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1 CÁLCULO III - EXERCÍCIOS DE REVISÃO – CAPÍTULOS 6 a 10 CAPÍTULO 6: Questões: 1 a 10, 22, 25, 26, 30 e 31. CAPÍTULO 7: Questões: 17 a 21, 23, 28 e 33. CAPÍTULO 8: Questões: 11 a 16, 24, 27, 29 e 32. CAPÍTULO 9: Questões: 34, 35, 36, 39, 41 e 43. CAPÍTULO 10: Questões: 38, 40, 42 e 44. 1. Dadas as funções, determine dz para cada uma: a) 234 yxz b) yxz 2 c) )cos(xyz d) Rhz 2 e) hRz 2 3 1 2. Suponha que as dimensões de uma caixa retangular variem de 10 cm, 7 cm e 5 cm, para 10,02 cm, 6,98 cm e 5,01cm, respectivamente. a) Calcule, através de diferenciais, uma aproximação da variação do volume da caixa. b) Calcule a variação exata do volume da caixa. c) Compare os resultados encontrados em a e b. 3. As medidas do raio e da altura de um cilindro reto são 6 cm e 12 cm, respectivamente, com erro possível de medida de 0,001. Use diferenciais para aproximar o erro máximo no cálculo do volume do cilindro. 4. O raio de um cilindro circular reto é medido com um erro de, no máximo, 1,5%, e a altura é medida com um erro de, no máximo, 2%. Aproxime o erro percentual máximo possível no volume V calculado dessas medidas. 5. Um cateto de um triângulo retângulo cresce de 3 cm para 3,2 cm, enquanto que o outro cateto decresce de 4 cm para 3,96 cm. Use uma diferencial par aproximar a variação no comprimento da hipotenusa. 6. O comprimento e a largura de um retângulo são medidos com erros de, no máximo, 2% e 6%, respectivamente. Use diferenciais para aproximar o erro percentual máximo na área calculada. 7. Use a regra da cadeia para determinar dtdz / em cada caso abaixo; a) yxz 22 , 3tx e 2ty b) yxyz , tx cos e senty , para 2/t . c) )(3)cos(2 ysenxyz , tx e ty /1 2 8. A que taxa está variando a área de um retângulo se seu comprimento é de 10 pés e está crescendo a 2 pé/s, enquanto que sua largura é de 7 pés e está crescendo a 1 pé/s? 9. Duas rodovias intersectam em um ângulo reto. O carro A, movendo-se sobre uma das rodovias, aproxima-se da intersecção a 25 km/h, e o carro B, movendo-se sobre a outra rodovia, aproxima-se da intersecção a 30 km/h. Com que taxa está variando a distância entre os carros quando A está a 0,3 km da intersecção e B está a 0,4 km da intersecção? 10. A resistência total R , de dois resistores 1R e 2R ligados em paralelo, é dada por 21 111 RRR . Aproxime a variação em R quando 1R aumenta de 10 para 10,5 ohms e 2R diminui de 15 para 13 ohms. 11. Determine a derivada direcional de ),( yxf , na direção do vetor v , no ponto solicitado: a) 242),( yxyxf , jiv 43 , no ponto P(2,3). b) xyxyxf 2),( 3 , jiv 32 , no ponto P(-2,1). c) )(),( xysenyxf , )4 ,3(v , no ponto P(1,2). 12. Seja a função 23),( yxyxf que determina a temperatura (em graus Celsius) em (x,y) (em cm). a) Calcule a derivada direcional de f no ponto )2 ,1(P , na direção do vetor jiv 34 . b) Explique o significado do resultado encontrado no item anterior. 13. Suponhamos que um sistema coordenado xyz esteja localizado no espaço, de modo que a temperatura T no ponto ) , ,( zyx seja dado pela fórmula )/(100 222 zyxT . a) Calcule a taxa de variação de T em relação à distância no ponto )2 ,3 ,1( P e na direção do vetor kjiv . b) Em que direção, a partir de P , T aumenta mais rapidamente? Qual a taxa máxima de variação de T em P . 