CalculoII_Sequencias

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Cálculo diferencial e Integral II
Sequencias Numéricas
Profa. Rosana Marques da Silva
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
Período 2014.1
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 1 / 58
Sumário
1 Sequencias Numéricas
Sequências Numéricas
Limite de uma sequência
Teoremas
Sequências definidas recursivamente
Sequências Crescentes ou decrescentes
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 2 / 58
Sumário
1 Sequencias Numéricas
Sequências Numéricas
Limite de uma sequência
Teoremas
Sequências definidas recursivamente
Sequências Crescentes ou decrescentes
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 3 / 58
Sumário
1 Sequencias Numéricas
Sequências Numéricas
Limite de uma sequência
Teoremas
Sequências definidas recursivamente
Sequências Crescentes ou decrescentes
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 4 / 58
Sequências Numéricas
Uma sequência é uma lista de números, com uma ordem bem
determinada.
Exemplos:
1, 2, 3, · · · , n, · · ·
1,
1
2
,
1
3
, · · · , 1
n
, · · ·
2, 4, 6, · · · , 2n, · · ·
−1, 2,−4, 8, · · · , (−1)n2n−1, · · ·
Generalizando: a1, a2, a3, · · · , an, · · · .
O n-ésimo termo, an, é chamado de termo geral da sequência.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 5 / 58
Sequências Numéricas
Uma sequência é uma lista de números, com uma ordem bem
determinada.
Exemplos:
1, 2, 3, · · · , n, · · ·
1,
1
2
,
1
3
, · · · , 1
n
, · · ·
2, 4, 6, · · · , 2n, · · ·
−1, 2,−4, 8, · · · , (−1)n2n−1, · · ·
Generalizando: a1, a2, a3, · · · , an, · · · .
O n-ésimo termo, an, é chamado de termo geral da sequência.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 5 / 58
Sequências Numéricas
Uma sequência é uma lista de números, com uma ordem bem
determinada.
Exemplos:
1, 2, 3, · · · , n, · · ·
1,
1
2
,
1
3
, · · · , 1
n
, · · ·
2, 4, 6, · · · , 2n, · · ·
−1, 2,−4, 8, · · · , (−1)n2n−1, · · ·
Generalizando: a1, a2, a3, · · · , an, · · · .
O n-ésimo termo, an, é chamado de termo geral da sequência.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 5 / 58
Sequências Numéricas
Uma sequência é uma lista de números, com uma ordem bem
determinada.
Exemplos:
1, 2, 3, · · · , n, · · ·
1,
1
2
,
1
3
, · · · , 1
n
, · · ·
2, 4, 6, · · · , 2n, · · ·
−1, 2,−4, 8, · · · , (−1)n2n−1, · · ·
Generalizando: a1, a2, a3, · · · , an, · · · .
O n-ésimo termo, an, é chamado de termo geral da sequência.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 5 / 58
Sequências Numéricas
Uma sequência é uma lista de números, com uma ordem bem
determinada.
Exemplos:
1, 2, 3, · · · , n, · · ·
1,
1
2
,
1
3
, · · · , 1
n
, · · ·
2, 4, 6, · · · , 2n, · · ·
−1, 2,−4, 8, · · · , (−1)n2n−1, · · ·
Generalizando: a1, a2, a3, · · · , an, · · · .
O n-ésimo termo, an, é chamado de termo geral da sequência.
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Sequências Numéricas
Uma sequência pode ser descrita pelo seu termo geral:
an =
1
2n
ou
{ 1
2n
}∞
n=1
ou
{ 1
2n
}
ou pela listagem de seus termos
{an}= {12 ,
1
4
,
1
6
, · · · , 1
2n
, · · ·}
Definição
Uma sequência infinita de números é uma função que assume
valores reais, cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos,
ou seja,
f : D ⊂ Z+ → R
f (n) = an,
onde Z+ é o conjunto dos inteiros positivos.
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Sequências Numéricas
Uma sequência pode ser descrita pelo seu termo geral:
an =
1
2n
ou
{ 1
2n
}∞
n=1
ou
{ 1
2n
}
ou pela listagem de seus termos
{an}= {12 ,
1
4
,
1
6
, · · · , 1
2n
, · · ·}
Definição
Uma sequência infinita de números é uma função que assume
valores reais, cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos,
ou seja,
f : D ⊂ Z+ → R
f (n) = an,
onde Z+ é o conjunto dos inteiros positivos.
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Sequências Numéricas
Uma sequência pode ser descrita pelo seu termo geral:
an =
1
2n
ou
{ 1
2n
}∞
n=1
ou
{ 1
2n
}
ou pela listagem de seus termos
{an}= {12 ,
1
4
,
1
6
, · · · , 1
2n
, · · ·}
Definição
Uma sequência infinita de números é uma função que assume
valores reais, cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos,
ou seja,
f : D ⊂ Z+ → R
f (n) = an,
onde Z+ é o conjunto dos inteiros positivos.
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Sequências Numéricas - Termo geral e Domínio
Forma Geral do domínio da função f que define uma sequencia:
D = {n ∈ Z|n ≥ n0}.
Exemplo:
{an}= {5,7,9,11, · · ·}.
Diferentes formas de expressar o termo an da sequência dada.
Termo geral
an = 2n+3
an = 2n+1
an = 2n−1
n0, 1◦ termo
n0 = 1, a1 = 5
n0 = 2, a2 = 5
n0 = 3, a3 = 5
Domínio
D = {n ∈ Z|n ≥ 1}
D = {n ∈ Z|n ≥ 2}
D = {n ∈ Z|n ≥ 3}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 7 / 58
Sequências Numéricas - Termo geral e Domínio
Forma Geral do domínio da função f que define uma sequencia:
D = {n ∈ Z|n ≥ n0}.
Exemplo:
{an}= {5,7,9,11, · · ·}.
Diferentes formas de expressar o termo an da sequência dada.
Termo geral
an = 2n+3
an = 2n+1
an = 2n−1
n0, 1◦ termo
n0 = 1, a1 = 5
n0 = 2, a2 = 5
n0 = 3, a3 = 5
Domínio
D = {n ∈ Z|n ≥ 1}
D = {n ∈ Z|n ≥ 2}
D = {n ∈ Z|n ≥ 3}
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Sequências Numéricas - Mais Exemplos
i. an =
1
n
.
{an}= {1, 12 ,
1
3
, · · · , 1
n
, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 8 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
i. an =
1
n
.
{an}= {1, 12 ,
1
3
, · · · , 1
n
, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 8 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
i. an =
1
n
.
{an}= {1, 12 ,
1
3
, · · · , 1
n
, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 8 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
i. an =
1
n
.
{an}= {1, 12 ,
1
3
, · · · , 1
n
, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 8 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
ii. an =
n
2
.
{an}= {12 , 1,
3
2
, 4, · · · , n
2
, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 9 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
ii. an =
n
2
.
{an}= {12 , 1,
3
2
, 4, · · · , n
2
, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 9 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
ii. an =
n
2
.
{an}= {12 , 1,
3
2
, 4, · · · , n
2
, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 9 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
ii. an =
n
2
.
