Propriedades Estatísticas do Estimador MQO

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Propriedades Estatísticas do Estimador MQO no Modelo
de Regressão Simples: esperança dos estimadores
Aula 06, Introdução à Econometria
Prof. Moisés A. Resende Filho
Capítulo 02, parte 4
23 de março de 2018
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1. Valores Esperados dos Estimadores MQO
Questão de estatística matemática: como as estimativas MQO se
comportam em diferentes amostras de dados?
Em média, chegaríamos à resposta certa se repetíssemos o processo
de amostragem e estimação MQO repetidas vezes?
Para responder isso, precisamos obter os Valores Esperados dos
Estimadores MQO - ou seja, a média das estimativas MQO de
todas as possíveis amostras aleatórias dos dados - e determinar se em
média estamos certos ou não.
Essa ideia remete à noção de não (en)viesamento de um estimador.
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1.1. Hipóteses do MRLS
Hipótese RLS 1 (Linearidade nos Parâmetros): o modelo populacional
ou processo gerador dos dados (pgd) é
y = β0 + β1x + u (1)
em que β0 e β1 são parâmetros populacionais de valor desconhecido ou
não observado e x e u são variáveis aleatórias, o que faz de y também
uma variável aleatória.
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Hipóteses do MRLS
Hipótese RLS.2 (Amostragem Aleatória): dispomos de uma amostra
aleatória de tamanho n, f(xi , yi ) : i = 1, ..., ng, proveniente do modelo
populacional (1), que escrito em termos da amostra é:
yi = β0 + β1xi + ui , i = 1, ..., n (2)
e, como as observações são independentes umas das outras, pois as
amostras são aleatórias, então (xi , ui ) é independente de (xj , uj ) para todo
i 6= j e, assim, garante-se a normalização:
E (ui jxj ) = E (ui ) = 0, i , j = 1, ..., n; i 6= j
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Hipóteses do MRLS
Hipótese RLS.3 (Variação Amostral em x): os valores de x na amostra
diferem, ou seja:
∑ni=1(xi � x)2 > 0
há variabilidade em x ou a variância amostral de x difere de zero na
amostra.
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Hipóteses do MRLS
Hipótese RLS.4 (Média Condicional Zero do Erro):
E (ui jxi ) = 0, 8i
ou, simplesmente,
E (ujx) = 0 (3)
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1.2. Valor Esperado do Estimador MQO da Inclinação
Queremos mostrar que, sob certas hipóteses, bβ1 é um estimador não
viesado de β1, ou seja:
E (bβ1jx) = β1
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Valor Esperado do Estimador MQO da Inclinação
Passo 1: sob RLS.1 e RLS.2 é factível/viável obter uma estimativa de
β1com o estimador MQO de bβ1:
bβ1 = ∑ni=1(xi � x¯)yi∑ni=1(xi � x¯)2 (4)
que, convenientemente, pode ser reescrito como
bβ1 = ∑ni=1(xi � x¯)yiSQTx (5)
em que SQTx = ∑ni=1(xi � x¯)2 é a Soma dos Quadrados Total de x
(SQTx ) que deve ser estritamente positiva, Hipótese RLS.3.
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Valor Esperado do Estimador MQO da Inclinação
Passo 2: substitua y i=β0 + β1xi + ui (2) no numerador do estimador (5),
obtendo:
∑ni=1(xi � x¯)yi = ∑
n
i=1(xi � x¯)(β0 + β1xi + ui )
= β0
n
∑
i=1
(xi � x¯) + β1
n
∑
i=1
(xi � x¯)xi +
n
∑
i=1
(xi � x¯)ui
= 0+ β1∑
n
i=1(xi � x¯)2 +∑
n
i=1(xi � x¯)ui
= β1SQTx +∑
n
i=1(xi � x¯)ui (6)
Usamos aqui dois fatos: ∑ni=1(xi � x¯) = 0 e
∑ni=1(xi � x¯)xi = ∑ni=1(xi � x¯)2 = SQTx .
