unidade V

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1 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
 
 
 
Ao final desta unidade, o aluno estará familiarizado com as 
principais regras operatórias envolvendo a derivada, bem como, estará 
apto a caracterizar derivadas de funções de forma mais simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade V – Regras 
Operatórias Envolvendo 
a Derivada 
Objetivos da Unidade 
 
 
V 
 
 
2 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
Unidade V 
5.1. Regras Operatórias das Derivadas 
É interessante observarmos mais uma vez que através da definição formal de 
derivada, a caracterização das mesmas constitui uma tarefa árdua e com muitos 
cálculos. Desta forma, estaremos discutindo aqui as principais regras operatórias para 
o cálculo envolvendo derivadas de funções elementares. 
Tal aparato é importante porque se caracterizará como um procedimento 
facilitador na descrição das derivadas de funções y = f(x), bem como, será o alicerce 
para a resolução de aplicações específicas nas áreas do conhecimento que estaremos 
trabalhando mais a frente. 
Logo, estaremos apresentando a aritmética envolvendo as derivadas, ou seja, 
estaremos interessados em descrever as principais regras operatórias das derivadas, 
tais como, a derivada de uma constante, a derivada de uma soma, de um produto, 
etc. Salientamos que não é de nosso interesse apresentar as provas envolvendo tais 
regras, para tais provas você pode encontrar em qualquer uma das referências 
bibliográficas descritas ao final da unidade. 
Proposição 1 (Derivada de Uma Constante) (Boulos 2006): Se c é uma constante e 
f(x) = c para todo x, então f ’(x) = 0, ou seja, a derivada de uma função constante é 
zero. Em símbolos, temos que: Se f(x) = c 

 f ’(x) = 0. 
Exemplo 1: Desta forma, temos que: 
a) Se f(x) = 2 então f ’(x) = 0. 
b) Se f(x) = – 4 então 
dy
dx
= 0. 
c) Se f(x) = e (constante de Euler) então f ’(x) = 0. 
d) Se f(x) = π então 
dy
dx
= 0. 
e) Se f(x) = 17 então f ’(x) = 0. 
f) Se f(x) = – 12 então f ’(x) = 0. 
 
 A derivada de uma função constante é zero, ou 
seja, se temos f(x) = c (constante) então f ’(x) = 0. 
 
 
 
3 
Cálculo Diferencial Integral I 
Proposição 2 (Regra da Potência) (Boulos 2006): Se n é um número inteiro positivo 
(n > 0) e f(x) = x n então f ’(x) = n. x 1n . 
Exemplo 2: Desta forma, temos que: 
a) Se f(x) = x então f ’(x) = 1.x1-1 = 1.1 = 1. 
b) Se f(x) = x² então 
dy
dx
= 2.x2-1 = 2.x 
c) Se f(x) = x³ então f ’(x) = 3.x3-1 = 3.x² 
d) Se y = x 5 então 
dy
dx
 = 5.x 4 . 
e) Se f(x) = 
21
²
x
x

 então f ’(x) = – 2.x-2-1 = – 2. x-3 = 
3
²x

 
f) Se f(x) = 12x então f ’(x) = 1 11
2 2
1 1 1 1 1
. . .
2 2 2 2
x x
x x


  
. 
Proposição 3 (Derivada do Produto de uma Constante por uma Função) (Boulos 
2006): Consideremos f(x) uma função, c uma constante e g a função definida por 
g(x) = c.f(x). Se f ’(x) existe então g’(x) = c.f ’(x). 
Exemplo 3: Desta forma, temos que: 
a) Se f(x) =8x então f ’(x) = 8.(1) = 8. 
b) Se f(x) = 3x² então 
dy
dx
= 3.(2x) = 6.x 
c) Se f(x) = 8.x 2 então f ’(x) = 8.(2x) = 16x. 
d) Se f(x) = 3x então f ’(x) = 3.(1) = 3. 
e) Se y(t) = 3t 5 então 
dy
dt
 = 3.(5t 4 ) = 15.t 4 . 
f) Se g(z) = 2z 6 então 
dy
dz
 = 2.(6.x 5 )= 12x 5 . 
Proposição 4 (Derivada de Uma Soma) (Boulos 2006): Consideremos f(x) e g(x) 
duas funções e h(x) a função definida por h(x) = f(x) + g(x). Se f ’(x) e g’(x) existem, 
então h’(x) = f ’(x) + g’(x). 
 
Salientamos que a Proposição 4 se aplica a um número 
finito de funções, isto é, a derivada de uma soma de um 
número finito de funções é igual à soma de suas derivadas, 
se estas existirem. 
 
 
 
4 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Desta forma, temos que: 
a) Se f(x) = 3x – 4 então f ’(x) = 3.(1) – 0 = 3. 
b) Se f(x) = 3x 4 + 8x + 5 então f ’(x) = 3.(4x 3 ) + 8.(1) + 0 = 12x3 + 8. 
c) Se g(y) = 9y 5 – 4y2 + 2y + 7 então g ’(y) = 9.(5y 4 ) – 4.(2y) + 2.(1) + 0 = 
45y 4 – 8y + 2. 
Proposição 5 (Derivada de Um Produto) (Boulos 2006): Consideremos f(x) e g(x) 
duas funções e h(x) a função definida por h(x) = f(x).g(x). Se f ’(x) e g’(x) existem, 
então: 
h’(x) = f(x).g’(x) + f ’(x).g(x). 
Exemplo 5: Desta forma, temos que: 
a) Seja f(x) = (2x – 1).(x + 3) então: 
f ’(x) = (2x – 1).(1) + (2).(x + 3) = 2x – 1 + 2x + 6 = 4x + 5 
b) Seja f(x) = (4x + 7).(5x + 2) então: 
f ’(x) = (4x + 7).(5) + (4).(5x + 2) = 20x + 35 + 20x + 8 = 40x + 43 
 
Proposição 6 (Derivada de Um Quociente) (Boulos 2006): Consideremos f(x) e g(x) 
duas funções e h(x) a função definida por h(x) = )(
)(
xg
xf
, onde g(x) ≠ 0. Se f ’(x) e 
g’(x) existem, então h’(x) = 
2
'( ). ( ) '( ). ( )
[ ( )]
f x g x g x f x
g x

. 
Exemplo 6: Desta forma, temos que: 
 