{an}= {12 , 1,
3
2
, 4, · · · , n
2
, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 9 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
iii. an = 3
{an}= {3,3,3, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 10 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
iii. an = 3
{an}= {3,3,3, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 10 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
iii. an = 3
{an}= {3,3,3, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial eIntegral II Período 2014.1 10 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
iii. an = 3
{an}= {3,3,3, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 10 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
iv. an =
n−1
n
.
{an}= {0, 12 ,
2
3
,
3
4
, · · · , n−1
n
, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 11 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
iv. an =
n−1
n
.
{an}= {0, 12 ,
2
3
,
3
4
, · · · , n−1
n
, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 11 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
iv. an =
n−1
n
.
{an}= {0, 12 ,
2
3
,
3
4
, · · · , n−1
n
, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 11 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
iv. an =
n−1
n
.
{an}= {0, 12 ,
2
3
,
3
4
, · · · , n−1
n
, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 11 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
v. an = (−1)n+1n−1n .
{an}= {0,−12 ,
2
3
,−3
4
, · · · ,(−1)n+1n−1
n
, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 12 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
v. an = (−1)n+1n−1n .
{an}= {0,−12 ,
2
3
,−3
4
, · · · ,(−1)n+1n−1
n
, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 12 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
v. an = (−1)n+1n−1n .
{an}= {0,−12 ,
2
3
,−3
4
, · · · ,(−1)n+1n−1
n
, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 12 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
v. an = (−1)n+1n−1n .
{an}= {0,−12 ,
2
3
,−3
4
, · · · ,(−1)n+1n−1
n
, · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 12 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
vi. an =
n
n!
.
{an}= {1, 21.2 ,
3
1.2.3
, · · · , n
1.2.3 · · ·n , · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 13 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
vi. an =
n
n!
.
{an}= {1, 21.2 ,
3
1.2.3
, · · · , n
1.2.3 · · ·n , · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 13 / 58
Sequências Numéricas - Mais Exemplos
vi. an =
n
n!
.
{an}= {1, 21.2 ,
3
1.2.3
, · · · , n
1.2.3 · · ·n , · · ·}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 13 / 58
Sumário
1 Sequencias Numéricas
Sequências Numéricas
Limite de uma sequência
Teoremas
Sequências definidas recursivamente
Sequências Crescentes ou decrescentes
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 14 / 58
Sequências Numéricas - Convergência, divergência e
limite.
Definição
A sequência {an} converge para um número L se para todo
número real positivo ξ existe um número inteiro N tal que para
todo n,
n > N ⇒ |an−L|< ξ .
Se o número L não existe, dizemos que {an} diverge.
Se {an} converge para L, escrevemos
lim
n→∞an = L,
ou, simplesmente, an → L e L é o limite da sequência.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 15 / 58
Sequências Numéricas - Convergência, divergência e
limite.
Definição
A sequência {an} converge para um número L se para todo
número real positivo ξ existe um número inteiro N tal que para
todo n,
n > N ⇒ |an−L|< ξ .
Se o número L não existe, dizemos que {an} diverge.
Se {an} converge para L, escrevemos
lim
n→∞an = L,
ou, simplesmente, an → L e L é o limite da sequência.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 15 / 58
Sequências Numéricas - Convergência.
lim
n→∞an = L, significa que
∀ξ > 0, ∃ N tal que n > N ⇒ |an−L|< ξ .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 16 / 58
Sequências Numéricas - Convergência.
lim
n→∞an = L, significa que
∀ξ > 0, ∃ N tal que n > N ⇒ |an−L|< ξ .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 16 / 58
Sequências Numéricas - Convergência.
lim
n→∞an = L, significa que
∀ξ > 0, ∃ N tal que n > N ⇒ |an−L|< ξ .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 16 / 58
Sequências Numéricas - Convergência - Exemplos
an =
1
n
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 17 / 58
Sequências Numéricas - Convergência - Exemplos
an =
1
n
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 17 / 58
Sequências Numéricas - Convergência - Exemplos
an =
n−1
n
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 18 / 58
Sequências Numéricas - Convergência - Exemplos
an =
n−1
n
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 18 / 58
Sequências Numéricas - Convergência - Exemplos
an = 3
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 19 / 58
Sequências Numéricas - Convergência - Exemplos
an =
n
n!
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 20 / 58
Sequências Numéricas - Convergência - Exemplos
an =
n
n!
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 20 / 58
Sequências Numéricas - Convergência
Mostrar que an = (−1)n 12n+1 converge para 0.
Devemos encontrar N que satisfaça a definição para a
sequência dada (para todo número positivo ξ , temos que exibir um
número N tal que se n > N ⇒ |an−0|< ξ ), ou seja,∣∣∣(−1)n 1
2n+1
−0
∣∣∣= ∣∣∣(−1)n 1
2n+1
∣∣< ξ
.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 21 / 58
Sequências Numéricas - Convergência
Mostrar que an = (−1)n 12n+1 converge para 0.
Devemos encontrar N que satisfaça a definição para a
sequência dada (para todo número positivo ξ , temos que exibir um
número N tal que se n > N ⇒ |an−0|< ξ ), ou seja,∣∣∣(−1)n 1
2n+1
−0
∣∣∣= ∣∣∣(−1)n 1
2n+1
∣∣< ξ
.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 21 / 58
Sequências Numéricas - Convergência
Observemos que∣∣∣(−1)n 1
2n+1
∣∣∣= ∣∣∣ 1
2n+1
∣∣∣= 1
2n+1
, para n ≥ 1.
Por definição, temos que determinar n tal que
1
2n+1
< ξ .
Resolvendo a inequação para n, obtemos
n >
1−ξ
2ξ
.
Portanto, tomando
N =
1−ξ
2ξ
,
temos que |(−1)n 12n+1 −0|< ξ , para todo n > N. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 22 / 58
Sequências Numéricas - Convergência
Observemos que∣∣∣(−1)n 1
2n+1
∣∣∣= ∣∣∣ 1
2n+1
∣∣∣= 1
2n+1
, para n ≥ 1.
Por definição, temos que determinar n tal que
1
2n+1
< ξ .
Resolvendo a inequação para n, obtemos
n >
1−ξ
2ξ
.
Portanto, tomando
N =
1−ξ
2ξ
,
temos que |(−1)n 12n+1 −0|< ξ , para todo n > N. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 22 / 58
Sequências Numéricas - Convergência
Observemos que∣∣∣(−1)n 1
2n+1
∣∣∣= ∣∣∣ 1
2n+1
∣∣∣= 1
2n+1
, para n ≥ 1.
Por definição, temos que determinar n tal que
1
2n+1
< ξ .
Resolvendo a inequação para n, obtemos
n >
1−ξ
2ξ
.
Portanto, tomando
N =
1−ξ
2ξ
,
temos que |(−1)n 12n+1 −0|< ξ , para todo n > N. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 22 / 58
Sequências Numéricas - Convergência
Observemos que∣∣∣(−1)n 1
2n+1
∣∣∣= ∣∣∣ 1
2n+1
∣∣∣= 1
2n+1
, para n ≥ 1.
Por definição, temos que determinar n tal que
1
2n+1
< ξ .
