unidade IV

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1 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
 
 
 
Ao final desta unidade, o aluno estará familiarizado com a noção 
de derivada, interpretando analiticamente e geometricamente, bem 
como, reconhecerá a importância de tal ferramenta do cálculo na sua 
área específica de formação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade IV – 
Derivada 
Objetivos da Unidade 
 
 
IV 
 
 
2 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
Unidade IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1. Aspectos Introdutórios da Derivada 
O conceito de derivada foi introduzido em meados dos séculos XVIII e XVIII 
em estudos de problemas de Física ligados ao estudo dos movimentos. Entre outros, 
destacam-se neste estudo o físico e matemático inglês Issac Newton (1642 – 1727), 
o filósofo e matemático Gottfried Leibniz (1646 – 1716) e o matemático francês 
Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813, que em verdade nasceu em Turim na Itália, mas 
viveu praticamente toda sua vida na França). 
Figura 1: Nomes importantes para o desenvolvimento das derivadas. 
“O que sabemos é uma gota, o que não sabemos é um 
oceano”. 
(Isaac Newton) 
 
“Se enxerguei mais longe, foi porque me apoiei sobre 
ombros de gigantes”. 
(Isaac Newton) 
Séculos XVII e XVIII Isacc Newton
Gottfried Leibniz Joseph-Louis Lagrange
Nomes importantes para 
o Desenvolvimento das 
Derivadas
 
 
 
3 
Cálculo Diferencial Integral I 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Salientamos que as ideias preliminares introduzidas na Física foram aos poucos 
sendo incorporadas em outras áreas do conhecimento. Em Economia e 
Administração, por exemplo, o conceito de derivada é utilizado principalmente no 
estudo gráfico de funções, determinação de máximos e mínimos e cálculo de taxas 
de variação de funções. 
Figura 2: A aplicabilidade do conceito de derivada. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Por outro lado, é interessante observarmos que o pontapé inicial para o estudo 
das derivadas é o estudo introdutório que fizemos sobre limites, todavia, deve ficar 
claro que é essencial a caracterização das funções geradoras elementares que 
descrevem em linhas matemáticas as situações problemas a serem solucionadas. 
Aplicação das 
Derivadas
Estudo Gráfico de 
Funções
Máximos e Mínimos
Cálculo de Taxas de 
Variação de Funções
 
 
4 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
Neste sentido, o conhecimento formalizado do processo de derivação (cálculo de 
derivadas de funções) é relevante em virtude das inúmeras áreas de aplicações em 
diferentes ramos da ciência, seja ela na Engenharia, Matemática, Física, Economia, 
Biologia, etc. Para tanto, segundo Guidorizzi (2003) seu estudo foi desenvolvido ao 
longo de 2500 anos, com o auxílio de diversos matemáticos. A derivada pode ser 
considerada um dos pontos teóricos principais do cálculo diferencial e integral, 
juntamente com a teoria da integração. Seu conceito está intimamente ligado aos 
problemas clássicos envolvendo taxas de variação que podem ser visualizados sem 
grandes dificuldades no nosso cotidiano. 
Logo, por exemplo, quando falamos em rendimento total, margem de 
contribuição, aceleração, velocidade, espaço, queda de temperatura, crescimento e 
decrescimento, quantidade produzida, lucro marginal, razão de produção, custo 
marginal, etc., podemos relacionar diretamente a derivada. 
 
 
 
5 
Cálculo Diferencial Integral I 
Figura 3: Aplicações peculiares da derivada de uma função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Design EaD. 
É importante termos em mente também, que antes de trabalharmos na 
resolução de aplicações cotidianas da derivada é de fundamental importância a 
interpretação e familiarização com a definição formal e geométrica da mesma, bem 
como, com suas propriedades, resultados e regras operatórias de cálculo. Tal 
fundamentação é imprescindível para a resolução de aplicações práticas nesse âmbito. 
 
 
 
6 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
4.2 Interpretação Geométrica da Derivada: Qual o significado da Reta Tangente? 
 Segundo Thomas (2003) os principais conceitos sobre derivadas foram 
introduzidos por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais ideias, já estudadas antes por 
Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no 
plano. Uma ideia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de uma 
circunferência é uma reta que toca a circunferência exatamente em um ponto P e é 
perpendicular ao segmento OP, como vemos na Figura 4 a seguir. 
Figura 4: A ideia do significado da reta tangente. 
 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Ao tentar estender essa ideia acerca da reta tangente a uma curva qualquer e 
tomarmos um ponto P sobre a curva, esta definição perde o sentido, como 
mostramos na Figura 5 abaixo. 
 
