Unidade II Introdução a Probabilidade (Estat. Vital) R

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 UNIDADE II: INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 
 
 
2.1 – INTRODUÇÃO 
 
O cálculo das probabilidades pertence ao campo da Matemática. Sua inclusão, neste 
curso, cujo objetivo é essencialmente a Estatística, encontra explicação no fato de que a maioria 
dos fenômenos de que trata a Estatística é de natureza aleatória ou não-determinística. 
Consequentemente, o conhecimento dos aspectos mais fundamentais do cálculo das 
probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística Inferencial ou 
Indutiva. 
Vamos examinar, inicialmente, o que se pode adequadamente denominar modelo 
determinístico. Por essa expressão pretendemos nos referir a um modelo que estipule as 
condições sob as quais um experimento é executado determinem exatamente, ou com um erro 
que pode ser considerado desprezível, o seu resultado. Por exemplo, se introduzirmos uma 
bateria em um circuito simples, o modelo matemático que descreveria o fluxo de corrente 
elétrica seria I = E/R, isto é, a Lei de Ohm. O modelo determina com exatidão o valor de I ao 
fornecemos os valores de E e R, diferença de potencial e resistência, respectivamente. 
Para um grande número de situações, o modelo matemático determinístico apresentado 
acima é suficiente. Contudo, existem também muitos fenômenos que requerem um modelo 
matemático diferente para sua investigação. 
Existem experimentos em que, mesmo considerando todos os fatores que influenciam no 
resultado, existe algum fator casual que não se consegue controlar. Tais experimentos são 
frequentemente denominados não-determinísticos ou aleatórios. De fato, estamos falando de um 
modelo não-determinístico para um experimento. 
As principais características de um experimento aleatório são: 
 Pode-se repetir indefinidamente sob as mesmas condições; 
 Pode-se descrever todos os possíveis resultados do experimento; 
 Depois de um grande número de repetições do experimento, surge uma 
configuração definida ou uma regularidade. É esta regularidade que torna possível 
construir um modelo matemático preciso, com o qual se analisará o experimento. 
Por exemplo, 
 Jogar uma moeda duas vezes e observar a seqüência de caras e coroas obtidas; 
 Uma lâmpada é fabricada e em seguida é ensaiada quanto a duração de vida, pela 
colocação de uma soquete. O tempo decorrido (em horas) até queimar o anotado; 
 Peças são produzidas até que 10 peças perfeitas sejam produzidas. O número total 
de peças fabricadas é contado. 
As unidades anteriores mostram como apresentar os dados e como calcular medidas que 
descrevem características específicas destes dados. Mas, o pesquisador além de construir tabelas 
e gráficos, calcular médias e desvios padrões, sempre tem a intenção de fazer INFERÊNCIAS. 
 
Para fazer INFERÊNCIA ESTATÍSTICA usam-se técnicas que exigem o conhecimento de 
PROBABILIDADE. 
 
 DETERMINÍSTICO 
 FENÔMENOS DE MODELO 
 OBSERVAÇÃO MATEMÁTICO 
 PROBABILÍSTICO 
 
 
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Os fenômenos estudados pela Estatística são aqueles que mesmo em condições normais 
de experimentação variam de uma observação para outra, dificultando a previsão de resultados 
futuros. Para a explicação de fenômenos aleatórios utiliza-se o modelo probabilístico 
(CÁLCULO DAS PROBABILIDADES). 
 
2.2 – CONCEITOS DE PROBABILIDADE 
 
 
2.2.1 – EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS (E): Um experimento é o processo de observar um 
fenômeno que tem variação em seus resultados. Por exemplo, 
 E1: Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe; 
 E2: Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de caras obtidas; 
 E3: Retirar com ou sem reposição, bolas de uma urna que contém 5 bolas brancas e 6 pretas; 
 E4: Jogar um dado e observar o número mostrado na face superior; 
 E5: Contar o número de peças defeituosas da produção diária da máquina A; 
 
2.2.2 – ESPAÇO AMOSTRAL (S ou 

): É o conjunto de todos os resultados possíveis de um 
experimento. Por exemplo, 
 
a) E = Jogar um dado e observar o número mostrado na face superior. 
 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
b) E = Jogar duas moedas e observar o resultado. 
 S = {(c,c), (c,k), (k,c), (k,k)} onde c = cara e k = coroa. 
 
