Análise de Estabilidade Angular de Regime Permanente considerando uma Turbina Hidráulica e Regulador de Velocidade com Estatismo Transitório

Prévia do material em texto

UNIFEI – UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ 
CAMPUS DE ITABIRA 
 
 
 
 
 
 
Estabilidade de Sistemas Elétricos de 
Potência - EELi44 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise de Estabilidade Angular de Regime Permanente 
considerando uma Turbina Hidráulica e Regulador de 
Velocidade com Estatismo Transitório 
 
 
 
Grupo 6 
 
 
 
 
 
Alunos: Felipe Duarte Pinto Coelho - 30299 
 Leandro José Araújo Duarte - 24822 
 Lucas Araújo Soares - 32092 
 
 
Itabira, 2018 
ÍNDICE 
1. OBJETIVO......................................................................................................................................................................... 3 
2. DADOS DO SISTEMA ......................................................................................................................................................... 3 
3. CONDIÇÃO DE REGIME PERMANENTE .............................................................................................................................. 4 
4. ANÁLISE DA ESTABILIDADE ANGULAR DE REGIME PERMANENTE ................................................................................... 8 
4.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE TURBINA E REGULADOR DE VELOCIDADE ........................................................................... 8 
4.2 EQUAÇÕES DE ESTADO DO SISTEMA ........................................................................................................................ 11 
4.3 ANÁLISE DE ESTABILIDADE POR ESPAÇO DE ESTADOS ............................................................................................. 11 
4.4 ANÁLISE DE ESTABILIDADE CRITÉRIO DE ROUTH HURWITZ ..................................................................................... 11 
5. SIMULAÇÃO DO SISTEMA EM MATLAB SIMULINK ......................................................................................................... 12 
6. CONCLUSÕES ................................................................................................................................................................. 14 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................................................................................... 15 
 
1. OBJETIVO 
Neste relatório será abordado o cálculo de parâmetros e a simulação de um sistema com 
gerador síncrono de polos salientes, cuja força motriz é oriunda de uma turbina hidráulica, sendo que 
sua velocidade é controlada por um regulador com estatismo transitório, e a potência que a máquina 
fornece alimenta um sistema radial, com transformador, linha de transmissão e um barramento 
considerado infinito. 
Com base nos cálculos e simulações, será buscado analisar a estabilidade angular do sistema 
em questão, através dos métodos de espaço de estados e pelo critério de Routh-Hurwitz, e também 
propor melhorias para a resposta e estabilidade do sistema. 
2. DADOS DO SISTEMA 
No estudo de estabilidade de um certo sistema, se faz necessário aproximar o máximo possível 
a modelagem para simulação de um sistema real. Dessa forma, utilizou-se neste trabalho um sistema 
radial que engloba a geração acoplada em um sistema de grande porte, representado por um 
barramento infinito. A ligação entre a máquina e o barramento é feita através dos elementos como 
um transformador elevador e a linha de transmissão. A Figura 1 apresentada o diagrama unifilar do 
sistema descrito. 
 
Figura 1 – Representação do Sistema.[1] 
Tabela 1 – Dados do Sistema 
Dados da Turbina e Regulador de 
Velocidade 
Dados do Sistema Radial 
Tg 0,8 s E [pu] 1,05 pu 
Tt 10 s V2 [ pu] 1,0 pu 
Tw 5 s P [MW] 90 MW 
R 5% H [s] 3 s 
r 10*R Xd 1,2 pu 
 Xq 0,3 pu 
Xt 0,15 pu 
XLT 0,4 pu cada 
 
3. CONDIÇÃO DE REGIME PERMANENTE 
Para a condição de regimente pemanente, foram calculados alguns parâmetros importantes 
para se determinar a estabilidade do sistema. Esses parâmetros se encontram nos tópicos que seguem. 
a) Circuito Elétrico Equivalente 
O circuito elétrico equivalente de uma máquina de polos salientes operando em um sistema 
radial, conforme mostra a Erro! Fonte de referência não encontrada., pode ser obtido pela 
epresentação da sua reatância de eixo de quadratura (Xq), em série com a reatância do transformador 
(XT) e das linhas de transmissão (XLT). 
 