Figura 5: A ideia do significado da reta tangente. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 
 
 
7 
Cálculo Diferencial Integral I 
Note claramente que nessas figuras, consideramos a reta tangente à curva no 
ponto P. Na primeira figura, a reta corta a curva em outro ponto Q. Na segunda 
figura, a curva está muito "achatada" perto do ponto P e a suposta reta tangente toca 
a curva em mais do que um ponto. Na terceira figura, a reta também é tangente à 
curva no ponto Q. 
Sendo assim, vamos definir a inclinação de uma curva y = f(x) para, em seguida, 
encontrar a equação da reta tangente à curvas num ponto dado, de acordo com o 
realizado por Newton e Leibniz, no século XVIII. 
Consideremos y = f(x) uma curva definida no intervalo aberto (a,b), como na 
Figura 6 a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
Figura 6: Uma função y = f(x) definida num intervalo aberto (a, b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Sejam P(x 1 , y1 ) e Q(x 2 , y 2 ) dois pontos distintos da curva y = f(x). Além 
disso, consideremos a reta s reta secante que passa pelos pontos P e Q. 
Considerando o triângulo retângulo PMQ, na Figura 05 acima, temos que a inclinação 
da reta s (ou o coeficiente angular de s) é dado por: 
Coeficiente angular de s = tgα = x
y
xx
yy





12
12
 
 
Agora, vamos supor quem, mantendo o ponto P fixo, Q se mova sobre a curva 
em direção ao ponto P. Diante disto, a inclinação da reta secante s sofrerá uma 
variação. Notemos que à medida que Q vai se aproximando cada vez mais do ponto 
P, a inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo para um valor limite 
constante, como mostramos na Figura 7 abaixo. 
 
 
 
9 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
 
 
Figura 7: A interpretação do valor limite na inclinação da reta s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Esse valor limite é chamado de inclinação da reta tangente à curva no ponto P, 
ou também inclinação da curva em P. Sendo assim, temos a seguinte definição 
associada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inclinação da Reta Tangente: Dada uma curva y = f(x), 
seja o ponto P(x 1 , y1 ) um ponto sobre ela. A inclinação 
da reta tangente no ponto P é dada por: 
(1) m(x
1
) = 
x
y
QP 


lim
 = 
12
12 )()(lim
12 xx
xfxf
xx 


, 
quando o limite existe. 
Este limite definido acima, se tomarmos x 2 = x 1 + x 
podemos reescrevê-lo como segue: 
(2) m(x
1
) = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
. 
 
 
 
10 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
 Por outro lado, é interessante ressaltarmosque a partir do momento que 
conhecemos a inclinação da reta tangente à curva no ponto P, podemos caracterizar 
sem grandes dificuldades a equação da reta tangente à curva em P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos. 
Exemplo 1: Vamos encontrar a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) = x² - 2x 
+ 1 no ponto (x1, y1). 
Solução: Se f(x) = x 2 – 2x + 1, então: 
f(x 1 ) = (x 1 ) 2 – 2.x1 + 1 
Equação da Reta Tangente: Se a função y = f(x) é 
contínua em x 1 , então a reta tangente à curva y = f(x) 
em P(x 1 , y 1 ) é dada por: 
i) A reta que passa por P tendo inclinação: 
m(x1 ) = x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0 , se este limite 
existe. 
Neste caso, temos a equação: 
y – f(x 1 ) = m.(x – x 1 ) 
ii) A reta x = x 1 se x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0 
for infinito. 
 
 
 
 
11 
Cálculo Diferencial Integral I 
e 
f(x 1 + x ) = (x 1 + x ) 2 –2.(x 1 + x ) + 1 = x1 2 + 2. x1 . x +( x ) 2 – 2. x
1 – 2. x + 1 
 
Desta forma, usando (2), vem que: 
m(x 1 ) = x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0 
m(x 1 ) = x
xxxxxx
x 


)1.2(1.22.- ) (+ . x2. + x
lim 1
2
11
2
1
2
1
0 
m(x 1 ) = x
xxx
x 


.2 ) (+ . x2. 
lim
2
1
0 = 22
2)- . x2..( 
lim 1
1
0




x
x
xx
x 
Portanto, a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) = x 2 – 2x + 1 no ponto 
(x 1 ,y 1 ). m(x1 ) = 22 1 x . A Figura 07 nos mostra a interpretação geométrica deste 
exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
Figura 8: A interpretação do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Exemplo 2: Dada a equação quadrática y(x) = x 2 (parábola), encontre a inclinação 
da reta tangente à parábola no ponto (2; 4). 
Solução: Temos que a inclinação da reta tangente que passa pelo ponto (2; 4) dada 
pela equação y(x) = x² , para x 1 = 2,é dada por: 
 
4)4(lim
.4
lim
)2()2(
lim
)()2(
lim)2()(
0
2
0
22
0
0
0
1 










x
x
xx
x
x
x
xfxf
mxm
xxxx
 
 
Exemplo 3: Vamos encontrar a equação da reta tangente à curva y = 2x 2 + 3 no 
ponto cuja abscissa é 2. 
Solução: Inicialmente, notemos que o ponto da curva y = 2x² + 3 cuja abscissa é 2, 
é o ponto P(2, f(2)) = (2, 11). Daí, devemos então encontrar a inclinação da curva y 
 
 
 
13 
Cálculo Diferencial Integral I 
= 2x² + 3 no ponto P(2, 11). Para tal, vamos encontrar primeiramente a inclinação 
da curva em um ponto P(x1, y1) qualquer . Temos que: 
m(x1) = x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0 
 
m(x1) = x
xx
x 


)3(2.-3 ) .(x 2.
lim
2
1
2
1
0 
 
m(x1) = x
xx
x 


32x-3 ) 2(+ . x4.+ 2x
lim
2
1
2
1
2
1
0 
 
m(x1) = x
xx
x 


) 2.(4x 
lim 1
0 
m(x1) = 4.x1 
 
Como m(x1) = 4. x1, então m(2) = 4.2 = 8. Logo, podemos escrever a equação 
da reta tangente à curva y = 2x 2 + 3 em P(2,11) como segue: 
y – f(x1) = m.(x – x1 ) 
y – 11 = 8.(x – 2) 
Ou seja, 
8x – y – 5 = 0 
 
 
14 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
 
A Figura 9 abaixo nos mostra a representação geométrica descrita neste 
exemplo. 
Figura 9: A interpretação geométrica do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 
Exemplo 4: Encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função 
definida por y = x 3 – 3.x + 4 no ponto P(x1, y1). 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
f(x 1 ) = x 1 3 – 3.x1 + 4 
f(x 1 +  x) = (x 1 +  x) 3 – 3. (x1 +  x) + 4 
Logo, 
 
 
 
15 
Cálculo Diferencial Integral I 
m(x 1 ) = x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0 = 
x
xxxxxx
x 


)4.3(4).(3)(
lim 1
3
11
3
1
0 = 
 
x
xxxxxx
x 


.3)().(.3.3
lim
32
1
2
1
0 
 
Como  x ≠ 0, podemos dividir o numerador e o denominador por  x e 
obter: 
m(x 1 ) = 3. 
2
1x
 – 3. 
Exemplo 5: Encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função definida por 
y = x 3 – 3.x + 4 no ponto (2, 6). 
Solução: Como a inclinação da reta tangente em qualquer ponto (x 1 ,y 1 ) é dada por: 
m(x 1 ) = 3. x 1 2 – 3 (Exemplo anterior) 
a inclinação da reta tangente no ponto (2, 6) é: 
m(2) = 9 
Portanto, uma equação da reta pedida na forma ponto-inclinação é: 
y – 6 = 9.(x – 2) 
9.x – y – 12 = 0 
 
 
16 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
4.3 Interpretando a Derivada na Física – Velocidade e Aceleração 
Em um curso introdutório de Mecânica, importante ramo da Física estudamos 
conceitos bem simples, bem conhecidos do nosso dia-a-dia, como por exemplo 
Velocidade e Aceleração. 
Sendo assim, exemplificando melhor, quando dirigimos um automóvel, 
podemos medir a distância percorrida num dado intervalo de tempo decorrido, além 
disso podemos tirar conclusões acerca da velocidade a partir dos valores mostrados 
no velocímetro, bem como a partir do momento que pisamos no freio podemos 
analisar a aceleração. Podemos utilizar a teoria de limites e consequentemente a 
teoria envolvendo as derivadas para calcularmos velocidades e acelerações em 
determinadas situações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que em outras palavras, a velocidade média significa o quociente entre o espaço 
percorrido pelo tempo gasto para percorrê-lo. 
Além disso, podemos observar que em linhas gerais, a velocidade média ainda não nos 
dá nenhum tipo de informação acerca da velocidade do corpo no instante t. Sendo assim, 
definimos a velocidade instantânea do móvel como segue. 
 
Velocidade Média: Consideremos que um corpo se mova 
em linha reta e que s = s(t) represente o espaço 
percorrido pelo móvel no instante t. Então, o intervalo de 
tempo entre t e t +  t, o corpo sofre um deslocamento 
 s = s( t+  t) – s(t). Sendo assim, definimos a velocidade 
média nesse intervalo de tempo pela expressão v m = 
t
tstts

 )()(
. 
 
 
 
17 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, podemos introduzir de modo análogo o conceito de aceleração como 
realizado para velocidade. 
 
 
 
 
 
Logo, para um instante de tempo qualquer a aceleração instantânea pode ser 
vista como segue. 
 
