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Ca´lculo 4 2017.2 2aLista de Exerc´ıcios Prof. Cleide Martins 1. Resolva as seguintes EDO’s e PVI’s a) y(4) + 3y′′ − 4y = 0 b) 2y′′′ − 3y′′ − 2y′ = 0; y(0) = 1; y′(0) = −1; y′′(0) = 3 c) 9y′′′ + 11y′′ + 4y′ − 14y = 0 sabendo que y = e−xsen x e´ soluc¸a˜o. d) 6y(4) + 5y′′′ + 25y′′ + 20y′ + 4y = 0 sabendo que y = cos 2x e´ soluc¸a˜o. e) y(5) + 2y′′′ + 2y′′ = 3x2 − 1 (so´ uma soluc¸a˜o particular) f) y(4) − y = 5; y(0) = y′(0) =; y′′(0) = y′′′(0) = 0 g) x3y′′′ + 2x2y′′ − 4y = 0 h) y′′′ + 4y′ = cotg 2x i) x3y′′′ + 5x2y′′ + 2xy′ − 2y = x4 j) 24x3y′′′ + 46x2y′′ + 7xy′ − y = 24x3 sabendo que a soluc¸a˜o geral da homogeˆnea associada e´ yh = C1x 1/2 + C2x 1/3 + C3x 1/4 2. Resolva os seguintes sistemas de EDO’s a) x′ = 2x+ y y′ = x+ 2y − e2t b) x′ + 2y′ = 4x+ 5y 2x′ − y′ = 3x ; x(0) = 1; y(0) = −1 c) x′′ = 6x+ 2y y′′ = 3x+ 7y d) x′ = 3x− 4y y′ = 4x+ 3y e) (D2 + 1)x+D2y = 2e−t (D2 − 1)x+D2y = 0 f) (D + 2)x+ (D + 2)y = t (D + 3)x+ (D + 3)y = t2 g) x′ = 2x+ y − z y′ = −4x− 3y − z z′ = 4x+ 4y + 2z h) x′ = 5x+ 5y2z y′ = −6x− 6y − 5z z′ = 6x+ 6y + 5z 3. Ache uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para cada uma das func¸o˜es e o respectivo raio de convergeˆncia. a) f(x) = senhx b) f(x) = sen2x2 c) f(x) = (1 + x2)− 3 2 d) f(x) = ln(1+x 2) x e) f(x) = x√ 9+x3 4. Encontre as soluc¸o˜es gerais em poteˆncias de x para as EDOs abaixo, exibindo, em cada caso, a relac¸a˜o de recorreˆncia para o termo geral e o intervalo de convergeˆncia. a) (x2 + 2)y′′ + 4xy′ + 2y = 0 b) y′′ − x2y′ + 2xy = 0 c) (2− x2)y′′ − xy′ + 16y = 0 d) y′′ − x2y′ − 3xy = 0 e) (4− x2)y′′ + 2y = 0 f) (1− x)y′′ + xy′ − y = 0 5. Use se´ries de poteˆncias para resolver os problemas de valor inicial: a) y′′ + xy′ − 2y = 0; y(0) = 1, y′(0) = 0 b) (x2 − 6x+ 10)y′′ − 4(x− 3)y′ + 6y = 0; y(3) = 2, y′(3) = 0 c) (4x2 + 16x+ 17)y′′ = 8y; y(−2) = 1, y′(−2) = 0 6. Encontre os treˆs primeiros termos na˜o nulos em cada uma das soluc¸o˜es linearmente independentes, substituindo as func¸o˜es envolvidas por suas respectivas se´ries de Taylor, com um nu´mero suficiente de termos para o ca´lculo dos coeficientes. a) (cosx)y′′ + y = 0 b) y′′ + e−xy = 0 c) xy′′ + (senx)y′ + xy = 0
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