calculo 3 g2

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CÁLCULO III - EXERCÍCIOS DE REVISÃO – CAPÍTULOS 6 a 10 
CAPÍTULO 6: Questões: 1 a 10, 22, 25, 26, 30 e 31. 
CAPÍTULO 7: Questões: 17 a 21, 23, 28 e 33. 
CAPÍTULO 8: Questões: 11 a 16, 24, 27, 29 e 32. 
CAPÍTULO 9: Questões: 34, 35, 36, 39, 41 e 43. 
CAPÍTULO 10: Questões: 38, 40, 42 e 44. 
1. Dadas as funções, determine 
dz
 para cada uma: 
a) 
234 yxz 
 b) 
yxz 2
 c) 
)cos(xyz 
 d) 
Rhz 2
 e) 
hRz 2
3
1

 
 
2. Suponha que as dimensões de uma caixa retangular variem de 10 cm, 7 cm e 5 cm, para 10,02 cm, 6,98 cm e 5,01cm, respectivamente. 
a) Calcule, através de diferenciais, uma aproximação da variação do volume da caixa. 
b) Calcule a variação exata do volume da caixa. 
c) Compare os resultados encontrados em a e b. 
 
3. As medidas do raio e da altura de um cilindro reto são 6 cm e 12 cm, respectivamente, com erro possível de medida de 

0,001. Use 
diferenciais para aproximar o erro máximo no cálculo do volume do cilindro. 
 
4. O raio de um cilindro circular reto é medido com um erro de, no máximo, 1,5%, e a altura é medida com um erro de, no máximo, 2%. 
Aproxime o erro percentual máximo possível no volume V calculado dessas medidas. 
 
5. Um cateto de um triângulo retângulo cresce de 3 cm para 3,2 cm, enquanto que o outro cateto decresce de 4 cm para 3,96 cm. Use uma 
diferencial par aproximar a variação no comprimento da hipotenusa. 
 
6. O comprimento e a largura de um retângulo são medidos com erros de, no máximo, 2% e 6%, respectivamente. Use diferenciais para 
aproximar o erro percentual máximo na área calculada. 
 
7. Use a regra da cadeia para determinar 
dtdz /
 em cada caso abaixo; 
a) 
yxz 22
, 
3tx 
 e 
2ty 
 b) 
yxyz 
, 
tx cos
 e 
senty 
, para 
2/t
. c) 
)(3)cos(2 ysenxyz 
, 
tx 
 e 
ty /1
 
2 
 
8. A que taxa está variando a área de um retângulo se seu comprimento é de 10 pés e está crescendo a 2 pé/s, enquanto que sua largura é de 7 pés 
e está crescendo a 1 pé/s? 
 
9. Duas rodovias intersectam em um ângulo reto. O carro A, movendo-se sobre uma das rodovias, aproxima-se da intersecção a 25 km/h, e o 
carro B, movendo-se sobre a outra rodovia, aproxima-se da intersecção a 30 km/h. Com que taxa está variando a distância entre os carros 
quando A está a 0,3 km da intersecção e B está a 0,4 km da intersecção? 
 
10. A resistência total 
R
, de dois resistores 
1R
 e 
2R
 ligados em paralelo, é dada por 
21
111
RRR

. Aproxime a variação em 
R
 quando 
1R
aumenta de 10 para 10,5 ohms e 
2R
diminui de 15 para 13 ohms. 
 
11. Determine a derivada direcional de 
),( yxf
, na direção do vetor 
v
, no ponto solicitado: 
a) 
242),( yxyxf 
, 
jiv 43 
, no ponto P(2,3). 
b) 
xyxyxf 2),( 3 
, 
jiv 32 
, no ponto P(-2,1). 
c) 
)(),( xysenyxf 
, 
)4 ,3(v
, no ponto P(1,2). 
 
12. Seja a função
23),( yxyxf 
 que determina a temperatura (em graus Celsius) em (x,y) (em cm). 
a) Calcule a derivada direcional de 
f
 no ponto 
)2 ,1(P
, na direção do vetor 
jiv 34 
. 
b) Explique o significado do resultado encontrado no item anterior. 
 
13. Suponhamos que um sistema coordenado 
xyz
 esteja localizado no espaço, de modo que a temperatura 
T
no ponto 
) , ,( zyx
 seja dado pela 
fórmula 
)/(100 222 zyxT 
. 
a) Calcule a taxa de variação de 
T
 em relação à distância no ponto 
)2 ,3 ,1( P
e na direção do vetor 
kjiv 
. 
b) Em que direção, a partir de 
P
, 
T
 aumenta mais rapidamente? Qual a taxa máxima de variação de 
T
 em 
P
. 
 
