Lista Geometria Analitica com gabarito

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matemática - Geometria Analítica 1
Prof. Rodrigo Cavalcante
Terceira Lista
Dependência Linear, Bases e Componentes
1. Julgue os itens abaixo como verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
a) Se a sequência (
→
u,
→
v ,
→
w) é LD, então o vetor
→
w é uma combinação linear de
→
u e
→
v .
b) Uma sequência de vetores contendo o vetor nulo é sempre LD.
c) A sequência (
→
u,
→
v ,
→
w) é LI se, e somente se, (
→
u,
→
v ) também é.
d) Dado que
→
u forma com
→
v uma sequência LI e que o vetor
→
w também forma uma sequência LI com
→
v , então
a sequência formada por estes três vetores pode ou não ser LI.
2. Dados os vetores não coplanares
→
e 1,
→
e 2 e
→
e 3
a) Justifique porque esses vetores formam uma base;
b) Encontre as componentes de
→
e 1,
→
e 2 e
→
e 3 na base β1 = (
→
e 1,
→
e 2,
→
e 3);
c) Encontre as componentes de
→
e 1,
→
e 2 e
→
e 3 na base β2 = (3
→
e 1, 2
→
e 2, 4
→
e 3);
d) Encontre as componentes do vetor (2, 1, 0)β1 + (3, 2, 1)β2 nas bases β1 e β2.
3. Seja OABC um tetraedro e M o ponto médio de BC.
a) Justifique porque a sequência β = (
−→
OA,
−−→
OB,
−−→
OC) é uma base do espaço (V3);
b) Determine as componentes do vetor
−−→
AM na base β;
4. Seja V ABCD uma pirâmide regular de base quadrada com vértice fora do quadrado V .
a) Justifique porque a sequência β = (
−→
V A,
−−→
V B,
−−→
CD) não é uma base do espaço (V3);
b) Considere a sequência β = (
−→
V A,
−−→
V B,
−−→
V C). Escreva os vetores
−→
AC e
−−→
BD como combinação linear dos vetores
desta sequência.
c) As combinações lineares do item anterior são únicas?
5. Dadas as componentes dos vetores
→
u ,
→
v e
→
w em relação a uma base β de V3, determine m ∈ R de forma que as
sequências formadas pelos seguintes vetores sejam LD:
a)
→
u= (m2 − 4,m+ 2, 0)β ;
b)
→
u= (1, 3, 5)β e
→
v= (2,m+ 1, 10)β ;
c)
→
u= (3, 5, 1)β ,
→
v= (2, 0, 4)β e
→
w= (1,m, 3)β .
Segundo Semestre de 2017 1
Propostas de Respostas
1. a) Falso. Se a sequência (
→
u,
→
v ,
→
w) é LD então um pelo menos um destes vetores é combinação linear dos
outros, mas isso não implica que seja obrigatoriamente o vetor
→
w;
b) Verdadeiro. Como o vetor nulo é combinação linear de qualquer sequência de vetores, sempre que este vetor
for incluído numa sequência teremos uma sequência LD;
c) Falso. Se a sequência (
→
u,
→
v ,
→
w) é LI, então é verdade que (
→
u,
→
v ) é LI, mas a recíproca não é válida, pois é
possível ter (
→
u,
→
v ) LI e
→
w= α
→
u +β
→
v , sendo então a sequência (
→
u,
→
v ,
→
w) LD.
d) Verdadeiro. Se
→
u e
→
w formarem uma sequência LI, então a sequência formada pelos três vetores é LI. Por
outro lado, se
→
u e
→
w formarem uma sequência LD, então a sequência formada pelos três vetores é LD.
