Atividade para avaliação - matemática - semana 6

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1. [2,5 pontos] Resolva a inequação  com . (sugestão: faça  e resolva )
 Resposta:
sen x = t
T = ½
Portanto, sen x deve ser maior ou igual a 1/2:
sen x ≥ 1/2
Precisamos da função inversa do seno para encontrar o valor de x:
X = sen x¯¹ (½)
O arco cujo seno é igual a 1/2 é π/6 e 5π/6, pela tabela trigonométrica. Então π/6 ≤ x ≤ 5π/6.
2. [2,5 pontos] Resolva a equação  no intervalo 
 Pela relação trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1, temos que:
cos²(x) = 1 - sen²(x)
Substituindo na equação:
2(1-sen²(x)) - sen(x) - 1 = 0
2 - 2sen²(x) - sen(x) -1 = 0
Fazendo sen x = y, temos:
2 - 2y² - y - 1 = 0
-2y² - y + 1 = 0
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara, temos que:
y' = 1/2
y'' = -1
Para y = 1/2 e pela tabela trigonométrica de ângulos notáveis, temos:
sen(x) = 1/2
x = π/6
x = 5π/6
Para y = -1:
sen(x) = -1
x = 3π/2
3. [2,5 pontos] Calcule o valor da soma , lembrando que 
Temos a soma de 20,241 que multiplica i elevado a n, com isso, o valor da soma depende exclusivamente de i^n. Vamos ver o que acontece com as potências de i:
Perceba que para as potências de i^0 a i^3, temos valores distintos, e que este se repetem a partir de i^4.
Na soma, como n começa em 1, temos que para n = 1:
20,241 * i = 20,241i
Para n = 2:
20,241 * i^2 = -20,241
Para n = 3:
20,241 * i^3 = -20,241i
Para n = 4:
20,241 * i^4 = 20,241
Perceba que somando os valores para n = 1 e n = 3, o resultado é 0 e somando os valores para n = 2 e n = 4, o resultado também é 0. Como estes valores se repetem infinitamente (soma de n = 5 e n = 7, n = 6 e n = 8, e assim por diante), podemos concluir que a soma é igual a 0. 
4. [2,5 pontos] 
a) [0,5 pontos] Obtenha o módulo e o argumento do número complexo 
Um número complexo pode ser representado num sistema de coordenadas cartesianas, onde a parte real corresponde ao eixo x (eixo real) e a parte imaginária corresponde ao eixo y (eixo imaginário).
Desta forma, um número complexo z = a + bi forma um triângulo retângulo de catetos a e b, e hipotenusa igual ao módulo de z (|z|).
O argumento do número z é o arco formado entre o eixo horizontal positivo e o módulo de z.
Desta forma, temos:
|z| = 
Como a = -1 e b = -1:
|z| = 
|z| = 
Pela relação trigonométrica , temos:
O ângulo cujo cosseno é igual a -√2/2 é 135º. Como z está no terceiro quadrante, temos que subtrair este ângulo de 360º. Então o argumento de z é 225º.
Portanto:
|z| = √2
arg(z) = 225º
b) [1,0 pontos] Escreva a forma trigonométrica de 
A forma trigonométrica, ou polar, é dada pela fórmula:
onde p é o módulo de z e θ é o argumento de z.
Portanto, para z = -1 - i, temos:
z = √2 (cos(225) + isen(225))
c) [1,0 pontos] Obtenha 
Podemos reescrever o expoente 12, como um produto de 2 e 6:
Temos que (-1 -i)² = -1² + 2i  +i² = 1 + 2i - 1 = 2i. Então, podemos escrever:
Como sabemos, i^6 é corresponde a i^2 = -1. Então: