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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância AP2- CÁLCULO II-2017/2 GABARITO _______________________________________________________________________________________ 1a Questão (3,0 pontos) Seja R a região do plano compreendida entre os gráficos das funções ( )f x x e ( )g x x e as retas 0x e 2x . Calcule o volume do sólido S obtido pela rotação da região R em torno do eixo Oy . Solução Figura 1 Figura 2 Observe na Figura 1 que a região R dada é a união de duas regiões 1R e 2R . Assim o sólido S gerado pela rotação de R em torno do eixo Oy é formado pela união dos sólidos 1S e 2S gerados pela rotação de 1R e 2R (resp.) em torno do eixo Oy . Assim V (S )= V ( 1S ) + V ( 2S ). Para obter o volume de 1S , usaremos o método das cascas cilíndricas. Temos então a fórmula 1 1 1 1 0 ( ) ( )( ) 2 r x h x dxV S Na Figura 2, vemos que a função 1 ( )r x x e 1( ) ( ) ( ) x xh x g x f x para [0,1]x , note que 1 ( ) 0r x , e 1( ) 0h x para [0,1]x . Assim, o volume neste caso é 1 1 3/2 2 1 0 0 ( ) 2 2x x x dx x x dxV S 1 5/2 3 0 2 2 ( ) 5 3 x x 2 1 2 2 ( ) 5 3 15 unidades de volume. Para obter o volume de 2S , usaremos o método das cascas cilíndricas. Temos então a fórmula 2 2 2 2 1 ( ) ( )( ) 2 r x h x dxV S Cálculo II Gabarito da AP2 2017/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P ág in a2 Na Figura 2 vemos que a função 2 ( )r x x e 2( ) ( ) ( ) x xh x f x g x para [1,2]x , note que 2 ( ) 0r x , e 2( ) 0h x para [1,2]x . Assim, o volume neste caso é 2 2 2 3/2 2 1 1 ( ) 2 2x x x dx x x dxV S 2 3 5/2 1 2 2 3 5 x x 5/23 2 22 1 2 2 2 2 2 40 24 2 5 6 41 24 2 3 5 3 5 15 15 unidades de volume. Assim V (S )= 1( )V S + 2( )V S 4 24 2) 4 2) 15 5 2 (42 (7 unidades de volume. _______________________________________________________________________________________ 2a Questão (1,5 ponto) Usando o método de frações parciais calcule 2( 1)( 1) dx x x . Solução Observe que o integrando é uma função racional própria. No denominador ( 1)x é um fator linear e 2( 1)x é o fator quadrático irredutível, então a decomposição em frações parciais é 2 2 1 ( 1)( 1) ( 1) 1 A Bx C x x x x (*) Para determinar os valores de ,A B e C , multiplicamos ambos os lados da expressão (*) pelo denominador 2( 1)( 1)x x obtendo 21 ( 1) ( )( 1)A x Bx C x 2 21 Ax A Bx Bx Cx C 21 ( ) ( ) ( )A B x B C x A C Igualando os coeficientes, temos 0 (1) 0 (2) 1 (3) A B B C A C Subtraindo (3) de (2) obtemos de 1B A e somando esta última equação com (1) obtemos 1 2A e 1 2B substituindo este último valor em (2) obtemos 1 2C . Substituindo em (*) os valores de ,A B e C achados, dá: 2 2 1 1 1 ( 1)( 1) 2( 1) 2( 1) x x x x x , logo 2 2 ( 1) ( 1)( 1) 2( 1) 2( 1) dx dx x dx x x x x 2 2 1 1 2 1 2 ( 1) 4 ( 1) 2 ( 1) dx x dx dx x x x 21 1 1ln 1 ln 1 arctg 2 4 2 x x x C . Cálculo II Gabarito da AP2 2017/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P ág in a3 1 2 1 4 2 1 1 ln arctg , 21 x x C x onde neste caso C é a constante de integração . 3a Questão (1,5 ponto) Analise a convergência ou divergência da integral imprópria 2( ) 1 2 x dx utilizando algum dos critérios apresentados na aula. Solução Observe-se que 2( ) 1 2 x dx é uma integral imprópria sobre o intervalo não limitado [1, ). Lembre que 21x x x . Note-se que neste caso podemos afirmar que 2 2 ( ) ( ) 1 1 2 2 0 22 x x xx para [1, ). Isto é 0 ( ) ( )f x g x , [1, )x onde 2( ) 1 ( ) 2 x f x e 1 ( ) 2x g x . Por cálculo direto sabemos que: 11 1 2 1 1 1 lim lim lim ln 2 2 ln 2 2ln 2 2ln 2 1 2 2 t x x x tt t t t dx dx , pois 1 lim 0 2 ln 2tt Ou seja, 1 1 1 ( ) 2x g x dx dx converge. Do critério de comparação, com ( )f x e ( )g x acima definidas, segue portanto 2( ) 1 1 ( ) 2 xf x dx dx também converge. ____________________________________________________________________________________ 4ª Questão (2,0 pontos) No problema de valor inicial 2 2( 1) 1, dy x x dx (0) 1y . Determine y em função de x . Solução Da equação diferencial dada temos que 2 2 1 , ( 1) dy x dx x (0) 1y , então 2 1 , 1 dy dx x 2 C, 1 dx y x Usaremos o método de substituição trigonométrica para calcular esta última integral Cálculo II Gabarito da AP2 2017/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P ág in a4 Figura 3 Do triângulo retângulo mostrado na Figura 3, temos que: 2 2 tg sec , sec 1 x dx d x 2 2 2 sec , sec ln sec tg ln 1 sec1 dx d d C x x C x Logo 2ln 1 .y x x C Para achar a solução do problema inicial dado, já que (0) 1y então 2 0 1 (0) ln 1 1 ln 1 1.y C C y x x _______________________________________________________________________________________ 5 ª Questão (2,0 pontos) Ache a solução particular da equação diferencial 2 ln ,x y y x x tal que ( ) 2 .y e e Solução Note que 0x 1 2ln (*)y y x x Esta última equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão, onde 1 ( )p x x e ( ) 2lnq x x sendo p e q funções contínuas para 0x . Podemos utilizar a fórmula para a solução geral ou podemos trabalhar por etapas, onde não é necessário decorar a fórmula. Note que, como 0x então 11( ) ln | | ln lnp x dx dx x x x x . Assim, o fator integrante é 1( ) ln( ) 1( ) p x dx xe xx e . Logo multiplicando a equação diferencial padrão (*), pelo fator ( )x , resulta: 2 1 1 1 ln 2 d y dx x x y y x x x 1 2ln 1 1 2 ln ( ) u du d x y y x dx C dx x x x x Cálculo II Gabarito da AP2 2017/2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ P ág in a5 21 (ln ) 2 2 x y C x 2(ln )y x x Cx , com 0x , é a solução geral da equação diferencial linear dada, onde C é uma constante arbitrária. Para achar a solução particular tal que ( ) 2y e e temos que 2 1 2 ( ) (ln ) 1e y e e e Ce Ce e C Logo 2 2(ln) (ln ) 1y x x x x x é a solução pedida.
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