Dinâmica apostila completa (2)

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1
5.1 – Um disco de 0,5 ft de raio gira com velocidade angular inicial de 2 rad/s e com 
aceleração angular constante de 1 rad/s². Determine os módulos da velocidade e da 
aceleração de um ponto sobre a periferia do disco quando t=2s. 
 
Solução: 
 
r=0.5 ft 
2=ow rad/s 
=α 1 rad/s 
t= 2s 
 
Sabemos que: 
 
to *αωω += 
2*12 +=ω 
4=ω rad/s 
 
Logo a velocidade e a aceleração na periferia do disco será: 
 
rat *α= rwan *2= 22 nt aaa += 
5.0*1=ta 5.0*42=na 22 85.0 +=a 
5.0=ta ft/s² 8=na ft/s² 02.8=a f/ts² 
 
sftv
v
rwv
/2
5.0*4
*
=
=
=
 
 
 
5.2 – O disco mostrado na figura gira originalmente com srado /8=ω , se ele é 
submetido a uma aceleração angular constante 2/6 srada = . Determine os módulos da 
velocidade e das componentes n e t da aceleração do ponto A no instante st 5.0= 
 
Solução: 
 
 
 
srad
stpt
ctepoisto
/11
5.0*68
)5.0/(*68
)(*
=
+=
=+=
=+=
ω
ω
ω
ααωω
 2
sftv
v
ftrrv
/22
2*11
)2(*
=
=
==ω
 
2/12
2*6
*
sfta
a
ra
t
t
t
=
=
=α
 
2
2
2
/242
2*11
*
sfta
a
ra
n
n
n
=
=
=ω
 
 
 
 
5.3 – O disco mostrado na figura gira originalmente com srado /8=ω , se ele é 
submetido a uma aceleração angular constante 2/6 srada = . Determine os módulos da 
velocidade e das componentes n e t da aceleração do ponto B no instante imediatamente 
posterior ao disco completar 2 voltas. 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 2 voltas rad
rev
rad
rev bb 56,12)1
2
(2 =⇒= θπθ 
 
 
 
 
Sabemos: 
 
 
 
rad
rr
a
a
baa
42,9
5,1*56,122*
=
=
=
θ
θ
θθ
 
 
 
 
 
 
 
 
??)(
??)(
2
5,1
/6
/8
=
=
=
=
=
=
Tb
Nb
a
b
o
a
a
ftr
ftr
srad
srad
α
ω
 3
 
Inicialmente: 
 
222
2
2
22
/303)(5,1*)2,14()()(
/9)(5,1*6)()(
/26,215,1*2,14
/2,145,1*2*63,10
/63,10)42,9(*6*20
)(**2
sftaara
sftaara
sftvvrv
sradrr
srad
npnpbbnp
tptpbbtp
ppbbp
bbbbaa
aa
ooa
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=⇒
=⇒=⇒=
=⇒−=−
−−=−
ω
α
ω
ωωωω
ωω
θθαωω
 
 
 
5.4 – No instante imediatamente após o ventilador ser ligado, seu motor impõe às 
palhetas da hélice uma aceleração angular )20( 6,0 te−=α rad/s², onde t é expresso em 
segundos. Determine a velocidade da extremidade P de uma das palhetas quando t=3 s. 
Quantas voltas a palheta percorre em 3 s? Quanto t=0 a palheta está em repouso. 
 
 
 
( )( )
revrad
eet
dted
dtd
sftrv
srad
ee
dted
dtd
t
t
t
ppp
tt
t
t
54,863,53
1
6,0
133,33
6,0
13,33
)1(3,33
/7,4875,1*82,27*
/82,27
)1(3,33
6,0
20
20
36,03
0
6,0
0 0
6,0
6,0
0
6,0
0 0
6,0
==


 −

+=

 

+=
−=
=
=⇒=⇒=
=
−=−=
=
=
−−
−
−−
−
∫ ∫
∫ ∫
θ
θ
θ
ωθ
ωωω
ω
ω
ω
αω
θ
ω
 
 
 
 4
5.5 – Devido a um aumento em sua potência, o motor M mostrado na figura gira o eixo 
A com uma aceleração angular )06,0( 2θα = rad/s², onde θ é expresso em radianos. Se 
o eixo inicialmente gira com 50=oω rad/s, determine a velocidade angular da 
engrenagem B após o eixo atingir um deslocamento angular rev10=∆θ . 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 Movimento angular: 
 rad
rev
rad
rev 83,62
1
2
10 =


=∆ πθ 
 
 
 
Cálculo de f∆ω 
 
srad
dddd
ff
f
f
/45,1112500
3
)83,62(*06,0*2
3
06,0
2
50
06,0
3
283,62
0
322
50 0
2
=⇒+=⇒=−⇒
=⇒=
∆∆
∆
∫ ∫
∆
ωωθω
θθωωθαωω
ω θ
 
 
 
Finalmente o eixo A tem a mesma velocidade e componente tangencial quando passa 
pela engrenagem B 
 
srad
rr
BB
BAA
/30,2206,0*012,0*45,111 =⇒=
=⇒
ωω
ωω
 
 
 
 
mr
mr
rev
srad
srad
B
A
B
O
A
06,0
012,0
10
?
/50
/)06,0( 22
=
=∆
=
=
=
θ
ω
ω
θα
 5
5.6 – A figura mostra a engrenagem utilizada em uma furadeira de poços. Com uma 
aceleração angular constante, o motor M gira o eixo S a 100 ver/min em t=2 s a partir 
do repouso. Determine a aceleração angular da conexão do tubo de perfuração D e o 
número de voltas que ele completa durante os 2 segundos iniciais. 
 
 
 
Solução: 
revn
radrr
voltasden
radvoltasden
rad
cte
sradrr
também
sradt
voltasn
st
srad
segrev
revrev
B
BBBBAA
B
AAOOOA
BBBBAA
AAAoA
O
AA
667,0
2
184,4
2
º
184,415,0*06,0*46,10
2
º
2*º
46,1046,1046,1023,5*246,10)(2
*
/09,2
15,0
06,0*23,5
:
/23,52*046,10*
??
??
0
2
/46,10
60
1*
1
2*100min/100
2222
2
2
===
=⇒=⇒=
=
=
=⇒=⇒=⇒−+=
=
=⇒=⇒=
⇒+=⇒+=
=
=
=
=
=⇒==
ππ
θ
θθθθ
π
θ
πθ
θθθθθαωω
α
αααα
αααωω
α
ω
ωπω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6
5.7 – Considerando que a engrenagem A parte do repouso com uma aceleração angular 
constante 2/2 srad=α , determine o tempo necessário para a engrenagem B atingir 
uma velocidade angular sradB /50=ω . 
 
 
 
No ponto de contato entre as engrenagens a velocidade vale: 
 
sttt
Logo
srad
r
v
Assim
sftvvrv
A
A
p
A
ppbbp
5,6220125
,
/5,12
2,0
25
:
/255,0*50
00 =⇒+=⇒+=
=⇒==
=⇒=⇒=
αωω
ωω
ω
 
 
 
 
5.8 – Se a armadura A do motor elétrico de uma furadeira tem uma aceleração angular 
constante 2/20 sradAα , determine sua velocidade angular e seu deslocamento angular 
quando t = 3 s. O motor parte do repouso. 
 
 
 
Solução: 
 7
 
srad
rad
tt
AA
A
ff
f
/6090*20*2
2
90
2
3*20
2
2
2
0
2
2
2
0
ωω
αθωω
θθ
αωθ
⇒=
=−
=⇒=
+=
 
 
5.9 – O mecanismo de levantamento do vidro da porta de um carro é mostrado na 
figura. A maçaneta aciona a pequena roda dentada C, que gira um setor da roda dentada 
S, girando assim a barra AB a ele fixada, subindo com o vidro que desliza livremente 
apoiado em trilhos. Se a maçaneta é acionada a 0,5 rad/s, determine a velocidade dos 
pontos A e E e a velocidade vv no instante 
030=θ 
 
 
 
 
 
 
 
smmvv
smmvvsmrvv
srad
r
v
smvrv
vv
EAAsEA
s
s
c
s
cccc
/6,3430cos40
/40/04,02,0*2,0
/2,0
05,0
01,0
/01,002,0*5,0
0 =⇒=
==⇒====
=⇒==
=⇒==
ω
ωω
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
3
??
??
/20
0
2
=
=
=
=
ω
θ
ω
α
st
srad
A
A
 8
5.10 – A lâmina fixada ao eixo horizontal de um moinho de vento gira com uma 
velocidade angular srad /20 =ω . Determine a distância que o ponto P na extremidade 
da lâmina percorre se esta atinge uma velocidade angular srad /5=ω em 3 s. Sua 
aceleração angular é constante. Qual o módulo da aceleração deste ponto quando t = 3s? 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
ftSSrS
radtt
srad
t
t
st
srad
srad
C
CCC
15815*5,10*
5,103*1*
2
13*20
2
1
/1
3
25
3
/5
/2
22
00
20
0
0
=⇒=⇒=
=⇒++=⇒++=
=⇒−=−=⇒+=
=
=
=
θ
θθαωθθ
αωωααωω
ω
ω
 
 
Quando t = 3s a velocidade angular é constante e igual a 5 rad/s, então o módulo da 
aceleração será: 
 
222 /37515*2515*5 sftaaaraa n =⇒=⇒=⇒== ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9
5.11 – A lâmina fixada ao eixo horizontal de um moinho de vento gira com uma 
velocidade angular srad /20 =ω . Se é imposta uma aceleração angular 
2/6,0 sradc =α à lâmina, determinesua velocidade angular e o módulo da aceleração 
do ponto P na extremidade da lâmina quando t = 3s. 
 
Obs: ver figura 5.10 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 2222222
22
0
0
/21715*8,315*6,0**
/8,33*6,02
??
??
/6,0
/2
15
sftarra
aaa
sradt
a
srad
srad
ftr
nt
C
C
=⇒+=+=
+=
=⇒+=+=
=
=
=
=
=
ωα
ωαωω
ω
α
ω
 
 
 
 
5.12 – Quando apenas duas engrenagens estão engrenadas, a engrenagem motora A e a 
engrenagem conduzida B girarão em sentidos opostos. Para que possam girar no mesmo 
sentido, é utilizada uma engrenagem intermediária C. No caso mostrado, determine a 
velocidade angular da engrenagem B quando t = 5s, considerando que a engrenagem A 
parte do repouso com uma aceleração angular ( ) 2/23 sradtA +=α , onde t é expresso 
em segundos 
 
 
 
 
 10
( )
sradrr
sradrr
sradtt
dttd
dtd
BBCCBB
CCCCAA
AA
t
A
A
/7,3150*5,4775*
/5,4750*50*5,47
/5,4725,1
23
5
0
2
0 0
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒+=
+=
=
∫ ∫
ωωωω
ωωωω
ωω
ω
αω
ω
 
 
 
 
 
5.13 – O anemômetro é um aparelho que mede a velocidade do vento através da rotação 
de três semi-esferas ocas, conforme mostrado na figura. Considerando que durante um 
período de 3 s uma rajada de vento causa uma velocidade angular que pode ser expressa 
por ( ) sradt /32 2 +=ω , onde t é expresso em segundos, determine (a) a velocidade das 
semi-esferas quando t = 2s. (b) a distância percorrida por cada semi-esfera durante um 
período de 3s e (c) a aceleração das semi-esferas quando t = 2s. Despreze as dimensões 
das semi-esferas nos cálculos. 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 11
( )
( )
( )
( ) 22
3
0
3
0
3
0
3
0
2
0
3
0
2
2
/8432
2/??)(
5,405,1*27*
279183
3
2
32
:
3/??)(
/5,165,1*11*
/1132*2
2/??)(
/32
3
sradt
dt
td
dt
d
stpc
ftSSrS
radtt
dttddtd
dtd
dt
d
Sabemos
stpb
sftvvrv
srad
stpa
sradt
st
=⇒=⇒+==
==
=⇒=⇒=
=⇒+=⇒+=⇒
+=⇒=
=⇒=
==
=⇒=⇒=
=⇒+=
==
+=
=
∫ ∫∫ ∫
ααωα
α
θ
θθθ
θωθ
ωθθω
θ
ω
ωω
ω
ω
θθ
 
 
 
 
 
5.14 – A operação de marcha a ré em um automóvel é obtida através do conjunto de 
engrenagens mostrado na figura. Se o motor gira o eixo A com 
velocidade sradA /40=ω , determine a taxa de rotação do eixo de saída, Bω . Os raios 
das engrenagens estão listados na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 12
Solução: 
sradrr
srad
sradrr
sradrr
sradrrr
vv
srad
BBBBFF
FFE
EEEEDD
DDDDCC
CCCGCCAA
CA
b
A
/6,8950*70*64
/64
/6450*40*80
/8040*40*80
/8040*80*4040**40
??
/40
=⇒=⇒=
=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=⇒=
=
=
=
ωωωω
ωωω
ωωωω
ωωωω
ωωωωω
ω
ω
 
 
 
 
5.15 – A plataforma girante T mostrada na figura é acionada pela roda livre de atrito A, 
que está em contato com uma pista interna da plataforma e o eixo motor B. Determine o 
diâmetro d necessário para o disco fixado ao eixo se o motor gira a 25 rad/s e se deseja 
que a plataforma gire a 2 rad/s. 
 