14. Suponhamos que você esteja subindo um morro cujo formato á dado pela equação 
22 02,001,01000),( yxyxfz 
 e você esteja num 
ponto de coordenadas (60, 100, 764). Determine a direção que você deve seguir inicialmente de modo a chegar ao topo do morro. 
3 
 
 
15. Uma plataforma retangular é representada no plano xy por 
40  x
 e 
60  y
. A temperatura em seus pontos é dada por 
yxyxT  2),(
. 
Um indivíduo encontra-se no ponto P(2,4) e necessita esquentar-se o mais rápido possível. Determine a trajetória (obter a equação) que o 
indivíduo deve seguir. 
 
16. Um alpinista está subindo um morro cujo formato é dado pela função 
22 01,0005,01000),( yxyxfz 
, onde 
zyx e ,
 são dados em 
metros. Num determinado instante o alpinista encontra-se no ponto P(60, 40, 966). O eixo 
x
 positivo aponta para leste e o eixo 
y
 positivo 
aponta para norte. 
a) Se o alpinista se deslocar para o leste, estará subindo ou descendo a montanha? A que taxa? O que significa esta taxa? 
b) Se o alpinista se deslocar para o sul, estará subindo ou descendo a montanha? A que taxa? O que significa esta taxa? 
c) Se o alpinista se deslocar para o nordeste, estará subindo ou descendo a montanha? A que taxa? O que significa esta taxa? 
d) Se o alpinista se deslocar para o noroeste, estará subindo ou descendo a montanha? A que taxa? O que significa esta taxa? 
e) Em que direção ele estará andando numa região plana? 
 
17. Um tanque retangular deve ter 0,5m3 de capacidade. O custo do material das faces laterais é de R$18,00 o metro quadrado, do fundo é 
R$25,00 o metro quadrado e a tampa sozinha é R$30,00. Calcule as dimensões mais econômicas do tanque. 
 
18. Determine, se existirem, os pontos de máximo, mínimo e de sela das funções a seguir: 
a) 
22 4429),( yxyxyxf 
 
b) 
1462),( 22  yxyxyxf
 
c) 
4),( 222  yxyxyxf
 
d) 
22267),( yxyxyxf 
 
 
19. Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m2 de papelão. Determine o volume máximo de tal caixa. 
 
20. Deve-se construir um depósito retangular sem tampa com volume de 12 m³. O custo por metro quadrado do material a ser usado é de $ 400,00 
para o fundo, $ 300,00 para dois dos lados opostos, e $ 200,00 para os lados opostos restantes. Determine as dimensões do depósito que 
minimiza o custo. 
 
4 
 
21. O lucro obtido na produção de 
x
 unidades de um produto A e 
y
unidades de um produto B é aproximado pelo modelo 
000.10)).(001,0(108),( 22  yxyxyxyxL
. Calcule o nível de produção que corresponde ao lucro máximo. 
 
22. A que taxa está variando a área de um triângulo retângulo no instante em que um dos catetos mede 30 cm e está crescendo a 0,2 cm/s e o outro 
cateto mede 50 cm e está decrescendo a 0,3 cm/s. 
a) 9,5 cm²/s b) 4,5 cm²/s c) 0,5 cm²/s d) – 0,5 cm²/s e) – 9,5 cm²/s 
 
23. Qual dos pontos a seguir é um ponto de sela da função 
33 3),( yxyxyxf 
? 
a) (1, -1, -1) b) (0, 0, -1) c) (1, -1, 0) d) (0, 0, 0) e) (1, 0, 0) 
 
24. Suponhamos que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação 
22 2,001,02000 yxz 
, onde 
zyx e ,
 são dados em 
metros e você esteja num ponto de coordenadas P(50, 80, 695). O eixo 
x
 positivo aponta para leste e o eixo 
y
 positivo aponta para o norte. 
Se você andar exatamente para o norte, começará a: 
a) Descer a uma taxa de 33m/m. b) Subir a uma taxa de 1 m/m. c) Descer a uma taxa de 1 m/m. 
d) Subir a uma taxa de 32 m/m. e) Descer a uma taxa de 32 m/m. 
 
25. Os catetos de um triângulo retângulo têm como medidas 6 cm e 8 cm, respectivamente, com erro possível de 0,1 cm para cada medida. 
Usando diferencial para calcular o comprimento da hipotenusa deste triângulo encontra-seum erro máximo aproximado de: 
a) 0,014 cm b) 0,01 cm c) 0,20 cm d) 0,10 cm e) 0,14 cm 
 
26. As dimensões de uma caixa retangular estão sendo aumentadas com as seguintes taxas: comprimento – 3 m/min, largura – 2 m/min e altura – 
1/2 m/min. 
Qual é a taxa de variação do volume da caixa quando o comprimento, a largura e a altura medem, respectivamente, 10 m, 6 m e 4 m? 
a) 182 m³/min b) 132 m³/min c) 158 m³/min d) 147 m³/min e) 197 m³/min 
 