Figura 1. Modelo do sistema radial para máquina de polos salientes [1]. 
Esse circuito pode ser simplificado, associando-se as impedâncias do sistema, conforme 
mostra a Figura 2. 
 
Figura 2. Modelo simplificado do sistema radial para máquina de polos salientes [1]. 
b) Tensão em Vazio da Máquina Sincrona 
A tensão a vazio da máquina, ou tensão interna, é a tensão no qual a máquina opera, e pela 
qual serão fornecidas as correntes e potências. Para o seu cálculo, segue-se algumas etapas, que serão 
descritas na sequência. Primeiramente, como a barra de referência é a 2, se faz necessário determinar 
o ângulo da tensão da barra 1 (V1). Este calculo é feito através da equação da potência elétrica, onde 
isola-se o ângulo 𝛿1, conforme mostram as Equações 1 e 2. 
𝑃 =
𝑉1∗𝑉2
𝑋12
sin 𝛿1 (1) 
0,9 =
1,05∗1
[𝑋𝑇+(𝑋𝐿𝑇 2⁄ )]=0,35
sin 𝛿1 (2) 
Com isso obteve-se um valor para o ângulo da tensão na barra 1 igual a: 
𝛿1 = 17,4576° 
Com o módulo e ângulo de ambas as tensões, se torna possível o calculo da corrente, 
conforme mostra a Equação 3. 
𝐼 =
𝑉1−𝑉2
𝑗𝑋12
=
(1,05∠17,4576°)−(1∠0°)
𝑗0,35
= 0,9∠ − 0,2976° pu (3) 
A máquina em questão é de polos salientes. Então como forma de facilitar os cálculos, obtem-
se uma tensao interna equivalente em quadratura, chamada Eqd. Ela é dada pela Equação 4. O valor 
obtido foi de 1.1612∠30.2519° 𝑝𝑢. 
𝐸𝑄𝐷 = 𝑉1 + 𝑗𝑋𝑞𝐼 (4) 
Com o calculo de EQD, pode-se determinas a tensão interna, que é dada pela Equação 5. A 
corrente de eixo direto foi obtida pela Equação 6, e substituída na Equação 5. 
𝐸 = 𝑗𝑋𝑑𝐼𝑑 + 𝑉1 = 1,5729∠30,2519° (5) 
𝐼𝑑 = 𝐼 ∗ cos(𝛼)∠(𝜑 + 𝛼) (6) 
Todos esses valores foram calculados com auxilio de um algoritmo de Matlab, que segue em 
anexo. 
c) Diagrama Fasorial Equivalente 
O diagrama fasorial representa as magnitudes e ângulo de cada uma das componentes das 
tensões da máquina. Ele pode ser visualizado na Figura 3. O diagrama não está em proporção com os 
valores encontrados, pois o objetivo foi apenas ilustrar o conceito, que se aplica aos valores 
encontrados no item anterior. 
 
