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Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 1 Unidade Curricular: Cálculo B Data: ____/____/____ Professora: Melina Lima Assuntos: Máximos e Mínimos de Funções de Duas Variáveis Aluno (a): ....................................................................................... Máximos e Mínimos Seja xfy . O ponto 0x do domínio de f é dito ponto de mínimo (máximo) local de f se existe um intervalo aberto centrado nele e contido no domínio de f tal que, 0xx do intervalo, tem-se 0xfxf ( 0xfxf ). Se 0x é ponto de mínimo (máximo) local, ele é dito ponto extremante local. Se em vez de e , tivermos > e <, então 0x é ponto de mínimo (máximo) local estrito. Figura 1: Representação de máximo e mínimo local Um ponto de máximo (mínimo) local estrito é um ponto de máximo (mínimo) local. Figura 2: Tangente horizontal Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 2 Figura 3: Máximos e mínimos Um ponto 0x interior do domínio de uma função f tal que 00 xf é chamado ponto crítico de f . Um extremante local (estrito ou não) de uma função diferenciável é um ponto crítico dela. Um ponto crítico não necessariamente é um extremante local. O critério mostrado a seguir nos traz informações sobre pontos críticos de uma função. Critério da Derivada Segunda para Funções de uma Variável Suponha que f é duas vezes derivável no ponto crítico 0x . Assim: . de estrito local máximo de ponto é então ,0 Se ; de estrito local mínimo de ponto é então ,0 Se 00 00 fxxf fxxf Exemplo: Sendo 32 215363 xxxxf , use o critério da derivada segunda para determinar se cada ponto crítico é de máximo local estrito ou de mínimo local estrito de f . Solução: Calculemos à priori a primeira e a segunda derivadas: 263036 xxxf e xxf 1230 . Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 3 Determinando os pontos críticos: Para determinação dos pontos críticos devemos impor 0 xf : 063036063036 22 xxxxxf , ou seja, 0652 xx . As raízes desta equação são 1 e -6 (verifique). Analisando cada ponto crítico, teremos: 01.12301 f . Assim, 1 é ponto de mínimo local estrito. 06.12306 f . Logo, -6 é ponto de máximo local estrito. Observação: Se f se anula em um ponto crítico, é possível que ele seja um máximo (mínimo) local ou não. Máximos e Mínimos de Funções de Duas Variáveis D] Seja yxfz , uma função de duas variáveis. Dizemos que fDyx 00 , é ponto de máximo absoluto ou global de f , se 00 ,,,, yxyxffDyx . 00 , yxf é o valor máximo de f . Exemplo: A função 224, yxyxf tem o ponto (0,0) como ponto de máximo absoluto ou global de f , pois para 22222 , ,440,04 ,, yxyxfyxfDyx . O valor máximo de 224, yxyxf é 40,0 f Figura 4: função e seu ponto de máximo Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 4 D] Seja yxfz , uma função de duas variáveis. Dizemos que fDyx 00 , é ponto de mínimo absoluto ou global de f , se 00 ,,,, yxfyxffDyx . 00 , yxf é o valor mínimo de f . Ex: Para a função 221, yxyxf , qual seria seu ponto de mínimo absoluto? Figura 5: função e seu ponto de mínimo É usual denominarmos os pontos de máximo ou de mínimo de uma função de pontos extremantes (locais ou globais). Ponto Crítico de uma Função de Duas Variáveis Seja yxfz , definida num conjunto aberto 2U . Um ponto Uyx 00 , é ponto crítico de f se 0000 , e , yx y f yx x f são iguais a zero ou se f não é diferenciável em 00 , yx . Os pontos extremantes (máximo e mínimo) de yxfz , estão entre seus pontos críticos, no entanto, um ponto crítico nem sempre é ponto extremante. Teorema de Schwarz Se yx f 2 existe e é contínua em um conjunto aberto, então xy f 2 existe e yx f 2 = xy f 2 . Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 5 Hessiano O hessiano verifica a hipótese do Teorema anterior e é usado na determinação de máximos e mínimos de funções de duas variáveis. Ele é definido por: yx f y f x f y f yx f yx f x f H 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 . Critério das Derivadas Segundas para Extremantes Locais (funções de duas variáveis) O ponto 0p do domínio de f é dito ponto de mínimo (máximo) local de f se existe uma bola aberta centrada nele e contida no domínio de f tal que, 0pp da bola, tem-se 0pfpf ( 0pfpf ). Se 0p é ponto de mínimo (máximo) local, então ele é referido como ponto extremante local. Se em vez de e , tivermos > e <, então 0p é ponto de mínimo (máximo) local estrito. Um ponto de mínimo (máximo) local estrito é um ponto de mínimo (máximo) local. Proposição Seja yxfz , uma função cujas derivadas parciais de 1ª e 2ª ordens são contínuas num conjunto aberto que contém 00 , yx e suponhamos que 00 , yx seja um ponto crítico de f . Seja o hessiano 002 2 00 2 00 2 002 2 00 ,, ,, , yx y f yx yx f yx yx f yx x f yxH . Temos: Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 6 a) Se 0, 00 yxH e 0, 002 2 yx x f , então 00 , yx é ponto de mínimo local de f . b) Se 0, 00 yxH e 0, 002 2 yx x f , então 00 , yx é ponto de máximo local de f . c) Se 0, 00 yxH , então 00 , yx não é ponto extremante local. Nesse caso, 00 , yx é ponto de sela. d) Se 0, 00 yxH , nada se pode afirmar. Exemplo 1: Sendo 44 2281, yxxyyxf , determine os pontos críticos de f . Solução: 388 xy x f e 388 yx y f Assim, os pontos críticos são os que verificam o sistema: IIyx Ixy yx xy yx xy 0 0 088 088 3 3 3 3 3 3 Substituindo I em II , temos: 1801ou 0010 889933 xxxxxxxxxxxx 1 e 1,0 xxx são as raízes. Para 00 yx Para 11 yx Para 11 yx Portanto, os pontos críticos são (0,0), (-1,-1) e (1,1). Exemplo 2: Usando o critério do hessiano, determine se cada ponto crítico de f é ponto de máximo local,mínimo local ou ponto de sela, sendo yxyxyyxf 54 3 1 2, 23 . Solução: 42 xy x f , y x f 2 2 2 , 522 xy y f , y y f 2 2 2 e x yx f 2 2 Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 7 2222 2 22 2 2 2 444 22 22 xyxy yx xy y f yx f yx f x f H Determinação dos pontos críticos: pontos críticos são os que anulam as derivadas parciais x f e y f , logo, são dadas por: IIxy I x y xy xy xy xy 5 2 5 42 05 042 22 2222 , substituindo (I) em (II), temos: 0455 4 242 2 xxx x . Esta equação biquadrada tem discriminante 94.1.45 2 . Assim: 1 e 2 1ou 4 2 35 1.2 95 222 xxxxx Para cada valor de x , o valor de y correspondente é dado pela equação x y 2 . Fazendo 1,1,2,2 x resulta 2,2,1,1 y respectivamente. Os pontos críticos são (- 2,-1), (2,1), (-1, -2) e (1,2). Análise de cada ponto crítico: (i) sela de ponto é 2,-1- Logo, .01221.41,2 22 H (ii) sela de ponto é 2,-1- Logo, .01221.41,2 22 H (iii) local. máximo de ponto é 1,-2- então 0,-42-2.1,-2- Como .01212.42,1 2 2 22 x f H (iv) local. mínimo de ponto é 1,2 então 0,42.21,2 Como .01212.42,1 2 2 22 x f H Faculdade de Tecnologia SENAI CIMATEC Engenharia Civil e Engenharia Mecânica 8 Exercícios: 1) Use o critério da segunda derivada para determinar se cada ponto crítico de f é máximo ou de mínimo local estrito: a) xxxf 210 2 b) 23 310 xxxf c) 32 2312 xxxxf d) 32 781 xxxxf 2) Calcule o hessiano de cada função f que verifica o teorema de Schwarz. a) yxyxf 2, b) 22, yxyxf c) 22 23, yxyxyxf d) xyxyxyxf 322, 22 e) 22ln, yxyxf 3) Usando o critério das derivadas de 2ª ordem para os extremantes, diga se cada ponto crítico de f é ponto de máximo local estrito, mínimo local estrito ou ponto de sela. a) 3, 22 yxyxf b) xxyyxyxf 8232, 22 c) 13, 22 yxyxxyxf d) 22322, xyyxyxf e) xyyxyxf 31, 33 f) yxxyyxyxf 9561, 32
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