 
 
Solução: 
inddrd
inrrrv
sinvvv
sinvvrvv
Sabemos
inr
srad
srad
d
BBBB
BBBBB
BBp
ppppAp
p
p
B
44,172,0*22
72,0*2518
/18
/189*2
:
9
/2
/25
??
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒=
=⇒=⇒==
=
=
=
=
ω
ω
ω
ω
 
 
 
 
 
 
 
 13
5.16 – A engrenagem A do eixo motor de um motor de popa tem um raio inrA 5,0= , e 
o pinhão B no eixo propulsor tem um raio inrB 2,1= . Determine a velocidade angular 
do eixo propulsor em t = 1,5s, considerando que o eixo motor gira com uma aceleração 
angular ( ) 23 /400 sradtA =α , onde t é expresso em segundos. O eixo propulsor está 
originalmente em repouso e a estrutura do motor não se move. 
 
 
 
 
 
Solução: 
( )
( )
sradtdttd
dtd
dtd
ttrr
sradt
stp
inr
inr
t
t
p
ppBBAA
A
B
A
/9,210
4
6,1166,166
6,1662,1*5,0*400
/400
5,1/??
2,1
5,0
5,1
0
4
0 0
3
0 0
3
23
=⇒=⇒=
=
=
=⇒=⇒=
=
==
=
=
∫ ∫
∫ ∫
ωωω
αω
αω
αααα
α
ω
ω
ω
 
 
 
 
5.17 – Para o motor de popa do probl. 5.16, determine o módulo da velocidade e da 
aceleração de um ponto P localizado na extremidade do eixo propulsor no instante t = 
0,75s. 
 
 
Obs: ver figura 5.16 
 
 
 
Solução: 
 14
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) 22222
2
222
23
4
75,0
0
4
75,0
0
4
0
75,0
0
3
0 0
3
/4123826,154
:
/6,1542,2*3,70
/3822,2*)18,13()(
/3,702,1*5,0*75,168:
/75,16875,0//400
/292,2*18,13
/18,132,1*5,0*64,31:
/64,31)75,0(*100100
4
400
400
2,1
5,0
/400
75,0
??
??
sinaaaaa
finalmente
sinara
sinara
sradrrSabemos
sradstpsradt
sinvrv
sradrrqueSabemos
sradtt
dttddtddtd
inr
inr
sradt
st
a
v
nt
ptpppt
pnpppn
pB
BBBBAA
A
pppp
BBBBAApB
AA
t
a
B
A
A
=⇒+=⇒+=
=⇒==
=⇒==
=
=⇒=⇒=
=⇒==
=⇒==
=⇒=⇒=⇒=
=⇒===⇒
⇒=⇒=⇒=
=
=
=
=
=
=
∫ ∫∫ ∫
α
ω
αα
αααα
αα
ω
ωωωωωω
ωω
ωαωαω
α
ωω
 
 
 
 
 
5.18 – Durante um curto período de tempo o motor de um nivelador orbital aciona a 
engrenagem A com uma velocidade ( ) sradttA /640 3 +=ω , onde t é expresso em 
segundos. Essa engrenagem é conectada à engrenagem B que é fixada ao eixo CD. A 
extremidade desse eixo é conectada ao fuso EF do excêntrico e à base P, causando sua 
órbita em torno do eixo CD a um raio de 15 mm. Determine os módulos da velocidade e 
das componentes tangencial e normal da aceleração do fuso EF no tempo t = 2s após 
sua partida do repouso. 
 15
 
 
 
Solução: ( )
( )
( )
( )[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 222
2
2
22
3
3
3
0
3
/600015,0*200
/7,2015,0*180
:
/3015,0*200
:
/18004,0*010,0*720
:
/7202/240120640
:
/2002/610
640*25,0*25,004,0*010,0*
:
0
????,??,
2
15
/640
smara
smara
saceleraçõedasCálculo
smvrv
vdeCálculo
sradrr
deCálculo
sradstpt
dt
tt
dt
d
deCálculo
sradstptt
ttrr
queSabmos
v
aar
st
mmEFàCDdoraio
sradtt
nEEEnE
tEEEtE
EEEE
E
EB
BBBBAA
B
A
A
A
A
BB
BABBABbAA
nt
A
=⇒==
=⇒==
=⇒==
=
=⇒=⇒=
=⇒=+=+==
=⇒=+=⇒
⇒+=⇒=⇒=⇒=
=
===
=
=
+=
ω
α
ω
ωω
αααα
α
αωα
α
ωω
ωωωωωωω
α
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16
5.19 – Durante um curto período de tempo o motor de um nivelador orbital aciona a 
engrenagem A com uma velocidade ( ) sradA /5 2θω = , onde θ é expresso em radianos. 
Essa engrenagem é conectada à engrenagem B que é fixada ao eixo CD. A extremidade 
desse eixo é conectada ao fuso EF do excêntrico e à base P, causando sua órbita em 
torno do eixo CD a um raio de 15 mm. Determine os módulos da velocidade e das 
componentes tangencial e normal da aceleração do fuso EF quando θ =0,5 revolução 
no tempo a partir do repouso. 
 
 
Obs: ver figura 5.18 
 
 
 
Solução: ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) 222
2
23
233
232
2
22
2
/28,2015,0*25,1
/81,5015,0*5,12
:
/5,1204,0*010,0*50
:
/5010*5
:
/185,0015,0**25,1
:
25,1010,0*504,0*
:
5,0/
??
015,0??
04,0??
010,0;/5
smaa
ra
smaa
ra
aeasaceleraçõedasCálculo
sradrr
deCálculo
sraddddd
deCálculo
smvrv
vdeCálculo
rr
queSabemos
radrevp
a
mra
mrv
mrsrad
nEnE
EEnE
tEtE
EEtE
EB
nt
BBBBAA
B
AAAAA
A
EEEE
EB
E
BBAaBB
nE
CDàEFtE
B
AA
=⇒=
=
=⇒=
=
=
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒==
=
=⇒=⇒=
==
=
==
==
==
θ
ω
θ
α
αα
θααθαα
α
θαθθθθαωωθα
α
θω
ωω
θωθωωω
πθθω
 
 
 
 
 
 17
5.20 - O equipamento aeróbico fabricado pela companhia Precor, Inc. transfere a 
potência desenvolvida pelas pedaladas para um volante F que resiste ao movimento 
através de um eletromagneto acionado por corrente contínua. Considerando que o 
usuário inicialmente aciona os pedais a 20 rev/min e, em seguida, impõe uma aceleração 
angular de 30 rev/min², determine a velocidade angular do volante quando t = 3s. Note 
que o braço do pedal é rigidamente conectado à roda dentada A, que ao girar aciona a 
polia B através da roda dentada D. Uma correia em V circunda a polia B que aciona a 
polia E e o volante a ela fixado. 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
mr
mr
B
A
175,0
125,0
=
=
 
mr
mr
E
D
03,0
02,0
=
=
 
 
Sabemos que: 
min/85,783:
03,0*175,0*375,134
min/375,134
min/375,13402,0*125,0*5,21
min/5,2105,0*30200
revLogo
rr
rev
revrr
vv
revt
E
eEEBB
DB
DDDDAA
DA
aAA
=
=⇒=
==
=⇒=⇒=
=
=⇒+=⇒+=
ω
ωωω
ωω
ωωωω
ωωαωω
 
 
 
 
5.21 - O equipamento aeróbico fabricado pela companhia Precor, Inc. transfere a 
potência desenvolvida pelas pedaladas para um volante F que resiste ao movimento 
através de um eletromagneto acionado por corrente contínua. Considerando que o 
usuário inicialmente aciona os pedais a 12 rev/min e, em seguida, impõe uma aceleração 
angular de 8 rev/min², determine a velocidade angular do volante após 2 revoluções do 
braço do pedal. Note que o braço do pedal é rigidamente conectado à roda dentada A, 
que ao girar aciona a polia B através da roda dentada D. Uma correia em V circunda a 
polia B que aciona a polia E e o volante a ela fixado. 
 
min05,03/??
min/30
min/20
2
0
0
===
=
=
stp
rev
rev
fω
α
ω
 18
Obs: ver figura 5.20 
 
 
 
Solução: 
 
mr
mr
B
A
175,0
125,0
=
=
 
mr
mr
E
D
03,0
02,0
=
=
 
 
 
 
Sabemos: 
min/48403,0*175,0*83
min/8302,0*125,0*27,13
:
min/27,132*8*212)(2 220
2
0
2
revrr
revrr
tambémSabemos
rev
EEEEBB
DB
DDDDAA
fAAAA
ωωωω
ωω
ωωωω
ωωθθαωω
⇒=⇒=
=
=⇒=⇒=
=⇒+=⇒−+=
 
 
 
 
 
5.22 – O eixo S do motor de uma máquina de aparar grama gira a uma taxa angular 
constante de 40 rad/s. Determine os módulos da velocidade e da aceleração do ponto P 
na extremidade da lâmina e a distância percorrida por P no período de 3s. O eixo S é 
conectado à polia motora A e o movimento é transmitido à correia que passa pelas 
polias livres B e C e pela polia D. Esta polia é conectada à lâmina e, através de outra 
polia, a uma outra correia que movimenta a segunda lâmina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
revp
rev
rev
f 2/??
min/8
min/12
2
0
0
==
=
=
θω
α
ω
 19
Solução: 
( ) ( ) ( ) ( )
mSSrS
então
raddd
stpdtd
dt
d
quetambémSabemos
smvvrv
smaara
sradrr
Sabemos
mr
mr
srad
p
ppppp
npnpppnp
DDDDAA
D
PD
A
A
362,0*180*
:
1803*60
3/;
:
/122,0*60
/7202,0*60
/6005,0*075,0*40
:
05,0
?
075,0
/40
0
3
0
222
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=⇒
⇒==⇒=
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=
==
=
=
∫ ∫
θ
θθωθ
ωθθω
ω
ω
ωωωω
ωω
ω
θ
 
 
 
 
 
5.23 - O eixo S do motor de uma máquina de aparar grama está inicialmente girando 
com uma velocidade angular constante de 40 rad/s. Se ele é submetido a uma aceleração 
angular constante de 3 rad/s² enquanto a válvula do motor é aberta, determine os 
módulos da velocidade e das componentes normal e tangencial da aceleração do ponto P 
na extremidade da lâmina quando t = 2s e a distância percorrida por P no período de 2s. 
O eixo S é conectado à polia motora A e o movimento é transmitido à correia que passa 
pelas polias livres B e C e pela polia D. Esta polia é conectada à lâmina e, através de 
outra polia, a uma outra correia que movimenta a segunda lâmina. 
 