14. Suponhamos que você esteja subindo um morro cujo formato á dado pela equação 22 02,001,01000),( yxyxfz e você esteja num ponto de coordenadas (60, 100, 764). Determine a direção que você deve seguir inicialmente de modo a chegar ao topo do morro. 3 15. Uma plataforma retangular é representada no plano xy por 40 x e 60 y . A temperatura em seus pontos é dada por yxyxT 2),( . Um indivíduo encontra-se no ponto P(2,4) e necessita esquentar-se o mais rápido possível. Determine a trajetória (obter a equação) que o indivíduo deve seguir. 16. Um alpinista está subindo um morro cujo formato é dado pela função 22 01,0005,01000),( yxyxfz , onde zyx e , são dados em metros. Num determinado instante o alpinista encontra-se no ponto P(60, 40, 966). O eixo x positivo aponta para leste e o eixo y positivo aponta para norte. a) Se o alpinista se deslocar para o leste, estará subindo ou descendo a montanha? A que taxa? O que significa esta taxa? b) Se o alpinista se deslocar para o sul, estará subindo ou descendo a montanha? A que taxa? O que significa esta taxa? c) Se o alpinista se deslocar para o nordeste, estará subindo ou descendo a montanha? A que taxa? O que significa esta taxa? d) Se o alpinista se deslocar para o noroeste, estará subindo ou descendo a montanha? A que taxa? O que significa esta taxa? e) Em que direção ele estará andando numa região plana? 17. Um tanque retangular deve ter 0,5m3 de capacidade. O custo do material das faces laterais é de R$18,00 o metro quadrado, do fundo é R$25,00 o metro quadrado e a tampa sozinha é R$30,00. Calcule as dimensões mais econômicas do tanque. 18. Determine, se existirem, os pontos de máximo, mínimo e de sela das funções a seguir: a) 22 4429),( yxyxyxf b) 1462),( 22 yxyxyxf c) 4),( 222 yxyxyxf d) 22267),( yxyxyxf 19. Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m2 de papelão. Determine o volume máximo de tal caixa. 20. Deve-se construir um depósito retangular sem tampa com volume de 12 m³. O custo por metro quadrado do material a ser usado é de $ 400,00 para o fundo, $ 300,00 para dois dos lados opostos, e $ 200,00 para os lados opostos restantes. Determine as dimensões do depósito que minimiza o custo. 4 21. O lucro obtido na produção de x unidades de um produto A e y unidades de um produto B é aproximado pelo modelo 000.10)).(001,0(108),( 22 yxyxyxyxL . Calcule o nível de produção que corresponde ao lucro máximo. 22. A que taxa está variando a área de um triângulo retângulo no instante em que um dos catetos mede 30 cm e está crescendo a 0,2 cm/s e o outro cateto mede 50 cm e está decrescendo a 0,3 cm/s. a) 9,5 cm²/s b) 4,5 cm²/s c) 0,5 cm²/s d) – 0,5 cm²/s e) – 9,5 cm²/s 23. Qual dos pontos a seguir é um ponto de sela da função 33 3),( yxyxyxf ? a) (1, -1, -1) b) (0, 0, -1) c) (1, -1, 0) d) (0, 0, 0) e) (1, 0, 0) 24. Suponhamos que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação 22 2,001,02000 yxz , onde zyx e , são dados em metros e você esteja num ponto de coordenadas P(50, 80, 695). O eixo x positivo aponta para leste e o eixo y positivo aponta para o norte. Se você andar exatamente para o norte, começará