 
 
5 
Cálculo Diferencial Integral I 
a) Seja f(x) = 
1
3 2
x
x


então: 
h’(x) = 
2
'( ). ( ) '( ). ( )
[ ( )]
f x g x g x f x
g x

 = 
2
1.(3 2) (3).( 1)
(3 2)
x x
x
  

 
h’(x) =
2
3 2 3 3
(3 2)
x x
x
  

= 
2
5
(3 2)x


 
b) Seja f(x) = 
4 2
5 3
x
x


então: 
h’(x) = 2)]([
)().(')().('
xg
xfxgxgxf 
 = 
2)35(
)24).(5()35).(4(


x
xx
 
 
h’(x) = 2)35(
10201220


x
xx
 = 
2)35(
2
x 
 
c) Seja f(x) = 35
32
2
4


xx
x
então: 
 
h’(x) = 2)]([
)().(')().('
xg
xfxgxgxf 
 = 
2)(
1).1()).(0(
x
x 
 = 2
1
x

 
 
 d) Seja h(x) = 
2
1
x então: 
 
 
 
6 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
h’(x) = 2)]([
)().(')().('
xg
xfxgxgxf 
 = 
22
2
)(
1).2()).(0(
x
xx 
 = 4
2
x
x
 = 3
2
x

 
 
Proposição 7 (Boulos 2006): Se f(x) = x n onde n é um número inteiro positivo (n 
> 0) e x ≠ 0, então f ’(x) = – n. x 1n . 
Exemplo 7: Desta forma, temos que: 
a) Seja f(x) = 3
1
x = x 3 então f’(x) = – 3.x 13 = – 3.x 4 . 
b) Seja f(x) = 10
1
x = x 10 então f’(x) = – 10.x 110 = – 10.x 11 . 
Vejamos mais um problema resolvido envolvendo todas as regras operatórias 
descritas anteriormente. 
5.2. A Derivada da Função Composta: A Regra da Cadeia 
Em diversas situações nos deparamos com uma função que se escreve como 
uma composição de outras funções, desta maneira, é necessário a determinação da 
derivada de tal função. 
Sendo assim, neste momento estaremos interessados em descrever a regra 
que caracteriza o cálculo da derivada de uma função composta. Tal regra é conhecida 
como a Regra da Cadeia. Ou seja, as regras já apresentadas permitem derivar funções 
que podem ser representadas por expressões com termos simples, o que ocorre 
com funções conhecidas, mas tais regras não se aplicam a funções mais complexas, 
como por exemplo f(x)=(4x+1)100 , pois é praticamente impossível derivar um 
produto com 100 termos pela regra usual. 
No entanto, podemos expressar esta função como a composta de duas 
funções mais simples, motivo pelo qual, aprenderemos a derivar qualquer função 
formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. A seguir, 
apresentamos a Regra da Cadeia, que nos dá a derivada da função composta. 
 
 
 
7 
Cálculo Diferencial Integral I 
Teorema 1 (Regra da Cadeia) (Boulos 2006): Sejam f e g funções deriváveis e h a 
função composta definida por h(x) = (f g)(x) = f(g(x)). Se u = g(x) é derivável no 
ponto x e se y = f(u) é derivável no ponto u = g(x), então a função composta h é 
derivável no pontox e a sua derivada é dada por: 
h'(x) = (f

g)’(x) = [f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) 
 
 
 
 
 
Exemplo 8: Desta forma, exemplificamos que: 
a) h(x) = (2x + 1) 3 
b) h(x) = (x + 4) 10 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) h(x) = (2x + 1) 3 : notemos que para h(x) = (2x + 1) 3 , temos que g(x) = 2x + 
1 e f(x) = x 3 , ou seja, a função h(x) é a composta das funções f(x) e g(x), ou 
ainda, h(x) = f(g(x)), portanto devemos utilizar a regra da cadeia para 
encontrarmos a derivada da função h(x). Logo: 
[f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) = f’(2x+1).g’(x) = 3.(2x+1) 2 .(2) = 6.(2x+1) 2 
b) h(x) = (x + 4) 10 : notemos que para h(x) = (x + 4) 10 , temos que g(x) = x + 4 
e f(x) = x 10 , ou seja, a função h(x) é a composta das funções f(x) e g(x), ou 
ainda, h(x) = f(g(x)), portanto devemos utilizar a regra da cadeia para 
encontrarmos a derivada da função h(x). Logo: 
[f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) = f’(x+4).g’(x) = 10.(x+4) 9 .(1) = 10.(x+4) 9 
 
O Teorema 1 (Regra da Cadeia) nos diz que a derivada de 
uma função composta é igual à derivada da função de fora 
aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função 
de dentro. 
 
 
8 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
Exemplo 9: Utilizando a Regra da Cadeia, vamos encontrar a derivada da seguinte 
função h(x) = (3x + 2) 2 . 
Solução: Neste caso, notemos que para h(x) = (3x + 2) 2 , temos que g(x) = 3x + 2 
e f(x) = x 2 , ou seja, a função h(x) é a composta das funções f(x) e g(x), ou ainda, 
h(x) = f(g(x)), portanto devemos utilizar a regra da cadeia para encontrarmos a 
derivada da função h(x). Logo: 
[f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) = f’(3x+2).g’(x) = 2.(3x+2).3 = 6.(3x + 2) = 18x + 12 
Notemos que aqui, f ’(x) = 2x e g’(x) = 3. 
 
Exemplo 10: Utilizando a Regra da Cadeia, vamos encontrar a derivada da seguinte 
função h(x) = (x 2 + 5x + 2) 7 . 
Solução: Neste caso, notemos que para h(x) = (x 2 + 5x + 2) 7 , temos que g(x) = x
2 + 5x + 2 e f(x) = x 7 , ou seja, a função h(x) é a composta das funções f(x) e g(x), 
ou ainda, h(x) = f(g(x)), portanto devemos utilizar a regra da cadeia para 
encontrarmos a derivada da função h(x). Logo: 
[f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) = f’(x 2 + 5x + 2).g’(x) = 7.( x2 + 5x + 2) 6 .(2x+ 5) 
 
Exemplo 11: Considerando a função y = h(x) = 
5
12
23








x
x
, vamos encontrar dx
dy
. 
 
