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Caderno Didático de Mecânica dos Materiais II
	
1.0 – FLEXÕES SIMPLES:
	 Denomina-se, - flexão simples -, quando temos para caracterização de estudo as vigas que estão submetidas apenas ao momento fletor variável (MF),onde ocorrem, concomitantemente, os esforços solicitantes internos de momento fletor e força cortante(Q),haja vista, que Q = dM/dx,). 
Neste caderno de estudo, estudaremos o caso de vigas que têm seção simétrica em relação ao plano do carregamento (flexão reta).
1.1 – TENSÕES NORMAIS:
 Admitindo-se que a existência de tensões tangenciais associadas à presença da força cortante na seção, não altere a distribuição das tensões normais, e hipoteticamente adotando-se o caso de que as seções se mantêm plana e que a distribuição de tensões normais continue sendo linear, podemos aplicar, portanto, a equação de Euler:
 

 = (M / I
LN
) y
M
Fig. 6.1.1 
– Tensões normais
Obs: Nos casos em que tais tensões tangenciais sejam pequenas, a hipótese de que as deformações por distorção decorrentes das tensões tangenciais não afetam a distribuição das tensões normais na seção pode ser aplicada. 
1.2–TENSÕES TANGENCIAIS:
 Para melhor compreender a natureza do aparecimento das tensões tangenciais em uma viga flexionada, observe a fig. 6.2.1(a) que representa uma pilha de tábuas sobrepostas, submetida, nas extremidades, a um momento fletor M que traciona as tábuas inferiores, comprimindo as superiores, sem provocar qualquer tipo de escorregamento entre as tábuas. Já se a flexão fosse provocada pelo carregamento mostrado em (b) (M variável), verifica-se que as tábuas escorregariam, umas sobre as outras. Se as tábuas fossem coladas, umas às outras, impedindo este escorregamento, surgiriam tensões tangenciais na cola. 
 Verifica-se, portanto, que, sendo a viga inteiriça, submetida àquele carregamento (c), ocorrerão tensões tangenciais nos planos longitudinais (yx). A existência de uma tensão yx no plano longitudinal da viga implica na ocorrência de uma tensão xy, de igual valor, na seção transversal (1.5). São essas tensões que provocam o cortante Q. 
P
(a)

yx
y
(b)
x

xy
(c)
Fig. 6.2.1 – Tensões de cisalhamento na flexão. 
 
A determinação das tensões tangenciais despertadas em uma viga submetida a um momento fletor variável será feita analisando-se o equilíbrio de forças atuantes em uma parte da viga (mostrada na Fig. 6.2.2 em verde) situada entre duas seções contíguas, separadas de 
dx
, onde atuam os momentos fletores 
M
 (de um lado) e 
M+dM
 (de outro).
As tensões normais atuantes na seção em 
x + dx 
 serão maiores que as atuantes na seção em 
x
, devido à diferença dos momentos fletores nas respectivas seções. Portanto, as forças resultantes dessas tensões normais (F
1
 e F
2
) atuantes em cada uma dessas faces serão diferentes (F
1
 < F
2
), ocasionando o aparecimento das tensões tangenciais longitudinais de valor médio 

yx
 
na face superior do elemento, para promover o equilíbrio de forças, permitindo escrever:
F
2
 – F
1
 = 

yx
 
b. dx
Mas as resultantes das tensões normais atuantes em cada uma das faces valerão:
 
y’ = y (Max)
 
 
y’ = y 
 
sendo 

’ = (M/I)y’ na seção em 
x
 e
 

’ = [(M+dM)/I]y’ na seção em 
x+dx
.
Computando a diferença F
2
 – F
1
 obtemos: 
 
y(Max)
 

yx
 
b. dx = 
y
 
(dM/I)

y’ b’ dy’ 	
M 
LN

yx
y
F
1
M + dM
x

xy
F
2
dx
b
LN
F =
y

’
 . b’ dy’
 
y
max
F
1
F
2
y’