Resolvendo a inequação para n, obtemos
n >
1−ξ
2ξ
.
Portanto, tomando
N =
1−ξ
2ξ
,
temos que |(−1)n 12n+1−0|< ξ , para todo n > N. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 22 / 58
Sequências Numéricas - Divergência
Mostrar que an = (−1)n+1 n−1n não possui limite (diverge).
Podemos ver que os termos da sequência oscilam e se
aproximam de 1 quando n é impar e de −1 quando n é par.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 23 / 58
Sequências Numéricas - Divergência
Mostrar que an = (−1)n+1 n−1n não possui limite (diverge).
Podemos ver que os termos da sequência oscilam e se
aproximam de 1 quando n é impar e de −1 quando n é par.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 23 / 58
Sequências Numéricas - Divergência
Para mostrar que
an = (−1)n+1n−1n
diverge (não possui limite), vamos supor, por absurdo, que an
converge, ou seja, que an → L.
Se an → L, por definição, para todo número ξ > 0, deve existir
um inteiro N, tal que a distância entre os termos an com n > N e
L é menor do que ξ .
Tomando ξ = 110 , L= 1, e escrevendo |an−1|, para n impar,
temos |n−1n −1|= |− 1n |= 1n , para n ≥ 1 e 1n < 110 ⇒ n > 10.
Podemos ver que todos os termos an, com n > 10 e impar,
estão a uma disância de L= 1 menor do que 110 .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 24 / 58
Sequências Numéricas - Divergência
Para mostrar que
an = (−1)n+1n−1n
diverge (não possui limite), vamos supor, por absurdo, que an
converge, ou seja, que an → L.
Se an → L, por definição, para todo número ξ > 0, deve existir
um inteiro N, tal que a distância entre os termos an com n > N e
L é menor do que ξ .
Tomando ξ = 110 , L= 1, e escrevendo |an−1|, para n impar,
temos |n−1n −1|= |− 1n |= 1n , para n ≥ 1 e 1n < 110 ⇒ n > 10.
Podemos ver que todos os termos an, com n > 10 e impar,
estão a uma disância de L= 1 menor do que 110 .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 24 / 58
Sequências Numéricas - Divergência
Para mostrar que
an = (−1)n+1n−1n
diverge (não possui limite), vamos supor, por absurdo, que an
converge, ou seja, que an → L.
Se an → L, por definição, para todo número ξ > 0, deve existir
um inteiro N, tal que a distância entre os termos an com n > N e
L é menor do que ξ .
Tomando ξ = 110 , L= 1, e escrevendo |an−1|, para n impar,
temos |n−1n −1|= |− 1n |= 1n , para n ≥ 1 e 1n < 110 ⇒ n > 10.
Podemos ver que todos os termos an, com n > 10 e impar,
estão a uma disância de L= 1 menor do que 110 .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 24 / 58
Sequências Numéricas - Divergência
Para mostrar que
an = (−1)n+1n−1n
diverge (não possui limite), vamos supor, por absurdo, que an
converge, ou seja, que an → L.
Se an → L, por definição, para todo número ξ > 0, deve existir
um inteiro N, tal que a distância entre os termos an com n > N e
L é menor do que ξ .
Tomando ξ = 110 , L= 1, e escrevendo |an−1|, para n impar,
temos |n−1n −1|= |− 1n |= 1n , para n ≥ 1 e 1n < 110 ⇒ n > 10.
Podemos ver que todos os termos an, com n > 10 e impar,
estão a uma disância de L= 1 menor do que 110 .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 24 / 58
Sequências Numéricas - Divergência
Por outro lado, considerando n > 10 e par, os termos an =−n−1n
estão a uma disância maior do que 110 de L= 1.
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Sequências Numéricas - Divergência
De fato:
|(−n−1n )−1|= |1−2nn |= |1n −2|= 2− 1n > 110 para todo n > 10.
Como an, para todo n > 10 e par, esta fora do intervalo
(1− 110 ,1+ 110), contrariando a nossa hipótese inicial, de que
an → L, com L= 1, Concluímos que a sequência diverge. 2
Observação: A demonstração é análoga tomando L=−1.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 26 / 58
Sequências Numéricas - Divergência
De fato:
|(−n−1n )−1|= |1−2nn |= |1n −2|= 2− 1n > 110 para todo n > 10.
Como an, para todo n > 10 e par, esta fora do intervalo
(1− 110 ,1+ 110), contrariando a nossa hipótese inicial, de que
an → L, com L= 1, Concluímos que a sequência diverge. 2
Observação: A demonstração é análoga tomando L=−1.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 26 / 58
Sequências Numéricas - Divergência
De fato:
|(−n−1n )−1|= |1−2nn |= |1n −2|= 2− 1n > 110 para todo n > 10.
Como an, para todo n > 10 e par, esta fora do intervalo
(1− 110 ,1+ 110), contrariando a nossa hipótese inicial, de que
an → L, com L= 1, Concluímos que a sequência diverge. 2
Observação: A demonstração é análoga tomando L=−1.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 26 / 58
Sequências Numéricas - Divergência para o infinito
Definição
A sequência {an} diverge para o infinito se para todo número
real positivo M existe um inteiro N, tal que an >M sempre que
n > N. E, neste caso, lim
n→∞an = ∞.
Analogamente, se an <−M, sempre que n > N, temos
lim
n→∞an =−∞.
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Sequências Numéricas - Limite
Calcular o limite de uma sequência usando a definição é uma
tarefa bastante trabalhosa.
Existem resultados (Teoremas) que permitem o cálculo do limite
de uma sequência a partir de sequências de limites conhecidos
e/ou associando uma função real a sequência dada.
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Sequências Numéricas - Limite
Teorema - propriedades do limite
Sejam {an}, {bn} sequências e A, B números reais. Se
lim
n→∞an = A e limn→∞bn = B,
as seguintes propriedades são verdadeiras.
1 Soma: lim
n→∞(an+bn) = A+B
2 Diferença: lim
n→∞(an−bn) = A−B
3 Produto: lim
n→∞anbn = AB
4 Multiplicação por constante: lim
n→∞(k an) = k A, k ∈ R.
5 Quociente: lim
n→∞
an
bn
=
A
B
se B 6= 0.
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Sequências Numéricas - Exemplos
Sabendo que lim
n→∞
n−1
n
= 1, determinar:
1. lim
n→∞
1
n
.
(Observemos que lim
n→∞(1−
1
n
) = 1, logo, lim
n→∞
1
n
= 0).
2. lim
n→∞
1−n
n
. ( 1−nn = (−1)n−1n )
3. lim
n→∞
n−1
3n
. ( n−13n =
1
3
n−1
n )
4. lim
n→∞
n2−2n+1
n2
. ( n2−2n+1n2 =
(n−1)2
n2 )
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 30 / 58
Sequências Numéricas - Exemplos
Sabendo que lim
n→∞
n−1
n
= 1, determinar:
1. lim
n→∞
1
n
.
(Observemos que lim
n→∞(1−
1
n
) = 1, logo, lim
n→∞
1
n
= 0).