 
 
 
 
 
Vejamos alguns exemplos que ilustram a aplicabilidade e interpretação dos 
conceitos de espaço, velocidade e aceleração descritos anteriormente. 
Exemplo 6: No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua 
posição no instante t é dada por s(t) = 16t – t 2 . Pede-se: 
Velocidade Instantânea: A velocidade instantânea 
ou a velocidade no instante t é o limite das velocidades 
médias quando  t se aproxima de zero, ou seja, em 
símbolos escrevemos v(t) = t
s
t 

 0
lim = 
t
tstts
t 


)()(
lim
0 . 
Aceleração Média: A aceleração média no intervalo 
de tempo t e t +  t é dada a m = t
tsttv

 )()(
. 
Aceleração Instantânea: Similarmente, definimos a 
aceleração instantânea como sendo o limite a(t) = 
t
tvttv
t 


)()(
lim
0 = v’(t). 
 
 
18 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
a) A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2;4]. 
b) A velocidade do corpo no instante t = 0. 
c) A aceleração média no intervalo [0;4]. 
d) A aceleração no instante t = 4. 
 
Solução: Neste caso, temos que:a) A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2;4] é dada por: 
v m = t
tstts

 )()(
= 24
)2()4(

 ss
 = 24
)22.16()44.16( 22


 
v m = 2
2848 
= 10 (unid. veloc.) 
b) A velocidade do corpo no instante t = 0 é dada por: 
v(t) = t
tstts
t 


)()(
lim
0 = t
tttttt
t 


]16[])().(16[
lim
22
0 
v(t) = t
tttt
t 


2
0
)(..2.16
lim
 
v(t) = ).216(lim0 ttt  
v(t) = 16 – 2t (unid. veloc.) 
 Por exemplo, quando t = 2 temos: v(2) = 16 – 2.2 = 12 unid. veloc. 
c) A aceleração média no intervalo [0;4] é dada por: 
a m = t
tsttv

 )()(
 = 04
)2()4(

 vv
 
 
 
 
19 
Cálculo Diferencial Integral I 
Como v(t) = 16 – 2t, temos que: 
a m = 04
)2()4(

 vv
= 4
)0.216()4.216( 
= 4
168 
= – 2 unid. aceler. 
d) A aceleração no instante t = 4 é dada por: 
a(t) = t
tvttv
t 


)()(
lim
0 = t
ttt
t 


216).(216
lim
0 
 
 
a(t) = t
ttt
t 


216.2.216
lim
0 
a(t) = t
t
t 


.2
lim
0 
a(t) = – 2 unid. aceler. 
 
 
 
Exemplo 7: A equação do movimento de um corpo em queda livre é s = 
1
2
.gt2 , 
sendo g um valor constante. Determinar a velocidade e a aceleração do corpo em 
um instante qualquer t. 
Solução: Num instante qualquer t, a velocidade é dada por: 
Observamos que a aceleração negativa significa que o 
corpo está com a sua velocidade diminuindo. A aceleração 
no instante t = 4 é dada por a(4) = – 2 unid.aceler. 
 
 
 
20 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
v(t) = t
tstts
t 


)()(
lim
0 = t
tgttg
t 


22
0
..
2
1
).(.
2
1
lim
 
v(t) = t
tgttg
t 


2
0
).(.
2
1
..
lim
 
v(t) = 








ttg
t
.
2
1
.lim
0 
v(t) = g.t m/s 
 
A aceleração num instante t qualquer é dada por: 
 
a(t) = t
tvttv
t 


)()(
lim
0 = t
tgttg
t 


.).(
lim
0 
 
 
a(t) = t
tgtgtg
t 


..
lim
0 
 
a(t) = t
tg
t 

 0
lim 
 
 
 
 
21 
Cálculo Diferencial Integral I 
a(t) = g unid. aceler. 
Observamos que g é a aceleração da gravidade e tem aproximadamente o valor de 
9,8 m/s 2 . 
 
 
 
 
4.4 Definindo a Derivada de Uma Função em um Ponto 
Agora, vamos definir em linhas formais o conceito de derivada num 
determinado ponto como segue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em outras palavras, este limite nos dá a inclinação 
da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (x
1
, f(x
1
)). Ou 
seja, geometricamente falando a derivada da função y = 
f(x) no ponto x
1
representa a inclinação da curva neste 
ponto. 
Queda livre é um movimento vertical, próximo à 
superfície da Terra, em que um corpo é abandonado no 
vácuo ou em uma região onde a resistência do ar é 
desprezada. 
Derivada num ponto x1: A derivada de uma função f(x) no 
ponto x1, denotada por f ’(x1) (vamos ler f linha de x, no 
ponto x1), é definida pelo limite 
f ’(x
1
) = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
, quando este limite 
existe. 
Além disso, este limite acima pode ser escrito como: 
f ’(x
1
) = 
12
12 )()(lim
12 xx
xfxf
xx 


 
 
 
 