2. a) Para que uma sequência de vetores forme uma base basta que estes sejam não coplanares, o que ocorre com
qualquer sequência formada por
→
e 1,
→
e 2 e
→
e 3.
b) Como os vetores
→
e 1,
→
e 2 e
→
e 3 são paralelos a algum vetor da base a única forma de escrever cada um deles
é através de uma combinação que contenha apenas um coeficiente não nulo e outros dois nulos. Temos
→
e 1 = 1· →e 1 +0· →e 2 +0· →e 3 ⇒ →e 1= (1, 0, 0)β1
→
e 2 = 0· →e 1 +1· →e 2 +0· →e 3 ⇒ →e 2= (0, 1, 0)β1
→
e 3 = 0· →e 1 +0· →e 2 +1· →e 3 ⇒ →e 3= (0, 0, 1)β1
c) Como os vetores
→
e 1,
→
e 2 e
→
e 3 são paralelos a algum vetor da base a única forma de escrever cada um deles
é através de uma combinação que contenha apenas um coeficiente não nulo e outros dois nulos. Temos
→
e 1 =
1
3
· 3 →e 1 +0 · 2 →e 2 +0 · 4 →e 3 ⇒ →e 1=
(
1
3
, 0, 0
)
β2
→
e 2 = 0 · 3 →e 1 +1
2
· 2 →e 2 +0 · 4 →e 3 ⇒ →e 2=
(
0,
1
2
, 0
)
β2
→
e 3 = 0 · 3 →e 1 +0 · 2 →e 2 +1
4
· 4 →e 3 ⇒ →e 3=
(
0, 0,
1
4
)
β2
d) Escrevendo os vetores dados como combinação linear dos vetores das respectivas bases temos
→
w = (2, 1, 0)β1 + (3, 2, 1)β2
= (2
→
e 1 +
→
e 2) + (3 · 3 →e 1 +2 · 2 →e 2 +1 · 4 →e 3)
= 11· →e 1 +5· →e 2 +1· →e 3 ⇒ (11, 5, 4)β1
=
11
3
· 3 →e 1 +5
2
· 2 →e 2 +1 · 4 →e 3 ⇒
(
11
3
,
5
2
, 1
)
β2
3. Estamos tratando do seguinte tetraedro
A
B
C
O
a) Os vetores
−→
OA,
−−→
OB e
−−→
OC se apoiam em arestas que não pertencem à mesma face, o que os torna não
coplanares. Sendo assim, a sequência dada forma uma base.
Segundo Semestre de 2017 2
b)
−−→
AM =
−→
AO +
−−→
OM
= −−→OA+ 1
2
(−−→
OB +
−−→
OC
)
= −−→OA+ 1
2
−−→
OB +
1
2
−−→
OC ⇒ −−→AM =
(
−1, 1
2
,
1
2
)
β
4. Estamos tratando do seguinte tetraedro
A B
CD
V
a) Embora os vetores
−→
V A,
−−→
V B e
−−→
CD não se apoiem em arestas que não pertencem à mesma face, há uma
representante de
−−→
CD, nomeadamente
−−→
BA, que pertence à mesma face que
−→
V A e
−−→
V B, o que os torna
coplanares. Sendo assim, a sequência dada não forma uma base.
b)
−→
AC =
−→
AV +
−−→
V C
= −−→V A+−−→V C
−−→
BD =
−−→
BA+
−−→
BC
= (
−−→
BV +
−→
V A) + (
−−→
BV +
−−→
V C)
= −−→V A− 2−−→V B +−−→V C
c) Sim, pois como
−→
V A,
−−→
V B e
−−→
V C são não coplanares, a sequência β é uma base (e fixada uma base, a
combinação linear que gera um vetor qualquer é única).
5. a) (
→
u) é LD ⇔ →u=→0 . Em termos das componentes, a sequência só será LD se
{
m2 − 4 = 0
m+ 2 = 0
⇒ m = −2
b) (
→
u,
→
v ) é LD ⇔ →v= λ →u . Em termos das componentes, a sequência só será LD se 21 = m+13 = 102 ⇒ m = 5
c) (
→
u,
→
v ,
→
w) é LD ⇔ →u,→v e →w são não coplanares. Em termos das componentes, a sequência só será LD se∣∣∣∣∣∣
3 2 1
5 0 m
1 4 3
∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ m = −1
Segundo Semestre de 2017 3