Solução: Neste caso, podemos observar que a função h(x) é a composta envolvendo 
as funções g(x) = 








12
23
x
x
e f(x) = 5x , logo devemos utilizar a regra da cadeia para 
encontrarmos a derivada dx
dy
. Além disso, devemos notar que quando ao 
determinarmos a derivada g’(x) na regra da cadeia, devemos utilizar a regra do 
quociente. Daí: 
 
 
 
9 
Cálculo Diferencial Integral I 
dx
dy
 = h’(x) = [f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) = 5.
4
12
23








x
x
.
  
)('
2)12(
)23.(2)12.(3
xg
x
xx


 
dx
dy
 = h’(x) = 5.
4
12
23








x
x
.
2)12(
1


x 
Exemplo 12: Considerando a função y = (3x2 + 1) 3 . (x – x2 ) 2 , vamos encontrar dx
dy
. 
Solução: Neste caso, podemos observar que devemos aplicar a regra do quociente, 
bem como a regra da cadeia para encontrarmos dx
dy
, como segue: 
 
y' = dx
dy
 = 3.( 3x 2 + 1) 2 .(6x).(x – x 2 ) 2 + 2.( x – x2 ).(1 – 2x). (3x 2 + 1) 3 
 
Proposição 8 (Boulos 2006): Se u = g(x) é uma função derivável e n é um número 
inteiro não-nulo, então: 
 nxg
dx
d
)(
 = n.[g(x)] 1n .g’(x) 
Exemplo 13: Dada a função f(x) = 3.5 2 x , vamos calcular f ’(x). 
Solução: Notemos primeiramente que podemos escrever a função f(x) como segue, 
f(x) = 2
1
2 )3.(5 x 
Desta forma, 
f '(x) = 
)2.()3.(
2
1
.5 2
1
2 xx


 
 
 
10 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
Ou seja, 
f '(x) = 3
5
2 x
x
 
 
Exemplo 14: Dada a função g(t) = 3 3
2
1t
t
 , vamos calcular g ’(t). 
Solução: Vamos escrever a função g(t) dada como um produto, ou seja, vamos 
escrever a função g(t) da seguinte maneira, 
g(t) = 3
1
32 )1.(

tt 
Desta forma, 
g '(t) = 
)2.()1()3.()1).(
3
1
.( 3
1
32
1
3
1
32 ttttt





 
Ou seja, 
g '(t) = 3
1
33
4
34 )1).(2()1.(

 tttt 
Abaixo, listamos as regras operatórias envolvendo as derivadas no Quadro 1 a 
seguir. 
Quadro 1: Principais regras operatórias das derivadas. 
Função f(x) Derivada f ’(x) 
f(x) = c (função constante) 
 
f ’(x) = 0, para todo x 
f(x) = x n (função potência) 
 
f ’(x) = n. x 1n , para todo x 
f(x) = k.g(x) 
 
f ’(x) = k.g’(x) para todo x 
 
 
 
11 
Cálculo Diferencial Integral I 
f(x) = u(x) + v(x) 
 
f ’(x) = u’(x) + v’(x) para todo x 
f(x) = u(x) – v(x) 
 
f ’(x) = u’(x) – v’(x) para todo x 
f(x) = u(x).v(x) 
 
f ’(x) = u’(x).v(x) + v’(x).u(x) para todo x 
(x) = )(
)(
xv
xu
 
 
f ’(x) = )(
)().(')().('
2 xv
xuxvxvxu 
, com v(x) ≠ 0 
h(x) = f(g(x)) (Derivada da 
Função Composta) 
 
[f(g(x)]’ = f ’(g(x)).g’(x) 
 
u = g(x) 
  nxgdx
d
)( = n.[g(x)] 1n .g’(x) 
 
Fonte: Principais regras operatórias das derivadas. 
5.3. Interpretando a Derivada da Função Inversa 
Aqui estaremos interessados em discutir o cálculo da derivada de uma função 
inversa, ou seja, a partir da derivada de uma função y = f(x) é nosso objetivo 
encontrar a derivada de sua função inversa a partir do conhecimento de f ’(x). Para 
tal, temos o conhecido Teorema Derivada da Função Inversa que é descrito abaixo. 
Teorema 2 (Derivada da Função Inveersa) (Guidorizzi 2003): Seja y = f(x) uma 
função definida em um intervalo aberto (a, b). Suponhamos que f(x) admita uma 
função inversa x = g(y) contínua. Se f’(x) existe e é diferente de zero (f’(x)≠ 0) para 
qualquer x (a,b), então g = f 1 é derivável e é determinada pela expressão: 
g'(y) = 
)('
1
xf
 = 
))(('
1
ygf
 
Este resultado será muito importante para determinarmos a derivada de 
funções elementares que é a função inversa de outras funções, por exemplo, para 
 
 
12 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
encontrarmos a derivada da função logarítmica usaremos o fato da mesma ser a 
função inversa da função exponencial. Tais derivadas de funções elementares serão 
discutidas na a posteriori. 
Exemplo 15: Consideremos a função y = f(x) = 4x – 3. Vamos calcular a derivada da 
sua inversa. 
Solução: Temos que a função inversa de f(x) é: 
x = g(y) = 4
1
.(y + 3) 
Além disso, f’(x) = 4 e desta forma pelo Teorema da Derivada da Função 
Inversa segue que: 
g'(y) = )('
1
xf = 4
1
 
 
Exemplo 16: Consideremos a função y = f(x) = 8.x 3 . Vamos encontrar a derivada 
de sua função inversa. 
Solução: Temos que a função inversa de f(x) é: 
x = g(y) = 
3.
2
1
y 
Além disso, f’(x) = 24.x 2 e como f’(x) = 24.x 2 é maior que zero para todo x 
≠ 0, e desta forma pelo Teorema da Derivada da Função Inversa, segue que: 
g'(y) = )('
1
xf = 224
1
x =
3
2
3 .6
1
2
1
24
1
yy







 
 
Na Figura 1 a seguir, apresentamos os gráficos referentes as funções f(x) = x 2 
+ 1 definida em [0, + ∞ ) e g(x) = 1x definida para o intervalo x [1,+∞ ). Pela 
 
 
 
13 
Cálculo Diferencial Integral I 
simetria com a bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x), podemos afirmar que 
f(x) e g(x) são funções inversas uma da outra. Propriedade esta relacionada a funções 
inversas, ou seja, duas funçõesinversas possuem os gráficos simétricos com relação a 
reta y = x. A equação da reta tangente à curva f(x) = x 2 + 1 no ponto (2, 5) é y = 
4x – 3 e a equação da reta tangente à curva g(x) = 1x no ponto (5, 2) é dada 
por y = 4
1
x – ¾. Podemos notar que as declividades são inversas uma da outra, que 
vem casado de acordo com o Teorema 2 anterior. 
 