 
Figura 3 - Diagrama fasorial [1] 
d) Equação da Potência Elétrica 
A equação da potência elétrica indica quanto será fornecida para cada variação no angulo delta 
da máquina. Ela é indicada pela equação abaixo: 
𝑃𝑒 =
𝐸∗𝑉2
𝑋
sen 𝛿 + 
𝑉²
2
∗ [
(𝑋𝑑−𝑋𝑞)
(𝑋𝑑+𝑋𝑒)∗(𝑋𝑞+𝑋𝑒)
 ] ∗ 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 𝛿 ) (7) 
Com base no algoritmo, chegou-se a seguinte expressão para potência elétrica: 
𝑃𝑒 = 1,0148 ∗ sen 𝛿 + 0,4467 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 𝛿 ) (8) 
e) Potência Máxima Transferida 
Para determinar a potência máxima que a máquina pode operar, é preciso encotrar o angulo 
no qual a potência é máxima. Em máquinas de polos lisos, esse angulo é de 90°. Em máquinas de 
polos salientes, devido a existência da potência de relutância, esse angulo é inferior a 90º. Também 
fazendo o uso do algoritmo em Matlab, esse ângulo foi determinado, sendo ele 61, 4443º. Então, com 
base nisso basta substituir esse ângulo na equação da potência elétrica, e com isso determinou-se o 
valor de potência máxima, que é de 1,2664 pu. 
f) Coeficiente de Potência Sincronizante: 
O coeficiente de potência sincronizante é determinadopela seguinte expressão: 
𝑃𝑆 =
𝐸∗𝑉2
𝑋
cos 𝛿0 + 𝑉
2 ∗ [
(𝑋𝑑−𝑋𝑞)
(𝑋𝑑+𝑋𝑒)∗(𝑋𝑞+𝑋𝑒)
 ] ∗ 𝑐𝑜𝑠(2 ∗ 𝛿0 ) = 1.3164 𝑝𝑢 (9) 
Ele é a variação da potência em função do ângulo. Considerando o ponto de operação em 
regime permanente como sendo correspondente ao angulo de 30,2519º (𝛿0), obteve-se o Ps 
equivalente a 1,3164 pu. Como o Ps é maior que zero, o sistema é estável. 
A curva da potência sincronizante foi plotada, e se encontra na Figura 4. Por ela podemos 
observar que quanto menor o ângulo delta, maio será o seu valor. A curva apresenta valor de Ps nulo, 
quando ela se aproxima do valor do ângulo máximo, ou seja, o limite de estabilide, e para quaisquer 
ângulos superiores ao ângulo limite, o sistema tem Ps negativo, e se tornará instável. 
 
Figura 4 – Curva da potência sincronizante. 
g) Característica Potência-Ângulo (P-δ) 
A curva de Potência-ângulo (P- δ) descreve a potência elétrica em função do ângulo delta. Em 
máquinas de polos lisos, essa curva apresenta o valor máximo em 90º. Em polos salientes, devido a 
existência da potência de relutância, a curva é “distorcida”, e apresenta o valor máximo para um 
ângulo inferior a 90º, conforme mostra a Figura 5. 
 
Figura 5 – Curva caracteristíca da potência-ângulo. 
 
 
h) Equação de Oscilação 
A equação de oscilação da máquina é a equação que governa o movimento do rotor. Ela 
relaciona o conjugado de inércia com o conjugado de aceleração resultante no eixo [1]. Esta equação 
é de grande utilidade na avaliação do comportamento da máquina síncrona. Tendo todas as grandezas 
já referidas ao referencial elétrico, temos a equação de oscilação dada pela Equação 10 abaixo. 
𝑑2𝛿
𝑑𝑡2
=
𝜔𝑠
2∗𝐻
[𝑃𝑚 − 𝑃𝑒] =
377
2∗8
∗ [0,9 − 1,0148 ∗ sen 𝛿 + 0,4467 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 𝛿 )] (10) 
i) Equações de Estado do Sistema 
A equação de oscilação da máquina síncrona, representada anteriormente na Equação 10, é de 
segunda ordem. Esse fato nos permite decompo-la em duas equações de estado, sendo cada uma delas 
associada as variáveis de estado δ e ω [1]. Dessa forma se torna possível a análise do sistema no 
modelo de espaço de estados, pois os coeficientes das equações de estados serão incluídos na matriz 
de estados. A primeira equação de estado do sistema é representada pela Equação 11, e a segunda é 
definida pela Equação 12, e substituindo-se os dados obtidos do sistema avaliado, chegou-se à 
Equação 13. 
𝑑𝛿
𝑑𝑡
= 𝜔 − 𝜔𝑠 = 𝜔 − 377 (11) 
𝑑𝜔
𝑑𝑡
=
𝜔𝑠
2∗𝐻
[𝑃𝑚 − 𝑃𝑒 − 𝐷𝑚(𝜔 − 𝜔𝑠)] (12) 
𝑑𝜔
𝑑𝑡
=
377
16
[0,8 − 1,0148 ∗ sen 𝛿 + 0,4467 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 𝛿 ) −
1
377
(𝜔 − 𝜔𝑠)] (13) 
4. ANÁLISE DA ESTABILIDADE ANGULAR DE REGIME PERMANENTE 
A análise de estabilidade angular em sistemas radiais são formas de se avaliar o sistema na 
sua operação em regime. Utiliza-se para tal as técnicas de espaços de estados e a aplicação de critérios 
de estabilidade, como o de Routh-Hurwitz e a análise de autovalores. Esses métodos serão analisados 
nos tópicos que seguem. 
4.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE TURBINA E REGULADOR DE VELOCIDADE 
a) Turbina 
A turbina utilizada é do tipo hidráulica, onde o desempenho dinâmico da mesma é dominado 
por efeitos de inércia e compressibilidade da água e a elesticidade do conduto ou túnel de pressão que 
alimentam a turbina. O principal fator ligado a esse tipo de turbina é a inércia da água, pois causa 
mudanças no fluxo, o que atrasa a resposta da turbina mediante à solicitação de variação na abertura 
da válvula de admissão. A seguir é apresentada, de forma simplificada, o diagrama de blocos de um 
modelo de turbina hidráulica. 
 