22 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
Definimos a derivada de uma função f(x) como segue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Além disso, vamos falar que uma função é derivável quando existe a derivada 
em todos os pontos de seu domínio. Abaixo, listamos algumas outras notações que 
são utilizadas para a representação da derivada de uma função y = f(x). 
i) D x f(x) (vamos ler: derivada de f(x) em relação a x). 
ii) D x y (vamos ler: derivada de y com relação a x). 
iii) dx
dy
 (vamos ler: derivada de y com relação a x) 
iv) 0xxdx
dy







 (vamos ler: derivada de y com relação a x no ponto x = x 0 ) 
 
Vamos apresentar alguns exemplos ilustrativos, em que determinamos a 
derivada de uma função f(x) através da definição formal de derivada. 
Exemplo 8: Vamos encontrar a derivada da função f(x) = x² no ponto x0 = 3? 
Solução: Neste caso, temos que: 
Derivada de uma função y = f(x): A derivada de uma 
função y = f(x) é a função f ’(x) (vamos ler f linha de x), tal 
que o seu valor em qualquer ponto do domínio de f, isto 
é, para qualquer ponto x D f é dado pelo limite: 
f ’(x) = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim
0
, quando este limite existe. 
 
 
 
 
23 
Cálculo Diferencial Integral I 
f '(3) = x
fxf
x 


)3()3(
lim
0 = x
x
x 


22
0
3)3(
lim
= x
xx
x 


2
0
)(6
lim
 = 
)6(lim
0
x
x

 = 6 
 Deve-se observar aqui, que isso significa que um pequeno acréscimo
x
 dado 
a x, a partir de 
,30 x
 acarretará um correspondente acréscimo 
f
 que é 
aproximadamente 6 vezes maior que o acréscimo 
.x
 
 
Exemplo 9: Qual a derivada de f(x) = x² no ponto x0 = – 2? 
Solução: Neste caso, temos que: 
f '( – 2) = x
fxf
x 


)2()2(
lim
0 = x
x
x 


22
0
)2()2(
lim
 
= x
xx
x 


2
0
)(.4
lim
 = )4(lim0 xx  = – 4 
 Desta maneira, isso significa que um pequeno acréscimo de 

x dado a x, 
a partir de x
0
= -2 acarretará em um correspondente decréscimo 

f que é 
aproximadamente 4 vezes maior que o acréscimo 

x, em valor absoluto. 
Exemplo 10: Consideremos a função f(x) = | x | (valor absoluto de x ou módulo de 
x). A função f(x) apresenta derivada no ponto x0 = 0? 
Solução: Neste caso, temos que: 
f '(0) = x
fxf
x 


)0()0(
lim
0 = x
fxf
x 


)0()(
lim
0 = x
x
x 

 0
lim
 
Desta forma, percebemos que: 
 
 
24 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
o Se  x tende a 0 pela direita, então  x > 0 e |  x| =  x e, consequentemente 
limite de f ’(0) = x
x
x 

 0
lim
 é igual a 1, ou seja, x
x
x 

 0
lim
 = 1. 
o Se  x tende a 0 pela esquerda, então temos que  x < 0 e | x| = - x e, 
desta maneira o limite de f ’(0) = x
x
x 

 0
lim
 é igual a -1, ou seja, x
x
x 

 0
lim
 = -1. 
 
Portanto, como os limites laterais são diferentes, concluímos que não existe o 
limite para 

x tendendo a 0. Logo, não existe a derivada de f(x) no ponto x
0
 = 
0. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 11: Considerando a função f(x) = 5.x 2 + 6x – 1, vamos encontrar f ’(2). 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
f '(2) = x
fxf
x 


)2()2(
lim
0 = x
xx
x 


2
0
).(5.26
lim
 = x
xx
x 


).526.(
lim
0 
f '(2) = ).526(lim0 xx  
É sabido que a função modular é contínua no 
ponto x = 0, porém como acabamos de ver a mesma não 
é derivável nesse ponto. Grosso modo, estaremos 
apresentando a posteriori um resultado que associa 
continuidade e derivação, ou seja, vamos averiguar que se 
y = f(x) é derivável no ponto x0 então ela é contínua nesse 
ponto. 
 
 
 
25 
Cálculo Diferencial Integral I 
f '(2) = 26 
Exemplo 12: Considerando a função f(x) = 
2
3
x
x


, vamos encontrar f ’(x). 
Solução: Neste caso, temos que: 
f '(x) = x
xfxxf
x 

)()(
lim
0 = xxxx
x
x 

 ).3).(3(
.5
lim
0 
f '(x) = )3).(3(
5
lim
0  xxxx 
f '(x) = 
2)3(
5
x 
Exemplo 13: Vamos encontrar a equação da reta tangente à curva y = x , que seja 
paralela à reta 8x – 4y + 1 = 0. 
Solução: Para resolvermos este exemplo, primeiramente vamos lembrar da 
Geometria Analítica Elementar que duas retas são paralelas quando os seus 
coeficientes angulares são iguais. 
 