Figura 1: A interpretação geométrica do exemplo. 
Fonte: Principais regras operatórias das derivadas. 
 
5.4. Caracterizando a Derivada de Funções Elementares 
Agora é de nosso interesse apresentar as derivadas relacionadas as principais 
funções da Matemática, o que denominamos de funções elementares, que aparecem 
em diversas situações do Cálculo Diferencial e Integral. Sendo assim, por exemplo, 
 
 
14 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
podemos citar como funções elementares: a função exponencial, a função logarítmica, 
funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente, etc.), etc. 
Ressaltamos, que as regras apresentadas aqui serão utilizadas ao longo de todo 
o estudo do Cálculo Diferencial e Integral, sendo ele de uma variável real ou de várias 
variáveis. Todas as demonstrações dos resultados que apresentaremos a seguir, 
podem ser encontradas em qualquer uma das referências citadas ao final desta 
unidade. 
Teorema 3 (Derivada da Função Exponencial) (Guidorizzi 2003): Consideremos a 
função exponencial de base a, f(x) = a x (a > 0 e a ≠ 1) então a sua derivada é dada 
por: 
f ’(x) = a x .lna, (a > 0 e a ≠ 1) 
Exemplo 17: Desta forma, se considerarmos f(x) = 2 x (a função exponencial de base 
2) então de acordo com a Proposição 09, temos que a sua derivada é dada por: f 
’(x) = 2 x .ln2. 
Exemplo 18: Se considerarmos f(x) = 3 x (a função exponencial de base 3) então de 
acordo com a Proposição 09, temos que a sua derivada é dada por: f ’(x) = 3 x .ln3. 
Exemplo 19: Se considerarmos f(x) = 5 x (a função exponencial de base 5) então de 
acordo com a Proposição 09, temos que a sua derivada é dada por: f ’(x) = 5 x .ln5. 
 
Teorema 4 (Derivada da Função Logarítmica) (Guidorizzi 2003): Consideremos a 
função logarítmica f(x) = xalog (a > 0 e a ≠ 1) então a sua derivada é dada por: 
f ’(x) = 
x
1
.
ealog
, (a > 0 e a ≠ 1) 
Exemplo 20: Se considerarmos a função logarítmica f(x) = x2log , então de acordo 
com o Teorema 4, temos que a sua derivada é dada por:f ’(x) = x
1
. e2log 
 
 
 
15 
Cálculo Diferencial Integral I 
Exemplo 21: Se considerarmos a função logarítmica f(x) = x3log , então de acordo 
com o Teorema 4, temos que a sua derivada é dada por: f ’(x) = x
1
. e3log 
Exemplo 22: Se considerarmos a função logarítmica f(x) = x5log , então de acordo 
com o Teorema 4, temos que a sua derivada é dada por: 
f ’(x) = x
1
. e5log 
Teorema 5 (Derivada da Função Exponencial Composta) (Guidorizzi 2003): Se y = 
u v , onde u = u(x) e v = v(x) são funções de x, deriváveis num intervalo I e u(x) > 0, 
Ix , então: 
y’ = v.u 1v .u’ + u v . v'. lnu 
 
Salientamos que se u(x) é uma função derivável, aplicando a Regra da Cadeia 
podemos generalizar os Teoremas 3, 4 e 5 descritos anteriormente. Abaixo listamos 
estas generalizações no Quadro 2. 
Quadro 2: Regras derivadas dos Teoremas 3, 4 e 5. 
Função f(x) Derivada f ’(x) 
y = a u 
 
y ’ = au .lna. u’ 
y = e u 
 
y ’ = eu . u’ 
y = ualog 
y ’ = u
u '
. ealog 
y = lnu 
y ’ = u
u '
 
y = u v 
 
y ’ = v.u 1v .u’ + u v . v'. lnu, u > 0 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 
16 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
 
Exemplo 23: Vamos calcular as derivadas das funções descritas a seguir. 
a) y = 3 132 2  xx 
b) y = 
x






2
1
 
c) y = 1
1


x
x
e 
d) y = xxe ln. 
e) y = )173(log 22  xx 
f) y = ln






1x
e x
 
y = (x 2 + 1) 12 x 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) Vamos fazer u = 2.x 2 + 3x – 1, daí temos que y = 3 u , donde concluímos que: 
y' = 3 u .ln3. u’ 
y' = 3 132 2  xx .ln3. (4x + 3) 
b) Temos y = 
u






2
1
, onde u = x . Desta maneira: 
y' = 
u






2
1
.ln 2
1
. u’ 
y' = 
u






2
1
.ln 2
1
. x2
1
 
c) Neste caso, vamos tomar y = ue com u = 1
1


x
x
, donde segue que: 
 
 
 
17 
Cálculo Diferencial Integral I 
y' = ue . u’ 
y' = 1
1


x
x
e . 








2)1(
1).1(1).1(
x
xx
 
y' = 1
1


x
x
e . 
2)1(
2


x 
d) Fazendo y = y = ue com u = x.lnx, donde segue que: 
y' = ue . u’ 
y' = xxe ln. . (x.lnx)’ 
y' = xxe ln. . (x. x
1
 + lnx. 1) 
y' = xxe ln. . (1 + lnx) 
e) Vamos fazer y = u2log onde u = 173 2  xx . Logo: 
y ’ = u
u '
. e2log 
y ’ = 173
)76(
2 

xx
x
. e2log 
f) Temos que y = lnu, com u = 1x
e x
. Logo: 
y ’ = u
u '
 
y ’ = 1
)1(
1.).1(
2



x
e
x
eex
x
xx
 
 
 
18 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
y ’ = 1x
x
 
g) Aqui, vamos fazer y = uv , onde u = x2 + 1 > 0 e v = 2x – 1. Desta forma: 
 
y ’ = v.u 1v .u’ + u v . v'. lnu 
y ’ = (2x – 1).( x2 + 1) 112 x .(x 2 + 1)’ + (x 2 + 1) 1 -2x . (2x – 1)'. ln(x 2 + 1) 
y ’ = (2x – 1).( x2 + 1) 22 x .(2x) + (x 2 + 1) 1 -2x . (2). ln(x 2 + 1) 
 
Agora, vamos trabalhar com a apresentação das derivadas das principais 
funções trigonométricas. 
Teorema 6 (Derivada da Função Seno) (Boulos 2006): Se y = senx, então y’ = cosx. 
Ou seja, se y = senx então y’ = cosx. 
Teorema 7 (Derivada da Função Cosseno) (Boulos 2006): Se y = cosx, então y’ = – 
senx. Ou seja, se y = cosx então y’ = – senx. 
 