’
dx
dy’
b’
Fig. 6.2.2– Tensões tangenciais na flexão. Cálculo por equilíbrio.
	Levando em conta que, na integração estendida ao longo da variável y’, os valores de dM e I são parâmetros invariantes, a equação acima pode ser reescrita:
 y(Max) y(Max)
yx b. dx = (dM/I) y y’ b’ dy’ > e >> yx = [(dM/dx) y y’ b’ dy’] / b I 
	Como (dM/dx) = Q eyx =xy obtemos finalmente (Equação de Jourawsky~1821-1891):
Q V
b I
LN
			xy = 		 ..................... (6.2.1) onde:
xy – tensão de cisalhamento em um dado ponto da seção; Q – força cortante na seção; ILN – momento de inércia da seção em relação à LN que contém o centróide; b – largura da seção na altura do ponto considerado; V – momento estático da parte da área da seção situada “abaixo” (*) do ponto considerado, em relação à linha neutra. NOTA (*) - ou “acima”, já que o momento estático da área total da seção será nulo em relação à LN, pois esta contém o seu centróide.
	 Realmente:	a integral y’ = y(Max)
					V = y’= y y’ b’ dy’	





Iniciando com valor nulo no topo superior da seção, aumentando de valor até a altura do centróide, passando a diminuir até novamente atingir o valor zero na aresta inferior.
O valor médio da tensão tangencial
 
na seção continuará a ser calculado pela expressão:

med 
= Q / A.
A distribuição das tensões ao longo dos diversos pontos da seção dependerá de seu formato.Terá valor nulo nas arestas inferior e superior da viga (onde y = yMax e y = - yMin), aliás como não poderia deixar de ser, já que nessas partes não há tensão longitudinal yx (não há componente de tensão perpendicular ao contorno). Conclui-se, portanto, que a tensão tangencial não se distribui uniformemente como no caso do corte puro
 


med


Max 





Fig. 6.4- Distribuição das tensões de cisalhamento em uma viga simétrica sob flexão simples
1.3 – Várias formas de seção.
b

Max
 = 
1,5 

medSEÇÃO RETANGULAR – Para vigas de seção retangular b x h, onde ILN = bh3/12, teremos:
OBS.: o momento estático de uma área em relação a um eixo é obtido fazendo-se o produto da área pela distância de seu centróide ao eixo.







 Q / b
2
 h
3
] [( ½ h – y)b][y + ½
 
( ½ h – y)] 

 = (6Q/bh
3
)[(h/2)
2
 – y
2
)
(distribuição parabólica, com valores nulos para a tensão tangencial nos topos -- y = 
+ 
h/2 e máxima tensão no centro, atingindo 1,5 vezes a tensão média Q/A ---------
 

Max 
= (3/2)(Q/A)
 
h/2
y
h/2
 

med
Fig. 6.5 – Tensões tangenciais em vigas de seção retangular e circular

Max
 = 
1,33 

medb) SEÇÃO CIRCULAR MACIÇA -
O valor máximo da tensão tangencial ocorre na linha neutra onde b = d, V = (

d
2
/8)(2d/3

), sendo I = 

d
4
/64, e

Max 
= (4/3)(Q/A).

Max
dc) PERFIS LAMINADOS (I, T, H)-
 
A otimização da escolha do formato da seção das vigas, objetivando minimizar o valor das tensões normais decorrentes do momento fletor, leva à utilização de seções nas quais as áreas são afastadas da linha neutra (perfis “I” e “T”, com mesas/abas largas e almas/nervuras estreitas). Como conseqüências surgirão tensões tangenciais elevadas na alma, na altura da linha neutra, pelo fato de a dimensão “b” da nervura aparecer no denominador da equação de Jourawski.
 
A descontinuidade do valor da tensão na transição entre a mesa e a alma decorre da descontinuidade da largura (
b
) da seção nesses locais.
t
a
h


b


900 mm
300
200
10
k N
Exemplo 1
 –
 
Para a viga esquematizada na figura, pede-se determinar:
a máxima tensão de tração;
a máxima tensão de compressão;
a máxima tensão de cisalhamento;
a força total na união entre a mesa e a alma.
SOLUÇÃO 
a máxima tensão de tração ocorrerá no topo da mesa, no engaste, valendo:

T
 
= (9000 / 127,1 x10
 –6
) x(0,330 –0,2325) =
=






MPa.
a máxima tensão de compressãoocorrerá na base da alma, no engaste, valendo:

C
 
=
 (
9000 / 127,1 x 10 
–6
) x 0,2325 = 
16,5 MPa
a máxima tensão tangencial ocorrerá na altura da linha neutra, em toda extensão da viga, valendo:

Max
 
= 
[10.000 x
 
0,020 x (0,2325)
2
 x ½] / 0,020 x I
LN
 
 