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Valor Esperado do Estimador MQO da Inclinação
Substituindo agora a equação (6) no estimador (5), obtemos:
bβ1 = β1SQTx +∑ni=1(xi � x¯)uiSQTx
= β1 +
∑ni=1(xi � x¯)ui
SQTx
(7)
em que o segundo termo da soma é o coe…ciente de inclinação da
regressão MQO de ui em xi , i = 1, ..., n, mas que não pode ser estimado,
pois ui , i = 1, ..., n são não observáveis.
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Valor Esperado do Estimador MQO da Inclinação
De…na
wi � (xi � x¯)SQTx , i = 1, ..., n
que são os pesos de cada observação e, com base nisso, reescreva a
equação (7) como: bβ1 = β1 +∑ni=1 wiui (8)
que é uma função linear dos valores ui , i = 1, ..., n ponderados pelos pesos
wi , i = 1, ..., n que são funções de fx1, ..., xng na amostra.
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Valor Esperado do Estimador MQO da Inclinação
Passo 3: encontre E (bβ1jx), sabendo que sob RLS.2 e RLS.4 e
condicional em fx1, ..., xng na amostra:
E (wiui ) = wiE (ui ) = 0 (9)
ou
E (wiui jx1, ..., xn) = wi E (ui jx1, ..., xn)| {z }
=0 por RLS.2 e RLS.4
= 0 (10)
pois wi , i = 1, ..., n são funções somente de fx1, ..., xng.
Como E (ui jx1, ..., xn) = 0 implica Cov(xi , uj ) = 0, i , j = 1, 2, ...n, se
na população u e x são correlacionados, então, RLS.2 e RLS.4 são
falsas e, consequentemente, o resultado (9) deixa de valer.
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Valor Esperado do Estimador MQO da Inclinação
Finalmente, aplicando esperança condicional à equação (8), obtemos:
E (bβ1jx1, ..., xn) = E �(β1 +∑ni=1 wiui jx1, ..., xn)�
= β1 +∑
n
i=1 E (wiui jx1, ..., xn)
= β1 +∑
n
i=1 wiE (ui jx1, ..., xn)
= β1, pelo resultado (9)
pois o valor esperado de uma soma é a soma dos valores esperados e o
valor esperado de uma constante, no caso β1, é a própria constante.
CQD.
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1.3. Valor Esperado do Estimador MQO do Intercepto
Passo 1: sob RLS.1 e RLS.2, o estimador MQO de β0 é
bβ0 = y � bβ1x (11)
e que como yi = β0 + β1xi + ui , i = 1, ..., n, então,
y = β0 + β1x + u (12)
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Valor Esperado do Estimador MQO do Intecepto
Passo 2: substituindo o processo gerador dos dados (12) em (11),
obtemos: bβ0 = β0 + β1x + u � bβ1x (13)
e, com isso,
E (bβ0jx1, ..., xn) = β0 + β1x + E (ujx1, ..., xn)� xE (bβ1jx1, ..., xn)
= β0
pois E (bβ1jx1, ..., xn) = β1 e E (ujx1, ..., xn) = 1n ∑ni=1 E (ui jx1, ..., xn) = 0
por RLS.2 e RLS.4 CQD.
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2. Teorema da Inexistência de Viés de MQO
TEOREMA 2.1 Inexistência de viés de MQO: sob RLS.1 a RLS.4 e
condicional em fx1, ..., xng na amostra,
E (bβ0) = β0
e
E (bβ1) = β1
Como em toda amostra esse resultado será verdadeiro, então,
incondicionalmente, E (bβ0) = β0 e E (bβ1) = β1.
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Teorema da Inexistência de Viés de MQO
Inexistência de viés é uma propriedade do estimador MQO sob
RLS.1 a RLS.4 e não da estimativa MQO.