a: a) Descer a uma taxa de 33m/m. b) Subir a uma taxa de 1 m/m. c) Descer a uma taxa de 1 m/m. d) Subir a uma taxa de 32 m/m. e) Descer a uma taxa de 32 m/m. 25. Os catetos de um triângulo retângulo têm como medidas 6 cm e 8 cm, respectivamente, com erro possível de 0,1 cm para cada medida. Usando diferencial para calcular o comprimento da hipotenusa deste triângulo encontra-seum erro máximo aproximado de: a) 0,014 cm b) 0,01 cm c) 0,20 cm d) 0,10 cm e) 0,14 cm 26. As dimensões de uma caixa retangular estão sendo aumentadas com as seguintes taxas: comprimento – 3 m/min, largura – 2 m/min e altura – 1/2 m/min. Qual é a taxa de variação do volume da caixa quando o comprimento, a largura e a altura medem, respectivamente, 10 m, 6 m e 4 m? a) 182 m³/min b) 132 m³/min c) 158 m³/min d) 147 m³/min e) 197 m³/min 5 27. A temperatura em qualquer ponto ) ,( yx de uma lâmina retangular situada no plano xy é determinada por 22) ,( yxyxT . A taxa de variação da temperatura no ponto (3, 4) na direção fazendo um ângulo de 3 1 radianos com o sentido positivo do eixo x vale: a) 9,24 b) 2,73 c) 9,93 d) 1,73 e) 14 28. Uma caixa retangular com um volume de 16 pés³ é feita de dois tipos de materiais. O topo e a base são feitos de um material que custa 10 centavos por pé quadrado e os lados de um material que custa 5 centavos por pé quadrado. As dimensões da caixa que minimizam o custo são: a) 3X3X2 pés b) 2X2X4 pés c) 2X2X2 pés d) 3X3X3 pés e) 2X3X4 pés 29. Uma equação da superfície de uma montanha é 22 231200 yxz , onde a distância é medida em metros. Um alpinista está no ponto correspondente a (–10, 5, 850). A direção que tem maior declividade é dada pelo vetor? a) ji 10 103 10 10 b) ji 10 103 10 10 c) ji 10 10 10 103 d) ji 10 10 10 103 e) ji 2060 30. Suponhamos que as dimensões de uma caixa retangular variam de 9 cm, 6 cm e 4 cm, para 9,02 cm, 5,97 cm e 4,01 cm, respectivamente. Usando diferenciais, podemos dizer que uma aproximação da variação do volume desta caixa é: a) 0,06 cm³ b) – 0,06 cm³ c) – 2,10 cm³ d) 2,10 cm³ e) 1,80 cm³ 31. Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5 volts/min, enquanto R é 40 ohms e decresce à razão de 2 ohms/min. Usando a lei de Ohm, R V I , e a regra da cadeia, a taxa de variação à qual a corrente I (em ampères) varia é: a) – 0,225 ampères/min b) – 0,025 ampères/min c) 0,225 ampères/min d) 0,025 ampères/min e) 0,125 ampères/min 6 32. Suponhamos que um sistema coordenado xyz esteja localizado no espaço, de modo que a temperatura T no ponto ),,( zyxP seja dado pela função 222 100 zyx T . Calcule a que taxa está variando a temperatura, em relação à distância, no ponto )1 ,3- ,2(P , na direção do vetor jiV 125 . a) – 2,04 b) 3,61 c) 2,04 d) – 3,61 e) 26,53 33. Um tanque retangular deve ter 3 m³ de capacidade. O custo do material das faces laterais é de R$ 20,00 o metro quadrado, do fundo é de R$ 30,00 o metro quadrado e a tampa sozinha custa R$ 40,00. As dimensões mais econômicas deste tanque são: a) 4,000 m 4,000 m 0,188 m b) 1,191 m 1,191 m 1,191 m c) 1,587 m 1,587 m 1,587 m d) 1,191 m 1,191 m 1,587 m e) 1,587 m 1,587 m 1,191 m 34. Calcule as integrais duplas: a) 3 0 2 1 2 ydxdyx c) 2 0 3 1 22 4 dxdyyx e) 1 0 0 5 y xdxdye g) 1 0 0 2 dxdye y y x b) 2 1 3 0 2 ydydxx d) 3 2 2 0 22 1 dydx yx f) dxdyy x sen y 0 0 2 h) 1 0 0 2 dydxe y y 35. Calcule R dAyx )2( , onde R é a região compreendida pelas parábolas 22xy e .1 2xy 36. Calcule a área da região delimitada pelas curvas 2xy e xy 2 , usando integral dupla. Fazer o gráfico da região. 