
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6. Na figura 1 temos os dados de uma determinada amostra, sendo que, no eixo horizon-
tal, esta˜o representados os pontos me´dios das classes, todas com a mesma amplitude
e, no eixo vertical, as frequeˆncias relativas.
Figura 1: Gra´fico de barras (IBGE, 2010).
Determine:
a) a probabilidade de um valor escolhido estar entre 4,25 e 6,25.
b) a estimativa obtida, por interpolac¸a˜o linear, para o valor que acumula uma
probabilidade de no ma´ximo 10%.
7. Discuta afirmac¸a˜o a seguir. Como as probabilidades sa˜o medidas da incerteza, a
probabilidade que associamos a um evento futuro crescera´ a` medida que recebemos
mais informac¸a˜o a respeito.
8. As probabilidades de um servic¸o de teste do consumidor classificar uma nova ma´quina
fotogra´fica como ruim, razoa´vel, boa, muito boa ou excelente sa˜o 0, 07, 0, 16, 0, 34,
0, 32 e 0, 11. Qual e´ a probabilidade de a nova ma´quina ser classificada como boa,
muito boa ou excelente?
9. Sejam A e B dois eventos, em que P (A) = 0, 2, P (B) = p e P (A ∪ B) = 0, 6.
Determine o valor de p considerando A e B:
a) mutuamente exclusivos;
b) independentes.
10. Se P (A) = 0, 2, P (B) = 0, 4 e, A e B sa˜o mutuamente exclusivos, encontre:
a) P (A) e P (B);
b) P (A ∪B) e P (A ∩B);
c) P (A ∪B) e P (A ∩B).
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11. Se P (A) =
1
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e P (C) =
1
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, enta˜o podemos garantir que os eventos A e C sa˜o
mutuamente exclusivos?
12. Numa sala ha´ 4 alunos do curso de Administrac¸a˜o, 5 alunos do curso de Economia
e 6 alunos do curso de Engenharia. Treˆs alunos sera˜o sorteados, determine a pro-
babilidade:
a) de todos alunos serem apenas do curso de Engenharia;
b) de todos alunos serem do mesmo curso;
c) de os treˆs alunos serem de cursos diferente.
13. Uma urna conte´m 6 bolas azuis, 5 bolas verdes e 7 bolas vermelhas. Treˆs bolas
sera˜o retiradas sem reposic¸a˜o. Determine a probabilidade de:
a) as 3 bolas serem de mesma cor;
b) as 3 bolas serem de cores diferentes;
c) as 3 bolas com a mesma cor, mas com reposic¸a˜o.
14. Um colunista de jornal acredita que as chances sa˜o de 2 para 1 que a taxa de juros
va´ aumentar antes do fim do ano, de 1 para 5 que a taxa permanecera´ a mesma e
de 8 para 3 que aumentara´ ou permanecera´ no mesmo patamar. Sa˜o consistentes
as probabilidades correspondentes?
15. Um comiteˆ e´ formado por treˆs pesquisadores escolhidos dentre quatro estat´ısticos
e treˆs economistas. Qual e´ a probabilidade de na˜o haver nenhum estat´ıstico neste
comiteˆ?
16. Considerando treˆs tipos de sementes I, II e III, sendo respectivamente 45%, 30%
e 25%. Se 0,5% das sementes do tipo I, 0,8% do tipo II e 2% do tipo III na˜o
germinaram.
a) Qual e´ a probabilidade de uma semente germinar?
b) Observando um canteiro verificou-se que as sementes na˜o germinaram, qual e´ a
probabilidade da semente ser do tipo III?
17. Considere uma urna contendo cinco bolas verdes e seis bolas vermelhas. Sa˜o reti-
radas duas bolas da urna, sem reposic¸a˜o. Determine a probabilidade:
a) Bola verde na primeira e na segunda extrac¸a˜o.
b) Bola verde na segunda extrac¸a˜o.
c) Bola vermelha na primeira extrac¸a˜o.
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d) A probabilidade de bola verde na primeira extrac¸a˜o dado que a segunda bola
extra´ıda e´ vermelha.
18. Um grupo de pessoas foi classificado atrave´s do peso e da pressa˜o arterial de acordo
com as proporc¸o˜es da tabela abaixo:
PPPPPPPPPPPPPressa˜o
Peso
Excesso Normal Deficiente Total
Baixa 0,03 0,05 0,05 0,13
Alta 0,10 0,08 0,02 0,20
Normal 0,12 0,40 0,15 0,67
Total 0,25 0,53 0,22 1
a) Qual e´ a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressa˜o
alta?
b) Verifica-se que uma pessoa escolhida, aleatoriamente, tem excesso de peso, qual
e´ a probabilidade de ter tambe´m pressa˜o alta?
c) Uma pessoa foi escolhida e verificou-se que tinha pressa˜o baixa, qual e´ a proba-
bilidade de seu peso ser normal?
