Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis (1)

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Analise o seguinte problema: 
 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é 
representado por x1,x2x1,x2 e x3x3, respectivamente, e a função do custo de 
fabricação desses três produtos é representada 
por C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3. Supondo que a 
empresa fabrica 3 unidades do primeiro produto, x1x1, uma unidade do segundo 
produto, x2x2, e quatro unidades do terceiro produto, x3.x3.. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível 
em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 75-76. 
Com base nos conteúdos estudados no RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. 
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a 
alternativa que indica o valor correto para o custo de fabricação destes três produtos é 
dado por: 
Nota: 10.0 
 
A 120 
Você acertou! 
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120 
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) 
 
B 150 
 
C 180 
 
D 200 
 
E 220 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas físicas, 
calcular a área de uma região específica definida por um determinado conjunto de 
curvas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a 
várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do 
segmento de reta dado pela equação y=4xy=4x, no intervalo fechado [0,2][0,2], em 
torno do eixo das abscissas é dada por: 
 
 
Nota: 0.0 
 
A 16ππ 
 
B 16ππ√ 17 17 u.a. 
 
 
 
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) 
 
C √ 17 17 u.a. 
 
D √ 17 π17π u.a. 
 
E 2√ 17 217 u.a. 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado 
para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, 
integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e 
Integral a várias variáveis, calcule o valor da integral de 
linha I=∫Cyzdx+xzdy+xydzI=∫Cyzdx+xzdy+xydz dadas as equações 
paramétricas ⎧⎨⎩x=2ty=t+1z=4t+2{x=2ty=t+1z=4t+2com 0≤t≤10≤t≤1 e assinale a 
alternativa que corresponde a esse valor. 
 
Nota: 0.0 
 
A -12 
 
B 24 
Solução: 
 
Fazendo as substituições x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dtx=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt na integral de linha, temos 
 
I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)∣∣∣10=8+12+4=24.I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)
|01=8+12+4=24. 
 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.153 a p.155 
 
 
C 15 
 
D -20 
 
E 30 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia a seguinte passagem de texto: 
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado 
para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral 
tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a 
várias variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla 
dada por: 
 
Nota: 0.0 
 
A 6 
 
B 10 
 
C 12 
 
 
D 15 
 
E 16 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. 
As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de 
uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o 
cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de 
volume de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Com base no texto acima e nos conteúdos discutidos no livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície 
cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela 
equação y=3x+2y=3x+2 no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das 
abscissas e assinale a alternativa que corresponde a esse valor. 
 
Nota: 0.0 
 
A 25π√ 20 u.a.25π20u.a. 
 
B 20π√ 10 u.a.20π10u.a. 
Solução: 
 
A=2π∫20y(x)√ 1+[y′(x)]2 dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10 ∫20(3x+2)dxA=2π√10 3(3x+22)2∣∣∣20=π√10 3[(3⋅2+2)2−4]=60π√10 3=20π√10 u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a. 
 
 
livro-base p. 15-20 
 
C 22π√ 12 u.a.22π12u.a. 
 
 
 
D 23π√ 13 u.a.23π13u.a. 
 
 
 
E 21π√ 15 u.a.21π15u.a. 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia a seguinte passagem de texto: 
 
O uso de funções de várias variáveis permite modelar situações problema nos quais 
uma variável é afetada pelo comportamento de uma infinidade de outras variáveis. 
Entretanto, para o uso adequado dessa ferramenta é necessário aprender a calcular o 
valor de uma função de várias variáveis em um determinado ponto. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Seja AA um conjunto definido no espaço quadridimensional R4R4 e, a 
função f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2, que associa a quádrupla 
ordenada de números reais à soma de seus quadrados. 
 
Considerando o texto e os conteúdos discutidos no livro-base Cálculo Diferencial e 
Integral a várias variáveis, a alternativa que indica o valor correto 
de f(1,2,3,4)f(1,2,3,4) é: 
Nota: 0.0 
 
A 16 
 
B 25 
 
C 30 
 
f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 30 
 livro-base: p. 75-76 
 
D 36 
 
E 40 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis, a respeito da sequência an=3+7n2n+n2an=3+7n2n+n2, pode-se afirmar que: 
 
 
Nota: 0.0 
 
A é convergente com limite 3. 
 
B é convergente com limite 7. 
Observamos que limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7.limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7. 
Logo, podemos afirmar que a sequência é convergente com limite igual a 7. (livro-base, p. 104-105) 
 
C é convergente com limite 10. 
 
D é divergente. 
 
E é convergente com limite infinito. 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a 
função 
vetorial ⃗F(x,y,z)=2x2y^i+2yz^j+4xyz2^zF→(x,y,z)=2x2yi^+2yzj^+4xyz2z^, o 
divergente de ⃗FF→ é 
 
Nota: 0.0 
 
A ∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz. 
 
 
B ∇⋅⃗F(x,y,z)=8xy+2z+4xyz.∇⋅F→(x,y,z)=8xy+2z+4xyz. 
 
C ∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz. 
 
 
 
D ∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy+2z+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=4xy+2z+8xyz. 
 
 
Observamos 
que ∇⋅⃗F(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z),∇⋅F→(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z), onde F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2.F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2. Logo, 
∇⋅⃗F(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz. (livro-base, 155-156) 
 
E ∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz. 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integrala Várias Variáveis 
Leia o texto: 
Dadas as equações paramétricas das elipses: Elipse 1:{x=2costy=4sent e Elipse 
2:{x=2costy=sent,Elipse 1:{x=2costy=4sent e Elipse 2:{x=2costy=sent, seguem 
os gráficos no plano xy: 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 25-30. 
 
 
 
 
De acordo com o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a 
figura, a área em cinza limitada pelas elipses 1 e 2 e pelo eixo y vale: 
Nota: 0.0 
 
A 3 u.a. 
 
B 2 u.a. 
 
C ππ u.a. 
 
D 2π2π u.a. 
 
E 3π3π u.a. 
A=2∫0π2y(t)x′(t)dtA=2∫0π2{[4sent⋅(−2sent)]−[sent⋅(−2sent)]}dtA=2∫0π2(−8sen2t+2sen2t)dt=2∫0π2(−6sen2t)dtA=−12∫0π2(12−12cos2t)dt=12(θ2−14sen2θ)∣∣∣0π2=−12(−π4−0)A=3πu.a.A=2∫π20y(t)x′(t)dtA=2∫π20{[4sent⋅(−2sent)]−[sent⋅(−2sent)]}dtA=2∫π20(−8sen2t+2sen2t)dt=2∫π20(−6sen2t)dtA=−12∫π20(12−12cos2t)dt=12(θ2−14sen2
θ)|π20=−12(−π4−0)A=3πu.a. 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D.; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia a seguinte passagem do texto: 
 
"A operação de derivada parcial permite encontrar a derivada de uma função de várias 
variáveis em relação a uma de suas outras funções. A estratégia para o cálculo é 
considerar todas as outras variáveis como constantes e aplicar as regras de derivação 
como habitualmente." 
Texto elaborado pelo autor. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível 
em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de 
várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
Assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da 
função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.. 
Nota: 10.0 
 
A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. 
Você acertou! 
Calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim, 
 
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y. 
 
B ∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x 
 
C ∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x 
 
D ∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y 
 
E ∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z 
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis, considere a área AA da região do primeiro quadrante limitada pela 
parábola y=x2y=x2, pelo eixo yy e pela reta y=4y=4. É correto afirmar que 
 
 
Nota: 0.0 
 
A A=∫40∫√ y 0dxdy=163u.a.A=∫04∫0ydxdy=163u.a. 
Um esboço desta região é apresentado abaixo: 
 
 
Note que esta região pode ser descrita como R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤√ y }.R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤y}. Assim, 
A=∫40∫√ y 0dxdy=∫40(∫√ y 0dx)dy=∫40√ ydy=[23√ y3 ]∣∣∣40=163u.a.A=∫04∫0ydxdy=∫04(∫0ydx)dy=∫04ydy=[23y3]|04=163u.a. (livro-base p. 54-
59) 
 
B A=∫40∫√ y 0dydx=165u.a.A=∫04∫0ydydx=165u.a. 
 
C A=∫40∫√ y 0dxdy=165u.a.A=∫04∫0ydxdy=165u.a. 
 
D A=∫40∫√ y 0dydx=65u.a.A=∫04∫0ydydx=65u.a. 
 
E A=∫40∫√ y 0dxdy=67u.a.A=∫04∫0ydxdy=67u.a. 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, qual a 
lei de formação da sequência dos números ímpares (n), sendo que n é um número 
natural diferente de zero? 
 
Nota: 0.0 
 
A an = 2n 
 
B an = 2n + 1 
 
C an = n + 1 
 
D an = 2n – 1 
A sequência dos números ímpares é 1, 3, 5, 7, 9, .... 
Como n começa em 1, pelo enunciado, para a alternativa a) teremos 2.1 = 2 (o primeiro número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para 
a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2; na alternativa e) teremos 1-1 = 0. 
Já para a alternativa d), a correta, temos: 2.1 – 1 = 1. Continuando a sequência, 2.2 – 1 = 3 e assim, sucessivamente. Desta forma, obtemos a sequência 
dos números ímpares. 
livro-base p. 101-102 
 
E an = n - 1 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho a seguir: 
A função da derivada parcial em relação a um valor xixi é a derivada de f em relação a 
xixi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível 
em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
Considere a função: f(x,y,z) = 3x + 5y -6z. De acordo com os conteúdos da Aula 3 - 
Tema: Derivadas parciais, ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos: 
Nota: 0.0 
 
A fx = 3; fy = 5; fz = -6 
Calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. 
De acordo com a vídeo aula: 
Observar cada termo separadamente � Aplicar as regras de derivação para a variável de análise � As demais variáveis são consideradas constantes 
 
(Vídeo aula 3). 
 