37. Calcule a área da região delimitada pelos gráficos de 2162 xy e 42 yx , usando integral dupla. Fazer o gráfico da região. 7 38. Calcule as integrais triplas: a) 4 3 1 1 2 0 32 )( dzdxdyyzxy b) 1 0 2 1 3 1 22 )56( dzdxdyxyzx c) 1 0 2 1 . x x zx z dydzdxx d) 2 1 0 2 . z zx zx dydxdzz e) 2 1 1 0 2 2 .2 x yx dzdydxyx f) 3 2 3 0 1 ).2( y yz dxdzdyzyx 39. Calculando a integral R dAx )3( na região limitada pelos gráficos das funções xy e xy encontramos: a) 13/15 b) 23/30 c) 17/30 d) ½ e) 67/30 40. Calculando a integral tripla 1 0 2 1 1 ... z z yx y dzdydxy , encontramos: a) 2 x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 13 x e) 2 12 x 41. O valor da integral iterada 2 1 2 0 3. x dydxxy é: a) 24 b) 28 c) 36 d) 42 e) 48 42. Calculando a integral tripla 1 0 2 1 . x x zx z dydzdxz , encontramos: a) -7/24 b) 7/24 c) -5/24 d) 5/24 e) 1/24 43. O valor de 4 0 2 1 2 )3( dxdyyxxy : a) 22 b) – 22 c) 44 d) – 44 e) 54 44. Calculando a integral tripla 3 0 1 2 . z zx zx dydxdzz , encontramos: a) – 79,2 b) 79,2 c) – 53,4 d) 53,4 e) 68,2 8 RESPOSTAS 1. a) ydyxdxyxdz 322 812 b) dyxxydxdz 22 c) )).(( xdyydxxysendz d) RdhhdRdz 22 e) dhRRhdRdz 2 3 1 3 2 2. a) 3 4,0 cmdV b) 3 3974,0 cmV c) São aproximados 3. 3 565,0 cmdV 4. 5% 5. 0,088 cm 6. 8% 7. a) 716t dt dz b) 2 1 dt dz c) )/1cos( 3 2 t tdt dz 8. 24 pés²/s 9. –39 km/h 10. –0,14 ohm 11. a) 192 b) 44,4 c) 2.cos(2) 9 12. a) 12 º/cm b) A temperatura aumenta à razão de 12 ºC a cada cm que o ponto se move na direção de v . 13. a) 4,2 b) T aumenta mais rapidamente na direção do gradiente: )2,3,1( . A taxa máxima de variação de T é o módulo do gradiente: 8,3 . 14. Na direção do gradiente: )4,2,1( 15. )4 ,22()( ttts 16. a) Descendo a montanha a uma taxa de -0,6 m/m. Significa que a cada 1 m que ele se desloca na horizontal, desce verticalmente 0,6 m. b) Subindo a montanha a uma taxa de 0,8 m/m. Significa que a cada 1 m que ele se desloca na horizontal, sobe verticalmente 0,8 m. c) Descendo a montanha a uma taxa de -0,99 m/m. Significa que a cada 1 m que ele se desloca na horizontal, desce verticalmente 0,99 m. d) Descendo a montanha a uma taxa de -0,14 m/m. Significa que a cada 1 m que ele se desloca na horizontal, sobe desce0,14 m/m. e) Na direção do vetor u , tal que a a u , 34 , com a um número real diferente de zero. 17. 0,896m X 0,896m X 0,623m 18. a) Ponto máximo em (-1, 1/2, 11) c) Ponto mínimo em (0, 0, 4), pontos de sela em )1,2( e )1,2( b) Ponto mínimo em (1, 3, 4) d) Ponto de mínimo em (3, 1, -3) 10 19. 4 m³ 20. 2m X 3m X 2m 21. x = 2.000 unidades ; y = 4.000 unidades 22. c 23. d 24. e 25. e 26. a 27. c 28. b 29. d 30. b 31. c 32. c 33. E 34. a) 2 21 b) 2 21 c) 3 116 d) )8/9ln( 2 1 e) 25 65 e f) 2 2 2 g) 2 1 h) )1( 2 1 e 35. 15 32 36. .. 3 4 au 37. .. 12 343 au 38. a) 28 b) 77 c) -1/12 d) -62/5 e) 513/8 f) 7561/5 39. c 40. b 41. d 42. c 43. d 44. a
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