Aula 35

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Aula 35
Conjugado de um Número Complexo 
Divisão de números complexos
Conjugado de um Número Complexo 
Número complexo conjugado:
 Definição - Chama-se conjugado de um complexo z = a + bi com a e b reais, o número complexo z̅ = a – bi.
 Indicamos o conjugado de z por z̅ 
 Exemplos,
 Escreva o conjugado de :
 a) z = 3 + 2i b) w = 6 – 3i
 c ) t = 8i d) r = 7
Propriedades do conjugado
Considerando-se os complexos 
 z1 = a + bi e z2 = c + di 
1ª Propriedade - O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados 
 z1 + z2 = z1 + z2
 z1 + z2 = ( a + bi + c + di ) =
 [ a + c + (b + d)i ] = (a + c) – ( b + d)i =
 a + c – bi – di = ( a – bi) + (c – di) = z1 + z2
Portanto, z1 + z2 = z1 + z2 
Propriedades do conjugado
2ª Propriedade - O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados 
 z1 . z2 = z1 . z2
 z1 . z2 = ( a + bi) . (c + di ) =
 ac + adi + bci + bdi² = (ac – bd) + ( ad + bc)i =
(ac - bd) -i (ad + bc)
 como z1 . z2 = (a – bi) . (c - di ) = ac – adi – bci + bdi² = (ac – bd) – (ad + bc)i
Então, z1 . z2 = z1 . z2 .
Propriedades do conjugado
3ª Propriedade - O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real não negativo.
 z1 . z1 = ( a + bi) . ( a - bi) =
 a² - abi + abi – b²i² = a² + b²  IR+
Exercícios
(UCMG) O número complexo z, tal que 5z + z = 12 + 16i , é igual a:
a) -2 + 2i b) 2 - 3i c) 1 + 2i d) 2 + 4i e) 2 + i 
Para quais números complexos z= a + bi é válida a igualdade z. ( z + 1) – z = 5 + 4i ?
3) Determinar os números complexos z , tais que
 z . z + ( z - z ) = 34 + 10i
Divisão
Sejam dois números complexos z1 e z2 com 
 z2  0. Dividir z1  por z2 corresponde a obter o 
número complexo x + yi, tal que z2 . ( x + yi ) = z1
 Ao dividirmos dois números complexos 
devemos escrevê-los em forma de fração e
 multiplicarmos o numerador e o denominador
 pelo conjugado do denominador 
Divisão
Dividir z1  por z2
Consiste em multiplicar ambos pelo conjugado de z1 por z2 e aplicar a 3ª propriedade 
 Exemplo
a) 
 
Vamos fazer os cálculos do numerador e do denominador separadamente:
(5 + 8i) (1 - 2i) = [5∙1 - 8(-2)] + [5∙(-2) + 1∙8]i = 21 - 2i
Na multiplicação dos denominadores basta aplicar a seguinte propriedade:
z ∙ z̅ = (a + bi) (a - bi) = a² + b²
Assim,
(1 + 2i) (1 - 2i) = 1² + 2² = 5
Logo,
Note que...
 Inicialmente tínhamos o divisor imaginário 1 +2i
e no final temos o divisor real 5 (3ª propriedade da multiplicação) .
É por isto que utilizamos o conjugado como
expediente para realizar a divisão, assim
Conseguimos transformar um divisor imaginário em um divisor real.
Exemplo
Determinar o número complexo, resultado da divisão . Lembrando que i² = –1. 
1) Efetue as seguintes divisões de números complexos: 
  a)       b)    
2) (FEI-SP) Se a= 1 + 2i, b= 2 – i e , então o número complexo c é :
 a) 2i b) 1 – 2i c) - 1 d) – i e) n.d.a.
Exercícios
Exercícios
 3)
 4)
Exercícios
 5)