AULA 2 COORDENADAS POLARES, CILINDRICAS E ESFÉRICAS

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Aula 2 - Comprimento de Arco 
e Sistemas de coordenadas 
 
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Conteúdo Programático desta aula 
 Definição de comprimento de arco; 
 Sistemas de coordenadas polares; 
 Sistemas de coordenadas cilíndricas; 
 Sistemas coordenadas esféricas. 
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Comprimento de Arcos 
Definição. Dizemos que uma função vetorial r 
é suavemente parametrizada ou que r é uma 
função suave de t quando r’ é contínua e 
r’ (t)  0 em todo valor de t do conjunto D = 
dom r. 
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Comprimento de arco 
Seja C uma curva parametrizada pela função (vetorial) suave (ou 
parcialmente suave) 
 r(t) = (x(t), y(t)) 
com t[a,b] no plano ou r(t)=(x(t), y(t), z(t)) no espaço. 
 
Para calcular o comprimento S de um arco AB com t[a,b] sendo AO = r(a) 
e OB = r(b) devemos particiona o intervalo [a,b]. 
 
P: a = t0 < t1 < t2 < ... < ti-1 < ti < ti+1 < ... < tn = b uma partição qualquer 
do intervalo [a, b]. 
 
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Funções vetoriais: Curvas espaciais 
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Comprimento de arco 
A integral 
 
 S = S(t) = | r’(t) | dt 
 
define uma função de t chamada função comprimento de arco e mede o 
comprimento orientado de arco sobre C no intervalo [t0, t]. 

b
a
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Sistema de coordenadas polares 
Temos o sistema de coordenadas polares, o qual é constituído por 
apenas um semi-eixo e, chamado de semi-eixo polar e um ponto de 
origem p, chamado pólo. 
 
 Todo ponto P do plano é representado por um par ordenado (ρ,θ), 
onde ρ é à distância do ponto P ao pólo p e θ é o ângulo formado entre 
o segmento Pp e o semi-eixo polar. O ângulo θ é medido em radianos a 
partir do eixo polar e no sentido anti-horário. Assim, ρ ≥ 0 e 0 ≤ θ ≤ 
2π . 
 
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Sistema de coordenadas polares: Exemplo 
Sistema de coordenadas polares 
dos pontos: 
 
 
 
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Sistema de coordenadas polares 
Podemos relacionar o sistema de 
coordenadas cartesianas ortogonais 
com o sistema de coordenadas 
polares. Coincidindo a origem O(0,0) 
do sistema cartesiano com o pólo p 
do sistema polar e o semi-eixo polar 
com o semi-eixo positivo do eixo Ox. 
 
No triângulo retângulo temos: 
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Sistema de coordenadas cilíndricas 
A primeira generalização tridimensional das coordenadas polares são as 
chamadas coordenadas polares cilíndricas, ou, simplesmente, 
coordenadas cilíndricas. Neste sistema de coordenadas trabalhamos 
inicialmente, no plano do R3 em coordenadas polares e depois no 
eixo z, ortogonal ao plano. 
 
Cada ponto é descrito pelo terno ordenado (r, θ, z). 
 
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Sistema de coordenadas cilíndricas 
Escolhendo a origem de um sistema cartesiano no pólo das coordenadas 
polares, mantendo a mesma convenção de fazer θ = 0 corresponder 
à semi-reta da parte positiva do eixo x e fazendo o eixo z das 
coordenadas cartesianas e das cilíndricas coincidirem (convencionamos 
usar-se a mesma letra), a mudança de coordenadas toma a forma: 
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Sistema de coordenadas cilindrícas 
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Sistema de coordenadas cilindrícas 
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Sistema de coordenadas esféricas 
Mantendo o raciocínio de proximidade das coordenadas polares planas 
estudaremos o sistema de coordenadas polares esféricas, ou, 
simplesmente, coordenadas esféricas. 
 
Novamente, a ideia é apontar a direção em que se deve ir e a 
distância a ser percorrida. Esta direção será dada por um ponto 
na esfera, assim usamos dois ângulos para descrever a direção 
(parecido com os ângulos de latitude e longitude que são usados 
geograficamente). 
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Sistema de coordenadas esféricas 
Uma escolha comum dos ângulos é manter o mesmo θ das coordenadas 
cilíndricas (que geograficamente é a longitude) e trabalhar com um 
ângulo  medido a partir do semi-eixo z>0 das coordenadas cilíndricas 
(muitas vezes chamado de co-latitude). 
 
Naturalmente para cobrir todas as direções será suficiente usar θ∈[0,2π] 
e ∈[0,π]. Com essas escolhas, e chamando de ρ a distância ao pólo, 
teremos a seguinte mudança de coordenadas entre esféricas e 
cilíndricas: 
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Sistema de coordenadas esféricas 
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Sistema de coordenadas esféricas 
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Comprimento de Arco e Sistemas de 
coordenadas