 A fim de descrever um espaço amostral associado a um experimento, devemos ter 
bastante claro o que estamos mensurando ou observando. Por isso, devemos falar de “um” 
espaço amostral e não de “o” espaço amostral. 
É importante ressaltar também que o resultado de um experimento não é necessariamente 
um número. Por exemplo, no item (b) acima, cada resultado é uma seqüência de caras e coroas. 
 
2.2.3 – EVENTOS: Um evento A (relativo a um particular espaço amostral, associado a um 
experimento) é um conjunto de resultados do experimento, isto é, qualquer subconjunto do 
espaço amostral é um evento. Por exemplo, 
 
a) E = Jogar três moedas e observar o resultado. 
 S = {(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (k,k,c), (k,c,k), (c,k,k), (k,k,k)}. 
 Seja o evento, A = ocorrer pelo menos duas caras. 
 S (A) = {(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c)}. 
b) E = Lançar um dado e observar a face superior 
 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 Seja o evento, B = ocorrer múltiplo de 2. S(B) = {2, 4, 6}. 
 
 Diz-se que “ocorre o evento A”, quando o resultado do experimento aleatório for um 
elemento de A. Em particular, o conjunto universo, S, e o conjunto vazio, 

, são também 
eventos, onde S é denominado evento certo e 

 evento impossível. Se A contém apenas um 
elemento, dizemos que A é um evento elementar ou simples. A partir das operações entre 
conjuntos (Apêndice A) podemos formar novos eventos, tais como: 
 
 Relações entre Eventos 
 
(i) (A

B): é o evento que ocorre se e somente se A ocorrer, ou B ocorrer ou ambos 
ocorrerem; 
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(ii) (A

B): é o evento que ocorre se e somente se A e B ocorrerem; 
(iii) Ac ou 
A
: é o evento que ocorre se e somente se A não ocorrer; 
(iv) (A – B): é o evento que ocorre se e somente se A ocorrer e B não ocorrer; 
 
Definição: Dois eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos (M.E) ou disjuntos se 
eles não puderem ocorrer simultaneamente, isto é, (A

B) = 

. 
 
Exemplo: Lançar um dado o observar a face voltada para cima. Considere os seguintes eventos: 
A = o número é par, B = o número é ímpar, C = o número é maior que 4, D = o número é menor 
ou igual a 2. determine os eventos: 
a) S, A, B, C, D 
b) (A

B), (A

B), 
)( BA
, 
)( BA
 
c) 
A
, 
B
, (
A  B
), (
A  B
) 
d) Quais os eventos mutuamente excludentes? 
 
  Solução: 
 
 a) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5}, C = {5, 6}, D = {1, 2} 
 
 b) (A

B) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S: é o evento certo 
)( BA
 = 

 
 (A

B) = 

: é o evento impossível 
)( BA
 = S 
 
 c) 
A
 = {1, 3, 5} (
A  B
) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S = 
)( BA
 
 
B
 = {2, 4, 6} (
A  B
) = 

 = 
)( BA
 
 
 d) A

B = 

 A

D = {2} B

D = {1} 
 A

C = {6}: evento elementar B

C = {5} C

D = 

 
 Portanto, os eventos A e B, assimcomo, C e D, são mutuamente excludentes. 
 
 
2.3 – NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE PROBABILIDADE 
 
Definição 1: É o grau de confiança que se tem na ocorrência de um determinado evento. 
 
Definição 2: Seja E um experimento e S um espaço amostral associado a E. Seja A um evento 
associado a esse experimento, a sua probabilidade é verificada por: 
S
A
AP
#
#
amostral espaço o ocorre que maneiras de número
A evento o ocorre que maneiras de número
 )( 
 
 
Probabilidade é uma função P que associa a cada evento A 

 F(S) um número real representado 
por P(A) e denominado probabilidade do evento A. 
 
