MAT cap7v01

Prévia do material em texto

MÓDULO VII: Frações Algébricas (Aula 1)
Frações Algébricas
Uma fração algébrica corresponde ao quociente de duas expressões algébricas do
tipo racional inteira, chamadas de polinômios. 
Nessas frações, uma ou mais variáveis aparecem no denominador. Esta é a sua
característica marcante.
Exemplos: x
y
; 2 x+1
y−4
; 9 a ²−7
a ²+2ab+1
 
Observação:
• Como não existe divisão por zero, o denominador de uma fração algébrica
necessariamente tem que ser diferente de zero.
Domínio de uma Fração Algébrica. O conjunto dos números reais para os quais o
denominador de uma fração algébrica é diferente de zero é denominado domínio
da fração.
Exemplo. Na fração x ²+ y ²
x−3
, devemos ter x≠3 .
O domínio é qualquer número real diferente de 3, pois esse valor anula o seu 
denominador.
Então, dada uma fração algébrica, deve-se sempre excluir os números reais que,
colocados no lugar das variáveis, anulam o seu denominador. Esta análise é importante
quando se deseja calcular o valor numérico de uma fração algébrica, ou seja, ao substituir
as variáveis por números para a realização das operações indicadas. 
Exemplo. Calcule o valor numérico da fração x+2 y
x− y
, para x = 7 e y = 3:
x+2 y
x− y
= 7+2⋅3
7−3
= 7+6
4
= 13
4
Os valores escolhidos para as variáveis não anulam o denominador da fração, 
representando, assim, um número real.
 
P á g i n a | 1
Simplificação de Frações Algébricas
Simplificação de Fração Numérica. Simplificar uma fração é transformá-la numa
fração equivalente (que representa a mesma quantidade) com termos mais simples.
Exemplo 1.Simplifique a fração 12
24
. 
1º Modo.
Resolução:
Escolhe-se um divisor comum entre os termos da fração e efetua-se a divisão (ou 
as divisões).
12:2
24: 2
= 6
:3
12: 3
= 2
: 2
4:2
=1
2
Observação:
• A cada simplificação, a nova fração representa a mesma quantidade que as
frações anteriores.
2º Modo.
Resolução:
Fatoram-se os termos e cancelam-se os fatores comuns, obtendo a fração 
equivalente mais simples.
12
24
= 2⋅2⋅3
2⋅2⋅2⋅3
=1
2
Simplificação de Fração Algébrica. Neste caso, usa-se o segundo procedimento
apresentado na simplificação de frações numéricas. No entanto, também é
necessário conhecer as técnicas de fatoração de polinômios.
Exemplo 1.Simplifique 4 xy ²
6 x ² y
1º Modo.
Resolução:
1ª Etapa: Fatoram-se,completamente, os coeficientes numéricos e as partes 
literais.
4 xy ²
6 x ² y
= 2⋅2⋅x⋅y⋅y
2⋅3⋅x⋅x⋅y
2ª Etapa: Cancelam-se os fatores comuns ao numerador e ao denominador.
4 xy ²
6 x ² y
= 2⋅2⋅x⋅y⋅y
2⋅3⋅x⋅x⋅y
 