5 
 
27. A temperatura em qualquer ponto 
) ,( yx
 de uma lâmina retangular situada no plano xy é determinada por 
22) ,( yxyxT 
. A taxa de 
variação da temperatura no ponto (3, 4) na direção fazendo um ângulo de 

3
1
radianos com o sentido positivo do eixo x vale: 
a) 9,24 b) 2,73 c) 9,93 d) 1,73 e) 14 
 
28. Uma caixa retangular com um volume de 16 pés³ é feita de dois tipos de materiais. O topo e a base são feitos de um material que custa 10 
centavos por pé quadrado e os lados de um material que custa 5 centavos por pé quadrado. As dimensões da caixa que minimizam o custo são: 
a) 3X3X2 pés b) 2X2X4 pés c) 2X2X2 pés d) 3X3X3 pés e) 2X3X4 pés 
 
29. Uma equação da superfície de uma montanha é 
22 231200 yxz 
, onde a distância é medida em metros. Um alpinista está no ponto 
correspondente a (–10, 5, 850). A direção que tem maior declividade é dada pelo vetor? 
a) 
ji
10
103
10
10

 b) 
ji
10
103
10
10

 c) 
ji
10
10
10
103

 d) 
ji
10
10
10
103

 e) 
ji 2060 
 
 
30. Suponhamos que as dimensões de uma caixa retangular variam de 9 cm, 6 cm e 4 cm, para 9,02 cm, 5,97 cm e 4,01 cm, respectivamente. 
Usando diferenciais, podemos dizer que uma aproximação da variação do volume desta caixa é: 
a) 0,06 cm³ b) – 0,06 cm³ c) – 2,10 cm³ d) 2,10 cm³ e) 1,80 cm³ 
 
 
31. Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo instante, 
V
 é 80 volts e aumenta à taxa de 5 
volts/min, enquanto 
R
 é 40 ohms e decresce à razão de 2 ohms/min. Usando a lei de Ohm, 
R
V
I 
, e a regra da cadeia, a taxa de variação à 
qual a corrente 
I
(em ampères) varia é: 
a) – 0,225 ampères/min b) – 0,025 ampères/min c) 0,225 ampères/min d) 0,025 ampères/min e) 0,125 
ampères/min 
6 
 
32. Suponhamos que um sistema coordenado 
xyz
 esteja localizado no espaço, de modo que a temperatura 
T
 no ponto 
),,( zyxP
 seja dado pela 
função 
222
100
zyx
T


. Calcule a que taxa está variando a temperatura, em relação à distância, no ponto 
)1 ,3- ,2(P
, na direção do vetor 
jiV 125 
. 
a) – 2,04 b) 3,61 c) 2,04 d) – 3,61 e) 26,53 
 
33. Um tanque retangular deve ter 3 m³ de capacidade. O custo do material das faces laterais é de R$ 20,00 o metro quadrado, do fundo é de 
R$ 30,00 o metro quadrado e a tampa sozinha custa R$ 40,00. As dimensões mais econômicas deste tanque são: 
 a) 4,000 m 

 4,000 m 

 0,188 m b) 1,191 m 

 1,191 m 

 1,191 m c) 1,587 m 

 1,587 m 

 1,587 m 
d) 1,191 m 

 1,191 m 

 1,587 m e) 1,587 m 

 1,587 m 

 1,191 m 
 
34. Calcule as integrais duplas: 
a) 
 
3
0
2
1
2 ydxdyx
 c) 
   
2
0
3
1
22 4 dxdyyx
 e) 
 
1
0 0
5
y
xdxdye
 g) 
 
1
0 0
2
dxdye
y
y
x 
b) 
 
2
1
3
0
2 ydydxx
 d) 
 


 
3
2
2
0 22
1
dydx
yx
 f) 






  dxdyy
x
sen
y
0 0
2 h) 
 
1
0 0
2
dydxe
y
y
 
 
35. Calcule 
 
R
dAyx )2(
, onde R é a região compreendida pelas parábolas 
22xy 
 e 
.1 2xy  
 
36. Calcule a área da região delimitada pelas curvas 
2xy 
 e 
xy 2
, usando integral dupla. Fazer o gráfico da região. 
 
37. Calcule a área da região delimitada pelos gráficos de 
2162 xy 
 e 
42  yx
, usando integral dupla. Fazer o gráfico da região. 
 