Axiomas da Probabilidade: Seja A um evento e considere P(A) a probabilidade desse evento. 
Essa probabilidade deve satisfazer as seguintes condições: 
(a) 
1)A(P0 
; 
(b) P(S) = 1; 
(c) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, então, P(A

B) = P(A) + P(B); 
 Se A1, A2, ..., An, ..., forem dois a dois, eventos mutuamente exclusivos, então: 











1
21
1
)()()()(
i
in
i
i APAPAPAPAP 
 
OBS: Note que o item “c” 
exemplifica as Leis de 
“De Morgan” 
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Exemplos: 
 
1. Lança-se um dado. Qual é a probabilidade de sair um número ímpar? Qual é a probabilidade 
de sair o número 2? 
 
2. Uma carta é extraída ao acaso de um baralho. Qual é a probabilidade de sair um ás? 
 
Algumas conseqüências relacionadas a P(A) que decorrem das condições acima e que 
não dependem da maneira pela qual nós realmente calculamos P(A) serão enunciadas a seguir. 
 
Teoremas: 
 
1. Se 

 é conjunto, então: P(

) = 0; 
2. Se 
A
 é o complemento de evento A, então P(
A
) = 1 – P(A); 
3. Se A

B, então: P(A) 

 P(B); 
4. Teorema da Soma: Se A e B são dois eventos quaisquer, então: 
P(A

B) = P(A) + P(B) – P(A

B) 
5. Teorema da Soma: Se A, B e C são três eventos quaisquer, então: 
P(A

B

C) = P(A) + P(B) P(C) – P(A

B) – P(A

C) – P(B

C) + P(A

B

C) 
 
2.4 – PROBABILIDADE EM ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS E EQUIPROVÁVEIS 
 
Definição: Seja S um espaço amostral associado a um experimento aleatório E com um número 
finito de resultados possíveis. Então, S pode ser escrito da seguinte forma: S = {a1, a2, ..., an} e 
seja Ai = {ai}, i = 1, 2, ..., n todos os eventos elementares de S. A cada evento elementar {ai} 
associaremos um número pi, denominado de probabilidade de {ai}, que satisfaça as seguintes 
condições: 
 1. pi  0, i = 1, 2, ..., n. 
 2. p1 + p2 + ... + pn = 1 
 
Como {ai} é um evento, essas condições são coerentes com aquelas postuladas para as 
probabilidades dos eventos em geral, isto é, com os axiomas de probabilidade. 
Suponha agora que ume vento B seja constituído de “k” resultados, 1 

 k 

 n, a saber, 
B = {a1, a2, ..., ak}, 
onde 1, 2, ..., k representam qualquer dos “k” índices de 1 até n. consequentemente, conclui-se 
do axioma (c) de probabilidade que: 
P(B) = p1 + p2 + ... + pk. 
 
Exemplo: 
 
Três cavalos A, B e C estão numa corrida. A é duas vezes mais provável de ganhar que B e B é 
duas vezes mais do que C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um, isto é, P(A), P(B) e 
P(C)? 
 
  Solução: 
 
 P(A) = 2.P(B) = 4p  Sabe-se que: 4p + 2p + p = 1 
 P(B) = 2.P(C) = 2p 7p = 1 ou p = 1/7 
 P(C) = p Portanto, P(A) = 4/7 P(B) = 2/7 P(C) = 1/7 
 
 Pergunta-se: Qual a probabilidade de que B ou C ganhe? 
P(B

C) = P(B) + P(C) = 2/7 + 1/7 = 3/7 
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Definição: Seja um espaço amostral S = { a1, a2, ..., an } associado a um experimento aleatório E 
e consideremos Ai = {ai}, i = 1, 2, ..., n todos os eventos elementares de S. O espaço amostral é 
dito equiprovável se: 
P(Ai) = p, i = 1, 2, ..., n, 
 
ou seja, se todos os eventos elementares são igualmente prováveis. Consequentemente, das 
condições 1 e 2 da definição anterior, temos: 
 1. pi = p  0, i = 1, 2, ..., n. 
 2. p1 + p2 + ... + pn = p + p + ...+ p = 1  n.p = 1  p =1 / n. 
 