Obs: ver figura 5.22 
 
 
Solução: ( )
( )
2
0
2
0
/5,405,0*075,0*3
/6905,0075,0*46
:
/462*340
2/2,0
05,0/075,0
/3//40
sradrr
sradrr
Sabemos
sradt
stmr
mrmr
sradsrad
DDDDAA
DDDDAa
AAAAA
p
DA
AA
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒+=⇒+=
==
==
==
αααα
ωωωω
ωωαωω
αω
 
 
 20
Cont. 5.23 – resposta 
Módulo da velocidade 
smvvrv ppppp
pD
/8,132,0*69 =⇒=⇒=
=
ω
ωω
 
Componentes da aceleração 
( )
2
222
/9,02,0*5,4
/2,9522,0*69
smaara
smaara
ttpDt
nnppn
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
α
ω
 
Espaço percorrido 
( )
mSSrS
Logo
radrr
radtt
tddtd
dt
d
PD
DDDDAA
AA
t
8,252,0*129
:
12905,0*075,0*86
86680
2
340
340
2
0
2
0
2
00 0
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒+=⇒+=⇒
⇒+=⇒=⇒= ∫ ∫∫ ∫
θ
θθθθ
θθθ
θωθθω
θθ
 
 
 
 
5.24 – O disco mostrado na figura parte do repouso e é submetido a uma aceleração 
angular ( ) 231 /10 sradθα = , onde θ é expresso em radianos. Determine a velocidade do 
disco e seu deslocamento angular quando t = 4s. 
 
 
 
 
Solução: 
 
radstpt
tttttt
st
srad
f
54,7154/*5
5)5()(5
2
*10
2
4
??
??
/10
0
263
6323233 2232
2
31
2
0
231
0
=⇒=∴=
⇒=⇒=⇒=⇒=⇒+=
=
=
=
=
=
θθ
θθθθθαωθ
θ
ω
θα
ω
 
 21
Cont. 5.24 resposta 
Finalmente: 
( )
( ) sradff
fff
f
/7,35754,715*20
54,715*202010*2
2
32
342342312
2
0
2
=⇒=
=⇒=⇒=
=−
ωω
ωθωθθω
αθωω
 
 
 
 
5.25 - O disco mostrado na figura parte do repouso e é submetido a uma aceleração 
angular ( ) 231 /10 sradθα = , onde θ é expresso em radianos. Determine o módulo das 
componentes normal e tangencial da aceleração de um ponto P na periferia do disco 
quando t= 4s. 
 
Obs: ver figura 5.24 
 
Solução: 
 
Sabemos que: 
( )
( ) ( )[ ]
( ) 222
0
21342134
2
23131
312131
4
0
2131
4
0
21
0
3221
64
2134
234
2
34
0 0
31
/4267
4,0
312,41
:
/312,414,0*28,103
:
/28,1037,137*1515
/7,204,0*64,51*
:
/64,51)7,137(*1010
7,137164,54*153153
151515
15
24
3*10
10
sma
r
va
finalmente
smvrv
então
srad
smaara
então
srad
radt
dtddtd
dt
d
dd
dd
nn
ttt
=⇒==
=⇒==
=⇒==
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=⇒=
=⇒=⇒==
=⇒=
=
=
∫∫
∫ ∫
−
ω
ωθω
α
ααθα
θθθθ
θθθ
θθθω
ωθωθ
ωωθθ
ωωθα
θ
θ ω
 
 
 
 
 
 22
5.26 – A companhia Morse Industrial fabrica o redutor de velocidades mostrado na 
figura. Considerando que um motor acione o eixo S com uma aceleração angular ( ) 2/4,0 sradet=α , onde t é expresso em segundos, determine a velocidade angular do 
eixo E quando t = 2s após partir do repouso. Os raios das engrenagens são listados na 
figura. Note que as engrenagens B e C são originalmente fixadas ao mesmo eixo. 
 
 
Solução: 
 ( )
srad
sradrr
sradrr
também
sradeddteddt
dt
d
Sabemos
stp
mr
mr
mr
mr
st
srade
EDE
DDDDCC
CB
BBBBAA
A
t
A
t
E
E
D
C
B
A
t
/16,0
/16,012,0*03,0*638,0
/638,008,0*02,0*55,2
:
/55,24,04,0
:
0
2/??
12,0
03,0
08,0
02,0
2
/4,0
2
00
2
0
2
0
=⇒=
=⇒=⇒=
=
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=⇒=⇒=
=
==
=
=
=
=
=
=
∫∫
ωωω
ωωωω
ωω
ωωωω
ωωωωαωα
ω
ω
α
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 23
5.27 - A companhia Morse Industrial fabrica o redutor de velocidades mostrado na 
figura. Considerando que um motor acione o eixo S com uma aceleração angular ( ) 23 /4,0 srad−= ωα , onde ω é expresso em rad/s, determine a velocidade angular do 
eixo E quando t = 2s após o movimento ser iniciado com uma velocidade angular de 1 
rad/s. Os raios das engrenagens são listados na figura. Note que as engrenagens B e C 
são originalmentefixadas ao mesmo eixo. 
 
Obs: ver figura 5.26 
 
 
 
 
Solução: 
 
 ( )
srad
sradrr
finalmente
srado
sradrr
também
sradstptttddt
dt
d
queSabemos
mr
mr
mr
mr
stp
srad
EED
DDDDCC
CCB
BBBBAA
A
t
D
C
B
A
E
/15,0
/15,012,0*03,0*6,0
:
/6,0:log
/6,008,0*02,0*38,2
:
/38,22/1616
4
44
4
:
12,0
03,0
08,0
02,0
2/??
/4,0
44
4
0
3
0
3
23
=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒=
=⇒=⇒=
=⇒=∴=⇒=⇒=⇒=
==
=
=
=
=
==
=
∫∫
−
−
ωωω
ωωωω
ωωω
ωωωω
ωωωωωω
ωωα
ω
ωα
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24
5.28 – A esfera mostrada na figura parte do repouso em 00=θ e gira com uma 
aceleração angular ( ) 2/4 sradθα = , onde θ é expresso em radianos. Determine os 
módulos da velocidade e da aceleração do ponto P sobre a esfera no instante em que θ 
= 6 rad 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
( )
( ) ( ) 222
22
22022
20
2
0
2
2
0
26
0
2
0
6
0
0
0
2
/29,8486,1314,83
/14,83
2
3*
12
8*1260sen
/86,13
2
3*
12
8*2460sen**
/246*44
/93,6
2
3*
12
8*1260sen*
12
88
/126*2
222
44
6:/
6/
?
?
0
0
/4
sftaa
aaa
sftaarra
sftaarra
srad
sftvvrv
ftinr
sraddd
dd
rademAp
radp
a
v
srad
pp
tnp
nnn
ttpt
pppp
p
p
p
ppp
ppp
=⇒+=
+=
=⇒=⇒==
=⇒=⇒==
=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
==
=⇒=⇒=⇒=
=
=
=
=
=
=
=
=
∫∫
ωω
αα
ααθα
ω
ωωωθωωθθ
ωωθα
θ
θ
θ
ω
θα
ωω
 
 25
5.29 – No instante mostrado na figura, a engrenagem A gira com uma velocidade 
angular constante sradA /6=ω . Determine a maior velocidade angular da engrenagem 
B e a máxima velocidade do ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
smv
v
rrrv
srad
srad
rr
mrr
Sabemos
v
srad
C
C
CCCCc
CB
BB
BBAA
AA
C
B
A
/6,0
07071,0*49,8
07071,0
45cos
05,0
/49,8
/49,805,0*07071,0*6
07071,045cos1,0
:
??
??
/6
0
0
=
=
=⇒=∴=
==
=⇒=
=
=⇒=
=
=
=
ω
ωω
ωω
ωω
ω
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 26
5.30 – Se a barra mostrada na figura parte do repouso na posição indicada e um motor a 
movimenta durante um curto espaço de tempo com uma aceleração angular ( ) 2/5,1 sradet=α , onde t é expresso em segundos, determine o módulo da velocidade 
angular e o deslocamento angular da barra quando t = 3s. Localize o ponto sobre a barra 
que tenha a maior velocidade e a maior aceleração e calcule os módulos da velocidade e 
da aceleração deste ponto quando t = 3s. A barra é definida por )sen(25,0 yz π= , onde o 
argumento da função seno é expresso em radianos e y em metros. 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
( )
rad
eedtdted
dtdtede
dt
d
stpe
ressãoaegrnado
sma
r
va
seráaceleraçãoa
smvvrv
serávelociadeaentão
mrz
mzzyz
ydoConsideran
srade
dtedtd
dt
d
t
tt
t
t
t
1,24
5,15,15,15,1
5,15,15,15,1
3/5,15,1
:expint
/205
25,0
16,7
:
/15,725,0*6,28*
:
25,0
25,0)5,0sen(25,0)sen(*25,0
5,0:
/6,285,1
5,1
03
3
0
3
00
2
22
3
0
3
0
3
00
=
−=⇒−=
−=⇒−=
=−=
=⇒==
=⇒=⇒=
==
=⇒=⇒=
=
=⇒=
=⇒=⇒=
∫ ∫∫
∫∫∫
θ
θθ
θθ
ω
ω
ππ
ωω
ωαωωα
θ
ω
 
 
 27
5.31 – A matriz M, fixada a um cilindro rotativo, é utilizada para rotular latas. Se as 
latas estão distanciadas 200 mm uma da outra sobre a correia transportadora, determine 
o raio Ar da roda motora A e o raio Cr do cilindro rotativo da correia transportadora de 
forma que, para cada volta da matriz, ela rotule o topo de uma lata. Quantas latas são 
rotuladas por minuto se o cilindro C gira com 2/2,0 sradC =ω ? Note que a correia 
motriz é cruzada quando passa entre as rodas. 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Para a roda A, temos: 
 
mmrrrL AAA 8,312
200*2 =⇒=⇒= ππ 
Para o cilindro B: 
 
mmrrrL BBB 8,312
200*2 =⇒=⇒= ππ 
Para t = 1’=60 s 
 
Sabemos: 
 
utoporrotuladaélatanno
mmLrL
rad
t
C
CBb
min91,1
200
6,381:log
6,3818,31*12*
1260*2,00
0
=⇒=
=⇒==
=⇒+=
=∴+=
θ
θθ
ωωωθθ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28
5.32 – Uma fita de gravação com espessura s enrola-se em torno da roda que gira a uma 
taxa constante ω .Admitindo que a parte não enrolada da fita permanece na horizontal, 
determine a aceleração do ponto P da fita não enrolada quando o raio correspondente à 
fita já enrolada é r. 
Sugestão: Uma vez que rv p ω= , derive em relação ao tempo notando que 
( )πω 2sdtdr = . 
 
 
 
Solução: 
 
rr
a p
=
=
=
??
ωω
 
 
Sabemos que: 
 
( )
( )
( ) απω
απωω
ω
πω
ω
*2
*2*
2
2 rsa
rsa
dt
dwr
dt
dr
dt
dv
s
dt
dr
v
p
p
p
rp
+=
+=
+=
=
=
 
 
 
 
5.33 – No instante mostrado º60=θ , a barra AB está sujeita a uma desaceleração de 16 
m/s² e sua velocidade é de 10 m/s. Determine a velocidade angular e a aceleração 
angular da barra nesse instante. 
 
 
 29
θθ cos6,0
3,0
2cos =⇒= S
S
 
 
Derivadas temporais, temos: 
 
sradsensenv CDCDCD /2,19º.606,010.6,0 −=⇒−=⇒−= ωωωθ 
 ( )⇒+−=⇒−−= θωθαωθαθ cos..6,0.cos6,0.6,0 22 senasena 
( )[ ] 22 /183º60cos2,19]60.6,016 sradsen −=⇒−+−=−⇒ αα 
 
 
 
5.34 – O andaime S é elevado hidraulicamente pelo movimento do rolete em A na 
direção do pino em B. se A aproxima-se de B com uma velocidade de 1,5 ft/s, 
determine a velocidade com que o andaime é elevado em função de θ . As barras de 4 ft 
são rotuladas por pinos em seus pontos médios. 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Equações das coordenadas de posição: 
 
θθ sen4;cos4 == yx 
 
Derivando-se em relação ao tempo, temos: 
 
θθθθθ
θθθθ
θθ
gvvy
sftvxtoentrex
yy
A
cot5,1
sen
375,0cos4cos4
sen
375,0sen45,1
/5,1,tan;sen4
=⇒

===
=⇒−=−
−=−=−=
•
••
•
 
 
 
 
 
 
 30
5.35 – A barra com comprimento de 2 m mostrada na figura é confinada a mover suas 
extremidades A e B nas ranhuras horizontal e vertical. Se a velocidade do bloco 
deslizante em A é de 8 m/s, determine a velocidade angular da barra e a velocidade do 
bloco B no instante 060=θ 
 
 
Solução: 
 
 
srad
v
v
dt
dS
derivando
S
S
A
A
A
A
A
/62,4
60sen2
8
sen2
*sen2
sen2
:
cos2
2
cos
0 =⇒−=−=
−=
−=
=⇒=
•
ωθω
ωθ
θθ
θθ
 
Cálculo de ??=Bv 
smvv
vSSS
S
BB
BBBB
B
/62,462,4*60cos2
60cos2cos2sen2
2
sen
0
0
=⇒=⇒
⇒==⇒=⇒=⇒= ••• ωθθθθ
 
 
 
 
5.36 – Determine a velocidade angular da barra AB quando º30=θ . A haste e o centro 
do rolete C movem-se a uma taxa constante smv /5= 
 
 
 
060/??
??
/8
2
==
=
=
=
θ
ω
pv
smv
mbarra
B
barra
A
 31
??
/5
1,0
=
=
=
ω
smv
mr
 
 
( )I
x
rsen ....=θ 
mx
sen
x
sen
rx
x
rsen 2,0
º30
1,0 =⇒=⇒=⇒= θθ 
 
 
Derivando a equação (I), temos: 
 
srad
x
vr
vxr
/434,14
º30cos.)2,0(
5.1,0
cos
.
.).1.(.cos
2
2
2
−=⇒−=
−=
−= −
ωω
θω
ωθ
 
 
 
 
 
5.37 – A placa inclinada AB se move para a esquerda com uma velocidade constante v. 
Determine a velocidade angular e a aceleração angular da barra delgada de 
comprimento l. A barra pode girar relativamente ao degrau C enquanto desliza sobre a 
placa. 
 
