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Aula 15Aula 15 Divisão de polinômiosDivisão de polinômios Divisão de polinômiosDivisão de polinômios Método da chave Método da chave: 1) Dividir A(x) =2x3 + 7x2 + 4x – 4 por B(x) =x2 + 2x – 3. 2) Na divisão (x4 + x3 – 7x2 + 9x – 1) : (x2 + 3x - 2), o grau do quociente é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 3) (UFMG) O quociente da divisão de P(x) = 4x4 – 4x3 + x – 1 por Q(x) = 4x3 +1 é: a) x – 5 b) x – 1 c) x + 5 d) 4x – 5 e) 4x + 8 Caso particular da divisão de polinômios: Divisão por binômios do tipo x - a Na divisão em que o divisor é um binômio do 1º grau podemos simplificar os cálculos usando os métodos a seguir:métodos a seguir: Teorema do Resto Dispositivo de Briot-Ruffini Teorema do resto Demonstração do Teorema do resto Teorema do resto Exemplos 1.(PUC-PR) O resto da divisão de x4 – 2x3 + 2x2 + 5x + 1 por x – 2 é: a) Um número negativo b) Um polinômio do 2° grau.b) Um polinômio do 2° grau. c) Um número par. d) Um número ímpar. e) Zero. 2.Determine o resto da divisão de f = (x + 3)7 + (x – 2)2 por g = x + 3. Teorema de D’Alembert Uma consequência importante do Teorema do resto é o Teorema de D’Alembert, cujo enunciado é: Um polinômio f(x) é divisível por (x - a) quando a é raiz de f(x). Demonstração do Teorema de D’Alembert Como f(x) é divisível por (x -a), o resto dessa divisão é igual a zero. Ora, pelo Teorema do resto, r = f(a). Como r = 0, temos que f(a) = 0, oresto, r = f(a). Como r = 0, temos que f(a) = 0, o que mostra que a é raiz do polinômio f(x). exemplo Exemplos Dispositivo de Briot-Ruffini Esse processo fornece os coeficientes do quociente e também o resto da divisão de um polinômio f(x) por g(x).polinômio f(x) por g(x). Exemplo: Considerando a divisão de f(x) = -2x³ +x² - 5x + 7 por g(x) = x - 2 Construindo o dispositivo de Briot-Ruffini Para construir o dispositivo, vamos seguir o seguinte roteiro: 1º) calcular a raiz do divisor e, ao seu lado, colocar os coeficientes ordenados do dividendo. 2º) Baixar o 1º coeficiente do dividendo e multiplicá-lo pela raiz do divisor. 2º) Baixar o 1º coeficiente do dividendo e multiplicá-lo pela raiz do divisor. 3º) Somar o produto obtido com o coeficiente seguinte. O resultado é colocado abaixo desse coeficiente. 4º) Com esse resultado repetir as operações(multiplicar pela raiz e somar com o coeficiente seguinte), e assim por diante. O último dos resultados obtidos é o resto da divisão Exemplos a) 9x3 + 5x2 + x – 11 por x + 2. b) 2x4 – 7x2 + 3x - 1 por x – 3. c) 625x4 – 81 por x – 3/5. Método de Descartes ou dos coeficientes a determinar: Exemplos: 1) Dividindo o polinômio x³ – 5x² + 8 pelo polinômio D(x) Q(x) d(x) R(x) . . . 1) Dividindo o polinômio x³ – 5x² + 8 pelo polinômio P(x) resulta no quociente x² – 2x – 6, com resto –10; portanto, qual é o polinômio P(x)? 2) Dividindo o polinômio F(x) por B(x) = 3x² + 1, obtemos quociente A(x) = x² – 1 e resto E(x) = 2x + 3. Determine F(x).
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