19. Para ser contratado por uma determinada empresa o candidato vai passar por cinco
testes, e deve passar em todos para ter a vaga assegurada. Qual e´ probabilidade do
candidato ser contratado? Sabendo que a probabilidade de ser aprovado em cada
teste seja igual ao de ser reprovado.
20. Uma empresa apresentou uma proposta de seguranc¸a. Se a empresa concorrente
apresentar uma proposta, ha´ apenas 30% de chance de sua empresa ganhar a con-
correˆncia. Se o concorrente na˜o apresentar a proposta, ha´ 65% de chance de sua
empresa ganhar a concorreˆncia. Determine a probabilidade:
a) sua empresa ganhar a concorreˆncia;
b) de seu concorrente ter apresentado a proposta, dado que sua empresa ganhou a
concorreˆncia.
21. Sabe-se que 80% dos peˆnaltis marcados a favor do Brasil sa˜o cobrados por jogadores
que na˜o atuam no futebol brasileiro. A probabilidade de um peˆnalti ser convertido
e´ de 30% se o cobrador for de fora do Brasil e de 60% caso contra´rio. Um peˆnalti a
favor do Brasil acabou de ser marcado:
a) Qual a probabilidade do peˆnalti ser cobrado por um jogador de fora do futebol
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brasileiro e ser convertido?
b) Qual a probabilidade do peˆnalti ser convertido?
c) Se o peˆnalti foi convertido, qual e´ probabilidade de ter sido cobrado por um
jogador de fora do Brasil?
22. Uma carta de um baralho com 52 cartas e´ retirada. Determine:
a) a probabilidade de retirar uma carta de copas;
b) a probabilidade de retirar um rei;
c) a probabilidade de ser uma carta vermelha;
d) Sabendo que a carta e´ de copas, qual e´ a probabilidade de ser um rei?
e) Sabendo que a carta e´ de copas, qual e´ a probabilidade de ser uma carta vermelha?
23. Marina quer enviar uma carta a Paula. A probabilidade de que Marina escreva
a carta e´ de 8/10. A probabilidade de que o correio na˜o perca e´ de 9/10. A
probabilidade de que o correio a entregue e´ de 9/10. Dado que Paula na˜o recebeu
a carta, qual e´ a probabilidade condicional de que Marina na˜o a tenha escrito?
24. Em uma entrevista para uma determinada pergunta existem treˆs respostas diferentes
e apenas uma delas e´ correta. Portanto, para cada resposta, um candidato tem
probabilidade 1/3 de escolher a resposta correta se ele esta´ adivinhando e 1 se
ele sabe a resposta. Um candidato sabe 30% das respostas do exame. Se ele deu a
respostacorreta para uma das perguntas, qual e´ a probabilidade de que a adivinhou?
25. As probabilidades de treˆs motoristas serem capazes de guiar ate´ em casa com se-
guranc¸a, depois de beber, sa˜o de 1/3, 1/4 e 1/5, respectivamente. Se decidirem
guiar ate´ em casa, depois de beber numa festa, qual a probabilidade de todos os
treˆs motoristas sofrerem acidentes? Qual a probabilidade de pelo menos um dos
motoristas guiarem ate´ em casa a salvo?
26. Em me´dia, 5% dos produtos vendidos por uma loja sa˜o devolvidos. Qual a proba-
bilidade de que, das quatro pro´ximas unidades vendidas desse produto, duas sejam
devolvidas?
27. Suponha que dois jogadores A e B jogam um par de dados balanceados e que o
primeiro a obter uma soma sete com lanc¸amentos de dois dados ganha o jogo. Se
A comec¸a o jogo, enta˜o qual e´ a probabilidade de B vencer?
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28. Considere um jogo em que os anagramas da palavra CENTRO sera˜o sorteados. Qual
e´ a probabilidade de um anagrama comec¸ando com a letra N e terminando com a
letra O ser sorteado?
29. De acordo com o DENATRAN, as placas de ve´ıculos automotivos devem ter treˆs
letras e 4 algarismos.
a) Quantas placas diferentes podemos formar?
b) Quantas sa˜o as placas poss´ıveis excluindo-se a letra I e o algarismo 1?
c) Qual e´ a probabilidade de um carro, com a placa comec¸ando por uma letra vogal,
ser sorteado pelo DENATRAN?
30. Em uma mala existem dez pares de sapatos, uma pessoa vai retirar da mala quatro
sapatos. Qual e´ a probabilidade de na˜o ser retirado nenhum par?
31. O restante dos exerc´ıcios esta´ no livro texto (ESTATI´STICA BA´SICA) pag. 54, 55,
56, 57, 58. Principalmente os nu´meros: 4.1(a,b,c), 4.2 (a), 4.3, 4.4, 4.5 4.8, 4.10,
4.11, 4.13, 4.16, 4.18, 4.24 4.27, 4.29.
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