Logo se o espaço amostral é equiprovável, a probabilidade de cada um dos pontos é 1/n. disto 
decorre que, para qualquer evento B formado de k resultados, 1 

 k 

 n, tem-se que: 
S
B
S
Bn
BP
#
#
possíveis casos de número
favoráveis casos de número
)n(
)(
n
k
 )( 
 
 
Exemplo: Selecione aleatoriamente uma carta de um baralho comum de 52 cartas. Sejam A = a 
carta é uma espada e B = a carta é uma figura. Calcule: P(A), P(B) e P(A

B). 
 
 Solução: 
Como temos um espaço equiprovável: 
52
13
#
#
cartas denº
espadas de nº
 )( 
S
A
AP
 
52
12
#
#
cartas denº
figuras de nº
 )( 
S
A
BP
 
52
3
#
)(#
cartas denº
espadasdefiguras de nº
 )( 


S
BA
BAP
 
 
2.5 – PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
Suponha a seguinte situação: 
Um lote é formado por 80 artigos não defeituosos e 20 defeituosos. Dois artigos são 
retirados do lote. Sejam os eventos: A = {o 1º artigo é defeituoso} e B = {o 2º artigo é 
defeituoso}. Calcule P(A) e P(B) com e sem reposição. 
 
Solução: 
 
a) Extração com reposição: P(A) = P(B) = 20/100, pois cada vez que estivermos 
extraindo do lote, existirão 20 peças defeituosas no total de 100. 
b) Extração sem reposição: P(A) = 20/100, mas e sobre P(B)? É evidente que, a fim de 
calcularmos P(B) é necessário conhecer a composição do lote no momento de se 
extrair a segunda peça. Isto é, devemos saber se A ocorreu ou não. 
 
 O exemplo mostra a necessidade de se introduzir conceito de Probabilidade Condicionada. 
 
Definição: Denomina-se probabilidade condicional à probabilidade de ocorrer determinado 
evento sob uma dada condição. Sejam A e B dois eventos, denota-se P(A / B) a probabilidade 
condicionada do evento A quando o evento B tiver ocorrido por, 
 
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP


 ou ainda 
)(
)(
)/(
AP
BAP
ABP


 
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Sempre que estamos calculando P(A / B), estaremos essencialmente calculando P(A) em relação 
ao espaço amostral reduzido B, em lugar de fazê-lo em relação ao espaço original S. O mesmo 
ocorre para P(B / A), sendo que, neste caso, calcula-se P(B) em relação ao espaço amostral 
reduzido A. 
 
OBS1: Se P(B) = 0, nada podemos afirmar a respeito da probabilidade condicional. 
 
OBS2: Se A e B forem mutuamente excludentes então: P(A / B) = 0. 
 
Exemplo: 
 
Dois dados são lançados, registrando-se os resultados com (X1, X2). Considere os seguintes 
eventos: A = {( X1, X2); X1 + X2 = 10} e B = {( X1, X2); X1 > X2}. Calcule: P(A), P(B), P(A / B) 
e P(B / A). 
 
  Solução: 
 
 S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), ...., (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}  n(S) = # S = 36 
 S (A) = {(4,6), (5,5), (6,4)}  n(A) = # A = 3 
 S (B) = {(2,1), (3,1), (3,2), ..., (6,5)}  n(B) = # B = 15 
 S (A

B) = {(6,4)}  n(A

B) = # A

B = 1 
Portanto, 
P(A) = # A / # S = 3/36 
P(B) = # B / # S = 15/36 
P(A

B) = # (A

B) / # S = 1/36 
 
Exercício de Aplicação: 
 