 
 
Solução: 
 32
( ) ( ) ( )
( )
( )[ ]
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) 


−
−−=


 −+−

−−−−=
−−=
−−=
−−=


 

−−+−−=
−==
−=
−=⇒−=−
→
=
•−•−
−
•−•−
−
θφ
ωθφφα
φφθφθφθθφφω
θφφωθφ
φω
ωθφθ
θθφφφφθφ
θθφ
φ
θφ
θφφθφφ
αω
2
12
1
12
1
0
cos
sensen
coscossencossen
cossen
:
cos
sen
cos
sen
cossensensen
sensen
;
sen
sen
sensensen180sen
:sen
tan
??,,
s
l
v
l
v
dt
d
l
v
angularaceleração
l
v
lv
lv
lv
dt
dAC
temporalderivadalAC
AClACl
osdeLei
teconsv
lbarra
 
 
 
 
5.38 – A manivela AB do mecanismo mostrado na figura gira com uma velocidade 
angular constante ω =150 rad/s. Determine a velocidade do pistão P no instante que θ = 
30º. 
 
 
 
 33
[ ]
sftV
sen
sensenV
sradpara
sen
sensenV
sensensenx
senx
P
P
P
/9,18
)²º302,0()²75,0(
º60)150)²(2,0(
2
1º30.150.2,0
/150º30
)2,0()75,0(
2)2,0(
2
12,0
)cos2,0)(2,0)(2()2,0()75,0(
2
12,0
)2,0()75,0(cos2,0
22
.
2
.
2
1
22
.
22
=
−

−−=
=→=→
−

−−=
−−+−=
−+=
−
ωθ
θ
θωθω
θθθθθθ
θθ
 
 
5.39 – Determine a velocidade da haste de sapata H, do mecanismo mostrado na figura, 
para uma ângulo θ genérico da came C quando esta gira com uma velocidade angular 
constante ω . O pino de conexão O não causa interferência no movimento da placa A 
sobre C. 
 
 
 
 
Solução: 
 
θωθθθ
ωω
sensencos
??
rvr
dt
dxrrx
Hv
ang
haste
−=⇒−=⇒+=
=
=
•
 
 
 
5.40 – O disco A, mostrado na figura, rola sem deslizar sobre a superfície do cilindro 
fixo B. Determine a velocidade angular de A considerando que seu centro C tenha uma 
velocidade smvc /5= . Quantas voltas o disco A deverá realizar em torno de seu centro 
para que o elo DC complete uma volta 
 
 
 
 34
Conforme indicado na figura, quando A percorre um arco rs Aθ= , o centro do disco 
move-se ao longo da mesma distância s’=s. 
 
 
ACD
ACD
AAAA
rsrs
temosDCelooPara
sradrsrs
θθ
θθ
ωωθθ
=
===
=⇒=⇒=⇒= ••
2
2
:,
/3,3315,0*5
'
 
 
Logo, o disco A realiza uma revolução para cada volta do elo CD. Resp. 
 
 
 
5.41 – O braço AB do mecanismo mostrado na figura tem uma velocidade angular ω e 
uma aceleração angular α . Considerando que não ocorre deslizamento entre o disco e a 
superfície curva fixa, determine a velocidade angular e a aceleração do disco. 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
( )
( )
( )
( )
r
rR
r
rR
rRr
rvrv
vv
rRv
AC
CA
AA
−−=
−−=
−=−
−=⇒=
−=
−=
αα
ωω
ωω
ωω
ω
'
'*
**
 
 
 
 
 
??,; =
=
=
discodo
A
A
αω
αα
ωω
 35
5.42 – O braço AB do mecanismo mostrado na figura tem uma velocidade angular ω e 
uma aceleração angular α . Considerando que não ocorra deslizamento entre o disco D 
e a superfície curva fixa, determine a velocidade angular e a aceleração angular do 
disco. 
 
 
 
 
Sabemos que: ( )rRvC += .ω ( )rRaC += .α 
rvA '.ω= raA '.α= 
AC vv = AC aa = ( ) rrR '.. ωω =+ ( ) rrR '.. αα =+ 
( )
r
rR += ωω ' ( )
r
rR += αα ' 
 
 
5.43 – A extremidade A da barra do mecanismo mostrado na figura se move para baixo 
ao longo de uma guia com velocidade constante Av . Determine a velocidade angular 
ω e a aceleração angular α da barra em função da posição y. 
 
 
 
Solução: 
 
 
Lei dos senos: 
 
 
 36
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 23222
222
22222
222
2
222
22
2
22
222
212222
22222
2
22
2
2
22
2
22
2
21
0
2.
1*
.
.2
2
1
:ª2
)(sen;cos
cos
sen
sen
cos
sen
cos
sen
coscossensen
sensen90sen
ryy
ryvr
ryyry
yryrv
ryy
ry
yryvrv
ryy
yvyryryvrv
dt
d
derivada
ryy
rv
ryyr
yrv
y
ry
r
y
rv
vdevelocidade
y
r
y
ry
r
vr
vr
dt
dy
yrrryry
A
A
AA
AAA
AA
A
A
A
A
−
−=
−





−
+−=
−




−
+−
=
−


 −−−−
−=
−
=⇒
−
−=
−




−=
−↓=−=
−=⇒−=⇒−=
−=⇒−===⇒=
−
•−−
α
α
α
ω
ωω
θθ
θ
θωθ
θω
θ
θω
θ
θωθθθθθ
 
 
 
 
5.44 – Os pinos A e B do mecanismo mostrado na figura são confinados a se moverem 
nas trilhas vertical e horizontal, respectivamente. Se o braço ranhurado impõe ao pino A 
um movimento para baixo com velocidade Av , determine a velocidade de B no instante 
mostrado. 
 
 
 
 37
Solução: 
 
Equações das coordenadas de posição: 
 
y
d
hx
y
d
x
htg 

=⇒==θ 
Derivando-se em relação ao tempo, temos: 
 
AB vd
hvy
d
hx 

=⇒

= 
 
 
 
5.45 – Ao se movimentar a barra mostrada na figura permanece em contato com o piso 
em B e como o ponto A.Considerando que o ponto B se mova para a direita com uma 
velocidade constante Bv , determine a velocidade angular e a aceleração angular da barra 
em função de x. 
 
 
 
 
Solução: 
 
Aplicando a lei dos senos: 
 
( ) 2122
220
22
.sen
sen
90sensen
−+=
+
=⇒+=
hxx
hx
xhxx
θ
θθ
 
 
Derivando: 
 
 38
( ) ( )
( )( )
( ) 2222
2
22
222
22
2
2222
2
2222
21222322
..
....
.cos
.2
2
1..cos
hx
vh
hhx
vh
hx
vxvhvx
hx
xv
v
hxhx
vx
hx
v
hx
h
hxxxxhxx
BB
BBBB
B
BB
+=⇒+=⇒
+
−+=+−=⇒
++
−
+
=
+
=
+++

−= −••−•
ωω
ω
ωωθ
θθ
 
 
Cálculo da aceleração angular: 
 
( )222
...2
hx
vhx
dt
d B
+
−=⇒αω 
 
 
 
5.46 – O caixote mostrado na figura é transportado sobre uma plataforma que repousa 
sobre roletes com raio r .Considerando que o rolete não deslize, determine sua 
velocidade angular quando a plataforma se move com uma velocidade v . 
 
 
 
 
 
ω.rv = 
 
Devemos utilizar r.2 , logo: 
r
v
.2
=ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39
5.47 – O disco mostrado na figura gira com uma velocidade angular ω e uma aceleração 
angular α . Determine a velocidade e a aceleração do cilindro B. Despreze as dimensões 
da polia em C. 
 
 
 
 
Solução: 
??, =→ cilindroαω 
Pela lei dos cossenos, temos: 
( )
( ) ( )
( ) 21
21
21
222
cos3034
.sen15
sen30.cos3034
2
1
cos3034
cos5.3.253
θ
ωθ
θθθ
θ
θ
−=
−=
−=
−+=
•−
Bv
dt
dl
l
l
 
 
 
 
Cálculo da aceleração: 
 ( )
( ) ( ) 23
22
21
2
cos3034
sen.225
cos3430
cossen15
θ
θω
θ
θωθαα −−−
+=⇒
dt
dvB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40
5.48 - Quando a barra mostrada na figura está na posição definida pelo ângulo θ, sua 
velocidade angular no sentido horário é ω e sua aceleração é α, conforme indicado. 
Determine a velocidade e a aceleração do peso A nesse instante. O comprimento da 
corda é de 20 ft. 
 
 
 
( )








−
+−
−
==
−

−+−+−−=
−
−==
=−+
=−+
−=
−+=
−−−
−
−
2
1
2
2
3
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
)cos1(
)cos(
)cos1(2
)(071,7
))(cos)1(
2
1)cos1(cos)cos1(071,7
)cos1(
071,7
0)cos1(071,7
20)cos1(200
cos1(200
cos)10)(10(2)10()10(
θ
θωθα
θ
θω
θθθωθθθωθθω
θ
θω
θθθ
θ
θ
θ
sensenSa
sensensenS
senSV
senS
S
S
S
AA
A
AA
A
A
&&
&&&
&
&&
 
 
 
5.49 –A manivela AB do mecanismo mostrado na figura tem uma velocidade angular 
constante ω . Determine a velocidade e a aceleração do cursor C em função de θ . 
Sugestão: utilize a coordenada x para expressar o movimento de C, e a coordenada φ 
para a posição da barra CB. Assim, x = 0 quando 00=φ 
 
 
 41
Solução: ( )
sen
sen1
cossen
)3(
sen1
.cos
:
sen1sen1cos
:
)2(coscos
)1(sensensensensensen
coscos
2
2
2
2
2
2
2
ω
θ
θθ
ω
θ
ωθ
φ
θφφ
θθφφ
θθφφ
θφθφ
θφ
b
l
b
l
b
bv
l
b
l
b
temos
l
b
quevezUma
l
b
blxv
l
bbl
bLblx
c
c
+












−



=


−



=


−=−=
=
+==
=⇒=
+−+=
••
••
 
 
 
Pelas eqs. (1) e (2), podemos escrever: 
 
)5(
cos
sensen
sencossen
)4(coscossen
2
2
22
2
φ
θωφφ
φ
θθφφφφ
θθφφφφφ
l
b
l
b
bllva cc
−
=


−=+−


++==
•
•
•••
•••••
 
 
A substituição das Eqs. (1),(2),(3) e (5) na Eq. (4) fornece após as devidas 
simplificações. 
 