 
 
Sendo assim, inicialmente vamos encontrar a inclinação da reta tangente à curva 
y = x num ponto qualquer (x 1 , y1 ), ou seja, temos que: 
m(x1) = f ’ (x1) 
Da Geometria Analítica Elementar sabemos que 
duas retas são paralelas quando os seus coeficientes 
angulares são iguais. 
 
 
26 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
m(x1) = x
xxx
x 


11
0
lim
= )(
)(
.lim
11
1111
0 xxx
xxx
x
xxx
x 




 
 
 
m(x1) = ).(
lim
11
0 xxxx
x
x 

 
m(x1) = 1.2
1
x 
Portanto, m(x1) = 1.2
1
x . Como a reta que queremos encontrar deve ser 
paralela a 8x – 4y + 1 = 0, podemos escrever: 
m(x1) = 1.2
1
x = 2 
 
Já que o coeficiente angular de 8x – 4y + 1 = 0 é igual a 2. Desta maneira, da 
igualdade: 
1.2
1
x = 2 
Segue que, 
x 1 = 16
1
 
 
 
 
27 
Cálculo Diferencial Integral I 
Sendo assim, a reta que queremos é a reta tangente à curva no ponto (
1
16
, f(
1
16
)), 
ou seja, (
1
16
,
1
4
). 
Daí, temos que: 
y – f(x1) = m.(x – x1 ) 
y – 
1
4
= 2.(x – 
1
16
) 
16y – 4 = 32.x – 2 
32x – 16y + 2 = 0 
Ou ainda, 
16x – 8y + 1 = 0 
 
A interpretação geométrica do exemplo é mostrada na Figura 10 abaixo. 
 
 
 
 
28 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
Figura 10: A interpretação geométrica do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Exemplo 14: Vamos encontrar a equação da reta normal à curva y = x² no ponto 
(2,4). 
Solução: Para resolvermos este exemplo, primeiramente vamos lembrar mais uma 
vez da Geometria Analítica Elementar que a reta normal a uma curva num ponto 
dado é a reta perpendicular à reta tangente neste ponto. 
 
 
 
 
 
Sendo assim, vamos determinar a inclinação da reta tangente à curva no ponto 
P(2, 4). Temos que: 
Da Geometria Analítica Elementar sabemos que 
duas retas t e n são perpendiculares se m
t
.m
n
 = – 1, 
onde m
t
 e m
n
 são as inclinações das retas t e n, 
respectivamente, num dado ponto P. 
 
 
 
29 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
mt (x1) = x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0 
mt (x1) = 2.x1 
Quando x1 = 2 temos que mt (2) = 2.2 = 4. Agora, podemos utilizar a relação mt. mn 
= – 1 para encontrarmos a inclinação da reta normal à curva y = x 2 no ponto (2, 
4). Daí: 
mt. mn = – 1 
4. mn = – 1 
mn = 4
1
 
Desta forma, substituindo os dados que temos à equação da reta, vem que: 
y – f(x1) = m.(x – x1) 
y – 4= 4
1
.(x – 2) 
4y + x – 18 = 0 
 
Donde concluímos, que a reta x + 4y – 18 = 0 é a reta normal à curva y = x² 
no ponto (2, 4). A representação geométrica é mostrada na Figura 11 a seguir. 
 
 
 
 
30 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
Figura 11: A interpretação geométrica do exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Exemplo 15: Considerando a função f(x) = x vamos encontrar f ’(4). 
Solução: Neste caso, temos que: 
f '(x1 = 4) = 1
1)()(lim
1 xx
xfxf
xx 

 = 4
2
lim
1 

 x
x
xx = 2
)2(
.
4
2
lim
1 



 x
x
x
x
xx 
f '(x1= 4) = )2).(4(
4
lim
1 

 xx
x
xx 
f '(x1 = 4) = )2(
1
lim
1  xxx 
f '(x1 = 4) = 4
1
 
 
 
 
31 
Cálculo Diferencial Integral I 
4.5. A Relação Derivada e Continuidade 
Quando relacionamos continuidade e derivada, vimos por exemplo, que a 
função f(x) = | x | é contínua em x = 0, porém não admite derivada neste ponto, ou 
seja, uma função que é contínua num ponto não implica que a mesma é derivável 
naquele ponto. Porém, temos que a recíproca é verdadeira, como mostramos no 
resultado abaixo, isto é, se uma função f(x) é derivável em um ponto então a mesma 
é contínua naquele ponto. 
Teorema 1 (Adaptado de Boulos 2006) Se y = f(x) é uma função derivável num 
ponto x1 então y = f(x) é contínua em x1. 
Demonstração: Consideremos f(x) uma função tal que a mesma é derivável no ponto 
x1 (Hipótese). Devemos provar que a função f(x) é contínua no ponto x1, ou seja, 
devemos provar de acordo com a definição de função contínua, visualizada 
anteriormente que: 
i) f(x1) é definida no ponto a, isto é, existe f(x 1 ); 
ii) )(lim1 xfxx existe; 
iii) )(lim1 xfxx = f(x1). 
Por hipótese, como f(x) é derivável em x 1 . Logo, f ’(x 1 ) existe e pela fórmula, 
 
f ’(x1) = 1
1)()(lim
1 xx
xfxf
xx 

 
 
