Aula 15 - Divisão de Polinômios

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Divisão de polinômiosDivisão de polinômios
Divisão de polinômiosDivisão de polinômios
Método da chave
Método da chave:
1) Dividir A(x) =2x3 + 7x2 + 4x – 4 por B(x) =x2 + 2x – 3.
2) Na divisão (x4 + x3 – 7x2 + 9x – 1) : (x2 + 3x - 2), o grau do
quociente é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
3) (UFMG) O quociente da divisão de P(x) = 4x4 – 4x3 + x – 1
por Q(x) = 4x3 +1 é:
a) x – 5 b) x – 1 c) x + 5 d) 4x – 5 e) 4x + 8
Caso particular da divisão de 
polinômios: Divisão por binômios do 
tipo x - a
Na divisão em que o divisor é um binômio do 1º
grau podemos simplificar os cálculos usando os
métodos a seguir:métodos a seguir:
 Teorema do Resto
 Dispositivo de Briot-Ruffini
Teorema do resto
Demonstração do Teorema do resto
Teorema do resto
Exemplos
1.(PUC-PR) O resto da divisão de x4 – 2x3 + 2x2 +
5x + 1 por x – 2 é:
a) Um número negativo
b) Um polinômio do 2° grau.b) Um polinômio do 2° grau.
c) Um número par.
d) Um número ímpar.
e) Zero.
2.Determine o resto da divisão de
f = (x + 3)7 + (x – 2)2 por g = x + 3.
Teorema de D’Alembert
Uma consequência importante do Teorema do
resto é o Teorema de D’Alembert, cujo
enunciado é:
Um polinômio f(x) é divisível por (x - a) quando a 
é raiz de f(x).
Demonstração do Teorema de 
D’Alembert
Como f(x) é divisível por (x -a), o resto dessa
divisão é igual a zero. Ora, pelo Teorema do
resto, r = f(a). Como r = 0, temos que f(a) = 0, oresto, r = f(a). Como r = 0, temos que f(a) = 0, o
que mostra que a é raiz do polinômio f(x).
exemplo
Exemplos
Dispositivo de Briot-Ruffini
Esse processo fornece os coeficientes do
quociente e também o resto da divisão de um
polinômio f(x) por g(x).polinômio f(x) por g(x).
Exemplo: Considerando a divisão de 
f(x) = -2x³ +x² - 5x + 7 por g(x) = x - 2
Construindo o dispositivo de Briot-Ruffini
Para construir o dispositivo, vamos seguir o seguinte
roteiro:
1º) calcular a raiz do divisor e, ao seu lado, colocar os
coeficientes ordenados do dividendo.
2º) Baixar o 1º coeficiente do dividendo e multiplicá-lo
pela raiz do divisor.
2º) Baixar o 1º coeficiente do dividendo e multiplicá-lo
pela raiz do divisor.
3º) Somar o produto obtido com o coeficiente seguinte. O
resultado é colocado abaixo desse coeficiente.
4º) Com esse resultado repetir as operações(multiplicar
pela raiz e somar com o coeficiente seguinte), e assim por
diante.
O último dos resultados obtidos é o resto da divisão
Exemplos
a) 9x3 + 5x2 + x – 11 por x + 2.
b) 2x4 – 7x2 + 3x - 1 por x – 3.
c) 625x4 – 81 por x – 3/5.
Método de Descartes ou dos coeficientes a determinar:
Exemplos:
1) Dividindo o polinômio x³ – 5x² + 8 pelo polinômio
D(x)
Q(x)
d(x)
R(x)
.
.
.
1) Dividindo o polinômio x³ – 5x² + 8 pelo polinômio
P(x) resulta no quociente x² – 2x – 6, com resto –10;
portanto, qual é o polinômio P(x)?
2) Dividindo o polinômio F(x) por B(x) = 3x² + 1,
obtemos quociente A(x) = x² – 1 e resto E(x) = 2x + 3.
Determine F(x).