Um laboratório de pesquisa possui 10 terminais de computadores. Algumas dessas máquinas são 
microcomputadores (M) e outras são estações de trabalho (E). Algumas são novas (N) enquanto 
outras são muito usadas (U), conforme tabela abaixo. Uma pessoa entra no laboratório, pega uma 
máquina ao acaso, e descobre que é nova. Qual a probabilidade de que seja um 
microcomputador? 
Tempo de 
Uso 
Máquinas 
Total 
M E 
N 4 3 7U 2 1 3 
Total 6 4 10 
 
A mais importante conseqüência da definição de probabilidade condicional é o teorema do 
produto. Portanto, a partir da definição de Probabilidade Condicional pode-se ensinar o 
Teorema do Produto: 
 
Teorema do Produto: 
 
Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo espaço amostral S, então: 
 
 
)/().()(
)(
)(
)/( BAPBPBAP
BP
BAP
BAP 


 
15
1
36/15
36/1
)(
)(
)/( 


BP
BAP
BAP
 
3
1
36/3
36/1
)(
)(
)/( 


AP
BAP
ABP
 
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 
)/().()(
)(
)(
)/( ABPAPBAP
AP
BAP
ABP 


 
 
O teorema do produto é denominado também de teorema da multiplicação de probabilidades, e 
pode ser generalizado para mais de dois eventos. 
 
 Sejam A1, A2, ..., An, eventos quaisquer de um mesmo espaço amostral S, a probabilidade 
de ocorrência simultânea de A1, A2, ..., An é dada por: 
 
P(A1 A2 ... An) = P(A1).P(A2 / A1)...P(An / A1 A2 ... An – 1) 
 
Exemplo: 
 
Uma caixa contém 4 lâmpadas boas e 2 queimadas. Retira-se ao acaso 3 lâmpadas, sem 
reposição. Calcule a probabilidade dessas 3 lâmpadas serem boas. 
 
  Solução: 
 
 Seja Ai = {a i-ésima lâmpada é boa} 
 P(A1 A2 A3) = P(A1).P(A2 / A1).P(A3 / A1 A2) = (4/6).(3/5).(2/4) = 1/5 
 
O conceito de probabilidade condicional foi empregado a fim de avaliar a probabilidade 
de ocorrência conjunta de dois ou mais eventos. Veremos, no próximo teorema, como aplicar 
esse conceito para calcular, de outra maneira, a probabilidade de um evento qualquer A. 
 
Teorema da Probabilidade Total: 
 
Sejam A um evento qualquer do espaço amostral S e B1, B2, ..., Bk, uma partição do mesmo 
espaço amostral S, então: 
P(A) = P(A / B1).P(B1) + P(A / B2).P(B2) + ... + P(A / Bk).P(Bk) = 


k
i
ii BPBAP
1
)()./(
 
Exemplo: 
 
Um lote é formado por 80 artigos não defeituosos e 20 defeituosos. Dois artigos são retirados do 
lote. Sejam os eventos: A = {o 1º artigo é defeituoso} e B = {o 2º artigo é defeituoso}. Calcule 
P(B) considerando se as retiradas dos artigos são feitas sem reposição. 
 
  Solução: 
 
P(B / A) = 19/99, porque se A tiver ocorrido, então na segunda extração restarão somente 
99 peças, das quais 19 delas são defeituosas. De modo similar, temos que P(B / 
A
) = 
20/99. 
Pelo teorema da probabilidade total, temos: 
P(B) = P(B / A).P(A) + P(B / 
A
).P(
A
) = (19/99).(1/5) + (20/99).(4/5) = 1/5 
 
Exercício de Aplicação: 
 
Uma determinada peça é manufaturada por três fábricas, digamos A, B e C. sabendo–se que A 
produz o dobro de peças que B, e que B e C produzem o mesmo número de peças. Sabe-se 
também que 2% de peças produzidas por A assim como por B são defeituosas, enquanto que 4% 
daquelas produzidas por C são defeituosas. Todas as peças são colocadas em um depósito, e 
depois uma peça é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de que essa peça seja defeituosa? 
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2.6 – EVENTOS INDEPENDENTES 
 