7 
 
38. Calcule as integrais triplas: 
a) 
   
4
3
1
1
2
0
32 )( dzdxdyyzxy
 b) 
   
1
0
2
1
3
1
22 )56( dzdxdyxyzx
 c) 
  


1
0
2
1
.
x
x
zx
z
dydzdxx
 d) 
  



2
1 0
2
.
z zx
zx
dydxdzz
 
 e) 
  


2
1 1 0
2
2
.2
x yx
dzdydxyx
 f) 
   
3
2
3
0 1
).2(
y yz
dxdzdyzyx
 
39. Calculando a integral 
 
R
dAx )3(
 na região limitada pelos gráficos das funções 
xy 
 e 
xy 
encontramos: 
a) 13/15 b) 23/30 c) 17/30 d) ½ e) 67/30 
40. Calculando a integral tripla 
  


1
0
2
1 1
...
z
z
yx
y
dzdydxy
, encontramos: 
a) 
2
x
 b) 
2
1x
 c) 
2
1x
 d) 
2
13 x
 e)
2
12 x
 
41. O valor da integral iterada 
 
2
1
2
0
3.
x
dydxxy
 é: 
a) 24 b) 28 c) 36 d) 42 e) 48 
 
42. Calculando a integral tripla 
  
1
0
2
1
.
x
x
zx
z
dydzdxz
, encontramos: 
a) -7/24 b) 7/24 c) -5/24 d) 5/24 e) 1/24 
 
43. O valor de 
  
4
0
2
1
2 )3( dxdyyxxy
: 
a) 22 b) – 22 c) 44 d) – 44 e) 54 
44. Calculando a integral tripla 
  


3
0 1
2
.
z zx
zx
dydxdzz
, encontramos: 
a) – 79,2 b) 79,2 c) – 53,4 d) 53,4 e) 68,2 
 
8 
 
RESPOSTAS 
1. a) 
ydyxdxyxdz 322 812 
 
b) 
dyxxydxdz 22 
 
c) 
)).(( xdyydxxysendz 
 
d) 
RdhhdRdz  22  
e) 
dhRRhdRdz 2
3
1
3
2  
 
 
2. a) 
3 4,0 cmdV 
 
b) 
3 3974,0 cmV 
 
c) São aproximados 
 
3. 
3 565,0 cmdV 
 4. 5% 5. 0,088 cm 6. 8% 
 
7. a) 
716t
dt
dz

 
 b) 
2
1

dt
dz
 
 c) 
)/1cos(
3
2
t
tdt
dz

 
 
8. 24 pés²/s 9. –39 km/h 10. –0,14 ohm 
 
11. a) 192 
b) 
44,4
 
c) 2.cos(2) 
 
9 
 
12. a) 12 º/cm 
b) A temperatura aumenta à razão de 12 ºC a cada cm que o ponto se move na direção de 
v
. 
 
13. a) 
4,2
 
 b) T aumenta mais rapidamente na direção do gradiente: 
)2,3,1( 
. 
 A taxa máxima de variação de T é o módulo do gradiente: 
8,3 
. 
14. Na direção do gradiente: 
)4,2,1( 
 
 
15. 
)4 ,22()(  ttts
 
 
16. a) Descendo a montanha a uma taxa de -0,6 m/m. Significa que a cada 1 m que ele se desloca 
na horizontal, desce verticalmente 0,6 m. 
b) Subindo a montanha a uma taxa de 0,8 m/m. Significa que a cada 1 m que ele se desloca 
na horizontal, sobe verticalmente 0,8 m. 
c) Descendo a montanha a uma taxa de -0,99 m/m. Significa que a cada 1 m que ele se desloca 
na horizontal, desce verticalmente 0,99 m. 
d) Descendo a montanha a uma taxa de -0,14 m/m. Significa que a cada 1 m que ele se desloca na horizontal, sobe desce0,14 m/m. 
e) Na direção do vetor 
u
, tal que 






 a
a
u ,
34
, com 
a
 um número real diferente de zero. 
 
17. 0,896m X 0,896m X 0,623m 
 
18. a) Ponto máximo em (-1, 1/2, 11) c) Ponto mínimo em (0, 0, 4), pontos de sela em 
)1,2( 
 e 
)1,2( 
 
 b) Ponto mínimo em (1, 3, 4) d) Ponto de mínimo em (3, 1, -3) 
 
10 
 
19. 4 m³ 
20. 2m X 3m X 2m 
21. x = 2.000 unidades ; y = 4.000 unidades 
22. c 23. d 24. e 25. e 26. a 27. c 28. b 29. d 30. b 31. c 32. c 33. E 
34. a) 
2
21
 b) 
2
21
 c) 
3
116
 d) 
)8/9ln(
2
1
 
e) 
25
65 e
 f) 
2
2
2

 g) 
2
1
 h) 
)1(
2
1
e
 
 
35. 
15
32
 36. 
..
3
4
au
 37. 
..
12
343
au
 38. a) 28 b) 77 c) -1/12 d) -62/5 e) 513/8 f) 7561/5 
 
39. c 40. b 41. d 42. c 43. d 44. a