+



 

−



 

+


= θ
θ
θθ
ω cos
sen1
sen2cos
21
2
2
4
2
2
l
b
l
b
l
b
bac 
 
 42
5.50 - Considerando que h e θ sejam conhecidas e as velocidades de A e B sejam 
,VVV BA == determine a velocidade angular ω do corpo e a direção φ de BV 
 
 
 
Considerando que φθ = , temos: 
 
BArv /⋅= ω 
h
v
h
vv
h
v
r
v
vr
BA
BA
θωθθωωω
ω
cos2coscos
/
/
=⇒+=⇒=⇒=
=⋅
 
 
 
 
 
 
5.51 - A roda mostrada na figura gira com velocidade angular de ω = 8rad/s. Determine 
a velocidade do colar A no instante em que θ = 30º e ø = 60º. Faça também um esquema 
com a localização da barra AB quando θ = 0º, 30º e 60º para mostrar seu movimento 
plano geral. 
 
 
 43
smV
srad
sensen
V
V
VVV
A
BA
BA
BAA
BAA
BABA
/40,2
/16,4
º305,0º602,10
º30cos5,0º60cos2,1
5,02,1
/
/
/
/
/
=
=
−=↑+
+=→
→
+=
+=
−
ω
ω
ω
ω
 
 
Note também que, VB = ω x rB 
BABABA rVV // ×+= ω 
→=
=
−=
+=
+×−++−×−=
smV
srad
V
jsenikjsenikiV
A
BA
BA
BAA
BAA
/40,2
/16,4
25,0039,10
433,060,0
)º605,0º60cos5,0()()º3015,0º30cos15,0()8(
/
/
/
/
ω
ω
ω
ω
 
 
 
 
5.52 – O pinhão mostrado A mostrado na figura rola sobre uma cremalheira fixa B com 
velocidade angular srad /4=ω . Determine a velocidade da cremalheira C. 
 
 
 
Solução: 
 
( )
( ) ( ) sftvjkiv
rvv
o
sftvv
vvv
CC
BCABC
CC
BCBC
/40,26,040
:log
/40,26,0.40
=⇒∧+=−
∧+=
=⇒+=

←
+=
+
ω
 
 
 
 
 44
5.53 – O pinhão mostrado na figura rola em relação às cremalheiras B e C. Se B move-
se para a direita a 8 ft/s e C move-se para a esquerda a 4 ft/s, determine a velocidade 
angular do pinhão a velocidade de seu centro A 
 
 
Obs: ver figura 5.52 
 
Solução: 
 
 ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) sftvjkiivrvv
sradjkiirvv
o
sftvvvvv
sradvvv
AABABA
BCBC
AABABA
BcBc
/23,0208
/206,0846,0.84
:log
/23,0.208
/20.6,084
=⇒∧+=⇒∧+=
=⇒−=−⇒∧+=−⇒∧+=
=⇒−=⇒+=
=⇒−=−⇒+=
ω
ωωωω
ωω
 
 
 
 
5.54 - A engrenagem mostrada na figura repousa sobre uma cremalheira horizontal. uma 
corda é enrolada em torno do núcleo da engrenagem de forma que ela permanece na 
horizontal tangenciando o núcleo em A. Se a corda é puxada para a direita com uma 
velocidade constante de 2ft/s, determine a velocidade do centro C da engrenagem. 
 
 
 
 
[ ] ( )
sftV
V
VVV
srad
VVV
C
C
DCDC
DADA
/33,1
)1(33,10
/33,1
5,12
5,102
/
/
=

→


+=


+=
=
=

→


+=
+=
+
→→
+
→→
ω
ω
ω
 
 
 45
5.55 - Admitindo que a corda é enrolada em torno do núcleo da engrenagem no sentido 
oposto de modo que sua extremidade permaneça na horizontal tangente ao núcleo B e é 
puxado para a direita a 2 ft/s. Determine a velocidade angular AB. 
 
 
 
 
sft
r
v /4
5,0
2 ⇒=⇒= ωω 
 
 
 
5.56 - bola de boliche é mostrada na figura é lançada na pista com uma velocidade 
reversa srad /10=ω , enquanto seu centro O tem uma velocidade para frente 
smV /80 = . Determine a velocidade no ponto de contato A com a pista. 
 
 
 
 
mr
smV
srd
12,0
/8
/10
0
=
=
=ω
 
 
 
smVVVV /2,982,112,010 0 =⇒+=⇒+⋅= 
 
 
 
 46
5.57 - A barra AB do mecanismo mostrado na figura gira com uma velocidade angula 
sradBA /5/ =ω . Determine a velocidade do colar C no instante em que o60=θ e 
o45=φ . Faça também um esquema com a localização da barra BC quando 
ooo e4560,30=θ para mostrar seu movimento plano geral 
 
 
 
sftVc
Vc
jsenikjsenikV
Vc
ijijV
rVV
CB
CB
CBCi
CB
BCCBCI
ABAB
/53,4
07,773,107,7
07,7
07,70
)60260cos2()45245cos2(5
73,107,7
73,107,707,7 /
/
=
−+−=−
=
−=
−−∧++∧=−
+−=−
+−−=−
+=
ω
ω
ω
ω
ωω
ω
 
 
 
 
5.58 - A velocidade angular da barra AB é ωAB = 4 rad/s. Determine a velocidade do 
colar C e a velocidade angular da barra CB no instante em que θ = 60º e ø = 45º. AA 
barra CB está na horizontal nesse instante. Faça também um esquema com a localização 
da barra CB quando θ = 30º, 60º e 90º para mostrar seu movimento plano geral. 
 
 
 47
Barra AB: A barra AB gira em relação ao ponto fixo A. Logo, 
smV
rV
B
ABABB
/2)5,0(4 ==
= ω
 
Barra CB: { }
{ }
jsenijsenViV
ikjsenijsenViV
mir
k
jsenViVV
smjseniV
CBCC
CBCC
CB
CB
CCC
B
)35,0º302(º30cos2º45º45cos
)35,0()()º302º30cos2(º45º45cos
35,0
º45º45cos
/º302º30cos2
ω
ω
ωω
−+−=−−
−×++−=−−
−=
=
−−
+−
 
Igualando os componentes i e j . Temos: 
srad
sensen
smV
V
CB
CB
C
C
/81,7
35,0º302º4545,2
/45,2
º30cos2º45cos
=
−=−
=
−=−
ω
ω 
 
 
 
 
5.59 – A barra AB do mecanismo mostrado na figura tem uma velocidade angular de 2 
rad/s. determine a velocidade do cursor C no instante em que θ = 45º. Faça também um 
esquema com a localização da barra BC quando θ = 60º, 45º, 30º para mostrar seu 
movimento plano geral. 
 
 
 
 
 
 
 48
sftVc
bWcVc
sradbWc
bWc
bjWcbWcijVcj
jsenibkWcisenjkVcj
bVcVbVc
isenjbRa
sradkbWa
/54.3
/88.076.1
/2/
/88.076.10
)/88.0/88.0()76.176.1(
)45
12
1545cos
12
15()/()45
12
1545cos
12
15()2(
/
)45
12
1545cos
12
15(/
/)2(/
=
+−=−
−=
+=
+++=−
−∧++∧−=−
+=
+=
−=
 
 
 
 
 
 
 
5.60 – Se, em um determinado instante, o ponto B tem uma velocidade para baixo 
Vb = 3 m/s, determine à velocidade do ponto A nesse instante. Note que para esse 
movimento ocorrer a roda deve deslizar em A. 
 
 
smVA
iVa
jkVa
bVaVbVa
sradWb
Wb
RBWbVb
/8
8
)4.020(0
/
/20
15,0
3
=
−=
−∧−+=
+=
−=
−=
∧=
 
 
 
 49
5.61 – O pistão P está movendo – se para cima com velocidade 300 in/s no instante 
mostrado. Determine a velocidade angular da manivela AB nesse instante. 
 
 
 
 
sradaWb
aWbaWb
bWpaWb
aWbbwp
BWPaWb
biWpbjWpbiWabjWaj
senbkWpjsenbkWaj
bVpVbVp
sensen
ssenosdolei
/330/
/184.0/725.0300
/725.0/725.0300
/254.0/
/95.4/256.10
)/95.4/725.0()/256.1/725.0()300(
)34.8cos534.85()/()30cos45.13045.1()/()300(
/
34.8
45.15
:
=
+=
−=
−=
−−=
−−+−=
°+°−∧+°+°∧=
+=
°=
=
−−
β
β
 
 
 
 
5.62 - Determine a velocidade do centro de gravidade G da biela no instante mostrado. 
O pistão se move para cima com uma velocidade de 300 in/s. 
 
 50
Pela geometria, temos: 
 
 
 
Para a biela BP, temos: { }
{ }
( ) ( ) jsenViVj
jsenikjsenViVj
rVV
injseniV
k
jsenViVV
sinjV
BPBBPB
BPBB
BPBP
BP
BP
BBB
P
ωω
ω
ω
ωω
º8166cos5º30º8166cos5º30cos300
)º66,815º8166cos5()()º30º30cos(300º66,815º8166cos5
º30º30cos
/300
/
/
+++−=
+−×−++−=
×+=
+−=
−=
+−=
=
 
 
 
Igualando-se as componentes i e j, temos: 
BPB
BPB
senV
senV
ω
ω
º66,81cos5º30300
º66,815º30cos0
+=
+−=
 
Resolvendo-se as equações (1) e (2), obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{ }
{ }
{ }
{ }
º6,55
49,186
67,272
/330
67,27249,186
/67,27249,186
)º66,8125,2º66,81cos25,2()77,83(300
º66,8125,2º66,81cos25,2
/77,83
/300
/53,478
/77,83
1
22
/
/
=

=
=
+−=
+−=
−×−+=
×+=
−=
−=
=
=
=
−tg
sinV
V
sinjiV
jsenikjV
rVV
inJsenir
sradk
sinjV
sinV
srad
G
G
G
G
PGPG
PG
P
B
BP
θ
ω
ω
ω
º66,81
5
º3045,1cos
=
=
θ
θ sen
 51
 
 
 
5.63 – O sistema de engrenagens planetárias mostrado na figura é utilizado na 
transmissão automática de um automóvel. Bloqueando-se ou liberando-se certas 
engrenagens, tem-se a vantagem de operar o carro em diferentes velocidades. Considere 
o caso onde a engrenagem externa R é mantida fixa, 0=Rω e a engrenagem solar S gira 
com sradS /5=ω .Determine as velocidades angulares de cada uma das engrenagens 
planetárias P e do eixo A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
srad
ivjkvrvv
sradsradijkirvv
v
smmv
AA
CCBCBC
PPPABAB
B
A
/67,1
120
200
2004050
/5/5804000804000
0
/400)80.(5
=⇒=
−=⇒−∧−+=⇒∧+=
=−=⇒−−=⇒∧+−=⇒∧+=
=
==
ωω
ω
ωωωω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 52
5.64 - O sistema de engrenagens planetárias da figura é utilizado na transmissão 
automática de um automóvel. Bloqueando-se ou liberando-se certas engrenagens, tem-
se a vantagem de operar o carro em diferentes velocidades. Considere o caso onde a 
engrenagem externa R gira com ὠr = 3 rad/s e a engrenagem solar é mantida fixa, 
ὠs = 0. Determine as velocidades angulares de cada uma das engrenagens planetárias P 
e do eixo A. 
 
sradWa
Ra
VaWa
VpVa
sradWp
Wp
RpWp
VpVr
smmVr
Vr
sradWrmmR
/4
120
480
480
/12
40
480
480
480
/480
1603
/3;160
=
==
==
=
=
×=
==
=
×=
==
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 53
5.65 – Considerando que a barra AB do mecanismo mostrado na figura tenha uma 
velocidade angular de ωAB = 6 rad/s, determine a velocidade do cursor C no instante em 
que θ = 45º e ø = 30º. Faça também um esquema com a localização da barra BC 
quando θ = 30º, 45º e 60º para mostrar seu movimento no plano geral. 
 