Além disso, para as demais funções trigonométricas que são obviamente 
definidas a partir das funções seno e cosseno, temos as seguintes regras referentes a 
derivação, que são de fácil entendimento; tais regras são apresentadas no Quadro 3 
a seguir. 
 
Quadro 3: Derivadas das demais funções trigonométricas. 
Função f(x) Derivada f ’(x) 
y = tgx = x
senx
cos 
 
y ’ = sec 2 x = x2cos
1
 
y = cotgx = senx
xcos
 y ’ = – cosec2 x = xsen 2
1
 
 
 
 
19 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
y = secx = xcos
1
 
 
y ’ = secx.tgx 
y = cosecx = senx
1
 
 
y ’ = – cosecx.cotgx 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Por outro lado, levando em consideração a Regra da Cadeia obtemos as 
fórmulas gerais referentes a derivação de funções trigonométricas, como listadas no 
Quadro 4 abaixo. 
Quadro 4: Fórmulas Gerais de Derivadas das funções trigonométricas. 
Função f(x) Derivada f ’(x) 
y = senu y' = cosu.(u’) 
 
y = cosu y' = – senu.(u’) 
 
y = tgu 
 
y ’ = sec 2 u.(u’) 
y = cotgu 
 
y ’ = – cosec2 u.(u’) 
y = secu 
 
y ’ = secu.tgu .(u’) 
y = cosecu 
 
y ’ = – cosecu.cotgu.(u’) 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Em alguns casos, as identidades trigonométricas são frequentemente usadas 
quando calculamos derivadas envolvendo funções trigonométricas. As dez 
identidades fundamentais abaixo são de fundamental importância. 
o senx . cosecx = 1 
 
 
20 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
o cosx . secx = 1 
o tgx . cotgx = 1 
o tgx = x
x
cos
sen
 
o cotgx = x
x
sen
cos
 
o secx = xcos
1
 
o cosecx = xsen
1
 
o sen 2 x + cos 2 x = 1 (Relação Trigonométrica Fundamental) 
o 1 + tg 2 x = sec 2 x 
o 1 + cotg 2 x = cosec 2 x 
 
Vejamos alguns exemplos que ilustram o cálculo dederivadas envolvendo as 
funções trigonométricas. 
Exemplo 24: Considerando f(x) = sen(3x) vamos determinar f ’(x). 
Solução: Neste caso, além de utilizarmos a derivada da função seno de x é necessário 
aplicarmos a Regra da Cadeia, como segue: fazendo u = 3x segue que u’ = 3, daí: 
f(x) = senu  f ’(x) = cosu.(u’) = 3.cos(3x) 
Ou seja, concluímos que f ’(x) = 3.cos(3x). 
 
Exemplo 25: Considerando f(x) = cos(5x) vamos determinar f ’(x). 
Solução: Neste caso, além de utilizarmos a derivada da função cosseno de x é 
necessário aplicarmos a Regra da Cadeia, como segue: fazendo u = 5x segue que u’ 
= 5, daí: 
f(x) = senu  f ’(x) = – cosu.(u’) = – 5.cos(5x) 
Ou seja, concluímos que f ’(x) = – 5.cos(5x). 
 
 
 
21 
Cálculo Diferencial Integral I 
Exemplo 26: Considerando f(x) = sen 2 x + cos 2 x vamos determinar f ’(x). 
Solução: Neste caso, notemos que f(x) nada mais é do que a relação trigonométrica 
fundamental (i.e., sabemos que sen 2 x + cos 2 x = 1), donde concluímos que f ’(x) = 
0. Podemos averiguar tal fato também como segue: 
f(x) = sen 2 x + cos 2 x  f ’(x) = [sen 2 x] ’ + [cos 2 x] ’ 
Ou seja, 
f ’(x) = 2.senx.[senx] ’ + 2.cosx.[cosx] ’ 
f ’(x) = 2.senx.cosx + 2.cosx.( – senx) 
f ’(x) = 2.senx.cosx – 2.cosx.senx 
f ’(x) = 0 
Exemplo 27: Vamos calcular a derivada das seguintes funções: 
a) y = sen(x 2 ) 
b) y = cos( x
1
) 
c) y = 3.tg( x ) + cotg(3x) 
d) y = gx
x
cot1
cos
 
e) y = sec(x 2 + 3x + 7) 
y = cosec( 1
1


x
x
) 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) y = sen(x 2 ): Fazendo u = x 2 temos que y = senu, logo y’ = senu.(u’), ou seja, 
y’ = (cosu).(u’) = [cos(x 2 )].(2x) = 2x.cos(x 2 ) 
Portanto, y’ = 2x.cos(x 2 ) 
 
 
22 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
b) y = cos( x
1
): Fazendo u = x
1
 temos que y = cosu, logo y’ = cosu.(u’), ou 
seja, y’ = (senu).(u’) = [ – sen( x
1
)].( 2
1
x

) = 2
1
x .sen( x
1
) 
Portanto, y’ = 2
1
x .sen( x
1
) 
c) y = 3.tg( x ) + cotg(3x) logo: 
 y’ = [3.tg( x )]’ + [cotg(3x)]’ = 3.sec 2 ( x ).( x )’ + [– cosec 2 (3x)].(3x)’ 
= 3.sec 2 ( x ).( x2
1
) – 3.cosec 2 (3x) 
Portanto, y’ = 3.sec 2 ( x ).( x2
1
) – 3.cosec 2 (3x) 
d) y = gx
x
cot1
cos
 logo utilizando a regra do quociente, segue que: 
y’ = 2)cot1(
)'cot1.(cos)').(coscot1(
gx
gxxxgx


 
y’ = 
2
2
)cot1(
)cos.(cos)).(cot1(
gx
xecxsenxgx


 
y’ = 
2
2
)cot1(
cos.coscot.
gx
xecxgxsenxsenx


 
e) y = sec(x 2 + 3x + 7): Fazendo u = x 2 +3x + 7, temos que y = secu, logo: 
y’ = secu.tgu.(u’) = [sec(x 2 + 3x + 7).( tg(x2 + 3x + 7)].(2x + 3) 
y’ = (2x + 3). sec(x 2 + 3x + 7).tg(x 2 + 3x + 7) 
 
 
 
 
23 
Cálculo Diferencial Integral I 
f) y = cosec( 1
1


x
x
)): Fazendo u = 1
1


x
x
, temos que y = cosecu, logo: 
y’ = – cosecu.cotgu.(u’) = [– cosec( 1
1


x
x
).cotg( 1
1


x
x
)].(
2)1(
2


x ) 
y’ = 2)1(
2
x . cosec( 1
1


x
x
).cotg( 1
1


x
x
) 
5.6. A Derivada das Funções Trigonométricas Inversas 
Agora é de nosso objetivo apresentar as derivadas relacionadas as principais 
funções trigonométricas inversas. Inicialmente, devemos salientar para não deixar 
dúvidas, que as funções trigonométricas, sendo periódicas, não são funções bijetoras 
e, portanto, suas relações inversas não são funções; entretanto, restringindo o 
domínio das funções, podemos obter relações inversas que são funções. 
Antes de caracterizarmos as primitivas imediatas que resultam nas funções 
trigonométricas inversas, vamos fazer uma breve revisão sobre tais funções. Em 
verdade, é de nosso interesse calcularmos as derivadas da função arco seno, da 
função arco cosseno e da função arco tangente, que são as funções inversas da função 
seno, cosseno e tangente, respectivamente. Obviamente, vamos trabalhar em 
intervalos padronizados para a existência de tais inversas. 
 
 
 
 
 
 
5.6.1. A Função Arco Seno de x (arcsenx) 
Sabemos que a função seno é definida do seguinte modo: 
f: ]1,1[ 
Temos as seguintes notações equivalentes: 
o arcsenx 

sen 1 x  função inversa da função 
senx; 
o arccosx 

cos 1 x  função inversa da função 
cosx; 
o arctgx tg x função inversa da função tgx. 
 
 
 
24 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
x  y = senx 
Observemos, no gráfico de y = senx, que existem infinitos valores x 1 , x 2 , x3 , 
... tais que y 1 = y 2 = y 3 , ..., donde concluímos então que a função seno, assim 
definida, não é uma função bijetora (injetora e sobrejetora). Logo, sua relação inversa 
não é função. 
Figura 2: Gráfico da função y = senx. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
No gráfico de y = senx, notamos ainda que a função y = senx é bijetora nos 
intervalos em que é crescente ou decrescente. Desta forma, para que a função seno 
seja invertível (i.e., admita função inversa), restringimos seu domínio a um desses 
intervalos. 
Figura 3: Intervalos em que a função seno é crescente ou decrescente. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 
 
25 
Cálculo Diferencial Integral I 
Vamos adotar o intervalo 




2
,
2

 para domínio, a definição da função seno 
será dada por: 
f: 




2
,
2

]1,1[ 
x  y = senx 
E o gráfico da função assim definida está representado na Figura 4 abaixo. 
Figura 4: Gráfico da função y = senx com domínio 






2
,
2

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Temos então que a função seno definida no intervalo 




2
,
2

 é bijetora. 
Portanto, podemos definir sua inversa, que chamaremos de função arco seno, do 
seguinte modo: 
f 1 : [-1, 1]  




2
,
2

 
y = arcsenx  seny = x 
 
 
26 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a construção do gráfico da função arco seno, lembramos que o gráfico da 
função inversa é simétrico ao gráfico da função direta em relação à reta y = x 
(bissetriz dos quadrantes ímpares). Desta maneira, o gráfico da função arcsenx é 
apresentado na Figura 5 abaixo. 
Figura 5: Gráfico da função y = arcsenx – função inversa de senx. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Vejamos alguns exemplos que serão úteis para nos familiarizarmos com a 
função arcsenx. 
 
Exemplo 28: Vamos determinar o valor das seguintes expressões: 
a) y = arcsen 1 
b) y = arcsen (-1) 
Temos que: 
i) Da definição da função arco seno, temos: 
Domínio: D = {x  / 11  x } 
Imagem: I = {y  / 22

 y } 
ii) Gráfico 
 
 
 
 
27 
Cálculo Diferencial Integral I 
c) y = arcsen(1/2) 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) y = arcsen1 membrososambosaseno funçãoaaplicando

seny = 1 e y 




2
,
2

  y = 2

. 
 
b) y = arcsen(-1) membrososambosaseno funçãoaaplicando

seny = -1 e y 




2
,
2

  y = - 2

. 
 
c) y = arcsen(1/2) membrososambosaseno funçãoaaplicando

seny = ½ e y 




2
,
2

  y = 6

. 
 
 
 
Exemplo 29: Vamos caracterizar o domínio da função y = 
arcsen2x. 
Solução: Temos que, y = arcsen(2x) membrososambosaseno funçãoaaplicando

seny = 2.x. Agora, 
sabemos que -1 seny  1, logo: 
-1 2.x  1  -½  x  ½ 
Ou seja, temos que: 
D = {x  / 2/12/1  x } 
 
Exemplo 30:Vamos calcular y = cos 




3
1
arcsen
. 
 
 
 
28 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
Solução: Seja y = cos 




3
1
arcsen
. Daí, vamos chamar  = arcsen(1/3) logo sen 
= 1/3 e obviamente  pertence ao primeiro quadrante da circunferência 
trigonométrica. Assim, y = cos e através da relação trigonométrica fundamental, 
segue que: 
y = cos = 21 sen = 3
22
9
1
1 
 
Portanto 
y = 3
22
. 
 