 
 
32 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
Concluímos que f(x 1 ) deve existir para que o limite acima tenha sentido, isto 
é, tenha significado. 
Além disso, temos que: 
 )()(lim 1
1
xfxf
xx

 = 










1
1
1
)()(
)(lim
1 xx
xfxf
xx
xx = )(lim 11 xxxx  . 
1
1)()(lim
1 xx
xfxf
xx 

 
 )()(lim 1
1
xfxf
xx

 = 0. f ’(x1) = 0 
Desta forma, podemos observar que: 
)(lim
1
xf
xx =  )()()(lim 111 xfxfxfxx  =  )()(lim 11 xfxfxx  +  )(lim 11 xfxx
= 0 + f(x1) = f(x1). 
Portanto, concluímos que são válidas as três condições que definem a 
continuidade da função f(x) no ponto x1, ou seja, concluímos que f(x) é contínua em 
x1. 
4.6. Interpretando as Derivadas Laterais 
Como foi visto na parte sobre limites, é de nosso interesse agora descrever as 
definições acerca das derivadas laterais. 
 
 
 
 
Derivada à Direita: Se a função y = f(x) está definida em 
x1, então a derivada à direita de f em x1, denotada por f+( 
x1) é definida por: 
f
'

(x
1
) = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
 = 
1
1)()(lim
1 xx
xfxf
xx 



, caso este limite exista. 
 
 
 
 
33 
Cálculo Diferencial Integral I 
Similarmente, definimos a derivada a esquerda como segue. 
 
 
 
 
 
 
Sendo assim, segundo Boulos (2006) temos que uma função é derivável em 
um ponto, quando as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto existem e são 
iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 16: Consideremos a função f(x) definida por dupla sentença: 
f(x) = 
3 1, 2
7 , 2
x se x
x se x
 

 
 
Desta forma, pede-se: 
a) Mostrar que f é contínua em x = 2. 
b) Determinar f ' (2) e f ' (2). 
Derivada à Esquerda: Se a função y = f(x) está definida em 
x 1 , então a derivada à direita de f em x1 , denotada por f- ( 
x1) é definida por: 
f
'

(x
1
) = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 11
0
 = 
1
1)()(lim
1 xx
xfxf
xx 



, caso este limite exista. 
 
Uma função f(x) é derivável em um ponto x
1
 quando as 
derivadas à direita e à esquerda existem e são iguais em x
1
. 
Ponto Anguloso: Quando as derivadas laterais (direita e 
esquerda) existem e são diferentes em um ponto x1 , 
dizemos que este ponto é um ponto anguloso do gráfico 
da função. 
 
 
34 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
Solução: Inicialmente, vamos observar o gráfico da função f(x) mostrada na Figura 12 
abaixo. 
 
Figura 12: A representação do gráficoda função f(x) = 
3 1, 2
7 , 2
x se x
x se x
 

 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Sendo assim, temos que: 
a) A função f(x) é contínua em x = 2, já que: 
)(lim
2
xf
x = )7(lim2 xx  = )13(lim2  xx = 5 
E, finalmente, 
)(lim
2
xf
x = f(2) = 5 
b) Vamos encontrar as derivadas f ' (2) e f ' (2) através das definições 
anteriores, ou seja, temos que: 
 
 
 
35 
Cálculo Diferencial Integral I 
f ' (2) = x
fxf
x 


)2()2(
lim
0 = x
x
x 


5)]2(7[
lim
0 = x
x
x 


55
lim
0 
f ' (2) = )1(lim0 x 
f ' (2) = – 1 
E 
f ' (2) = x
fxf
x 


)2()2(
lim
0 = x
x
x 


5]1)2.(3[
lim
0 = 
x
x
x 


5136
lim
0 
f ' (2) = 3lim0x 
f ' (2) = 3 
 
Como, 
x
fxf
x 


)2()2(
lim
0 ≠ x
fxf
x 


)2()2(
lim
0 
Concluímos que não existe o limite x
fxf
x 


)2()2(
lim
0 . Portanto, a função f(x) 
não é derivável em x 1 = 2. Neste caso, dizemos que o ponto x 1 = 2 é um ponto 
anguloso do gráfico de f(x). 
 