Figura 6 - Diagrama de Bloco da Turbina Hidráulica [1]. 
Onde, DA(s) [pu] é variação na abertura da válvula de admissão de água, DPm(s) [pu] é a 
variação de potência mecânica gerada pela turbina e Tw é a constante de tempo de inércia da água 
nos condutos forçados. Tw é proporcional ao comprimento do conduto e à velocidade da água no 
conduto, e é inversamente proporcional à aceleração da gravidade e à diferença de potencial 
gravitacional. Do diagrama, pode-se também obter as equações no domínio do tempo: 
∆𝑃𝑚 = ∆𝑧 − 2 ∗ ∆𝑎 (14) 
𝑑∆𝑧
𝑑𝑡
=
−2
𝑇𝑤
(∆𝑃𝑚 − ∆𝑎) (15) 
Substituindo, tem-se: 
𝑑∆𝑧
𝑑𝑡
=
−2
𝑇𝑤
(∆𝑧 − 3 ∗ ∆𝑎) (16) 
Onde, Da é relacionada ao modelo do regulador de velocidade e Dz é uma variável auxiliar. 
b) Regulador de Velocidade 
O modelo de regulador de velocidade utilizado é o regulador com queda de velocidade e 
estatismo transitório de segunda ordem. É recomendado para utilização em conjunto das turbinas 
hidráulicas, pois este regulador apresenta desempenho estável para controle de velocidade [1].. Ou 
seja, para desvios rápidos da velocidade, o regulador apresenta alta regulação. E o contrário para 
desvios rápidos de velocidade. O esquema que representa esse regulador é apresentado na Figura 7. 
 
Figura 7 - Regulador com queda de velocidade e estatismo transitório [1]. 
Este modelo estabelece uma realimentação no processo de regulação, que é feita por meio da 
conexão entre a válvula piloto e o servomotor. Quando a carga é aumentada, ocorre uma redução na 
frequência do sistema, elevando o ponto B do diagrama, causando uma abertura na parte superior do 
distribuidor, abrindo a válvula de admissão da turbina e elevação da potência gerada. Assim, os 
pontos H e I se deslocam para baixo, e por meio das ligações EFGH e IJKL, é determinada uma 
oposição às variações rápidas e lentas na abertura da válvula, respectivamente. 
 