Max 
= 
2,12 MPa
a tensão 

xy
 
na altura da transição mesa/alma valerá: 

xy
 
= 10.000 x 0,030 x 0,200 x(0,315 –0,2325) /
/ 0,020 x 127,1 x 10
 –6
 = 
1,947 MPa
.
e) Uma tensão de mesmo valor (

yx
) 
se estende
 
ao longo da união entre a mesa e a alma, e a força nesta união valerá: F
U
 = 
1,947 x 10 
–6 
x (900 x20) x 10
6
 = 
35,0 kN
. 
30
20
A 
força cortante
 Q vale 10 kN ao longo de toda a viga.
O 
momento fletor 
M (negativo, tracionando a mesa), varia linearmente de zero, na extremidade em balanço, até o engaste, onde vale 10 x 0,9 = 9 kNm. 
A 
linha neutra
 estará a uma altura da base da alma em y
LN
 = (20 x30 x315 + 20 x300 x150) / 12000 
 y
LN
 = 232,5 mm
O 
momento de inércia
 da seção em relação à LN:
I
LN 
= 200 x30
3
/12+ 200 x30(315 –232,5)
2
 +
 + 20 x300
3
/12 + 20 x300(232,5 – 150)
2
 =
= 127,1 x 10
6
 mm
4 
= 127,1 x 10 
-6
 m
4
 
Exemplo 5 – página 8 do anexo, flexão simples barras prismáticas.
1.4– Flexão Composta com Força Normal.
 Introdução. 
 Ocorre o esforço de flexão composta quando a resultante das tensões normais pode ser decomposta em uma força normal e momentos fletores. Quando o plano do momento fletor intercepta a seção segundo um dos eixos principais de inércia, o esforço é denominado de flexão composta normal, caso contrário, é denominado flexão 
composta oblíqua.A flexão composta normal é caracterizada por apresentar apenas uma resultante de momento na seção transversal, podendo ser tanto em torno do eixo y, quanto em torno do eixo z.
 Os momentos fletores podem decorrer da excentricidade, com relação ao eixo do elemento, de força atuando na direção longitudinal, conforme ilustra a Figura (i), desde que a carga sempre se encontre sobre um dos eixos principais de inércia Essas excentricidades das cargas aplicadas fora do centro de gravidade resultam os momentos ilustrados na Figura (ii).
 A linearidade da distribuição das deformações longitudinais e tensões normais em pontos de uma dada seção de uma barra reta, nos casos da tração pura (tensões e deformações uniformes) e da flexão pura (tensões e deformações proporcionais às coordenadas do ponto da seção da viga), permitem-nos aplicar o princípio da superposição dos efeitos, estabelecendo que a tensão total seja obtida pela soma algébrica das tensões provocadas pelos dois esforços, como se atuassem separadamente. 
Tal suposição deixa de ser aplicável, entretanto, no caso de flexão composta de vigas esbeltas sob 
compressão
 já que a flecha produzida pela flexão provoca uma excentricidade da seção para as forças externas, que altera o valor do momento fletor na seção, sendo tal efeito cumulativo (ver “flambagem”, adiante).
N
N
M
M
N
f
N
M
1
M
1
M = M
1
 + N.f
Fig. 7.1.1 – Flexão composta com força normal. Superposição dos efeitos.
 
 7.2 – Flexão Simétrica composta com Força Normal. Carga Axial Excêntrica. 
 

 = N/A + (M/I
c
) y ............ (7.2.1)
sendo I
c
 o momento de inércia baricêntrico (a linha neutra não mais conterá o centróide da área A). 
Quando o momento fletor for conseqüência de uma excentricidade “e” da aplicação do esforço normal externo em relação à posição do centróide da seção, podemos escrever: → M = N.e

 = N/A + (N.e / I
c
) y = (N/A)[1 + (A/I
c
)/(e.y)
 Fazendo I
c
 = A (k
c
)
2
...
(
k
c
 – Raio de Giração)	A aplicação da superposição dos efeitos para o caso da flexão simétrica composta com força normal leva a:
	
M = N.e
=
e
N
N
y
y
Fig. 7.2.1 – Carga axial excêntrica.
 = (N/A) [1 + (e.y)/ kc2 ]......... (7.2.2)
Exemplo (1)-Traçar diagrama de σx para uma seção do pilar, admitindo-se e=20,0 cm
Em 2014 – Prof. Sérgio	Página 0
Em 2014 – Prof. Sérgio	Página 5