2.3 A Derivada da Função Arco Seno de x 
Sabemos que a função y = arcsenx, definida no intervalo I = [-1, 1] com imagens 
em 




2
,
2

 é a função inversa de x = seny. Desta forma, temos a seguinte relação: 
 
y = arcsenx  x = seny 
 
Além disso, a pouco tempo acabamos de averiguar a derivada da função seno 
de x, ou seja: 
x = seny então x’ = cosy ( a derivada de seno é cosseno) 
 
Logo, empregando a Regra da Derivada da Função Inversa, vem que: 
 
 
 
 
29 
Cálculo Diferencial Integral I 
y' = ycos
1
x´
1

 lfundamenta ricatrigonométrelação

ysen 21
1
 senyx 21
1
x 
 
Ou seja, a derivada da função y = arcsenx é dada por y’= 21
1
x . Portanto, 
temos que: 
Se y = arcsenx então y’ = 
21
1
x
 
 
 
5.6.2. A Função Arco Cosseno de x (arccosx) 
 
A função cosseno definida da seguinte forma: 
f: ]1,1[ 
x  y = cosx 
é uma função periódica, portanto sua relação inversa não é função. Porém, 
observando o gráfico de y = cosx, notamos que a função é bijetora nos intervalos 
em que é crescente ou decrescente. Assim, para que a função cosseno seja invertível 
(i.e. admita inversa), restringimos seu domínio a um desses intervalos. 
 
 
30 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
Figura 6: Gráfico da função cosseno com os intervalos em que a função é crescente e 
decrescente. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Adotando o intervalo [0,  ] para domínio, a definição da função cosseno será: 
f: [0,  ] ]1,1[ 
x  y = cosx 
E o gráfico da função assim definida está representado na Figura 7 abaixo. 
Figura 7: Gráfico da função y = cosx com domínio [0,  ]. 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo 
próprio autor. 
 
Temos então que a função cosseno definida no intervalo [0,  ] é bijetora. 
Portanto, podemos definir sua inversa, que chamaremos função arco cosseno, do 
seguinte modo: 
f 1 : [-1, 1]  [0,  ] 
 
 
 
31 
Cálculo Diferencial Integral I 
y = arccosx  cosy = x 
Além disso, ressaltamos que: 
i) Da definição da função arco cosseno, temos: 
Domínio: D = {x  / 11  x } 
Imagem: I = {y  /  y0 } 
ii) Gráfico 
Lembrando que o gráfico da função inversa é simétrico ao da função direta em 
relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares), na Figura 22 apresentamos o 
gráfico da função arco cosseno de x. 
Figura 8: Gráfico da função inversa arccosx – função inversa de cosx. 
 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Vejamos alguns exemplos que serão úteis para nos familiarizarmos com a 
função arccosx. 
 
Exemplo 31: Vamos determinar o valor das seguintes 
expressões: 
a) y = arccos1 
b) y = arccos (0) 
c) y = arccos(-1/2) 
 
 
 
32 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
 
a) y = arccos1 membrososambosaeno funçãoaaplicandocos

cosy = 1 e y [0,  ]  y = 0. 
b) y = arccos(0) membrososambosaeno funçãoaaplicandocos

cosy = 0 e y [0,  ]  y = 2

. 
c) y = arcsen(-1/2) membrososambosaeno funçãoaaplicandocos

cosy = -½ e y [0,  ]  y = 3
2
. 
 
Exemplo 32: Vamos determinar o domínio de y = arccos4x. 
Solução: y = arccos(4x) membrososambosaeno funçãoaaplicandocos

cosy = 4.x. Agora, sabemos que -1
 cosy  1, logo: 
-1 4.x  1  -¼  x  ¼ 
Ou seja, temos que: 
D = {x  / -¼  x  ¼ } 
 
Exemplo 33: Calcular y = sen 




 )
3
1
arccos(.2
. 
 
Solução: Seja y = sen 




 )
3
1
arccos(.2
. Daí, vamos chamar  = arccos(-1/3) 
logo cos = – 1/3 e obviamente  pertence ao segundo quadrante da 
circunferência trigonométrica. Assim, y = sen(2 )= 2.sen .cos (Fórmula do 
seno do arco duplo). Vamos obter o valor de sen . Assim: 
 
 
 
 
33 
Cálculo Diferencial Integral I 
sen = 2cos1 = 3
22
9
1
1 
 
Portanto, 
y = 2.sen .cos = 2. 3
22
.(-1/3) = 9
24
. 
 
5.6.2 A Derivada da Função Arco Cosseno de x 
Sabemos que a função y = arccosx, definida no intervalo I = [-1, 1] com imagens 
em [0,  ] é a função inversa de x = cosy. Desta forma, temos a seguinte relação: 
y = arccosx  x = cosy 
 Acabamos de averiguar na Unidade que: 
x = cosy então x’ = – seny ( a derivada de cosseno é menos seno) 
Logo, empregando a Regra da Derivada da Função Inversa, vem que: 
y’ = seny

1
x'
1
 lfundamenta ricatrigonométrelação

ysen 21
1


 yx cos 21
1
x

 
 
Ou seja, a derivada da função y = arccosx é dada por y’ = 21
1
x

. Portanto, 
temos que: 
Se y = arccosx então y’ = 
21
1
x

 
5.6.3. A Função Arco Tangente de x (arc tgx) 
 A função tangente definida por: 
 
 
 
34 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
f: 
/ . ,
2
x x h h Z
      
 
  
x  y = tgx 
é uma função periódica, portanto sua relação inversa não é função. Porém, 
observando o gráfico de y = tgx, notamos que a função é bijetora nos intervalos em 
que é crescente. 
Assim, para que a função tangente seja invertível (isto é, admita inversa), 
restringimos seu domínio a um destes intervalos. 
 
Figura 9: Gráfico da função y = tgx. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Adotando o intervalo 




2
,
2

para domínio, a definição da função tangente 
será: 
f: 




2
,
2

  
 
 
 
35 
Cálculo Diferencial Integral I 
x  y = tgx 
E o gráfico da função assim definida está representado na Figura 10 abaixo. 
 
Figura 10: Gráfico da função y = tgx com domínio 






2
,
2

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Temos, então, que a função tangente definida no intervalo 




2
,
2

é bijetora. 
Portanto, podemos definir sua inversa, que chamaremos função arco tangente, do 
seguinte modo: 
 
 
36 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
f 1 :   




2
,
2

 
y = arctgx  tgy = x 
Desta maneira, temos que: 
i) Da definição da função arco tangente, temos: 
Domínio: D =  
Imagem: I = {y  / 22



y } 
ii) Gráfico 
Lembrando que o gráfico da função inversa é simétrico ao da função direta em 
relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares), na Figura 25 apresentamos o 
gráfico da função arco tangente de x. 
 