Figura 8 - Diagrama de blocos do regulador de velocidade [1]. 
Onde, Dω(s) é a variação na velocidade da turbina, R é o estatismo permanente do regulador, 
r é o estatismo transitório do regulador, Tt é o a constante de tempo do estatismo transitório e Tg é a 
constante de tempo do regulador de velocidade. Do diagrama acima, obtem-se as seguintes equações 
no domínio do tempo. 
𝑑∆𝑚
𝑑𝑡
=
1
𝑇𝑔
∆𝜔 −
1
𝑇𝑔
∆𝑚 (17) 
𝑑∆𝑎
𝑑𝑡
=
−𝑅
𝑟𝑇𝑡
∆𝑎 +
1
𝑟
(
1
𝑇𝑔
−
1
𝑇𝑡
) ∆𝑚 −
1
𝑟𝑇𝑔
∆𝜔 (18) 
Onde Dm é uma variável auxiliar. 
4.2 EQUAÇÕES DE ESTADO DO SISTEMA 
Colocando as Equações 11, 12, 16, 17 e 18 na forma matricial, obtem-se o seguinte resultado: 
[
 
 
 
 ∆�̇�
∆�̇�
∆�̇�
∆�̇�
∆�̇� ]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 1 0 0 0
−𝜔𝑠𝑃𝑠
2𝐻
−𝜔𝑠𝐷𝑚
2𝐻
0 0 0
0 0
−2
𝑇𝑤
0
6
𝑇𝑤
0
1
𝑇𝑔
0
−1
𝑇𝑔
0
0
−1
𝑟𝑇𝑔
0
1
𝑟
(
1
𝑇𝑔
−
1
𝑇𝑡
)
−𝑅
𝑟𝑇𝑡 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
∆𝛿
∆𝜔
∆𝑧
∆𝑚
∆𝑎 ]
 
 
 
 
+
[
 
 
 
 
 
0
𝜔𝑠
2𝐻
0
0
0 ]
 
 
 
 
 
[∆𝑃𝑚] 
E para uma situação onde Tg= 0,8s, Tt= 10s, Tw= 5s, R=5% e r=10*R e que demais 
variáveis sejam substituídas pelos valores apresentados anteriormente, obtem-se: 
[
 
 
 
 ∆�̇�
∆�̇�
∆�̇�
∆�̇�
∆�̇� ]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
0 1 0 0 0
−82,7119 −0,1667 0 0 0
0 0 −0,4 0 1,2
0 1,25 0 −1,25 0
0 −1,6 0 2,3 −1]
 
 
 
 
[
 
 
 
 
∆𝛿
∆𝜔
∆𝑧
∆𝑚
∆𝑎 ]
 
 
 
 
+
[
 
 
 
 
0
62,8333
0
0
0 ]
 
 
 
 
[∆𝑃𝑚] 
4.3 ANÁLISE DE ESTABILIDADE POR ESPAÇO DE ESTADOS 
Com as equações do sistema já em espaço de estados, foi encontrado os autovalores da matriz 
característica ou matriz de distribuição de estados do sistema por meio do comando eig implementado 
no algoritmo. Os autovalores encontrados foram: λ1 = 
−2
𝑇𝑤
; λ2 = 
−𝑅𝑇𝑡
𝑟
; λ3 = 
−1
𝑇𝑔
; λ4 = -
𝑤𝑠𝐷𝑚4.𝐻
+
𝑗.√
𝑤𝑠𝐷𝑚
2.𝐻
− (
(𝑤𝑠𝐷𝑚)
4.𝐻
)
2
; λ5 = -
𝑤𝑠𝐷𝑚
4.𝐻
− 𝑗.√
𝑤𝑠𝐷𝑚
2.𝐻
− (
(𝑤𝑠𝐷𝑚)
4.𝐻
)
2
. 
Estes autovalores resultaram, respectivamente, nos seguintes valores: λ1 = -0,4; λ2 = -1; λ3 = 
-1,25; λ4 = -0,0833+j9,0942; λ5 = -0,0833-j9,0942. Como todos os autovalores apresentam parte real 
negativa, o sistema apresenta comportamento estável. 
4.4 ANÁLISE DE ESTABILIDADE CRITÉRIO DE ROUTH HURWITZ 
 De posse dos autovalores, o próximo passo foi encontrar a equação característica para que 
fosse possível aplicar o critério de Routh-Hurwitz. A equação característica encontrada é indicada na 
Equação 19. 
𝑠5 + 2,8167𝑠4 + 85,304𝑠3 + 220,045𝑠2 + 177,91𝑠 + 41,356 (19) 
Seguindo-se os passos que são estabelecidos no critério de Routh, foi construída uma tabela 
com os resultados, que é a Tabela 2. Nela pode-se observar que não houve trocas de sinais na primeira 
coluna. Segundo o que se estabelece nesse critério, se não ocorrem trocas de sinais, significa que o 
sistema é estável, o que confima com os métodos anteriormente aplicados para avaliar a estabilidade. 
Vale ressaltar também que caso o sistema fosse instável, existiria um polo com parte real 
positiva para cada troca de sinal na primeira coluna da matriz de Routh-Hurwitz. 
Tabela 2 – Criterio de Routh-Hurwitz 
𝑠5 1 85,304 177,91 
𝑠4 2,8167 220,04 41,356 
𝑠3 7,1842 163,227 0 
𝑠2 156,043 41,356 
𝑠1 161,323 0 
𝑠0 41,356 
 
5. SIMULAÇÃO DO SISTEMA EM MATLAB SIMULINK 
Com todos os dados do sistema foi construído o diagrama de blocos, considerando os valores 
iniciais do sistema radial e inserindo uma variação de potência mecânica positiva de 1, 5 e 10%. A 
Figura 9 apresenta o diagrama. 
 
Figura 9 - Diagrama de blocos de todo o sistema simulado. 
Com base no diagrama anterior e para uma pequena variação na potência mecânica da 
máquina síncrona, é possível analisar a estabilidade angular de regime permanente do sistema radial, 
levando em conta a dinâmica de uma turbina hidráulica e seu regulador de velocidade com estatismo 
transitório. As Figuras 10, 11 e 12 apresetam o comportamento do ângulo de carga para variações da 
potência mecânica de 1, 5 e 10%, respectivamente. 
 
Figura 10 – Ângulo delta para variação de 1%. 
 
Figura 11 – Ângulo delta para variação de 5%. 
 
Figura 12 – Ângulo delta para variação de 10%. 
A partir das figuras anteriores nota-se que com para diferentes variações da potência 
mecância, a frequência e a porcentagem de amortecimento permanecem iguais. Entretanto, muda-se 
o valor máximo que o ângulo de carga atinge, assim como seu novo ponto de estabilidade encontrado 
após o aumento instantâneo de potência mecânica injetada. 
Na busca de melhorias na reação do sistema para buscar um novo ponto de equilíbrio, foi 
feito diversas modificações nos modelos considerados da turbina e do regulador de velocidade, como 
mudanças nas constates de tempo, porém não foi identificado nenhuma alteração no controle do 
sistema que permanece estável, e com tempo de amortecimento praticamente inalterável. 
6. CONCLUSÕES 
Neste trabalho foi feito diversas análises da estabilidade angular de regime permanente, 
considerando o modelo de turbina hidráulica e seu regulador de velocidade com estatismo transitório. 
Na primeira análise considerou-se as condições iniciais do sistema, avaliou-se a estabilidade no ponto 
inicial de operação. Notou-se que a dinâmica dos modelos considerados interfere na análise completa 
de estabilidade pelo método de espaço de estados e pelo critério de Routh-Hurwitz. Foi identificado 
um sistema bastante estável para o ponto de operação escolhido. 
Na segunda parte foi analisado o comportamento do sistema para pequenas variações de 
potência. Estas simulações são utilizadas para determinar o comportamento das máquinas síncronas 
conectada ao sistema de grande porte em uma tomada de carga. O sistema simulado comportou-se de 
maneira bastante regular, encontrando, assim, um novo ponto de operação. 
Ainda foi modificado diversas variáveis dos modelos adotados em busca de melhorias na 
estabilidade, entretanto não foi identificado nenhuma alteração relevante no resultado, tanto da 
simulação quanto nas análises estáticas. 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
[1] Grupo GeSys. Apostila de estabilide de sistemas elétricos. 
[2] KUNDUR, Praba. Power System Stability and Control. McGraw Hill, 1994. 
[3] ARRUDA, Elcio Frankilin de. Notas de aula disciplina Estabilidade de sistemas elétrico. Unifei, 
2018.