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Teorema da Inexistência de Viés de MQO
Por exemplo, após estimar por MQO a regressão
[lwage = 1, 142+ 0, 099 educ
n = 759, R2 = 0, 165
é tentador a…rmar que a estimativa pontual o retorno da
escolaridade0, 099� 100 = 9, 9% é não viesada , o que é
tecnicamente incorreto.
Na verdade, pode-se a…rmar tão somente que o estimador usado na
obtenção das estimativas bβ0 = 1, 142 e bβ1 = 0, 099 é não viesado.
É correto a…rma que as estimativas obtidas com os estimadores
MQO retornam em média os valores corretos dos parâmetros
populacionais
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3. Simulação Monte Carlo da Inexistência de Viés de MQO
no Stata
Utilizaremos o Stata para gerar amostras de tamanho 100 com
base nos seguintes processosgeradores dos dados:
xi � iidN( 0|{z}
média
, 5|{z}
desvio
) (14)
e
yi � iidN(1+ 10xi| {z }
média
, 1|{z}
desvio
) (15)
em que iidN denota independentemente e identicamente
normalmente distribuídos.
Note que para obter yi , temos que obter primeiro xi .
Assim, o processo (15) estabece que a média de yi é
E (yi jx1, ..., xn) = E (yi jxi ) = 1+ 10xi .
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Simulação Mote Carlo da Inexistência de Viés de MQO no
Stata
Com base nos processos (14) e (15) e na de…nição de erro
ui = yi � E (yi jx1, ..., xn), os erros erros serão calculados como:
ui = yi � (1+ 10xi ), i = 1, ..., 100
e como E (ui jx1, ..., xn) = E (yi jx1, ..., xn)� E (1+ 10xi jx1, ..., xn) =
1+ 10xi � (1+ 10xi ) = 0, garantimos o atendimento das hipóteses
RLS 2 e RLS.4 em toda amostra.
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Simulação Mote Carlo da Inexistência de Viés de MQO no
Stata
Mandaremos o Stata repetir o processo por 1000 vezes, gerando
assim 1000 amostras aleatórias f(xi , yi ) : i = 1, ..., ng de tamanho
n = 100, ou seja:
ffxi ,1, yi ,1g100i=1, fxi ,2, yi ,2g100i=1, ..., fxi ,1000, yi ,1000g100i=1g
Como E (ui jx1, ..., xn) = 0 em cada repetição, então na população
E (ui jx1,1, ..., xn,1, x1,2, ..., xn2 , ..., x1,1000, x2,1000, ..., xn,1000) = 0.
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Simulação Mote Carlo da Inexistência de Viés de MQO no
Stata
Em cada rodada, estimaremos e armazenaremos as estimativas MQO
de β0 e β1.
Ao …nal, analisaremos se, de fato, há indícios fortes de que
E (bβ0) = β0 e E (bβ1) = β1.
Ou seja, se de fato ∑1000j=1 bβ0,j/1000� 1 e ∑1000j=1 bβ1,j/1000 � 10?
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Histograma da Distribuição Amostral de Beta 1
0
2
4
6
8
10
Pe
rc
en
t
9.9 9.95 10 10.05 10.1
r(b1)
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Simulação Mote Carlo da Inexistência de Viés de MQO no
Stata
 b1r 1000 9.998949 .0208954 9.931671 10.07222
 b0r 1000 .9978875 .0984951 .6611579 1.300292
 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max
. sum b0r b1r
∑1000j=1 bβ0,j/1000 = 0.9978875 � 1
e
∑1000j=1 bβ1,j/1000 = 9.998949 � 10
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	x'1. Valores Esperados dos Estimadores MQO
	1.1. Hipóteses do MRLS
	1.2. Valor Esperado do Estimador MQO da Inclinação
	1.3. Valor Esperado do Estimador MQO do Intercepto
	2. Teorema da Inexistência de Viés de MQO
	3. Simulação Monte Carlo do Teorema da Inexistência de Viés de MQO no Stata