Definição: Considere dois eventos A e B quaisquer de um mesmo espaço amostral S. Dois 
eventos A e B são independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não é modificada 
pela ocorrência do outro, isto é, 
)/()( BAPAP 
 ou 
)/()( ABPBP 
. Se A e B são 
independentes então, 
)().()( BPAPBAP 
 
 
Exemplo: Suponha que um dado equilibrado seja jogado duas vezes. Sejam os eventos: A = {o 
primeiro dado mostra um número par} e B = {o segundo dado mostra um número 5 ou 6}. 
Determine P(A), P(B), P(A

B), P(A / B) e P(B / A). 
 
 Solução: 
 
 S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), ...., (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}  n (S) = # S = 36 
 S (A) = {(2,1), (2,2), ..., (6,6)}  n (A) = # A = 18 
 S (B) = {(1,5), (2,5), (6,5), ..., (6,6)}  n (B) = # B = 12 
 S (A

B) = {(2,5), (2,6), (4,5), (4,6), (6,5), (6,6)}  n (A

B) = # A

B = 6 
 
Portanto, 
P(A) = # A / # S = 18/36 
P(B) = # B / # S = 12/36 
P(A

B) = # (A

B) / # S = 6/36 
 
 
Exercício de Aplicação: 
 
1. Um dado e uma moeda são lançados ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de ocorrer cara 
na moeda sabendo que ocorreu número 6 no dado? 
2. Um número é escolhido ao acaso no conjunto {1, 2, 3, ..., 20}. Verifique se os eventos A e B 
são independentes no seguinte caso: A = o número escolhido é par e B = o número escolhido é 
múltiplo de 3. 
Pode-se estender esse conceito para “n” eventos: 
 
Definição: Sejam A1, A2, ..., An, n eventos de um mesmo espaço amostral S. Dizemos que A1, 
A2, ..., An são eventos independentes se: 
P(Ai Aj) = P(Ai).P(Aj), i  j = 1, 2, ..., n 
P(Ai Aj Ak) = P(Ai).P(Aj).P(Ak), i  j  k = 1, 2, ..., n 

 
P(Ai Aj ... An) = 


n
i
iAP
1
)(
 
 
OBS: No caso de n eventos teríamos (2
n
 – n – 1) relações a serem verificadas. 
 
Exemplo: Suponha que um par de moedas não viciadas seja jogado. Sejam os eventos: A = 
{cara na primeira moeda} e B = {cara na segunda moeda} e C = {cara em exatamente uma 
moeda}. Determine P(A), P(B), P(C), P(A

B), P(A

C), P(B

C), P(A

B

C). 
 
 Solução: 
 
 S = {(c,c), (c,k), (k,c), (k,k)}  n (S) = # S = 4 
 S (A) = {(c,c), (c,k)}  n(A) = # A = 2 S (A

B) = {(c,c)}  n(A

B) = 2 
18
6
36/18
36/6
)(
)(
)/( 


BP
BAP
BAP
 
12
6
36/12
36/6
)(
)(
)/( 


AP
BAP
ABP
 
Profa. Gilmara Alves Cavalcanti Página 44 
 
 S (B) = {(c,c), (k,c)}  n(B) = # B = 2 S (A

C) = {(c,k)}  n(A

C) = 1 
 S (C) = {(c,k), (k,c)}  n(C) = # C = 2 S (B

C) = {(k,c)}  n(B

C) = 1 
 
Portanto, 
P(A) = P(B) = P(C) = 2/4 
P(A

B) = # (A

B) / # S = 1/4 
P(A

C) = # (A

C) / # S = 1/4 
P(B

C) = # (B

C) / # S = 1/4 
 P(A

B

C) = P(

) = 0 

 P(A).P(B).P(C) 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS (UNIDADE II) 
 