 
 
 
[ ] [ ]
( )
( )
←=
−=
+=↑+
+−=


−×++×=
+=
=
−=↑+
−−=−


+=


+=
→
→
+
+
←
smV
srad
V
jsenikjsenikiV
rVV
srad
sen
senV
C
VVV
C
C
C
BCBC
C
BCBC
V
/34,1
/96,1
433,08485,00
)25,0(8485,0
)º305,0º30cos5,0()()º452,0º45cos2,0()6(
/96,1
º30cos5,0º452,10
º305,0º45cos2,1
5,02,1
/
/
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 54
5.66 – A bicicleta mostrada na figura tem uma velocidade sftv /4= e, nesse mesmo 
instante, sua roda traseira tem uma velocidade angular sradS /3=ω no sentido horário, 
que causa um deslizamento no ponto de contato A Determine a velocidade do ponto A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
[ ] ( )
( ) ←=⇒−=−=⇒

−∧−+=
∧+=
=⇒





+=


+=
←
→←
sftviiivjkiv
rvv
o
sftvv
vvv
aAA
CACA
AA
CACA
/5,25,25,64
12
2634
:log
/5,23
12
264
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 55
5.67 – Se a velocidade angular da barra AB do mecanismo mostrado na figura é 
sradAB /3=ω , determine a velocidade do cursor C e a velocidade angular da barra de 
ligação CB no instante em que º30º45 == φθ e . Faça um esquema com a localização 
da barra BC quando θ = 30º, 45º e 60º para mostrar seu movimento plano geral. 
 
 
 
( )
( ) ( ) ( )
( )
sftv
srad
v
jsenikjiseniv
rvv
o
sftv
srad
sen
senv
vvv
C
BC
BC
CBC
BCC
BCBC
C
CB
BC
CBC
BCBC
/20,2
/45,2
12,2196,50
12,23
º453º45cos3º30cos6º306
:log
/20,2
/45,2
º453.º30cos60
º45cos3.º306
=
=
+−=↑+
−=−

→
+∧+−=−
∧+=
=
=
+−=↑+
−=−

→
+=
+
+
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
 
 
 
5.68 – Se a barra AB do mecanismo mostrado na figura tem uma velocidade angular de 
ω = 4 rad/s, determine a velocidade do cursor C no instante mostrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 56
 
jiV
jsenikV
VVV
rV
srad
B
B
ABAB
ABABB
AB
30,052,0
)º60150,0º60cos150,1(4
)(
/4
/
−=
+−=
+=
=
=
r
r
r ω
ω
 
sftV
V
srad
V
ijjiiV
jisenkjiiV
rVV
C
C
BC
BC
BCC
BCBCC
BCC
BCBCBC
/03,1
)3.(17,052,0
/3
1,03,0
17,052,0
17,01,030,052,0
)º30cos20,0º3020,0()30,052,0(
)(
/
/
/
//
/
//
=
−−=
−=
−=
−=
−−−=
+−+−=
+=
ω
ω
ω
ωω
ω
ωrr
 
 
 
 
5.69 – No instante mostrado na figura, o caminhão se move para a direita a 3 m/s, 
enquanto a tubulação sobre ele rola com srad /8=ω no sentido anti-horário sem 
deslizar em B. Determine a velocidade do centro G da tubulação. 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 57
( ) ( )
←=⇒−=⇒−=
∧+=⇒∧+=
=⇒+=⇒+= ←→→
smvsmvv
jkivrvv
o
smvvvvv
GGG
GBGBG
GGBGBG
/9/9123
5,183
:log
/9123
ω 
 
 
 
5.70 – No instante mostrado na figura, o caminhão se move para a direita a 8 m/s. Se a 
tubulação sobre ele não desliza em B, determine sua velocidade angular sabendo-se que 
seu centro G é visto como estacionário por um observador no solo. 
 
 
 
 
srad
VVV BGBG
/33,5
5,1
8
0 5,18
/
==


+

=
+=
←→
ω
ω 
 
Observe também que: 
 
srad
jkii
rVV BGBG
/33,5
5,1
8
5,180
)5,1()(80
/
==
−=
×+=
×+=
ω
ω
ω
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 58
5.71 – O pinhão A mostrado na figura rola sobre a cremalheira fixa B com uma 
velocidade angular ω = 4 rad/s. Determine a velocidade da cremalheira C. 
 
 
 
↑=
+=
+=
+=
=
=
=
sftV
ikV
rVV
VVV
srad
ikV
V
BC
VC
BCVBC
BCBC
BC
B
/4,2
)6,0()4(0
/4
)6,0(
0
/
/
/
/
r
rr ω
ω
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 59
5.72 – Quando a manivela do molinete chinês gira, a corda é desenrolada do eixo A e 
enrolada no eixo B. Determine a velocidade com a qual o bloco B desce se a manivela 
gira com uma velocidade angular ω = 4 rad/s. Qual a velocidade angular da polia em 
C? Os segmentos de corda de cada lado da polia são paralelos e verticais e a corda não 
desliza sobre a polia. 
 
 
( )
( )
↓=
+−=−↑+
+−=−
+=
=
+−=↑+
+−=
+=
↑===
↓===
smmV
V
jjjV
VVv
srad
jjj
VVV
smmrV
smmrV
D
D
D
PDPD
PPPP
BP
AP
/100
200300
)50(4300
/4
)100(300100
)100(300100
/100)25(4
/300)75(4
/
/
ω
ω
ω
ω
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 60
5.73 – O cilindro b, mostrado na figura, rola sobre o cilindro fixo A sem deslizar. Se a 
barra de conexão CD gira com uma velocidade angular de sradCD /5=ω . Determine a 
velocidade angular do cilindro B. 
 
 
 
 
smV
V
V
rWV
VV
VVVV
smV
RWVV
sradW
B
B
B
CDB
BDB
BDDBD
D
DCCD
CD
/5,0
5,12
3,052
2
/2
/
/2
/5
=
−=
⋅+=
⋅+=
+=
++=
=
⋅+=
=
 
sradW
W
W
WV
smV
V
rWVV
B
B
B
BB
B
B
BABAAB/5
3,05,1
3,025,3
3,0
/5,3
7,080
=
=
+=
⋅=
=
⋅+=
⋅+=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 61
5.74 – O mecanismo deslizante mostrado na figura é utilizado para aumenta o 
movimento de um elemento deslizante em relação a outro. Conforme mostrado, quando 
o elemento A se move para frente, o pinhão F rola sobre a cremalheira fixa D, forçando 
o elemento C a se mover também para frente. Esse elemento por sua vez força o pinhão 
G a rolar sobre a cremalheira fixa E, que movimenta finalmente o elemento B. Se A tem 
uma velocidade VA = 4 ft/s no instante mostrado, determine a velocidade de B. 
Considere r = 0,2 ft. 
 
 
sftV
iiV
VVV
srad
ii
VVV
sftV
iiV
VVV
srad
ii
VVV
B
B
EBEB
G
G
ECEC
C
C
DCDC
F
F
DADA
/16
)4,0(400
/40
)2,0(08
/8
)4,0(200
/20
)2,0(04
/
/
/
/
=
+=
+=
=
+=
+=
=
+=
+=
=
+=
+=
ω
ω
ω
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 62
5.75 – O trem de engrenagem epiciclico consiste em uma engrenagem solar A que é 
engrazada com a engrenagem planetária B. Essa engrenagem tem um cubo C que 
solidário a B e engrazado com a engrenagem fixa R. Se a barra de ligação DE, fixada a 
B e C, gira com sRadWDE /18= , determine as velocidades angulares das engrenagens 
planetária e solar. 
 
 
 
Solução: sRadWDE /18= , ?=BW , ?=AW 
 ( ) ( ) jViKVVrWVV DDCEDDEDC 95,018/ =⇒∧==⇒∧== 
 
smVD /9= 
 
EDDEDED VVVVV // 0 +=⇒+= 
 
( ) ( )
1,0
91,091,09/ −==⇒−=⇒∧=⇒+= BDDDEDED WWjWiikWVVV
 
 
sradWD /90−= ∴ ↓= sradWB /90 
 
BABABBAABABA rWrWrWVVV /// ∧+∧=∧⇒+= 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )iKiKikWA 5,0183,0902,0 ∧+−∧−=∧ 
 
2,0
36362,09272,0 =⇒=⇒+= AAA WjjWjjjW 
↑= sradWA /180 
 
 63
5.76 – considerando que a barra AB tenha uma velocidade angular ωAB = 4 rad/s no 
instante mostrado na figura, determine a velocidade do cursor E nesse instante. 
Identifique, também, o tipo de movimento de cada uma das quatro barras de ligação. 
 
 
 
 
 
A barra AB gira em relação ao ponto fixo A. Logo: 
sftrV ABABB /8)2(4 ==×= ω 
Para a barra BD, temos: { }
{ }
( ) ( ) ( )
( ) jseniiV
ikjseniiV
rVV
ftir
k
iVV
sftjseniv
BDD
BDD
BDBDBD
BD
BDBD
DD
b
608º60cos8
1º608º60cos8
1
/º608º60cos8
/
/
−+−=−
×+−−=−
×+=
=
=
−=
−−=
ω
ω
ω
ωω
 
( )
srad
sen
sftV
V
BD
BD
D
D
/928,6
º6080
/4
º60cos8
=
−=↑+
=
−=−

→+
ω
ω
 
 
 
Para a barra DE, temos: 
 64
{ }
{ }
( ) ( )
( )
( )
←=
−−=−↑+
=
=


+−−=−
+×+−=−
×+=
+=
−=
=
−=
→+
sftV
senV
jiseniV
jsenikiiV
rVV
ftjsenir
iVV
k
sftIv
E
E
DE
DE
DEDEE
DEE
DEDEDE
DE
EE
BDDE
d
/4
)0(º3024
0
º30cos20
º30cos2º3024
º302º30cos24
º302º30cos2
/4
/
/
ω
ω
ωω
ω
ω
ωω
 
 
 
 
5.78 – A roda mostrada na figura gira com velocidade angular segrad /8=ω . 
Determine à velocidade do colar A no instante em que °= 30θ e °= 60φ . Faça também 
um esquema com a localização da barra AB quando °= 0θ , °= 30θ e °= 60θ para 
mostrar seu movimento plano geral. Utilize o método do centro instantâneo de 
velocidade nula. 
 
 
 
smVV BB /20,1150,08 =⇒×= 
 
mrTgr CIBCIB 28868,0305,0 // =⇒°××= 
 
sradABAB /157,428868,0
20,1 =⇒= ωω 
 
mr
Sen
r CIACIA 5774,060
5,0
// =⇒°= 
 65
smVV AA /4,2157,45774,0 =⇒×= 
 
 
5.79 – A engrenagem mostrada na figura repousa sobre uma cremalheira horizontal. 
Uma corda é enrolada em torno do núcleo da engrenagem de forma que ela permanece 
na horizontal tangenciando o núcleo em A. Se a corda é puxada para a direita com uma 
velocidade constante de 2 ft/s, determine a velocidade do centro C da engrenagem. 
Utilizando o método do centro instantâneo de velocidade nula. 
 
 
 
sradV
jftCIrA
k
vV
jkv
CIrAV
A
AiA
Ai
A
/33,1
5,1
2
5,1
5,1/
5,1
/
−=⇒−=−=
=
=
=
×=
×=
→
→
→
→→→
ωω
ωω
ω
ω
 
 
Aplicando a formula ao ponto C: 
sftVixV
jkVrV
ivV
ftjr
CCI
CICICC
CC
CIC
/33,1)1(33,1
133,1
)(
)1(
/
/
=⇒−−=
×−=⇒×=
=
=
→→→
→
→
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 66
 
 
 
 
5.80 – Bola de boliche é mostrada na figura é lançada na pista com uma velocidade 
reversa srad /10=ω , enquanto seu centro O tem uma velocidade para frente 
smV /80 = . Determine a velocidade no ponto de contato A com a pista. 
 
 
Observamos que VA está direcionado para a direita, portanto ivV AA =
→
 
Sabemos que: 
mCIrvCIr
CIrv
8,0/
10
8/
/
0
0
0
00
=⇒==
×=
ω
ω
 
Observamos que: 
mCirCIr
CIrCIr
AA
A
92,0/12,08,0/
12,0// 0
=⇒+=
+=
 
Logo: 
→=⇒×=×= smvCIrv AAA /2,992,010/ω 
 
 
 
5.81 - A velocidade angular da barra AB é ωAB = 4 rad/s. Determine a velocidade do 
colar C e a velocidade angular da barra CB no instante em que θ = 60º e ø = 45º. AA 
barra CB está na horizontal nesse instante. Faça também um esquema com a localização 
da barra CB quando θ = 30º, 60º e 90º para mostrar seu movimento plano geral. 
 
 
 
 67
31380,0
º45
350,0
º75
2562,0
º45
350,0
º75
/2)5,0(4
/
/
/
/
=
=
=
=
==
CIC
CIB
CIB
CIB
B
r
r
sensen
r
r
sensen
smV
 
 
 
5.82 – Se, em um determinado instante, o ponto B tem uma velocidade para baixo 
Vb = 3 m/s, determine à velocidade do ponto A nesse instante. Note que para esse 
movimento ocorrer a roda deve deslizar em A. 
 
 
 
 
srad
mCIr
CIr
vCIrv
mCIr
B
B
B
BB
A
/20
15,0
3
15,0/
/
/
4,0/
=⇒=
=
=⇒×=
=
ωω
ωω
 
 
Então: 
←=
×⇒×=
smv
CIrv
A
AA
/8
4,020/ω
 
 
 
 
 
 
smV
sradsrad
C
CB
/45,2)31380,0(806,7
/81,7/809,7
2562,0
2
==
==ω
 68
5.83 – O sistema de engrenagens planetárias mostrado na figura é utilizado na 
transmissão automática de um automóvel. Bloqueando-se ou liberando-se certas 
engrenagens, tem-se a vantagem de operar o carro em diferentes velocidades. Considere 
o caso onde a engrenagem externa R é mantida fixa, 0=Rω e a engrenagem solar S gira 
com sradS /5=ω .Determine as velocidades angulares de cada uma das engrenagens 
planetárias P e do eixo A. 
 
 
 
 
smv
simiiv
CIriv
p
p
pSp
/4
/4v(-0,8j)5k
/
p
=
+=⇒×=
×=
→
→→ ω
 
Analisando a engrenagem planetária: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2,012,012,02,0
)12,0(2,0/
)12,0(/
)04,008,0(/
/2,0
04,05/
/5
/548,0
8,08,04
/
)8,0(/ 2
=⇒×=
−×=⇒×=
−=
+−=
→=
×⇒×=
=
−=⇒=−
−⇒×=
×=
=
→→→
→
→
→→→
AA
AopAoP
op
op
oP
opPPo
p
pp
pp
ppp
p
ii
jkiCIrv
mjCIr
jmCIr
smv
CIrv
srad
srad
ijki
CIrv
mjCIr
ωω
ωω
ω
ω
ωω
ωω
ω
sradAA /67,112,0
2,0 =⇒= ωω
 69
5.84 - – Se a barra AB do mecanismo mostrado na figura tem uma velocidade angular 
de ω = 4 rad/s, determine a velocidade do cursor C no instante mostrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→==
==
=⇒=
=⇒=
==
smV
srad
mr
sensen
r
mr
sensen
r
smV
C
CIB
CIB
CIC
CIC
B
/04,1)3(34641,0
/3
2,0
6,0
2,0
º30
2,0
º30
24641,0
º30
2,0
º120
/6,0)150,0(4
/
/
/
/
ω
 
 
 
 
5.85 – A bicicleta mostrada na figura tem uma velocidade sftv /4= e, nesse mesmo 
instante, sua roda traseira tem uma velocidade angular sradS /3=ω no sentido horário, 
que causa um deslizamento no ponto de contato A Determine a velocidade do ponto A. 
 
 
 
 70←−=⇒−=
−×−=⇒×=
−=⇒=
−⇒

 −=
=⇒=
×−=
==
→→→
→
sftviiv
jkivCIrv
ftjCIrftCIr
rCIr
ftCIrCIiri
CIjrki
sftvv
AA
AAA
AA
CIcA
cc
c
c
/5,25,2
)83,0(3/
)83,0(/83,0/
)33,116,2(
12
26/
33,1//34
/34
/4
/
ω
 
 
 
 
 
 
5.86 – O centro instantâneo de velocidade nula do corpo mostrado na figura é localizado 
no ponto CI (0,5 m, 2 m). Se o corpo tem uma velocidade angular de 4 rad/s, conforme 
indicado, determine a velocidade de B em relação a A. 
 
 
 
 
 
 
 
CI (0,5 m; 2 m). 
=ω 4 rad/s 
??=
A
Bv 
 
0/ =∴∧+= CICIACIA vrvv ω 0/ =∴∧+= CICIBCIB vrvv ω 
ACIA rv ∧=ω mjir CIB )11(/ −= 
mjr CIA )5,0(/ −= )11()4( jikvB −∧= 
)5,0()4( jkvA −∧= smijvB /)44( += 
smivA /)2(= 
 
 71
AB
A
B vvv −= 
)2()44( ijiv
A
B −+= 
smjiv
A
B /)42( += 
mvv
A
B
A
B 47,442
22 =⇒+= 
°=⇒== 4,632
2
4 θθtg 
 
 
 
 
5.87 – O bloco deslizante C do mecanismo mostrado na figura se move a 4 ft/s plano 
acima. Determine as velocidades angulares das barras de ligação AB e AC e a 
velocidade do ponto B no instante mostrado. 
 
 
 
 
 
 
 
sftvC /4= 
?=BCω 
?=ABω 
 
 
 
fttgr
CI
B 145.1 =°= 
ftr
CI
C 41,145cos
1 =°= sftr
v
BC
CIC
C
BC /83,241,1
4
/
=⇒== ωω 
 
 
)( / CIBBCB rv ω= sradr
v
AB
AB
B
AB /83,21
83,2
/
=⇒== ωω 
 72
smvv BB /83,21.83,2 =⇒= 
 
 
 
 
 
 
5.88 – No instante mostrado na figura, a corda se desenrola do cubo da roda, 
propiciando a esta um giro com ω = 2 rad/s. Determine as velocidades dos pontos A e 
B. 
 
 
8,21
/8,10292/
/14)7(2/
2952/
725/
=∞
==×=
↓==×=
=+=
=+=
sinCIrV
sinCIrV
inCIR
inCIR
aa
bb
a
b
ω
ω 
 
 
 
 
5.89 – A roda mostrada na figura gira através de seu cubo em deslizar sobre uma 
superfície horizontal. Se a velocidade do centro da roda é =Cv 2 ft/s para a direita, 
determine as velocidades dos pontos A e B no instante mostrado. 
 
 73
 
 
 
 
CiCC rv /.ω= 
 
srad /8
12
3.2 =⇒

= ωω 
CiBB rv /.ω= 
 
sftvv BB /33,712
11.8 =⇒

= 
 
CiAA rv /.ω= 
 
sftvv CA /83,212
23.8 =⇒


= 
 
°=⇒

== − 45
3
31
AA tg θθ 
 
 
 
 
5.90 – Se a barra de ligação CD tem uma velocidade angular ω CD = 6 rad/s, determine a 
velocidade do ponto E sobre a barra BC e a velocidade angular AB no instante 
mostrado. 
 74
 
9,40
/76,4/
/6
º30
6,0
20,7/
/20,7
º30cos
6,0)(39,10(
/39,10
º306.
60,3/
/60,36,06)(
/
/
=∞
=×=
===
==×=
===
=×=
smCIrV
srad
sen
rv
smrV
srad
tga
rV
smrV
BCBB
ABBAB
CIBBCB
CICCBC
CDCDC
ω
ω
ω
ω
ω
 
 
 
 
 
 
5.91 – O disco de raio r mostrado na figura é confinado a rolar sem atrito nos pontos A 
e B. Se as placas têm as velocidades indicadas, determine a velocidade angular do disco. 
 
 
 
 
 
xvB .ω= )2( xrvA −=ω 
 
xv .2 ω= 
)2( xr
v
−=ω 
 75
 
x
v2=ω 
 
 
 
( )xr
v
x
v
−= 2
2 
3/4
2
r
v=ω 
 
xxr =− )2(2 
r
v
4
6=ω 
 
xxr =− 24 
r
v
2
3=ω 
 
rx 43 = 
 
3
4rx = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.92 – Mostre que se a periferia da roda e seu cubo mantêm contato com os três trilhos 
quando a roda gira é necessário que ocorra deslizamento no cubo A caso não ocorra 
deslizamento em B. Nestas condições, qual é a velocidade em A considerando que a 
roda tenha uma velocidade angular ω ? 
 
 
 
 
 
 
 76
CIBB rv /.ω= CIAA rv /.ω= 
2.2. rvB ω= ( )21. rrvA +=ω 
2.2 r
vB=ω ( )
2
21
.2 r
rrv
v BA
+= 
 
5.93 – Na transmissão de um automóvel os pinhões A e B giram sobre eixos que são 
montados sobre o suporte C. Conforme mostrado, CD e solidário ao eixo E que esta 
alinhado com o centro da engrenagem solar fixa S. Esse eixo não é solidário a 
engrenagem solar fixa S. Esse eixo não é solidário a engrenagem solar. Se Cd gira com 
wcd= 8 rad/s, determine a velocidade angular da engrenagem externa R. 
 
 
 
srad
smV
sraad
B
B
A
/4,11
05,0125,0
2
/21,020
/20
05,0
1
=+=
=×=
==
ω
ω
 
 
 
 
 
5.94 – Se a engrenagem interna H e a engrenagem externa R têm velocidades angulares 
=Hω 5 rad/s e =Rω 20 rad/s, respectivamente, determine a velocidade angular Sω da 
engrenagem S e a velocidade angular de seu braço de fixação OA. 
 
 
 77
 
 
 
 
sradH /5=ω 
sradR /20=ω 
?=Sω 
?=ORω 
 
 


=
=
HHSS
RRSS
rr
rr
ωω
ωω
 
 
srad
rrr
S
S
HHRRSS
/5,57
05,0.2
15,0.525,0.20
2
=
+=
+=
ω
ω
ωωω
 
 
 
srad
rrr
OA
OA
HHSSOAOA
/625,10
2,0
15,0.505,0.5,57
=
−=
−=
ω
ω
ωωω
 
 
 
 
 
 
 
5.95 – Se a engrenagem interna H tem uma velocidade angular =Hω 5 rad/s, determine 
a velocidade angular da engrenagem R de forma que o braço OA fixado à engrenagem S 
permaneça estacionário ( =OAω 0). Qual a velocidade angular da engrenagem S? 
 
 
 78
 
 
 
 
 
 
HS vv = SR vv = 
 
HHSS rr ωω = SSRR rr ωω = 
 
S
HH
S r
rωω = 
R
SS
R r
rωω = 
 
05,0
15,0.5=Sω 25,0
05,0.15=Rω 
 
sradS /15=ω sradR /3=ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.96 – A engrenagem planetária A é rotulada à extremidade da barra de ligação BC. Se 
a barra de ligação gira em torno do ponto fixo B a 4 rad/s, determine a velocidade 
angular da engrenagem externa R. A engrenagem solar D é impedida de girar. 
 
 79
 
 
 
 
Para a engrenagem A temos: 
 
smmV
V
smmV
R
R
A
C
/1800
7575
9000
/900)225(4
=
==
=×=
ω 
 
Para a engrenagem esterna R temos: 
sradR /4450
1800 ==ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.97 – Resolva o problema 5.96 considerando que a engrenagem solar D gira no sentido 
horário com =Dω 5 rad/s, enquanto a barra de ligação BC gira no sentido anti-horário 
com =BCω 4 rad/s. 
 
 
 80
 
 
 
 
 
sradD /5−=ω 
 
sradBC /4=ω 
 
Barra BC 
 
ikvv BC )225,0.(4+= 
 
smjvv BC /9,0=− 
 
RDC vvv =− 
 
 
srad
ii
RR
R
/4
075,015,0
9,0
)075,015,0(9,0
=⇒+=
+=
ωω
ω
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.98 – O mecanismo utilizado em um motor de embarcação naval consiste em uma 
manivela AB e duas barras de ligação BC e BD. Determine a velocidade do pistão C no 
instante em que a manivela está na posição mostrada com uma velocidade angular de 5 
rad/s. 
 
 81
 
 
 
→=⇒= smvv BB /1)5.(2,0 
 
 
Barra BC. 
 
 
°=° 45
4,0
60
/
sensen
r CIC 
 
mr CIC 4899,0/ = 
 
°=° 45
4,0
75
/
sensen
r CIB 
mr CIB 5464,0/ = 
 
sradBCBC /830,15464,0
1 =⇒= ωω 
 
 
smv
v
C
C
/897,0
)830,1.(899,0
=
=
 
 
 
5.99 – O mecanismo utilizado em um motor de embarcação naval consiste em uma 
manivela AB e duas barras de ligação BC e BD. Determine a velocidade do pistão D no 
instante em que a manivela está na posição mostrada com uma velocidade angular de 5 
rad/s. 
 
