Apostila SENAI - Correlação e Regressão

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Correlação e Regressão 
 A verificação da existência e do grau de relação entre variáveis é o objeto de 
estudo da correlação. 
 Uma vez caracterizada, procura-se descrever uma relação sob forma 
matemática, através de uma função. A estimação de parâmetros dessa função 
matemática é objeto da regressão. 
 
Correlação Linear Simples 
 O estudo da correlação tem por objetivo medir e avaliar o grau de relação 
existente entre duas variáveis aleatórias. Assim, por exemplo, podemos medir se a 
relação entre o número de filhos de uma família e sua renda é forte, fraca ou nula. 
 A correlação linear procura medir a relação entre as variáveis x e y através da 
disposição dos pontos (x,y) em torno de uma reta. 
 
Medida de Correlação 
 O instrumento de medida da correlação linear é dado pelo coeficiente de 
correlação de Pearson: 
   

























n
y
y
n
x
x
n
yx
xy
rXY
2
2
2
2 .
 
 O campo de variação do coeficiente 
r
situa-se entre -1 e 1. 
11  XYr
 
O valor do coeficiente de correlação r sempre deverá estar entre –1 e 1. 
Geralmente multiplicamos o valor encontrado r por 100, dando a resposta em 
porcentagem. Abaixo temos a configuração do diagrama de dispersão para diversos 
valores de r. 
 
Correlação Linear Positiva 
 A correlação linear será positiva se valores crescente de x estiverem 
associados a valores crescentes e y, ou valores decrescentes de x estiverem 
associados a valores decrescentes da variável y. 
 
 
Correlação Linear Negativa 
 A correlação linear será negativa se valores crescente de x estiverem 
associados a valores decrescentes e y, ou valores decrescentes de x estiverem 
associados a valores crescentes da variável y. 
 
 
Correlação Nula 
 Quando não houver relação entre as variáveis x e y, ou seja, quando as 
variações x e y ocorrerem independentemente, não existe correlação entre elas. 
 
 Os diagramas mostram que a correlação será tanto mais forte quanto mais 
próximos estiverem o resultado de 
1
, e será tanto mais fraca quanto mais próximo o 
resultado estiver de zero. 
 
Cálculo Prático do Coeficiente de Correlação Linear 
 Para o cálculo do coeficiente de correlação é conveniente a construção de uma 
tabela onde, a partir dos valores de x e y, são determinadas todas as somas 
necessárias. 
Ex1: Calcular o coeficiente de correlação linear entre as variáveis x e y, usando os 
dados da tabela abaixo. 
Y 10 8 6 10 12 
X 2 4 6 8 10 
 
Solução: 
Y X X2 Y2 XY 
10 2 4 100 20 
8 4 16 64 32 
6 6 36 36 36 
10 8 64 100 80 
12 10 100 144 120 
46 30 220 444 288 
 
  
      
416,0
208.40
12
5
46
444
5
30
200
5
4630
288
22



















XYr 
O resultado mostra que a correlação linear entre as variáveis x e y é positiva (quando 
x cresce linearmente, y também cresce linearmente), porém é baixa. 
 
Exercício – Regressão Linear (revisão) 
Os dados abaixo referem-se ao volume de precipitação pluviométrica (mm) e ao 
volume de produção de leite C (milhões de litros), em determinada região do país. 
Anos Produção de leite C 
(100.000l) 
Índice pluviométrico 
(mm) 
1970 26 23 
1971 25 21 
1972 31 28 
1973 29 27 
1974 27 23 
1975 31 28 
1976 32 27 
1977 28 22 
1978 30 26 
1979 30 25 
 
a) Ajustar os dados através de um modelo linear; 
b) Admitindo-se, em 1980, um índice pluviométrico de 24mm, qual deverá ser o 
volume esperado de produção do leite tipo C? 
 
Y X X2 XY 
26 23 529 598 
25 31 441 525 
31 28 784 868 
29 27 729 783 
27 23 529 621 
31 28 784 868 
32 27 729 864 
28 22 484 616 
30 26 676 780 
30 25 625 750 
289Y
 
250X
 
63102 X
 
  7273XY
 
 
i) Determinação do parâmetro b: 
     
 
8,0
60
48
10
250
6310
10
289.250
7273
22
2











n
x
x
n
yx
xy
b 
ii) Determinação do valor do parâmetro 
a
: 
9,8a
 
iii) Equação da reta ajustada: 
xybxay 8,09,8 
 
 
Para responder a letra b), devemos fazer x = 24mm, teremos: 
  1,28248,09,8 y
 
De acordo com o modelo, podemos esperar apenas 28,1 milhões de litros produzidos 
para um índice pluviométrico de 24mm.