2. lim
n→∞
1−n
n
. ( 1−nn = (−1)n−1n )
3. lim
n→∞
n−1
3n
. ( n−13n =
1
3
n−1
n )
4. lim
n→∞
n2−2n+1
n2
. ( n2−2n+1n2 =
(n−1)2
n2 )
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 30 / 58
Sequências Numéricas - Exemplos
Sabendo que lim
n→∞
n−1
n
= 1, determinar:
1. lim
n→∞
1
n
.
(Observemos que lim
n→∞(1−
1
n
) = 1, logo, lim
n→∞
1
n
= 0).
2. lim
n→∞
1−n
n
.
( 1−nn = (−1)n−1n )
3. lim
n→∞
n−1
3n
. ( n−13n =
1
3
n−1
n )
4. lim
n→∞
n2−2n+1
n2
. ( n2−2n+1n2 =
(n−1)2
n2 )
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 30 / 58
Sequências Numéricas - Exemplos
Sabendo que lim
n→∞
n−1
n
= 1, determinar:
1. lim
n→∞
1
n
.
(Observemos que lim
n→∞(1−
1
n
) = 1, logo, lim
n→∞
1
n
= 0).
2. lim
n→∞
1−n
n
. ( 1−nn = (−1)n−1n )
3. lim
n→∞
n−1
3n
. ( n−13n =
1
3
n−1
n )
4. lim
n→∞
n2−2n+1
n2
. ( n2−2n+1n2 =
(n−1)2
n2 )
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 30 / 58
Sequências Numéricas - Exemplos
Sabendo que lim
n→∞n−1
n
= 1, determinar:
1. lim
n→∞
1
n
.
(Observemos que lim
n→∞(1−
1
n
) = 1, logo, lim
n→∞
1
n
= 0).
2. lim
n→∞
1−n
n
. ( 1−nn = (−1)n−1n )
3. lim
n→∞
n−1
3n
.
( n−13n =
1
3
n−1
n )
4. lim
n→∞
n2−2n+1
n2
. ( n2−2n+1n2 =
(n−1)2
n2 )
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 30 / 58
Sequências Numéricas - Exemplos
Sabendo que lim
n→∞
n−1
n
= 1, determinar:
1. lim
n→∞
1
n
.
(Observemos que lim
n→∞(1−
1
n
) = 1, logo, lim
n→∞
1
n
= 0).
2. lim
n→∞
1−n
n
. ( 1−nn = (−1)n−1n )
3. lim
n→∞
n−1
3n
. ( n−13n =
1
3
n−1
n )
4. lim
n→∞
n2−2n+1
n2
. ( n2−2n+1n2 =
(n−1)2
n2 )
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 30 / 58
Sequências Numéricas - Exemplos
Sabendo que lim
n→∞
n−1
n
= 1, determinar:
1. lim
n→∞
1
n
.
(Observemos que lim
n→∞(1−
1
n
) = 1, logo, lim
n→∞
1
n
= 0).
2. lim
n→∞
1−n
n
. ( 1−nn = (−1)n−1n )
3. lim
n→∞
n−1
3n
. ( n−13n =
1
3
n−1
n )
4. lim
n→∞
n2−2n+1
n2
.
( n2−2n+1n2 =
(n−1)2
n2 )
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 30 / 58
Sequências Numéricas - Exemplos
Sabendo que lim
n→∞
n−1
n
= 1, determinar:
1. lim
n→∞
1
n
.
(Observemos que lim
n→∞(1−
1
n
) = 1, logo, lim
n→∞
1
n
= 0).
2. lim
n→∞
1−n
n
. ( 1−nn = (−1)n−1n )
3. lim
n→∞
n−1
3n
. ( n−13n =
1
3
n−1
n )
4. lim
n→∞
n2−2n+1
n2
. ( n2−2n+1n2 =
(n−1)2
n2 )
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 30 / 58
Sequências Numéricas - Teoremas
Teorema do confronto para sequências.
Sejam {an}, {bn} e {cn} sequências de números reais.
Se
an ≤ bn ≤ cn
for verdadeiro para todo n além de algum índice N (n > N) e se
lim
n→∞an = limn→∞cn = L,
então
lim
n→∞bn = L.
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Sequências Numéricas - Exemplo
1. A sequência an =
sen n
n
converge para 0(zero).
De fato:
Sabemos que
−1≤ sen n ≤ 1.
Para n > 0, temos
−1
n
≤ sen n
n
≤ 1
n
.
Como lim
n→∞
1
n
= 0, pelo teorema do confronto concluímos que
lim
n→∞
sen n
n
= 0,
ou seja, a sequência {sen n
n
} converge para 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 32 / 58
Sequências Numéricas - Exemplo
1. A sequência an =
sen n
n
converge para 0(zero).
De fato:
Sabemos que
−1≤ sen n ≤ 1.
Para n > 0, temos
−1
n
≤ sen n
n
≤ 1
n
.
Como lim
n→∞
1
n
= 0, pelo teorema do confronto concluímos que
lim
n→∞
sen n
n
= 0,
ou seja, a sequência {sen n
n
} converge para 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 32 / 58
Sequências Numéricas - Exemplo
1. A sequência an =
sen n
n
converge para 0(zero).
De fato:
Sabemos que
−1≤ sen n ≤ 1.
Para n > 0, temos
−1
n
≤ sen n
n
≤ 1
n
.
Como lim
n→∞
1
n
= 0, pelo teorema do confronto concluímos que
lim
n→∞
sen n
n
= 0,
ou seja, a sequência {sen n
n
} converge para 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 32 / 58
Sequências Numéricas - Exemplo
1. A sequência an =
sen n
n
converge para 0(zero).
De fato:
Sabemos que
−1≤ sen n ≤ 1.
Para n > 0, temos
−1
n
≤ sen n
n
≤ 1
n
.
Como lim
n→∞
1
n
= 0,
pelo teorema do confronto concluímos que
lim
n→∞
sen n
n
= 0,
ou seja, a sequência {sen n
n
} converge para 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 32 / 58
Sequências Numéricas - Exemplo
1. A sequência an =
sen n
n
converge para 0(zero).
De fato:
Sabemos que
−1≤ sen n ≤ 1.
Para n > 0, temos
−1
n
≤ sen n
n
≤ 1
n
.
Como lim
n→∞
1
n
= 0, pelo teorema do confronto concluímos que
lim
n→∞
sen n
n
= 0,
ou seja, a sequência {sen n
n
} converge para 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 32 / 58
Sequências Numéricas - Exemplo
1. A sequência an =
sen n
n
converge para 0(zero).
De fato:
Sabemos que
−1≤ sen n ≤ 1.
Para n > 0, temos
−1
n
≤ sen n
n
≤ 1
n
.
Como lim
n→∞
1
n
= 0, pelo teorema do confronto concluímos que
lim
n→∞
sen n
n
= 0,
ou seja, a sequência {sen n
n
} converge para 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 32 / 58
Sequências Numéricas - Exemplo
2. A sequência { n!
nn
} converge?
Observemos que
(n=2) 12 ≤ 12
(n=3) 13 · 23 ≤ 13
(n=4) 14 · 24 · 34 ≤ 14
(n=5) 15 · 25 · 35 · 45 ≤ 15
...
