Cálculo II Integrais triplas e volumes de sólidos

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Cálculo II
TEREZA MELO
AULAS 18 E 19 – INTEGRAIS TRIPLAS E VOLUMES DE SÓLIDOS
Integrais triplas
Quem descobriu o cálculo do volume de uma esfera foi Arquimedes. Mas
levaram muito tempo para entender como ele chegou à fórmula daquele
cálculo.
Uma das possibilidades de chegar à fórmula do volume de uma esfera é por
meio de integrais duplas, que já vimos. Outra possibilidade é por integrais
triplas. Mas quando falamos de integrais triplas, estamos pensando em integrar
uma função de três variáveis. Não conseguimos visualizar o gráfico de funções
de três variáveis. A única coisa que enxergamos é o domínio de uma função
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 já que seu domínio está no espaço 𝑅3.
ÚLTIMA AULA
Integrais triplas
𝑧
𝑥
𝑦
𝑧 = 𝑧1(𝑥, 𝑦)
𝑧 = 𝑧2(𝑥, 𝑦)
𝐸 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
ම
𝐸
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 =
ම
𝐸
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
ම
𝐸
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
Se 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 é uma função definida em uma região limitada 𝐸 de forma que possamos integrar a 
função 𝑓 e a região 𝐸 possa ser limitada por superfícies em que 𝑧1 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧2 𝑥, 𝑦 , então:
𝑦1(𝑥)
𝑦2(𝑥)𝑏
𝑎
ÚLTIMA AULA
Integrais triplas
Assim como aconteceu com integrais duplas, iremos calcular integrais triplas por meio de 
integrais iteradas.
׮𝐸 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = ׬𝑎
𝑏
׬𝑦1(𝑥)
𝑦2(𝑥) ׬𝑧1 𝑥,𝑦
𝑧2 𝑥,𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
ÚLTIMA AULA
Exercício
1. Calcule a integral:
a) ׬0
𝜋
׬0
𝑥
׬0
𝑥𝑧
𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥
b) ׮𝐸 6𝑥𝑦 𝑑𝑉 em que 𝐸 está abaixo do plano z = 1 + 𝑥 + 𝑦 e 
acima da região do plano 𝑥𝑦 limitada pelas curvas 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 0
e 𝑥 = 1.
Gabarito
a) −1 +
𝜋2
4
b)
65
28
Integrais triplas e volumes de sólidos
Observe que se o integrando da integral tripla for igual a um, temos que:
׮𝐸 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 =׮𝐸 𝑑𝑉
=׮𝐸 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
Ou seja, nesse caso, ׮𝐸 𝑑𝑉 fornece o volume do sólido 𝐸.
Exercícios
1. Use integrais triplas para calcular o volume de um tetraedro limitado pelos 
planos 𝑥𝑦, 𝑥𝑧, 𝑦𝑧 e 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1.
2. Use integrais triplas para obter o volume de uma esfera de raio a.
Gabarito
1.
1
12
2.
4𝜋𝑎3
3
Exercícios gerais
1. Calcule o volume do sólido que fica acima do cone 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e abaixo da 
esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 por meio de integral tripla.
2. Determine o volume do sólido que fica dentro da esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 16 e 
fora do cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 4.
Exercícios sugeridos
Stweart, seção 15.7, pag 920: 3,5,7, 9 ao 15, 19, 21, 27 e 28. 
Coordenadas cilíndricas
𝑥
𝑦
𝑧
𝜃
𝑟
𝑃 = (𝑟, 𝜃, 𝑧)
ቊ
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
Coordenadas cilíndricas
As integrais triplas ficam na forma:
׮𝑅 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 =׮𝑅 𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧
Exercícios
Use coordenadas cilíndricas para resolver as seguintes questões:
1. Calcule o volume do sólido limitado pelo paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 e o 
plano 𝑥𝑦.
2. Calcule o volume do sólido limitado acima pelo plano 𝑧 = 𝑥 e abaixo pelo 
paraboloide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2