 82
 
 
 ( ) →=⇒= smvv BB /15.2,0 
Para a barra BD, temos: 
mr
sensen
r
CIB
CIB 54641,0
º45
4,0
º105
=⇒= 
mr
sensen
r
CID
CID 28284,0
º45
4,0
º30
=⇒= 
sradBDBD /830,154641,0
1 =⇒= ωω 
( ) smvv DD /518,028284,0.830,1 =⇒= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.100 – A placa quadrada mostrada na figura é confinada a se mover em função dos 
movimentos dos pinos A e B que deslizam no interior das respectivas ranhuras. Quando 
º30=θ , o pino A se move com smvA /8= . Determine a velocidade do ponto C nesseinstante. 
 83
 
 
mrr CIACIA 2598,0º30cos.3,0 =⇒= 
srad /792,30
2598,0
8 =⇒= ωω 
( ) ( ) ( )( ) mrr CICCIC 2821,0º60cos3,0.2598,0.23,02598,0 22 =⇒−+= 
( )( ) smvv CC /69,82821,0.792,30 =⇒= 
º09,67
2821,0
º60
3,0
=⇒= φφ sensen 
º9,22º09,67º90 =⇒−= θθ 
 
 
 
5.101 – A placa quadrada mostrada na figura é confinada a se mover em função dos 
movimentos dos pinos A e B que deslizam no interior das respectivas ranhuras. Quando 
º30=θ , o pino A se move com smvA /8= . Determine a velocidade do ponto D nesse 
instante. 
 
Ver figura da questão anterior. 
 
mrr CIACIA 2598,0º30cos.3,0 =⇒= 
srad /792,30
2598,0
8 =⇒= ωω 
mrsenr CIBCIB 15,0º30.3,0 =⇒= 
( ) ( ) ( )( ) mrr CIDCID 1859,0º30cos15,0.3,0.215,03,0 22 =⇒−+= 
( )( ) smvv DD /72,51859,0.792,30 =⇒= 
º794,23
1859,0
º30
15,0
=⇒= φφ sensen 
º2,36º794,23º30º90 =⇒−−= θθ 
 
5.102 – Considerando que o cursor deslizante a do mecanismo mostrado na figura esteja 
movendo-se para a direita com sftvA /8= , determine as velocidades dos cursores B e 
C no instante mostrado. 
 84
 
 
 
Para a barra AB, temos: 
 
ftrr CIACIA 828,2º45cos4 =⇒= 
srad /83,2
828,2
8 =⇒= ωω 
( ) ↑=⇒= sftvv BB /8828,2.83,2 ( ) sftvv DD /657,583,2.2 =⇒= 
Para a barra CD, temos: 
 
ftr
sensen
r
CID
CID 414,1
135
2
º30
=⇒°= 
ftr
sensen
r
CIC
CIC 7321,0
135
2
º15
=⇒°= 
srad /00,4
414,1
657,5 =⇒= ωω 
( ) ↓=⇒= sftvv CC /93,200,4.7321,0 
 
 
 
 
5.103 – A manivela AB do mecanismo mostrado na figura gira com =ABω 50 rad/s em 
torno do eixo fixo que passa pelo ponto A, e o disco C é mantido imóvel em seu suporte 
E. Determine a velocidade angular da barra CD mo instante mostrado. 
 
 85
 
 
)).(( / BAABB rv ω−= 
 
ikvB )1,0.(50−= 
 
smjvB /)5(−= 
 
)603,060cos3,0).((5 jsenikjv BCF °+°+−= ω 
 
)26,015,05( ijjv BCBCF ωω −+−= 
 
iv BCF )26,0( ω−= jv BCF )15,055( ω+−= 
 
)30cos15,03015,0.( ijsenv CDF °+°=ω 
 
 
srad
srad
sen
j
i
sradj
CDCD
CD
CD
/7,5710,3376,50
/76,50
3015,0
)
3,0
5.15,05(26,0
/10,33
12990381,0
3,4
30cos15,0
3,0
5.26,0
22 =⇒+=
=°
+−−
=
==°


 −
=
ωω
ω
ω
 
 
 
 
 
 
5.104 – O mecanismo mostrado na figura é utilizado e4m uma máquina rebitadora. Ele 
consiste em um pistão de acionamento A, três barras e um rebitador que é fixado ao 
cursor deslizante D. Determine a velocidade de D no instante mostrado, quando o pistão 
A se move com =Av 30 m/s. 
 
 86
 
 
)( / ACACAC rkwvv ∧+= 
iwjwjiv
jikwjseniv
jsenikwjsenvivv
ACACC
ACC
ACAA
15,027,0)21,2121,21(
)]15,027,0[()]4530()45cos30[(
)]303,0()30cos3,0[()]45()45cos[(
−−+−=
+−∧++°−=
°+°−∧+°+°−=
 
 
 
)...(15,021,21)( Iwv ACXC −−= 
)...(27,021,21)( IIwv ACYC −= 
 
sradww ACAC /727,021,210 =⇒−= 
Em (I) temos: 
←=⇒−=⇒−−= smvsmvv CCXC /32/3277.15,021,21)( 
 
iwjwiv
jikwiv
jsenikwiv
rkwvv
CDCDD
CDD
CDD
CDCDCD
10,010,032
)10,010,0(32
)]4515,0()45cos15,0[()32(
)( /
+−−=
−−∧+−=
°−+°−∧+−=
∧+=
 
 
 
)...(10,032)( Iwv CDXD +−= 
)...(10,0)( IIwv CDYD −= 
 
Como 0)( =XDv , temos: 
sradww CDCD /32010,0320 =⇒+−= 
De (II), temos: 
↓=⇒−= smvv DYD /32)320.(10,0)( 
 
5.105 – Em um dado instante o ponto A tem o movimento indicado. Determine a 
aceleração de B e a aceleração angular da barra nesse mesmo instante. 
 
 87
 
 
 
jvsftv AA 3/3 =⇒= 
 
jasfta AA 6/
2 −=⇒= 
 
irftr ABAB 33 // −=⇒= 
 
 
ABAB rwkvv /∧+= 
 
)3( iwkvv AB −∧+= )/2/ ()( ABABAB rwrkaa −∧+= α 
 
wjjjviv BB 335
4
5
3 −=

 + )3()3(6
5
4
5
3 iikjjaia BB −−−∧+−=

 + α 
 
 ijjjaia BB 3365
4
5
3 ++−=

 + α 
 
00
5
3 =⇒= BB vv 2/535
3 sftaa BB =⇒= 
 
033
5
4 =∴−= BB vwv α36.5
4 −−=Ba 
 
sradw /1= 2/33,3365.
5
4 srad−=⇒−−= αα 
 
 
 
5.106 – Em um dado instante o ponto A tem o movimento indicado. Determine a 
aceleração do ponto C nesse mesmo instante. 
 
 88
 
 
ABAB rvv /∧+= ω 
( )ikjjviv BB 3.35
4
5
3 −∧+=

+

 ω 
0.6,0 =

→+ Bv 
( ) ( )3.30 ω−=↑+ 
 
0=Bv 
 
srad /1=ω 
 
ABABAB rraa /
2
/ ωα −∧+= 
( ) ( )iikjjaia BB 3.13.65
4
5
3 2 −−−∧+−=

+

 α 
3.6,0 =

→+ Ba 
( ) ( ) α.365.8,0 −−=↑+ 
2/5 sftaB = 
 
22 /33,3/33,3 sradsrad =−=α 
 
ACACAC rraa /
2
/ ωα −∧+= 
( ) ( ) ( )iikjaC 5,1.15,133,36 2 −−−∧−+−= { } 2/15,1 sftjiaC −= 
 
( ) ( ) 222 /80,115,1 sftaa CC =⇒−+= 
 
º7,33
5,1
11 =⇒

= − θθ tg 
 
 
 
 
 89
5.107 – A barra de 10 ft mostrada na figura desliza plano abaixo de forma que, ao 
atingir o ponto B, ela apresenta o movimento indicado. Determine a velocidade e a 
aceleração de A nesse instante. 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) º120cos42410 222 ACAC −+= 
( ) ( ) 08442 =−+ ACAC 
Resolvendo-se para a raiz positive, temos: 
ftAC 381,7= 
º732,39
10
º120
381,7
=⇒= θθ sensen 
BABA rvv /∧+= ω ( )jsenikijsenviv AA º732,3910º732,39cos10.2º60º60cos +−∧+=− ω 
ω.39199,62.5,0 −=

→+ Av 
( ) ω.6904,7..86603,0 −=−↑+ Av 
 
srad /1846,0=ω 
sftvA /64,1= 
 
BABABA rraa /
2
/ ωα −∧+= ( ) ( )
( ) ( )jseni
jsenikijsenaia AA
º732,3910º732,39cos101846,0
º372,3910º732,39cos10.1º60º60cos
2 +−−
−+−∧+=− α
 
 
2621,0.392,61.5,0 +−=

→+ αAa 
( ) 21791,0.6904,7..86603,0 −−=−↑+ αAa 
2/18,1 sfta A = 
 
2/105,0 srad=α 
 
 
 
 90
5.108 – Em um dado instante o bloco deslizante A tem a velocidade e a desaceleração 
mostradas na figura. Determine a aceleração do bloco B e a aceleração angular da barra 
de ligação nesse instante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
°== 45cos3,0
15
/ CIA
B
AB r
v
w 
 
sradwAB /07,7= 
 
ABABAB rwraa /
2
/ −×+= α 
 
)453,045cos3,0).(07,7()453,045cos3,0()(16 2 jsenijsenikijaB °+°−°+°×+=− α 
 
°−°−=→+ 45cos)3,0).(7007(45)3,0(160)( 2senα 
 
°+°−=↓+ 45)3,0).(7007(45cos)3,0(0)( 2 senaB α 
 
 
2/4,25 sradAB =α 
 
2/21,5 smaB = 
 
 
 
 
 
 
 
 91
5.109 – Determine a aceleração angular da barra de ligação AB no instante em que 
=θ 90°, considerando que o colar C tenha uma velocidade =Cv 4 ft/s e uma 
desaceleração =Ca 3 ft/s², conforme mostrado. 
 
 
Barra CB 
sftviiv
sftwjsenjw
jwijseniv
ikwijseniv
rwvv
BB
BCBC
BCB
BCB
CBCBCB
/82,245cos4
/64,54545,0
)5,045cos4454(
)5,0()45cos4454(
2
/
=⇒°−=−
=⇒°=
+°−°=−
∧+°−°=−
×+=
 
Barra AB 
( )Ijia
jjka
rwra
sradwiwi
jkwi
rwv
ABB
ABB
BABBABB
ABAB
AB
BABB
.....165,0
)5,0).(65,5()5,0()(
.
/64,55,082,2
)5,0(82,2
2
2
2
−−=
−∧=
−∧=
=⇒−=−
∧=−
∧=
α
α
α
 
 
Barra BC 
( )IIijijsena
iikijsena
rwraa
CBB
CBB
CBCBCBCBCB
.....97,35,0)45cos3453(
)5,0).(64,5()5,0()45cos3453(
.
2
/
2
/
−+°+°−=
−−−∧+°+°−=
−∧+=
α
α
α
 
Igualando (I) e (II), temos: 
 
2/2,36
2).1645cos3(
1645cos35,0
97,35,045cos3453165,0
srad
ijijsenji
AB
AB
AB
CBAB
=
+°=
+°=−
−++°−=−−
α
α
α
αα
 
 
 92
5.110 – Em um dado instante o bloco deslizante B se move para a direita com o 
movimento mostrado na figura. Determine a aceleração angular da barra de ligação AB 
e a aceleração do ponto A nesse instante. 
 
 
sftivB /)6(= 
sftivv AA /)(= 
2/)2( sftiaB = ( ) ftjirjir ABAB )34(335 /22/ +=⇒+−= 
Sabemos que: 
( )
( )IIwjwj
Iwviwiiv
wjwiivi
jiwkivi
rwvv
AA
A
A
ABAB
....004
....3663
)43()()6(
)34()()()6(
/
=⇒=
+=⇒=−
+−+=
+∧+=
∧+=
 
Substituindo (II) em (I) 
sftvA /6=