 
36 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
Exemplo 17: Consideremos a função f(x) = (x – 2).| x |. Vamos encontrar f ' (0) e f
'
 (0). 
Solução: Inicialmente, notemos que podemos escrever a função f(x) do exemplo de 
uma outra forma, como segue: 
f(x) = 





0,2)).(2(
0,2).2(
2
2
xsexxxx
xsexxxx
 
A Figura 13 abaixo, nos mostra a representação geométrica da função f(x) do 
exemplo. 
Figura 13: A representação do gráfico da função f(x) do exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Desta forma, temos que: 
 
 
 
37 
Cálculo Diferencial Integral I 
f ' (0) = x
fxf
x 


)0()0(
lim
0 = x
xx
x 


2)(
lim
2
0 = )2(lim0  xx = – 
2 
E 
f ' (0) = x
fxf
x 


)0()0(
lim
0 = x
xx
x 


2)(
lim
2
0 = )2(lim0  xx
= 2 
Concluímos desta forma que não existe f’(0) porque f ' (0) ≠ f ' (0). Além 
disso, podemos concluir que o gráfico da função f não admite uma reta tangente no 
ponto (0, 0). Utilizando as derivadas laterais obtemos: 
y – 0 = (– 2).(x – 0) = – 2x 
E 
y – 0 = (2).(x – 0) = 2x 
 
Estas duas retas podem ser visualizadas na Figura 13 anterior. 
Que não existe o limite x
fxf
x 


)2()2(
lim
0 . Portanto, a função f(x) não é 
derivável em x1 = 2. Neste caso, dizemos que o ponto x 1 = 2 é um ponto anguloso 
do gráfico de f(x). 
 
 
 
38 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
 
Exemplo 18: Consideremos os gráficos descritos nas Figuras 14 e 15 
abaixo, desta forma pede-se para discutir a existência da derivada nos 
pontos x = 1 e x = 4, respectivamente. 
 
Figura 14: Primeiro gráfico do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 
 
 
 
39 
Cálculo Diferencial Integral I 
Figura 15: Segundo gráfico do exemplo. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Solução: Salientamos inicialmente que para realizarmos uma análise gráfica da 
existência da derivada em um ponto, podemos traçar retas secantes que passam pelo 
ponto dado e por outro ponto na sua vizinhança e observarmos a sua posição limite 
(posição de tangência). Quando as secantes não têm uma única posição limite ou se 
tornam verticais, a derivada não existe. Sendo assim, observando as figuras dadas 
podemos afirmar que em ambos os casos a derivada não existe. 
o No caso do gráfico mostrado na Figura 13 é possível observarmos que as retas 
secantes convergem para a posição vertical. Logo, dizemos que estamos diante 
de um ponto cuspidal. 
No caso do gráfico mostrado na Figura 14 é possível notarmos que as 
secantes assumem duas posições diferentes no seu limite. Desta maneira, estamos 
diante da situação em que as derivadas laterais existem, mas são diferentes, portanto 
 
 
40 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
a derivada no ponto x = 4 não existe. Aqui, falamos então que estamos diante de 
um ponto anguloso. 
Figura 16: Tipos de pontos. 
o 
 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Pontos
Anguloso Cuspidal
 
 
 
41 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta quarta unidade, trabalhamos com a 
formalização do conceito da derivada, que é uma das 
principais ferramentas do cálculo diferencial e integral, 
frequentemente utilizada na resolução e modelagem de 
situações nas mais diversas áreas do conhecimento, desde 
problemas de cunho financeiro (lucro marginal, custo 
marginal), engenharia (cálculos estruturais, determinação 
de momentos, reações químicas, cálculo de volumes), física 
(velocidade, espaço, aceleração, etc. 
Especificamente falando, iniciamos vimos que 
geometricamente falando a derivada de uma função y = 
f(x) pode ser encarada como a inclinação da reta tangente 
ao gráfico da função naquele ponto de abscissa x e, 
analiticamente falando, como a taxa de variação da função 
em cada ponto x. De outra forma, foi apresentado a 
definição formal de derivada de uma função em um ponto 
x e tal definição demanda da contextualização de um 
limite, ou seja, o conceito de derivada é definido como um 
limite. 
A seguir, trabalharmos com a derivada sempre 
aplicada na física, particularmente falando, no contexto 
envolvendo movimento. Por fim, discutimos a parte das 
derivadas laterais e, de modo peculiar, concluímos que a 
derivada de uma função y = f(x) num ponto só existe 
desde que as derivadas laterais existem e são iguais em tal 
ponto. 
 
 
42 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
 
Assim sendo, a partir do momento em que 
discutirmos nas entrelinhas a formalização geométrica e 
analítica do conceito de derivada, na próxima unidade 
estaremos interessados na apresentação das principais 
regras operatórias envolvendo o cálculo de derivadas, que 
constitui em um importante facilitador para a descrição das 
mesmas.