B fx = -3; fy = -5; fz = -6 
 
C fx = 5; fy = 3; fz = 6 
 
D fx = 6; fy = 5; fz = -3 
 
E fx = -6; fy = 5; fz = 3 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia a seguinte passagem de texto: 
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado 
para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral 
tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a 
várias variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla 
dada por: 
 
Nota: 0.0 
 
A 6 
 
B 10 
 
C 12 
 
 
D 15 
 
E 16 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considere a região RR delimitada pela reta y=x+2y=x+2 e pela parábola y=x2y=x2, 
conforme a figura abaixo: 
 
 
 
O valor da área de RR é 
 
 
Nota: 0.0 
 
A 52u.a.52u.a. 
 
B 132u.a.132u.a. 
 
C 29u.a.29u.a. 
 
D 92u.a.92u.a. 
A área da região RR pode ser obtida a partir da integral dupla: ∬R1dA.∬R1dA. 
 
Inicialmente, observamos que R={(x,y)∈R2; −1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}.R={(x,y)∈R2; −1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}. Assim, 
A=∫2−1∫x+2x21dydx=∫2−1(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]2−1=(2+4−83)−(12−2+13)=92u.a.A=∫−12∫x2x+21dydx=∫−12(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]−12=(2+4−83)−(12−2+13)=92u.a. 
 
E 72u.a.72u.a. 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a 
função 
vetorial ⃗F(x,y,z)=2x2y^i+2yz^j+4xyz2^zF→(x,y,z)=2x2yi^+2yzj^+4xyz2z^, o 
divergente de ⃗FF→ é 
 
Nota: 0.0 
 
A ∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz. 
 
 
B ∇⋅⃗F(x,y,z)=8xy+2z+4xyz.∇⋅F→(x,y,z)=8xy+2z+4xyz. 
 
C ∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz. 
 
 
 
D ∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy+2z+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=4xy+2z+8xyz. 
 
 
Observamos 
que ∇⋅⃗F(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z),∇⋅F→(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z), onde F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2.F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2. Logo, 
∇⋅⃗F(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz. (livro-base, 155-156) 
 
E ∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz. 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia a seguinte passagem do texto: 
 
"A operação de derivada parcial permite encontrar a derivada de uma função de várias 
variáveis em relação a uma de suas outras funções. A estratégia para o cálculo é 
considerar todas as outras variáveis como constantes e aplicar as regras de derivação 
como habitualmente." 
Texto elaborado pelo autor. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível 
em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial eintegral de 
várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
Assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da 
função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.. 
Nota: 0.0 
 
A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. 
Calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim, 
 
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y. 
 
B ∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x 
 
C ∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x 
 
D ∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y 
 
E ∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. 
As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de 
uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o 
cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de 
volume de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Com base no texto acima e nos conteúdos discutidos no livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície 
cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela 
equação y=3x+2y=3x+2 no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das 
abscissas e assinale a alternativa que corresponde a esse valor. 
 
Nota: 10.0 
 
A 25π√ 20 u.a.25π20u.a. 
 
B 20π√ 10 u.a.20π10u.a. 
Você acertou! 
Solução: 
 
A=2π∫20y(x)√ 1+[y′(x)]2 dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10 ∫20(3x+2)dxA=2π√10 3(3x+22)2∣∣∣20=π√10 3[(3⋅2+2)2−4]=60π√10 3=20π√10 u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a. 
 
 
livro-base p. 15-20 
 
C 22π√ 12 u.a.22π12u.a. 
 
 
 
D 23π√ 13 u.a.23π13u.a. 
 
 
 
E 21π√ 15 u.a.21π15u.a. 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
Dadas as equações paramétricas das elipses: Elipse 1:{x=2costy=4sent e Elipse 
2:{x=2costy=sent,Elipse 1:{x=2costy=4sent e Elipse 2:{x=2costy=sent, seguem 
os gráficos no plano xy: 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 25-30. 
 
 
 
 
De acordo com o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a 
figura, a área em cinza limitada pelas elipses 1 e 2 e pelo eixo y vale: 
Nota: 0.0 
 
A 3 u.a. 
 
B 2 u.a. 
 
C ππ u.a. 
 
D 2π2π u.a. 
 
E 3π3π u.a. 
A=2∫0π2y(t)x′(t)dtA=2∫0π2{[4sent⋅(−2sent)]−[sent⋅(−2sent)]}dtA=2∫0π2(−8sen2t+2sen2t)dt=2∫0π2(−6sen2t)dtA=−12∫0π2(12−12cos2t)dt=12(θ2−14sen2θ)∣∣∣0π2=−12(−π4−0)A=3πu.a.A=2∫π20y(t)x′(t)dtA=2∫π20{[4sent⋅(−2sent)]−[sent⋅(−2sent)]}dtA=2∫π20(−8sen2t+2sen2t)dt=2∫π20(−6sen2t)dtA=−12∫π20(12−12cos2t)dt=12(θ2−14sen2
θ)|π20=−12(−π4−0)A=3πu.a. 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D.; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Analise o seguinte problema: 
 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é 
representado por x1,x2x1,x2 e x3x3, respectivamente, e a função do custo de 
fabricação desses três produtos é representada 
por C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3. Supondo que a 
empresa fabrica 3 unidades do primeiro produto, x1x1, uma unidade do segundo 
produto, x2x2, e quatro unidades do terceiro produto, x3.x3.. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível 
em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 75-76. 
Com base nos conteúdos estudados no RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. 
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a 
alternativa que indica o valor correto para o custo de fabricação destes três produtos é 
dado por: 
Nota: 0.0 
 
A 120 
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120 
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) 
 
B 150 
 
C 180 
 
D 200 
 
E 220 
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a 
alternativa que corresponde ao valor da área da região R limitada pelas 
curvas y=x2y=x2 e y=√ x y=x, do gráfico a seguir, é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: 0.0 
 
A 13u.a.13u.a. 
Solução: 
 
A=∫10∫√ x x2dydx=∫10y∣∣∣√ x x2dx=∫10(√ x −x2)dx=23x3/2−x33∣∣∣10=23−13=13u.a.A=∫01∫x2xdydx=∫01y|x2xdx=∫01(x−x2)dx=23x3/2−x33|01=23−13=13u.a. 
 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. p. 54-59 
 
 
B 23u.a.23u.a. 
 
 
 
C 43u.a.43u.a. 
 
D 53u.a.53u.a. 
 
 
 
E 73u.a.73u.a. 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. 
As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de 
uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o 
cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de 
volume de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
 
De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a 
várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 
no intervalo fechado [0,2][0,2] e marque a alternativa correta: 
 
 
Nota: 0.0 
 
A 2√ 10 u.c.210u.c. 
A=∫ba√ 1+[f′(x)]2 dx=∫20√1+32dx=∫20√10 dx=2√10 u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c. 
 
livro-base: p. 21-24 
 
B 3√ 5 u.c.35u.c. 
 
C 4√ 5 u.c.45u.c. 
 
 
 
D 5√ 5 u.c.55u.c. 
 
E 6√ 10 u.c.610u.c. 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. 
As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de 
uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o 
cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de 
volume de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Com base no texto acima e nos conteúdos discutidos no livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície 
cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela 
equação y=3x+2y=3x+2 no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das 
abscissas e assinale a alternativa que corresponde a esse valor. 
 
Nota: 0.0 
 
A 25π√ 20 u.a.25π20u.a. 
 
B 20π√ 10 u.a.20π10u.a. 
Solução: 
 
A=2π∫20y(x)√ 1+[y′(x)]2 dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10 ∫20(3x+2)dxA=2π√10 3(3x+22)2∣∣∣20=π√10 3[(3⋅2+2)2−4]=60π√10 3=20π√10 u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a. 
 
 
livro-base p. 15-20 
 
C 22π√ 12 u.a.22π12u.a. 
 
 
 
D 23π√ 13 u.a.23π13u.a. 
 
 
 
E 21π√ 15 u.a.21π15u.a. 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considere a região RR delimitada pela reta y=x+2y=x+2 e pela parábola y=x2y=x2, 
conforme a figura abaixo: 
 
 
 
O valor da área de RR é 
 
 
Nota: 0.0 
 
A 52u.a.52u.a. 
 
B 132u.a.132u.a. 
 
C 29u.a.29u.a. 
 
D 92u.a.92u.a. 
A área da região RR pode ser obtida a partir da integral dupla: ∬R1dA.∬R1dA. 
 
Inicialmente, observamos que R={(x,y)∈R2; −1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}.R={(x,y)∈R2; −1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}. Assim,A=∫2−1∫x+2x21dydx=∫2−1(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]2−1=(2+4−83)−(12−2+13)=92u.a.A=∫−12∫x2x+21dydx=∫−12(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]−12=(2+4−83)−(12−2+13)=92u.a. 
 
E 72u.a.72u.a. 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado 
para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, 
integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
 
Considerando o texto acima e utilizando as técnicas de integração aprendidas ao longo 
da Videoaula "Exercícios" - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05 e do livro-
base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que 
apresenta o valor correto de 
I.I. 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy. 
 
 
Nota: 0.0 
 
A 1212 
 
B 3232 
Solução: 
 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy=∫02(x44+yx22)|x=0x=1dy=∫02(14+y2)dyI=(y4+y24)|02=(24+224)=64=32. 
 
Fonte: Videoaula Exercícios - videoaula 2 - Tema 01: Integrais Duplas - da Aula 05, 03'10 até 04'27 | e Livro-Base, p. 54-59. 
 
C 5252 
 
D 7272 
 
 
 
E 9292 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia a seguinte passagem de texto: 
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado 
para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral 
tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a 
várias variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla 
dada por: 
 
Nota: 10.0 
 
A 6 
 
B 10 
 
C 12 
Você acertou! 
 
 
D 15 
 
E 16 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis, a respeito da sequência an=3+7n2n+n2an=3+7n2n+n2, pode-se afirmar que: 
 
 
Nota: 0.0 
 
A é convergente com limite 3. 
 
B é convergente com limite 7. 
Observamos que limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7.limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7. 
Logo, podemos afirmar que a sequência é convergente com limite igual a 7. (livro-base, p. 104-105) 
 
C é convergente com limite 10. 
 
D é divergente. 
 
E é convergente com limite infinito. 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho a seguir: 
A função da derivada parcial em relação a um valor xixi é a derivada de f em relação a 
xixi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível 
em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
Considere a função: f(x,y,z) = 3x + 5y -6z. De acordo com os conteúdos da Aula 3 - 
Tema: Derivadas parciais, ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos: 
Nota: 0.0 
 
A fx = 3; fy = 5; fz = -6 
Calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. 
De acordo com a vídeo aula: 
Observar cada termo separadamente � Aplicar as regras de derivação para a variável de análise � As demais variáveis são consideradas constantes 
 
(Vídeo aula 3). 
 
B fx = -3; fy = -5; fz = -6 
 
C fx = 5; fy = 3; fz = 6 
 
D fx = 6; fy = 5; fz = -3 
 
E fx = -6; fy = 5; fz = 3 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado 
para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, 
integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e 
Integral a várias variáveis, calcule o valor da integral de 
linha I=∫Cyzdx+xzdy+xydzI=∫Cyzdx+xzdy+xydz dadas as equações 
paramétricas ⎧⎨⎩x=2ty=t+1z=4t+2{x=2ty=t+1z=4t+2com 0≤t≤10≤t≤1 e assinale a 
alternativa que corresponde a esse valor. 
Nota: 0.0 
 
A -12 
 
B 24 
Solução: 
 
Fazendo as substituições x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dtx=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt na integral de linha, temos 
 
I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)∣∣∣10=8+12+4=24.I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt=(8t3+12t2+4t)
|01=8+12+4=24. 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.153 a p.155 
 
 
C 15 
 
D -20 
 
E 30 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas físicas, 
calcular a área de uma região específica definida por um determinado conjunto de 
curvas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a 
várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do 
segmento de reta dado pela equação y=4xy=4x, no intervalo fechado [0,2][0,2], em 
torno do eixo das abscissas é dada por: 
 
Nota: 0.0 
 
A 16ππ 
 
B 16ππ√ 17 17 u.a. 
 
 
 
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) 
 
C √ 17 17 u.a. 
 
D √ 17 π17π u.a. 
 
E 2√ 17 217 u.a. 
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. 
As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de 
uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o 
cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de 
volume de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Observe o limaçon abaixo: 
 
 
Fonte: Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
Considerando o limaçon e os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial 
e integral a várias variáveis, assinale a alternativa que apresenta corretamente a 
área da região cinza do limaçon r=1+2senθr=1+2senθ. 
Nota: 0.0 
 
A 4+32πu.a.4+32πu.a. 
Solução: 
 
A=12∫π0[f(θ)]2dθ=12∫π0[1+2senθ]2dθA=12∫π0(1+4senθ+4sen2θ)dθA=12∫π0[1+4senθ+4(12−12cos2θ)]dθA=12∫π0(3+4senθ−2cos2θ)dθ=12(3θ−4cosθ−sen2θ)∣∣∣π0A=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]=12(3π+8)=32π+4u.a.A=12∫0π[f(θ)]2dθ=12∫0π[1+2senθ]2dθA=12∫0π(1+4senθ+4sen2θ)dθA=12∫0π[1+4senθ+4(12−12cos2θ)]dθA=12∫0π(3+4
senθ−2cos2θ)dθ=12(3θ−4cosθ−sen2θ)|0πA=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]=12(3π+8)=32π+4u.a. 
 
livro-base: p. 33-36 
 
B 3+12πu.a.3+12πu.a. 
 
C 2+52πu.a.2+52πu.a. 
 
 
D 1+72πu.a.1+72πu.a. 
 
 
E 3+52πu.a.3+52πu.a. 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia a seguinte passagem de texto: 
 
O uso de funções de várias variáveis permite modelar situações problema nos quais 
uma variável é afetada pelo comportamento de uma infinidade de outras variáveis. 
Entretanto, para o uso adequado dessa ferramenta é necessário aprender a calcular o 
valor de uma função de várias variáveis em um determinado ponto. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Seja AA um conjunto definido no espaço quadridimensional R4R4 e, a 
função f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2f(x,y,z,t)=x2+y2+z2+t2, que associa a quádrupla 
ordenada de números reais à soma de seus quadrados. 
 
Considerando o texto e os conteúdos discutidos no livro-base Cálculo Diferencial e 
Integral a várias variáveis, a alternativa que indica o valor correto 
de f(1,2,3,4)f(1,2,3,4)é: 
Nota: 10.0 
 
A 16 
 
B 25 
 
C 30 
Você acertou! 
 
f(1,2,3,4) = 1² + 2² + 3² + 4² = 1+ 4 + 9 + 16 = 30 
 livro-base: p. 75-76 
 
D 36 
 
E 40 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a 
alternativa que corresponde ao valor da área da região R limitada pelas 
curvas y=x2y=x2 e y=√ x y=x, do gráfico a seguir, é 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: 10.0 
 
A 13u.a.13u.a. 
Você acertou! 
Solução: 
 
A=∫10∫√ x x2dydx=∫10y∣∣∣√ x x2dx=∫10(√ x −x2)dx=23x3/2−x33∣∣∣10=23−13=13u.a.A=∫01∫x2xdydx=∫01y|x2xdx=∫01(x−x2)dx=23x3/2−x33|01=23−13=13u.a. 
 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. p. 54-59 
 
B 23u.a.23u.a. 
 
 
C 43u.a.43u.a. 
 
D 53u.a.53u.a. 
 
 
E 73u.a.73u.a. 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia a seguinte passagem do texto: 
 
"A operação de derivada parcial permite encontrar a derivada de uma função de várias 
variáveis em relação a uma de suas outras funções. A estratégia para o cálculo é 
considerar todas as outras variáveis como constantes e aplicar as regras de derivação 
como habitualmente." 
Texto elaborado pelo autor. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível 
em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de 
várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
Assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da 
função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.. 
Nota: 10.0 
 
A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. 
Você acertou! 
Calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim, 
 
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y. 
 
B ∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x 
 
C ∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x 
 
D ∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y 
 
E ∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho a seguir: 
A função da derivada parcial em relação a um valor xixi é a derivada de f em relação a 
xixi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível 
em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
Considere a função: f(x,y,z) = 3x + 5y -6z. De acordo com os conteúdos da Aula 3 - 
Tema: Derivadas parciais, ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos: 
Nota: 10.0 
 
A fx = 3; fy = 5; fz = -6 
Você acertou! 
Calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. 
De acordo com a vídeo aula: 
Observar cada termo separadamente � Aplicar as regras de derivação para a variável de análise � As demais variáveis são consideradas constantes 
 
(Vídeo aula 3). 
 
B fx = -3; fy = -5; fz = -6 
 
C fx = 5; fy = 3; fz = 6 
 
D fx = 6; fy = 5; fz = -3 
 
E fx = -6; fy = 5; fz = 3 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. 
As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de 
uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o 
cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de 
volume de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Com base no texto acima e nos conteúdos discutidos no livro-base Cálculo 
diferencial e integral a várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície 
cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela 
equação y=3x+2y=3x+2 no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das 
abscissas e assinale a alternativa que corresponde a esse valor. 
Nota: 10.0 
 
A 25π√ 20 u.a.25π20u.a. 
 
B 20π√ 10 u.a.20π10u.a. 
Você acertou! 
Solução: 
 
A=2π∫20y(x)√ 1+[y′(x)]2 dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10 ∫20(3x+2)dxA=2π√10 3(3x+22)2∣∣∣20=π√10 3[(3⋅2+2)2−4]=60π√10 3=20π√10 u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a. 
 
 
livro-base p. 15-20 
 
C 22π√ 12 u.a.22π12u.a. 
 
 
D 23π√ 13 u.a.23π13u.a. 
 
 
E 21π√ 15 u.a.21π15u.a. 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis, considere a área AA da região do primeiro quadrante limitada pela 
parábola y=x2y=x2, pelo eixo yy e pela reta y=4y=4. É correto afirmar que 
 
Nota: 10.0 
 
A A=∫40∫√ y 0dxdy=163u.a.A=∫04∫0ydxdy=163u.a. 
Você acertou! 
Um esboço desta região é apresentado abaixo: 
 
 
Note que esta região pode ser descrita como R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤√ y }.R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 0≤x≤y}. Assim, 
A=∫40∫√ y 0dxdy=∫40(∫√ y 0dx)dy=∫40√ ydy=[23√ y3 ]∣∣∣40=163u.a.A=∫04∫0ydxdy=∫04(∫0ydx)dy=∫04ydy=[23y3]|04=163u.a. (livro-base p. 54-
59) 
 
B A=∫40∫√ y 0dydx=165u.a.A=∫04∫0ydydx=165u.a. 
 
C A=∫40∫√ y 0dxdy=165u.a.A=∫04∫0ydxdy=165u.a. 
 
D A=∫40∫√ y 0dydx=65u.a.A=∫04∫0ydydx=65u.a. 
 
E A=∫40∫√ y 0dxdy=67u.a.A=∫04∫0ydxdy=67u.a. 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. 
As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de 
uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o 
cálculo de grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de 
volume de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
O gráfico abaixo representa a área da região RR limitada pela curva y=x2y=x2 e pela 
reta xx. 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos explorados no livro-base Cálculo 
Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que determina a área 
delimitada pela curva e pela reta do gráfico acima. 
Nota: 0.0 
 
A 
 
 
B 
 
 
C 1 
 
D 2 
 
E 
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
Dadas as equações paramétricas das elipses: Elipse 1:{x=2costy=4sent e Elipse 2:{x=2costy=sent,Elipse 1:{x=2costy=4sent e Elipse 2:{x=2costy=sent, seguem os gráficos no plano xy: 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 25-30. 
 
 
De acordo com o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a figura, a área em cinza limitada pelas elipses 1 e 2 e pelo eixo y vale: 
Nota: 10.0 
 
A 3 u.a. 
 
B 2 u.a. 
 
C ππ u.a. 
 
D 2π2π u.a. 
 
E 3π3π u.a. 
Você acertou! 
A=2∫0π2y(t)x′(t)dtA=2∫0π2{[4sent⋅(−2sent)]−[sent⋅(−2sent)]}dtA=2∫0π2(−8sen2t+2sen2t)dt=2∫0π2(−6sen2t)dtA=−12∫0π2(12−12cos2t)dt=12(θ2−14sen2θ)∣∣∣0π2=−12(−π4−0)A=3πu.a.A=2∫π20y(t)x′(t)dtA=2∫π20{[4sent⋅(−2sent)]−[sent⋅(−2sent)]}dtA=2∫π20(−8sen2t+2sen2t)dt=2∫π20(−6sen2t)dtA=−12∫π20(12−12cos2t)dt
=12(θ2−14sen2θ)|π20=−12(−π4−0)A=3πu.a. 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D.; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considere a região RR delimitada pela reta y=x+2y=x+2 e pela parábola y=x2y=x2, conforme a figura abaixo: 
 
 
O valor da área de RR é 
 
Nota: 10.0 
 
A 52u.a.52u.a. 
 
B 132u.a.132u.a. 
 
C 29u.a.29u.a. 
 
D 92u.a.92u.a. 
Você acertou! 
A área da região RR pode ser obtida a partir da integral dupla: ∬R1dA.∬R1dA. 
 
Inicialmente, observamos que R={(x,y)∈R2; −1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}.R={(x,y)∈R2;−1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}. Assim, 
A=∫2−1∫x+2x21dydx=∫2−1(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]2−1=(2+4−83)−(12−2+13)=92u.a.A=∫−12∫x2x+21dydx=∫−12(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]−12=(2+4−83)−(12−2+13)=92u.a. 
 
E 72u.a.72u.a. 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Analise o seguinte problema: 
 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1,x2x1,x2 e x3x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada por C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3. Supondo que a empresa fabrica 
3 unidades do primeiro produto, x1x1, uma unidade do segundo produto, x2x2, e quatro unidades do terceiro produto, x3.x3.. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 75-76. 
Com base nos conteúdos estudados no RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a alternativa que indica o valor correto para o custo de fabricação destes três produtos é dado por: 
Nota: 10.0 
 
A 120 
Você acertou! 
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120 
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) 
 
B 150 
 
C 180 
 
D 200 
 
E 220 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, qual a lei de formação da sequência dos números ímpares (n), sendo que n é um número natural diferente de zero? 
Nota: 10.0 
 
A an = 2n 
 
B an = 2n + 1 
 
C an = n + 1 
 
D an = 2n – 1 
Você acertou! 
A sequência dos números ímpares é 1, 3, 5, 7, 9, .... 
Como n começa em 1, pelo enunciado, para a alternativa a) teremos 2.1 = 2 (o primeiro número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para 
a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2; na alternativa e) teremos 1-1 = 0. 
Já para a alternativa d), a correta, temos: 2.1 – 1 = 1. Continuando a sequência, 2.2 – 1 = 3 e assim, sucessivamente. Desta forma, obtemos a sequência 
dos números ímpares. 
livro-base p. 101-102 
 
E an = n - 1 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, a respeito da sequência an=3+7n2n+n2an=3+7n2n+n2, pode-se afirmar que: 
 
Nota: 10.0 
 
A é convergente com limite 3. 
 
B é convergente com limite 7. 
Você acertou! 
Observamos que limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7.limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7. 
Logo, podemos afirmar que a sequência é convergente com limite igual a 7. (livro-base, p. 104-105) 
 
C é convergente com limite 10. 
 
D é divergente. 
 
E é convergente com limite infinito. 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a função vetorial ⃗F(x,y,z)=2x2y^i+2yz^j+4xyz2^zF→(x,y,z)=2x2yi^+2yzj^+4xyz2z^, o divergente de ⃗FF→ é 
Nota: 10.0 
 
A ∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=4xy−8xz−8xyz. 
 
B ∇⋅⃗F(x,y,z)=8xy+2z+4xyz.∇⋅F→(x,y,z)=8xy+2z+4xyz. 
 
C ∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=6xy−2xz−8xyz. 
 
 
D ∇⋅⃗F(x,y,z)=4xy+2z+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=4xy+2z+8xyz. 
 
Você acertou! 
Observamos 
que ∇⋅⃗F(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z),∇⋅F→(x,y,z)=∂F1∂x(x,y,z)+∂F2∂y(x,y,z)+∂F3∂z(x,y,z), onde F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2.F1(x,y,z)=2x2y, F2(x,y,z)=2yz e F3(x,y,z)=4xyz2. Logo, 
∇⋅⃗F(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=∂∂x(2x2y)+∂∂y(2yz)+∂∂z(4xyz2)=4xy+2z+8xyz. (livro-base, 155-156) 
 
E ∇⋅⃗F(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz.∇⋅F→(x,y,z)=6xy+2xz+8xyz. 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas físicas, calcular a área de uma região específica definida por um determinado conjunto de curvas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=4xy=4x, no intervalo fechado [0,2][0,2], em torno do eixo das abscissas é dada por: 
 
Nota: 10.0 
 
A 16ππ 
 
B 16ππ√ 17 17 u.a. 
Você acertou! 
 
 
 
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) 
 
C √ 17 17 u.a. 
 
D √ 17 π17π u.a. 
 
E 2√ 17 217 u.a. 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do 
comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
 
De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5y=3x+5 no intervalo fechado [0,2][0,2] e marque a alternativa correta: 
 
 
Nota: 10.0 
 
A 2√ 10 u.c.210u.c. 
Você acertou! 
A=∫ba√ 1+[f′(x)]2 dx=∫20√1+32dx=∫20√10 dx=2√ 10 u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+32dx=∫0210dx=210u.c. 
 
livro-base: p. 21-24 
 
B 3√ 5 u.c.35u.c. 
 
C 4√ 5 u.c.45u.c. 
 
 
D 5√ 5 u.c.55u.c. 
 
E 6√ 10 u.c.610u.c. 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia a seguinte passagem de texto: 
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral vetorial e tantas outras técnicas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando a passagem de texto e o livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, marque a alternativa que indica o valor correto para a integral dupla dada por: 
 
Nota: 10.0 
 
A 6 
 
B 10 
 
C 12 
Você acertou! 
 
 
D 15 
 
E 16 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de grandezas físicas, o cálculo do 
comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
O gráfico abaixo representa a área da região RR limitada pela curva y=x2y=x2 e pela reta xx. 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos explorados no livro-base Cálculo Diferencial e Integral a várias variáveis, indique a alternativa que determina a área delimitada pela curva e pela reta do gráfico acima. 
Nota: 10.0 
 
A 
 
 
B 
 
 
C 1 
 
D 2 
 
E 
 
Você acertou! 
 
 
 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias 
variáveis, a respeito da sequência an=3+7n2n+n2an=3+7n2n+n2, pode-se afirmar que: 
 
Nota: 10.0 
 
A é convergente com limite 3. 
 
B é convergente com limite 7. 
Você acertou! 
Observamos que limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7.limn→+∞an=limn→+∞3+7n2n2n+n2n2=limn→+∞3n2+71n+1=71=7. 
Logo, podemos afirmar que a sequência é convergente com limite igual a 7. (livro-base, p. 104-105) 
 
C é convergente com limite 10. 
 
D é divergente. 
 
E é convergente com limite infinito. 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto a seguir:A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas físicas, 
calcular a área de uma região específica definida por um determinado conjunto de 
curvas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a 
várias variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do 
segmento de reta dado pela equação y=4xy=4x, no intervalo fechado [0,2][0,2], em 
torno do eixo das abscissas é dada por: 
 
Nota: 10.0 
 
A 16ππ 
 
B 16ππ√ 17 17 u.a. 
Você acertou! 
 
 
 
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) 
 
C √ 17 17 u.a. 
 
D √ 17 π17π u.a. 
 
E 2√ 17 217 u.a.