Cálculo Numérico Estudo para o Exame

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u v EA ER
10,0010 10,0009 1E-04 9,999E-06
0,0010 0,0009 0,0001 0,1
e^x x 0,5
Função excel = u Série Taylor = v
1,6487213 1,6484375
Iteração a b x f(a) f(b) f(x)
1 0 1 0,5 -1 0,459697694 -0,377582562
2 0,5 1 0,75 -0,377582562 0,459697694 0,018311131
3 0,5 0,75 0,625 -0,377582562 0,018311131 -0,18596312
4 0,625 0,75 0,6875 -0,18596312 0,018311131 -0,085334946
5 0,6875 0,75 0,71875 -0,085334946 0,018311131 -0,033879372
6 0,71875 0,75 0,734375 -0,033879372 0,018311131 -0,007874725
7 0,734375 0,75 0,7421875 -0,007874725 0,018311131 0,005195712
* O CRITÉRIO DE PARADA FOI TER 7 ITERAÇÕES AO MÁXIMO
Iteração a b x f(a) f(b) f(x)
1 -0,80000 -0,90000 -0,85000 0,04933 -0,04343 0,00241
2 -0,85000 -0,90000 -0,87500 0,00241 -0,04343 -0,02064
3 -0,85000 -0,87500 -0,86250 0,00241 -0,02064 -0,00914
4 -0,85000 -0,86250 -0,85625 0,00241 -0,00914 -0,00337
5 -0,85000 -0,85625 -0,85313 0,00241 -0,00337 -0,00048
6 -0,85000 -0,85313 -0,85156 0,00241 -0,00048 0,00097
7 -0,85156 -0,85313 -0,85234 0,00097 -0,00048 0,00024
8 -0,85234 -0,85313 -0,85273 0,00024 -0,00048 -0,00012
9 -0,85230 -0,85273 -0,85252 0,00028 -0,00012 0,00008
10 -0,85252 -0,85273 -0,85263 0,00008 -0,00012 -0,00002
11 -0,85252 -0,85263 -0,85257 0,00008 -0,00002 0,00003
12 -0,85257 -0,85263 -0,85260 0,00003 -0,00002 0,00001
13 -0,85260 -0,85263 -0,85261 0,00001 -0,00002 -0,00001
Método da Dicotomia/Bissecção
Método da Dicotomia/Bissecção 2 (f(x)=e^x+(1/2)*x)
ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS
Série de Taylor da função exponencial:
Const. De Euler
EA = |u-v|
Erro Absoluto
0,000283771
x f(x)
-0,7 0,146585304
-0,8 0,049328964
-0,9 -0,04343034
1 3,218281828
* A Função que tem sinal diferente permanece com o mesmo intervalo!
F(A) e F(B) com sinais diferentes, montaremos uma tabela que calcular os valore de F(X):
* Aqui descobrimos que o intervalo A é -0,8 e o B é -0,9
2º Se encontra a Média do intervalo A e B: X = (A + B)/2 = -0,85
3º Fazemos a verificação entre F(A), F(B) e F(X) e verificamos qual deles tem o mesmo sinal de F(X)
Se tiver o mesmo sinal, o intervalo será trocado pelo valor de X, o que tiver sinal diferente, fica.
Ex: A = -0,8 ; B = -0,9; X = -0,85 ... F(A) = 0,049328964 ; F(B) = -0,04343034; F(X) = 0,002414932
1º Determinamos o intervalo A e B que contenha a raiz. É necessário encontrarmos
GAUSS-SIDEL DE DUAS VARIAVEIS
* A Função que tem sinal igual pega o mesmo intervalo de X!
Em nosso caso, A = -0,85; B = -0,9 ... O intevalo A recebe o valor do X.
Exercícios:
1) Ache, pelo método da dicotomia, a raiz da função f(x) = x3 – x2 – 1 com a precisão de quatro casas 
decimais. 
2 - Ache pelo método da dicotomia, a raiz da função ) 2 1 ( ) ( − = − x f x e x com precisão de 4 casas decimais. 
Sabe-se que a raiz se encontra no intervalo [0, 2]. 
3 – a função f(x) = x2 + 1,95x + 2,09 tem uma raiz positiva e uma negativa. Determine o valor destas raízes.
iteração Xn Xn+1
1 1 0,750363868
2 0,750363868 0,739112891
3 0,739112891 0,739085133
4 0,739085133 0,739085133
* OBJETIVO: Encontrar a raiz da função aproximada ou exata de maneira a fornecer um ponto próximo a esta raiz
* Procure por Definição de Derivadas ou Imprima a Tabela de Derivadas
Nosso Caso
xn 
xn+1
Neste caso
EXEMPLO 1
EXEMPLO 2
3º Verificar os valores de L0, L1 e L2, em nosso caso:
EXEMPLO 3 Qual é o polinômio de menor grau possível que passa pelos pontos: (1,0), (2,1) e (3,4)?
Resposta: y = x^2 - 2x + 1
Método de Newton-Raphson: F(X) = X - COS(X)
É algum valor inicial que está próximo da raiz e depois 
F(X) = X - COS(X)
Polinômio Interpolador de Lagrange: 
É o calculo: Xn-(F(Xn)/F'(Xn))
Nossa Função ficaria: Xn - ((Xn-COS(Xn))/(1+SEN(Xn)))
modificamos pelo valor encontrado em Xn+1
* Aqui observamos que o Xn
 convergiu, por se repetir
1º Pegar os pontos e a sua quantidade. Ex: (x0, y0) e (x1, y1)
* OBJETIVO: Encontrar um polinômio de menor grau possível que passa pelos pontos que foram dados
3º Verificar os valores de L0 e L1, em nosso caso: L0 = (x - x1)/(x0 - x1) e L1 = (x - x0)/(x1 - x0)
1º Pegar os pontos e a sua quantidade. Ex: (x0, y0), (x1, y1) e (x2, y2)
2º Verificar o valor que vale o P2(x) = y0 L0 + y1 L1 + y2 L2.
L0 = (x - x1)/(x0 - x1) X (x - x2)/(x0 - x2) , L1 = (x - x0)/(x1 - x0) X (x - x2)/(x1 - x2) e L2 = (x - x0)/(x2 - x0) X (x - x1)/(x2 - x1)
2º Verificar o valor que vale o P1(x) = y0 L0 + y1 L1 * É "P1" pois o polinômio terá no máximo grau 1
A tabela obtida é: