2ªListaCálculo2UEMA

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Universidade Estadual do Maranha˜o-UEMA
Centro de Cieˆncias e Tecnologia-CCT
Curso de Engenharia da Computac¸a˜o
Disciplina: Ca´lculos Diferencial e Integral de Va´rias Varia´veis Professor: Msc. Geilson Reis
Aluno(a): Matr´ıcula: −
2a Lista de Exerc´ıcios
14 de maio de 2018
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Questa˜o 1. Estude a natureza do ponto cr´ıtico das func¸o˜es abaixo, mostrando que tal ponto tem a
propriedade indicada.
(a) f(x, y) = (x− y)4 + (x+ y + 2)2, mı´nimo.
(b) f(x, y) = 1− x2 − y4, ma´ximo.
(c) f(x, y) = x3 + (x− y)2, nem mı´nimo nem ma´ximo.
(d) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy, na regia˜o triangular de ve´rtices (0, 0), (0, 1) e (1, 0) (ma´ximo e mı´nimo)
(e) f(x, y) = x3 + y2 − 6x2 + y − 1, ma´ximo e mı´nimo.
(f) f(x, y) = x2 + y2 − 6x− 2y + 7, mı´nimo.
Questa˜o 2. Ache o ponto no plano 3x+2y−z = 5 que esta´ mais pro´ximo do ponto (1,−2, 3), e determine
a distaˆncia mı´nima.
Questa˜o 3. Uma loja vende dois tipos de camisas que sa˜o similares, mas de diferentes fabricantes. O
custo para a loja, do primeiro tipo, e´ R$ 40,00, enquanto que o segundo tipo custa R$ 50,00. Ficou
determinado pela experieˆncia que se os prec¸os de venda forem x e y, enta˜o o nu´mero de pec¸as vendidas
a cada meˆs sera´ 3200 − 50x + 25y e 25x − 25y, respectivamente. A que prec¸o devera´ ser vendido cada
tipo de camisa, para que o lucro bruto seja ma´ximo.
Questa˜o 4. Suponha que a fabricac¸a˜o de um produto requer x horas por ma´quina e y horas por pessoa
e o custo de produc¸a˜o por f(x, y), onde
f(x, y) = 2x3 − 6xy + y2 + 500
Determine o nu´mero de ma´quinas-hora e pessoas-hora necessa´rias para que o custo seja mı´nimo.
Questa˜o 5. Ache o volume do maior paralelep´ıpedo que pode ser inscrito no elipso´ide 36x2 +9y2 +4z2 =
36, se os lados forem paralelos aos eixos coordenados.
Questa˜o 6. Calcule
∫ ∫
B
f(x, y)dxdy sendo dados:
a) f(x, y) = xcos y e B = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0, x2 ≤ y ≤ pi}
b) f(x, y) = xy e B = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 2, y ≤ x e x ≥ 0}
c) f(x, y) = x e B o triaˆngulo de ve´rtices (0,0), (1,1) e (2,0).
d) f(x, y) = xy
√
x2 + y2 e B o retaˆngulo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
e) f(x, y) = x+ y e B o paralelogramo de ve´rtices (0,0), (1,1), (3,1) e (2,0).
f) f(x, y) = 1ln y e B = {(x, y) ∈ R2|2 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ x ≤ 1y}
g) f(x, y) = xycos x2 e B = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1}
h) f(x, y) = cos 2y
√
4− sen2x e B o triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (0, pi2 ) e (pi2 , pi2 ).
i) f(x, y) = x+y e B a regia˜o compreendida entre os gra´ficos das func¸o˜es y = x e y = ex, com 0 ≤ x ≤ 1.
Questa˜o 7. Calcular
∫ ∫
R
√
x2 + y2dxdy, sendo R a regia˜o delimitada por x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 9.
Questa˜o 8. Calcular
∫ ∫
R
e2(x
2+y2)dxdy, sendo R o c´ırculo x2 + y2 ≤ 4.
Questa˜o 9. Calcular
∫ ∫
R
xdxdy, sendo R a regia˜o delimitada por x2 + y2 − 4x = 0.
Questa˜o 10. Calcular
∫ ∫
R
x2 + y2dxdy, sendo R a regia˜o interna a` circunfereˆncia x2 + y2 = 4y e
externa a` circunfereˆncia x2 + y2 = 2y.
Questa˜o 11. Calcular
∫ ∫
R
xydxdy, sendo R a regia˜o delimitada por x
2
4 +
y2
9 = 1.
Questa˜o 12. Calcular
∫ ∫
R
dxdy, sendo R a regia˜o delimitada pela elipse 4(x − 3)2 + (y − 2)2 = 4.
Interpretar geometricamente.
Questa˜o 13. Calcule:
a)
∫ ∫ ∫
B
xyzdxdydz, onde B e´ o paralelep´ıpedo 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ 2
b)
∫ ∫ ∫
B
xdxdydz, onde B e´ o conjunto 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e x+ y ≤ x ≤ x+ y + 1
c)
∫ ∫ ∫
B
√
1− z2dxdydz, onde B e´ o conunto 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ z
d)
∫ ∫ ∫
B
dxdydz, onde B e´ o conjunto x2 + y2 ≤ z ≤ 2x+ 2y − 1
e)
∫ ∫ ∫
B
2zdxdydz, onde B e´ o conjunto x2 + y2 + z2 ≤ 4, z ≥ 0
Boa Sorte!
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