(n=n) 1n · 2n · 3n · 4n · · · n−1n ≤ 1n ou n!nn ≤ 1n
Como lim
n→∞
1
n
= 0, pelo teorema do confronto concluímos que a
sequência { n!
nn
} converge para 0, ou seja, lim
n→∞
n!
nn
= 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 33 / 58
Sequências Numéricas - Exemplo
2. A sequência { n!
nn
} converge?
Observemos que
(n=2) 12 ≤ 12
(n=3) 13 · 23 ≤ 13
(n=4) 14 · 24 · 34 ≤ 14
(n=5) 15 · 25 · 35 · 45 ≤ 15
...
(n=n) 1n · 2n · 3n · 4n · · · n−1n ≤ 1n ou n!nn ≤ 1n
Como lim
n→∞
1
n
= 0, pelo teorema do confronto concluímos que a
sequência { n!
nn
} converge para 0, ou seja, lim
n→∞
n!
nn
= 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 33 / 58
Sequências Numéricas - Exemplo
2. A sequência { n!
nn
} converge?
Observemos que
(n=2) 12 ≤ 12
(n=3) 13 · 23 ≤ 13
(n=4) 14 · 24 · 34 ≤ 14
(n=5) 15 · 25 · 35 · 45 ≤ 15
...
(n=n) 1n · 2n · 3n · 4n · · · n−1n ≤ 1n ou n!nn ≤ 1n
Como lim
n→∞
1
n
= 0, pelo teorema do confronto concluímos que a
sequência { n!
nn
} converge para 0, ou seja, lim
n→∞
n!
nn
= 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 33 / 58
Sequências Numéricas - Exemplo
2. A sequência { n!
nn
} converge?
Observemos que
(n=2) 12 ≤ 12
(n=3) 13 · 23 ≤ 13
(n=4) 14 · 24 · 34 ≤ 14
(n=5) 15 · 25 · 35 · 45 ≤ 15
...
(n=n) 1n · 2n · 3n · 4n · · · n−1n ≤ 1n ou n!nn ≤ 1n
Como lim
n→∞
1
n
= 0, pelo teorema do confronto concluímos que a
sequência { n!
nn
} converge para 0, ou seja, lim
n→∞
n!
nn
= 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 33 / 58
Sequências Numéricas - Exemplo
2. A sequência { n!
nn
} converge?
Observemos que
(n=2) 12 ≤ 12
(n=3) 13 · 23 ≤ 13
(n=4) 14 · 24 · 34 ≤ 14
(n=5) 15 · 25 · 35 · 45 ≤ 15
...
(n=n) 1n · 2n · 3n · 4n · · · n−1n ≤ 1n ou n!nn ≤ 1n
Como lim
n→∞
1
n
= 0, pelo teorema do confronto concluímos que a
sequência { n!
nn
} converge para 0, ou seja, lim
n→∞
n!
nn
= 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 33 / 58
Sequências Numéricas - Exemplo
2. A sequência { n!
nn
} converge?
Observemos que
(n=2) 12 ≤ 12
(n=3) 13 · 23 ≤ 13
(n=4) 14 · 24 · 34 ≤ 14
(n=5) 15 · 25 · 35 · 45 ≤ 15
...
(n=n) 1n · 2n · 3n · 4n · · · n−1n ≤ 1n ou n!nn ≤ 1n
Como lim
n→∞
1
n
= 0, pelo teorema do confronto concluímos que a
sequência { n!
nn
} converge para 0, ou seja, lim
n→∞
n!
nn
= 0.
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Sequências Numéricas - Exemplo
2. A sequência { n!
nn
} converge?
Observemos que
(n=2) 12 ≤ 12
(n=3) 13 · 23 ≤ 13
(n=4) 14 · 24 · 34 ≤ 14
(n=5) 15 · 25 · 35 · 45 ≤ 15
...
(n=n) 1n · 2n · 3n · 4n · · · n−1n ≤ 1n ou n!nn ≤ 1n
Como lim
n→∞
1
n
= 0, pelo teorema do confronto concluímos que a
sequência { n!
nn
} converge para 0, ou seja,lim
n→∞
n!
nn
= 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 33 / 58
Sequências Numéricas - Teoremas
Sequências e funções contínuas
Suponha que f (x) seja uma função definida para todo x ≥ N e
que {an} seja uma sequência de números reais tal que
an = f (n) para todo n ≥ N. Então,
1 lim
n→∞ f (x) = L⇒ limn→∞an = L.
2 lim
n→∞ f (x) = ∞( ou −∞)⇒ limn→∞an = ∞( ou −∞).
observação: Os teoremas apresentados permitem o uso de
resultados de funções continuas para investigar a convergência
ou divergência de sequências.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 34 / 58
Sequências Numéricas - Exemplos
Escrever os quatro primeiros termos e calcular, se existir, o
limite das sequências abaixo.
1. an =
1−2n
1+2n
2. an =
ln(n+1)√
n
3. an = n
√
n
4. an =
sen2n
2n
5. an =
n+(−1)n
n
6. an =
1−n
2n+1
.
7. an = (−1)n n
2
1+n2
8. an = (−1)n+1 1n2+n
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 35 / 58
Limite de uma sequência - Teorema
Limites que ocorrem frequentemente
A sequencias listadas abaixo, convergem para os limites dados.
1. an =
{ n√n}, lim
n→∞
n
√
n = 1
2. an =
{
a
1
n
}
, lim
n→∞a
1
n = 1 (a> 0)
3. an =
{
an
}
, lim
n→∞a
n = 0 (|a|< 1)
4. an =
{(
1+
a
n
)n}, lim
n→∞
(
1+
a
n
)n
= ea (a real)
5. an =
{an
n!
}
, lim
n→∞
an
n!
= 0 (a real)
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 36 / 58
Sumário
1 Sequencias Numéricas
Sequências Numéricas
Limite de uma sequência
Teoremas
Sequências definidas recursivamente
Sequências Crescentes ou decrescentes
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 37 / 58
Sequências definidas recursivamente
Os termos de uma sequência podem ser definidos
recursivamente a partir de termos iniciais e de uma regra que
determina os demais termos.
Exemplos:
1. Termo inicial: a1 = 2
Demais termos: an =−an−1+2n.
Sequência: {2,2,4,4,6, ....}
2. a1 = 2, a2 = 2 e an+1 = an+an−1.
Sequência de fibonaci.
3. a1 = 1 e an+1 = ann+1 .
4. a1 = 2, a2 =−1 e an+2 = an+1an .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 38 / 58
Sequências definidas recursivamente
Os termos de uma sequência podem ser definidos
recursivamente a partir de termos iniciais e de uma regra que
determina os demais termos.
Exemplos:
1. Termo inicial: a1 = 2
Demais termos: an =−an−1+2n.
Sequência: {2,2,4,4,6, ....}
2. a1 = 2, a2 = 2 e an+1 = an+an−1.
Sequência de fibonaci.
3. a1 = 1 e an+1 = ann+1 .
4. a1 = 2, a2 =−1 e an+2 = an+1an .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 38 / 58
Sequências definidas recursivamente
Os termos de uma sequência podem ser definidos
recursivamente a partir de termos iniciais e de uma regra que
determina os demais termos.
Exemplos:
1. Termo inicial: a1 = 2
Demais termos: an =−an−1+2n.
Sequência: {2,2,4,4,6, ....}
2. a1 = 2, a2 = 2 e an+1 = an+an−1.
Sequência de fibonaci.
3. a1 = 1 e an+1 = ann+1 .
4. a1 = 2, a2 =−1 e an+2 = an+1an .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 38 / 58
Sequências definidas recursivamente
Os termos de uma sequência podem ser definidos
recursivamente a partir de termos iniciais e de uma regra que
determina os demais termos.
Exemplos:
1. Termo inicial: a1 = 2
Demais termos: an =−an−1+2n.
Sequência: {2,2,4,4,6, ....}
2. a1 = 2, a2 = 2 e an+1 = an+an−1.
Sequência de fibonaci.
3. a1 = 1 e an+1 = ann+1 .
4. a1 = 2, a2 =−1 e an+2 = an+1an .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 38 / 58
Sequências definidas recursivamente
Os termos de uma sequência podem ser definidos
recursivamente a partir de termos iniciais e de uma regra que
determina os demais termos.
Exemplos:
1. Termo inicial: a1 = 2
Demais termos: an =−an−1+2n.
Sequência: {2,2,4,4,6, ....}
2. a1 = 2, a2 = 2 e an+1 = an+an−1.
Sequência de fibonaci.
3. a1 = 1 e an+1 = ann+1 .
4. a1 = 2, a2 =−1 e an+2 = an+1an .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 38 / 58
Sequências definidas recursivamente
Os termos de uma sequência podem ser definidos
recursivamente a partir de termos iniciais e de uma regra que
determina os demais termos.
Exemplos:
1. Termo inicial: a1 = 2
Demais termos: an =−an−1+2n.
Sequência: {2,2,4,4,6, ....}
2. a1 = 2, a2 = 2 e an+1 = an+an−1.
Sequência de fibonaci.
3. a1 = 1 e an+1 = ann+1 .
4. a1 = 2, a2 =−1 e an+2 = an+1an .
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 38 / 58
Sequências definidas recursivamente
Como calcular o limite de uma sequência da recursivamente?
Nestes casos devemos estudar o comportamento dos termos
da sequência, usando o conceito de limite e teoremas, ou seja,
verificar se a sequência e crescente ou decrescente, se é
limitada ou ilimitada, para então, concluir se o limite existe.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 39 / 58
Sequências definidas recursivamente
Como calcular o limite de uma sequência da recursivamente?
Nestes casos devemos estudar o comportamento dos termos
da sequência, usando o conceito de limite e teoremas, ou seja,
verificar se a sequência e crescente ou decrescente, se é
limitada ou ilimitada, para então, concluir se o limite existe.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 39 / 58
Sumário
1 Sequencias Numéricas
Sequências Numéricas
Limite de uma sequência
Teoremas
Sequências definidas recursivamente
Sequências Crescentes ou decrescentes
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 40 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes e decrescentes
Definição
Sequencia Crescente: Uma sequência {an} é dita crescente
se {an ≤ an+1} para todo n.
Sequencia Decrescente: Uma sequência {an} é dita
decrescente se {an ≥ an+1} para todo n.
Exemplo - Verificar se as afirmações são verdadeiras.
1. {
√
2n
n+1} é crescente.
2. { n2n } é decrescente.
3. { n+12n−1} é decrescente.
4. {2n 3nn! } é decrescente.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 41 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes ou decrescentes
Dado uma sequência {an}, para verificar se é crescente ou
decrescente, podemos usar:
- A definição ou
- A derivada de uma função continua associada a
sequência dada.
"Uma função é crescente (decrescente), então a sua
derivada é positiva (negativa)".
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 42 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes ou decrescentes
- Exemplo
Verificando se {
√
2n
n+1} é crescente.
1. Usando a definição. Vamos verificar se√
2n
n+1
≤
√
2(n+1)
n+2
.
Considerando que a,b > 0,a< b⇒√a≤√b, basta mostrar que
2n
n+1
≤ 2(n+1)
n+2
.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 43 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes ou decrescentes
- Exemplo
Verificando se {
√
2n
n+1} é crescente.
1. Usando a definição. Vamos verificar se√
2n
n+1
≤
√
2(n+1)
n+2
.
Considerando que a,b > 0,a< b⇒√a≤√b, basta mostrar que
2n
n+1
≤ 2(n+1)
n+2
.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 43 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes ou decrescentes
- Exemplo
Resolvendo a inequação, obtemos
2n(n+2)≤ 2(n+1)(n+1)
2n2+4n ≤ 2n2+4n+2.
4n ≤ 4n+2.
Mostrando que an ≤ an+1. Logo {
√
2n
n+1} é crescente. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 44 / 58
Sequências Numéricas- Crescentes ou decrescentes
- Exemplo
Resolvendo a inequação, obtemos
2n(n+2)≤ 2(n+1)(n+1)
2n2+4n ≤ 2n2+4n+2.
4n ≤ 4n+2.
Mostrando que an ≤ an+1. Logo {
√
2n
n+1} é crescente. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 44 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes ou decrescentes
- Exemplo
Resolvendo a inequação, obtemos
2n(n+2)≤ 2(n+1)(n+1)
2n2+4n ≤ 2n2+4n+2.
4n ≤ 4n+2.
Mostrando que an ≤ an+1. Logo {
√
2n
n+1} é crescente. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 44 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes ou decrescentes
- Exemplo
Verificando se {
√
2n
n+1} é crescente.
2. Usando a derivada de uma função. Tomemos
f (x) =
√
2x
x +1
.
A função f é continua para todo x ≥ 1, calculando a sua
derivada, verificamos que
f ′(x) =
1
2
√
2x
x+1
2(x +1)−2x
(x +1)2
=
1√
2x
x+1
1
(x +1)2
≥ 0, para todo x .
Portanto, {
√
2n
n+1} é crescente. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 45 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes ou decrescentes
- Exemplo
Verificando se {
√
2n
n+1} é crescente.
2. Usando a derivada de uma função. Tomemos
f (x) =
√
2x
x +1
.
A função f é continua para todo x ≥ 1, calculando a sua
derivada,
verificamos que
f ′(x) =
1
2
√
2x
x+1
2(x +1)−2x
(x +1)2
=
1√
2x
x+1
1
(x +1)2
≥ 0, para todo x .
Portanto, {
√
2n
n+1} é crescente. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 45 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes ou decrescentes
- Exemplo
Verificando se {
√
2n
n+1} é crescente.
2. Usando a derivada de uma função. Tomemos
f (x) =
√
2x
x +1
.
A função f é continua para todo x ≥ 1, calculando a sua
derivada, verificamos que
f ′(x) =
1
2
√
2x
x+1
2(x +1)−2x
(x +1)2
=
1√
2x
x+1
1
(x +1)2
≥ 0, para todo x .
Portanto, {
√
2n
n+1} é crescente. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 45 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes ou decrescentes
- Exemplo
Verificando se {
√
2n
n+1} é crescente.
2. Usando a derivada de uma função. Tomemos
f (x) =
√
2x
x +1
.
A função f é continua para todo x ≥ 1, calculando a sua
derivada, verificamos que
f ′(x) =
1
2
√
2x
x+1
2(x +1)−2x
(x +1)2
=
1√
2x
x+1
1
(x +1)2
≥ 0, para todo x .
Portanto, {
√
2n
n+1} é crescente. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 45 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes ou decrescentes
- Exemplo
Verificando se { n
2n
} é decrescente.
1. Usando a definição. Vamos verificar se
n
2n
≥ n+1
2n+1
.
n
2n
≥ n+1
2(2n)
⇒ n ≥ n+1
2
⇒ 2n ≥ n+1⇒ n ≥ 1.
Portanto, {
√
2n
n+1} é decrescente para todo n ≥ 1. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 46 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes ou decrescentes
- Exemplo
Verificando se { n
2n
} é decrescente.
1. Usando a definição. Vamos verificar se
n
2n
≥ n+1
2n+1
.
n
2n
≥ n+1
2(2n)
⇒ n ≥ n+1
2
⇒ 2n ≥ n+1⇒ n ≥ 1.
Portanto, {
√
2n
n+1} é decrescente para todo n ≥ 1. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 46 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes ou decrescentes
- Exemplo
Verificando se { n
2n
} é decrescente.
2. Usando a derivada de uma função. Tomemos
f (x) =
x
ex
.
A função f é continua para todo x ≥ 1, calculando a sua
derivada, verificamos que
f ′(x) =
2x −x2x ln 2
22x
=
1−x ln 2
2x
≤ 0, para todo x ≥ 1
ln2
.
Portanto, podemos concluir que {
√
2n
n+1} é decrescente para
todo n > 1. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 47 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes ou decrescentes
- Exemplo
Verificando se { n
2n
} é decrescente.
2. Usando a derivada de uma função. Tomemos
f (x) =
x
ex
.
A função f é continua para todo x ≥ 1, calculando a sua
derivada,
verificamos que
f ′(x) =
2x −x2x ln 2
22x
=
1−x ln 2
2x
≤ 0, para todo x ≥ 1
ln2
.
Portanto, podemos concluir que {
√
2n
n+1} é decrescente para
todo n > 1. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 47 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes ou decrescentes
- Exemplo
Verificando se { n
2n
} é decrescente.
2. Usando a derivada de uma função. Tomemos
f (x) =
x
ex
.
A função f é continua para todo x ≥ 1, calculando a sua
derivada, verificamos que
f ′(x) =
2x −x2x ln 2
22x
=
1−x ln 2
2x
≤ 0, para todo x ≥ 1
ln2
.
Portanto, podemos concluir que {
√
2n
n+1} é decrescente para
todo n > 1. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 47 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes ou decrescentes
- Exemplo
Verificando se { n
2n
} é decrescente.
2. Usando a derivada de uma função. Tomemos
f (x) =
x
ex
.
A função f é continua para todo x ≥ 1, calculando a sua
derivada, verificamos que
f ′(x) =
2x −x2x ln 2
22x
=
1−x ln 2
2x
≤ 0, para todo x ≥ 1
ln2
.
Portanto, podemos concluir que {
√
2n
n+1} é decrescente para
todo n > 1. 2
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 47 / 58
Sequências Numéricas - Crescentes ou decrescentes
- Exemplo
Verificando se { n
2n
} é decrescente.
Por que os dois métodos usados deram resultados diferentes
(n ≥ 1 e n > 1)? Observe a figura abaixo.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 48 / 58
Sequências Numéricas - Limitadas
Definição
Uma sequência {an} é limitada superiormente se existe um
número M tal que an ≤M para todo n.
O número M é um limitante superior para {an}.
Se não existir nenhum outro limitante superior para {an} menor
do que M, então M é o menor limitante superior para {an}.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 49 / 58
Sequências Numéricas - Limitadas
Definição
Uma sequência {an} é limitada inferiormente se existe um
número M tal que an ≥M para todo n.
O número M é um limitante inferior para {an}.
Se não existir nenhum outro limitante inferior para {an} maior do
que M, então M é o maior limitante inferior para {an}.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 50 / 58
Sequências Numéricas Limitadas - Exemplos
1. an = 1+(−1)n+1
{2,0,2,0, ...}
Limitante superior = 2; Limitante inferior = 0.
2. an = cos(npi)
{−1,1,−1,1, ...}
Limitante superior = 1; Limitante inferior =
−1.
3. an = 1n
{1, 1
2
,
1
3
,
1
4
, ...}
Limitante superior = 1; Limitante inferior = 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 51 / 58
Sequências Numéricas Limitadas - Exemplos
1. an = 1+(−1)n+1
{2,0,2,0, ...}
Limitante superior = 2; Limitante inferior = 0.
2. an = cos(npi)
{−1,1,−1,1, ...}
Limitante superior = 1; Limitante inferior =
−1.
3. an = 1n
{1, 1
2
,
1
3
,
1
4
, ...}
Limitante superior = 1; Limitante inferior = 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 51 / 58
Sequências Numéricas Limitadas - Exemplos
1. an = 1+(−1)n+1
{2,0,2,0, ...}
Limitante superior = 2; Limitante inferior = 0.
2. an = cos(npi)
{−1,1,−1,1, ...}
Limitante superior = 1; Limitante inferior =
−1.
3. an = 1n
{1, 1
2
,
1
3
,
1
4
, ...}
Limitante superior = 1; Limitante inferior = 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 51 / 58
Sequências Numéricas Limitadas - Exemplos
1. an = 1+(−1)n+1
{2,0,2,0,...}
Limitante superior = 2; Limitante inferior = 0.
2. an = cos(npi)
{−1,1,−1,1, ...}
Limitante superior = 1; Limitante inferior =
−1.
3. an = 1n
{1, 1
2
,
1
3
,
1
4
, ...}
Limitante superior = 1; Limitante inferior = 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 51 / 58
Sequências Numéricas Limitadas - Exemplos
1. an = 1+(−1)n+1
{2,0,2,0, ...}
Limitante superior = 2; Limitante inferior = 0.
2. an = cos(npi)
{−1,1,−1,1, ...}
Limitante superior = 1; Limitante inferior =
−1.
3. an = 1n
{1, 1
2
,
1
3
,
1
4
, ...}
Limitante superior = 1; Limitante inferior = 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 51 / 58
Sequências Numéricas Limitadas - Exemplos
1. an = 1+(−1)n+1
{2,0,2,0, ...}
Limitante superior = 2; Limitante inferior = 0.
2. an = cos(npi)
{−1,1,−1,1, ...}
Limitante superior = 1; Limitante inferior =
−1.
3. an = 1n
{1, 1
2
,
1
3
,
1
4
, ...}
Limitante superior = 1; Limitante inferior = 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 51 / 58
Sequências Numéricas Limitadas - Exemplos
1. an = 1+(−1)n+1
{2,0,2,0, ...}
Limitante superior = 2; Limitante inferior = 0.
2. an = cos(npi)
{−1,1,−1,1, ...}
Limitante superior = 1; Limitante inferior =
−1.
3. an = 1n
{1, 1
2
,
1
3
,
1
4
, ...}
Limitante superior = 1; Limitante inferior = 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 51 / 58
Sequências Numéricas Limitadas - Exemplos
1. an = 1+(−1)n+1
{2,0,2,0, ...}
Limitante superior = 2; Limitante inferior = 0.
2. an = cos(npi)
{−1,1,−1,1, ...}
Limitante superior = 1; Limitante inferior =
−1.
3. an = 1n
{1, 1
2
,
1
3
,
1
4
, ...}
Limitante superior = 1; Limitante inferior = 0.
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 51 / 58
Sequências Numéricas Limitadas - Convergência
Teorema da sequência crescente
Uma sequência crescente {an} converge se e somente se é
limitada superiormente.
Se uma sequência crescente {an} converge, ela o faz para o
seu menor limitante superior.
Exemplo.
Já mostramos que {
√
2n
n+1} é crescente. Essa sequência possui
um menor limitante superior?
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 52 / 58
Sequências Numéricas Limitadas - Convergência
Teorema da sequência crescente
Uma sequência crescente {an} converge se e somente se é
limitada superiormente.
Se uma sequência crescente {an} converge, ela o faz para o
seu menor limitante superior.
Exemplo.
Já mostramos que {
√
2n
n+1} é crescente. Essa sequência possui
um menor limitante superior?
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 52 / 58
Sequências Numéricas Limitadas - Convergência
Teorema da sequência decrescente
Uma sequência decrescente {an} converge se e somente se é
limitada inferiormente.
Se uma sequência decrescente {an} converge, ela o faz para o
seu maior limitante inferior.
Exemplo.
A sequência {1+
√
2n√
n } é limitada? converge ou diverge?
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 53 / 58
Sequências Numéricas Limitadas - Convergência
Teorema da sequência decrescente
Uma sequência decrescente {an} converge se e somente se é
limitada inferiormente.
Se uma sequência decrescente {an} converge, ela o faz para o
seu maior limitante inferior.
Exemplo.
A sequência {1+
√
2n√
n } é limitada? converge ou diverge?
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 53 / 58
Sequências Numéricas
Toda sequência limitada converge?
FALSO
Contra-exemplo. {cosnpi}
Toda sequência limitada e convergente, converge para o seu
limitante superior ou inferior? FALSO
Contra-exemplo. {(−1)n n2n2+1}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 54 / 58
Sequências Numéricas
Toda sequência limitada converge? FALSO
Contra-exemplo. {cosnpi}
Toda sequência limitada e convergente, converge para o seu
limitante superior ou inferior? FALSO
Contra-exemplo. {(−1)n n2n2+1}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 54 / 58
Sequências Numéricas
Toda sequência limitada converge? FALSO
Contra-exemplo. {cosnpi}
Toda sequência limitada e convergente, converge para o seu
limitante superior ou inferior? FALSO
Contra-exemplo. {(−1)n n2n2+1}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 54 / 58
Sequências Numéricas
Toda sequência limitada converge? FALSO
Contra-exemplo. {cosnpi}
Toda sequência limitada e convergente, converge para o seu
limitante superior ou inferior?
FALSO
Contra-exemplo. {(−1)n n2n2+1}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 54 / 58
Sequências Numéricas
Toda sequência limitada converge? FALSO
Contra-exemplo. {cosnpi}
Toda sequência limitada e convergente, converge para o seu
limitante superior ou inferior? FALSO
Contra-exemplo. {(−1)n n2n2+1}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 54 / 58
Sequências Numéricas
Toda sequência limitada converge? FALSO
Contra-exemplo. {cosnpi}
Toda sequência limitada e convergente, converge para o seu
limitante superior ou inferior? FALSO
Contra-exemplo. {(−1)n n2n2+1}
Rosana M. da Silva (UFCG) Cálculo Diferencial e Integral II Período 2014.1 54 / 58
Sequências Numéricas: + Resultados
Limite e subsequências
Se os termos de uma sequência aparecem em outra na mesma
ordem dada, chamamos a primeira sequência de
subsequência da segunda.
Exemplo.
As sequências {− 2k+12(k+1)+1} e { 2k2(2k)+1} são subsequências de
{(−1)n n
2n+1
}
.
Limite e subsequências - teorema
Se duas subsequências de uma sequência {an} possuem
limites diferentes, então a sequência {an} diverge.
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Sequências Numéricas: + Resultados
Limite e subsequências
Se os termos de uma sequência aparecem em outra na mesma
ordem dada, chamamos a primeira sequência de
subsequência da segunda.
Exemplo.
As sequências {− 2k+12(k+1)+1} e { 2k2(2k)+1} são subsequências de
{(−1)n n
2n+1
}
.
Limite e subsequências - teorema
Se duas subsequências de uma sequência {an} possuem
limites diferentes, então a sequência {an} diverge.
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Sequências Numéricas: + Resultados
Limite e subsequências
Se os termos de uma sequência aparecem em outra na mesma
ordem dada, chamamos a primeira sequência de
subsequência da segunda.
Exemplo.
As sequências {− 2k+12(k+1)+1} e { 2k2(2k)+1} são subsequências de
{(−1)n n
2n+1
}
.
Limite e subsequências - teorema
Se duas subsequências de uma sequência {an} possuem
limites diferentes, então a sequência {an} diverge.
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Sequências Numéricas: + Resultados
Sequências de valores absolutos
Uma sequência {an} converge para 0(zero) se e somente se a
sequências de valores absolutos {|an|} converge para 0(zero).
Exemplo.
a sequência { n2n2+1} converge para 0(zero). Logo {(−1)n n2n2+1}
também converge para 0(zero).
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Sequências Numéricas: + Resultados
Sequências de valores absolutos
Uma sequência {an} converge para 0(zero) se e somente se a
sequências de valores absolutos {|an|} converge para 0(zero).
Exemplo.
a sequência { n2n2+1} converge para 0(zero). Logo {(−1)n n2n2+1}
também converge para 0(zero).
Rosana M. da Silva (UFCG) CálculoDiferencial e Integral II Período 2014.1 56 / 58
Sequências Numéricas - Exemplos
Escrever os quatro primeiros termos e calcular, se existir, o
limite das sequências abaixo.
9. an = n sen 1n
10. an = (−1)n 1n!
11. an = ln(n)− ln(n+1)
12. an = (1n)
1
ln n
13. an = n−
√
n2−1
14. an = (1+ 3n)
n
15. an = 2
n
n! , assumindo que limn→∞a
n = 0, se |a|< 1.
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Sequências - Exercícios
Livro Texto: Thomas 12a edição. Volume 2 - Capítulo 10.
(ou Thomas 11a edição. Volume 2 - Capítulo 11.)
Capítulo 10.1 - página. 10 - Exercícios: 1 - 98.
(ou Capítulo 11.1 - p. 74 - Exercícios: 1 - 84; 97 - 105.)
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	Sequencias Numéricas
	Sequências Numéricas
	Limite de uma sequência
	Sequências definidas recursivamente
	Sequências Crescentes ou decrescentes