 
1. Um casal tem dois filhos. Qual é a probabilidade de: 
(a) O primogênito ser homem? (Resp.: 2/4) 
(b) Os dois filhos serem homens? (Resp.: 1/4) 
(c) Pelo menos um dos filhos ser homem? (Resp.: 3/4) 
 
2. No cruzamento de ervilhas amarelas homozigotas (AA) com ervilhas verdes homozigotas (aa) 
ocorrem ervilhas amarelas heterozigotas (Aa). Se estas ervilhas forem cruzadas entre si, ocorrem 
ervilhas amarelas e verdes, na proporção de três para uma. Suponha que foram pegas ao acaso, 
três ervilhas resultantes do cruzamento de ervilhas amarelas heterozigotas. Qual é a 
probabilidade de que as três ervilhas sejam verdes? (Resp.: 1/64) 
 
3. Uma caixa contém dez peças das quais quatro são defeituosas. São retiradas duas peças, uma 
após a outra. Calcular a probabilidade de ambas serem boas (com reposição e sem reposição). 
(Resp.: com reposição – 36/100 e sem reposição – 30/90) 
 
4. Três componentes C1, C2 e C3 de um microscópio são postos em série (em linha reta). Suponha 
que esses mecanismos sejam dispostos em ordem alfabética. Sejam os eventos: A = C2 está à 
direita de C1 e B = C3 está à direita de C1. Os eventos A e B são independentes? (Resp.: Não são 
independentes pois, 1/3 

 1/4) 
 
5. Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A) = 0,4 e P(A

B) = 
0,7. Seja P(B) = p. Pergunta-se: 
(a) Para que valor de p, A e B serão mutuamente excludentes? (Resp.: 0,3) 
(b) Para que valor de p, A e B serão independentes? (Resp.: 0,5) 
 
6. Cada uma de duas pessoas joga três moedas equilibradas. Qual é a probabilidade de que elas 
obtenham o mesmo número de caras? (Resp.: 20/64) 
 
7. Jogam-se doisdados. Desde que as faces mostrem números diferentes, qual é a probabilidade 
de que uma face seja quatro? (Resp.: 10/30) 
 
8. Um dado é lançado e, independentemente, uma carta é extraída de um baralho completo. Qual 
será a probabilidade de que: 
(a) O dado mostre um número par e a carta seja de um naipe vermelho? (Resp.: 1/4) 
(b) O dado mostre um número par ou a carta seja de um naipe vermelho? (Resp.: 3/4) 
 
Para que sejam independentes: 
P(A

B

C) = P(A).P(B).P(C) 
 P(

)

 P(A).P(B).P(C) 
Mostra que os eventos são dois a dois 
independentes, mas não são três a três. 
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9. Uma caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas válvulas são extraídas juntas. 
Uma delas e ensaiada e se verifica ser perfeita. Qual é a probabilidade de que a outra válvula 
também seja perfeita? (Resp.: 5/9) 
 
10. Suponha que a probabilidade de um homem com 50 anos viver mais 10 anos seja igual a 
32%, e que a probabilidade de que sua esposa que tem 40 anos viver mais 10 anos é de 58%. 
Qual é a probabilidade de que: 
(a) O casal viva mais 10 anos? (Resp.: 0,19) 
(b) Somente um deles viva mais 10 anos? (Resp.: 0,53) 
(c) Pelo menos um deles viva mais 10 anos? (Resp.: 0,71) 
 
11. Uma urna 1 contém 10 bolas brancas e 8 bolas vermelhas. A urna 2 contém 6 bolas brancas e 
5 bolas vermelhas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna 1 e colocada na urna 2. Uma 
bola é escolhida ao acaso da urna 2. Qual a probabilidade de que a bola escolhida seja vermelha? 
(Resp.: 49/108) 
 
12. Considere duas urnas A e B, a urna A contém uma bola branca e uma preta, e a urna B 
contém duas bolas brancas e três pretas. Uma bola é escolhida da urna A e colocada na urna B. 
Em seguida, uma bola é escolhida da urna B. Qual a probabilidade de que ambas sejam da 
mesma cor? (Resp.: 7/12)