 
 
 
37 
Cálculo Diferencial Integral I 
Figura 11: Gráfico da função inversa arctgx. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Vejamos alguns exemplos que serão úteis para nos familiarizarmos com a 
função arctgx. 
 
Exemplo 34: Vamos determinar o valor das seguintes 
expressões: 
a) y = arctgx(1) 
b) y = arctg(0) 
c) y = arctg(- 3 ) 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) y = arctg(1) membrososambosagente funçãoaaplicandotan

tgy = 1 e y 




2
,
2

 y = 4

. 
 
 
38 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
b) y= arctg(0) membrososambosagente funçãoaaplicandotan

tgy = 0 e y 




2
,
2

 y = 0. 
c) y = arctg(- 3 ) membrososambosagente funçãoaaplicandotan

tgy = - 3 e y 




2
,
2

 y = - 3

. 
 
 Exemplo 35: Vamos determinar y = tg  )3(.2 arctg . 
 
Solução: Seja y = tg[2.arctg(3)]. Daí, vamos chamar  = arctg(3), logo, tg = 3 e 
obviamente  pertence ao primeiro quadrante da circunferência trigonométrica. 
Assim, devemos calcular y = tg(2 ) duplo arcodogentetan

 

21
.2
tg
tg
 . Substituindo, obtemos: 
y = 231
3.2
 = 8
6
 = 4
3
 
Portanto, 
y = 4
3
. 
 
5.6.4. A Derivada da Função Arco Tangente de x 
Dada a função y = arctgx, de  em 




2
,
2

, sabemos que: 
y = arctgx  x = tgy. 
Daí, vem que: 
x = tgx então x’ = sec 2 y ( a derivada de tangente é secante ao quadrado) 
 
 
 
39 
Cálculo Diferencial Integral I 
Logo, empregando a Regra da Derivada da Função Inversa, vem que: 
y’ = y2sec
1
x'
1

 ricatrigonométrelação

ytg 21
1
 tgyx 21
1
x 
Ou seja, a derivada da função y = arctgx é dada por y’= 21
1
x . Portanto, 
temos que: 
Se y = arctgx y’ = 
21
1
x
 
Abaixo no Quadro 5 acrescentamos a interpretação da Regra da Cadeia para 
o cálculo envolvendo derivadas das principais funções trigonométricas inversas. 
Quadro 5: A Regra da Cadeia aplicada as principais funções trigonométricas 
inversas. 
Função Derivada Nomenclatura 
y = arc sen u 
y ’ = 21
'
u
u
 
Derivada da função 
arco seno de u 
y = arc cos u 
y ’ = 21
'
u
u


 
Derivada da função 
arco cosseno de u 
y = arc tg u 
y ’ = 21
'
u
u
 
Derivada da função 
arco tangente de u 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
 
Exemplo 36: Vamos determinar as derivadas das seguintes 
funções: 
a) y = arc sen(x + 1) 
b) y = arc cos(2x + 1) 
c) y = arc tg( 2
2
1
1
x
x


) 
 
 
40 
Cálculo Diferencial Integral I 
 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) y = arc sen(x + 1): aqui temos y = arc sen u, com u = x + 1 e u’ = 1, logo: 
y ’ = 21
'
u
u
 = 
2)1(1
1
 x 
a) y = arc cos(2x + 1): aqui temos y = arc cos u, com u = 2x + 1 e u’ = 2, logo: 
y ’ = 21
'
u
u


 = 
2)12(1
2


x 
a) y = arc tg( 2
2
1
1
x
x


):): aqui temos y = arc tg u, com u = 2
2
1
1
x
x


 e, desta forma 
pela regra do quociente u’ = 22
22
)1(
)2).(1()1).(2(
x
xxxx


, logo: 
 
y ’ = 
2
2
2
22
22
1
1
1
)1(
)2).(1()1).(2(











x
x
x
xxxx
 = 41
2
x
x


 
 
 
Conclusão da Unidade 
 Nesta quinta unidade, trabalhamos com a descrição e aplicação das 
principais regras operatórias envolvendo o cálculo das derivadas de funções 
elementares, que se torna uma ferramenta importante para a simplificação do cálculo 
das mesmas. Grosso modo, o que fizemos aqui foi a caracterização da álgebra das 
derivadas. 
 Especificamente falando, iniciamos com as regras introdutórias e básicas, 
envolvendo a função constante, derivada da função potência, derivada da soma e 
 
 
 
41 
Cálculo Diferencial Integral I 
diferença, derivada do produto e derivada do quociente. Essas na verdade, talvez são 
as mais usuais em um primeiro momento. 
 A seguir, discutimos a regra da cadeia, que propriamente falando descreve 
o procedimento de determinação da derivada de funções compostas, bem como, 
apresentamos o teorema que nos dá o cálculo para a derivada envolvendo funções 
inversas. Ressaltamos ainda, que aqui foi discutido a determinação da derivada 
envolvendo as funções exponenciais e logarítmicas. 
 Na sequência, descrevemos nas entrelinhas o cálculo envolvendo as 
funções trigonométricas, seno, cosseno e tangente, bem como, com relação as suas 
inversas, funções arc senx, arc cosx e arc tgx, respectivamente. É interessante 
chamarmos mais uma vez a atenção, para as diversas relações trigonométricas citadas 
que são importantes para a simplificação de cálculos diversos. 
 Lembremos também que todo esse contexto envolvendo as regras 
operatórias é uma poderosa ferramenta para as diversas resoluções que estaremos 
resolvendo nas mais diversas áreas do conhecimento a posteriori, desde problemas 
relacionando o movimento, reações químicas, cálculo de áreas e volumes, razão de 
produção, máximos e mínimos e cálculos estruturais. 
 Assim sendo, a partir do momento em que apresentamos as várias regras 
operatórias envolvendo a determinação das derivadas de funções elementares, na 
próxima unidade estaremos interessados na descrição das derivadas sucessivas (de 
ordem superior), derivação implícita e diferencial, que também constituem aspectos 
teóricos pertinentes para a resolução de aplicações sobre a derivada.