P á g i n a | 2
3ª Etapa: Efetua-se a multiplicação dos fatores do numerador e do denominador.
4 xy ²
6 x ² y
= 2⋅2⋅x⋅y⋅y
2⋅3⋅x⋅x⋅y
= 2 y
3 x
2º Modo.
Resolução:
Este modo é diferente apenas na forma de fatorar. A simplificação numérica pode 
ser feita sem a decomposição dos coeficientes, e a simplificação da parte literal 
pode ser realizada aplicando as propriedades de divisão de potências de mesma 
base (conserva-se a base e subtraem-se os expoentes).
4 xy ²
6 x ² y
= 4⋅x⋅y ²
6⋅x ²⋅y
=2 y
3 x
Exemplo 2. Simplifique x ²− y ²
x+ y
.
Resolução:
1ª Etapa: Fatora-se o polinômio do numerador (o caso de fatoração é a diferença 
de quadrados). O polinômio do denominador não pode ser fatorado.
x ²− y ²
x+ y
=
( x+ y )⋅( x− y)
x+ y
Observação: 
• Caso de fatoração da diferença de quadrados:produto da soma pela diferença
entre as raízes dos dois termos do polinômio.
2ª Etapa: Cancelam-se os fatores comuns ao numerador e ao denominador.
x ²− y ²
x+ y
=
( x+ y )⋅( x− y)
(x+ y)
3ª Etapa: Efetua-se a multiplicação dos fatores do numerador e do denominador.
x ²− y ²
x+ y
=
( x+ y )⋅( x− y)
(x+ y)
=x− y
Exemplo 3. Simplifique 4 a+8a ²
2a
.
Resolução:
1ª Etapa: Fatora-se o polinômio do numerador (o caso de fatoração é fator 
comum em evidência). O polinômio do denominador é um monômio (expressão 
algébrica que já representa um produto).
 
P á g i n a | 3
4 a+8a ²
2a
=
2²⋅a⋅(1+2a)
2⋅a
Observação: Para o primeiro termo (fator comum), faz-se o MDC entre os termos 
do polinômio. Para o segundo termo (que ficará entre parênteses) divide-secada 
termo da expressão pelo fator em evidência.
2ª Etapa: Cancelam-se os fatores comuns ao numerador e ao denominador.
4 a+8a ²
2a
=
2 ²⋅a⋅(1+2a)
2⋅a
3ª Etapa: Efetua-se a multiplicação dos fatores do numerador e do denominador.
4 a+8a ²
2a
=
2 ²⋅a⋅(1+2a)
2⋅a
=2⋅(1+2a)=2+4 a
Observação:
• Em muitos casos, a expressão final fica bem mais simples do que a expressão
inicial. Desta forma, a simplificação facilita uma série de cálculos com frações
algébricas que são usadas na resolução de muitos problemas. Por exemplo, a
determinação do valor numérico fica bem mais fácil com as expressões
equivalentes mais simples.
EXERCÍCIOS
Sequência A
1. Determine o domínio das frações abaixo:
a) x+ y
x−4
b) 2 y
y+3
c) x+2
x2−2 x+1
2. Determinar o valor numérico das expressões:
a) 2 x+3
3 x−1
 para x=−1
b) x+ y
2
(x+ y )2
−
x
2 y
para x=−2 e y=−3
c) x+ y
x− y
para x= 1
2
e y=−1
3
3. Simplifique as frações abaixo:
a) 6 x ⁸
8 x ⁶ b)
12a ²
13a ⁶ c)
7 a⁵b ⁴
21a ²b⁵
d) 7 x ² y ⁵
21 x ⁵ y ³ e)
−36 rs ⁶ t ⁷
30 rs⁷ t ⁶ f)
9 x ⁵
36 x ²
 
P á g i n a | 4
g) 25a ²b ²
10a ⁴b ² h)
20 x ³ y ² z ⁴
15 x ⁶ y ⁶ z i)
2 x−4
x ²−4
j) (p ²+1) ³
(p ²+1)⁴ k)
(a ³ b ²) ²
5a ⁶b ⁸ l)
2 pq
p ²q−pq ²
4. Simplifique as frações abaixo:
a) x+1
x2+2x+1
b) x
2 y3−x2 y2
y−1
c) x
4− y4
x2− y2
d) x
2−5 x+6
3 x−6
5. Simplifique as frações abaixo:
a) m ²−2mn+n ²
m ²−n ²
 b) ab+ac+xb+xc
b ²−c ²
c) x ⁴−y ²
x ²+ y
d) 2a ²b−8ab ²
4 a ²b−16ab ²
 e) 10 x ²−15 xy
4 x ²−9 y ²
f) x ⁴−x ²
x ³+2 x ²+x
g) x ³−3 xy ²
x ⁴−9 y ⁴ h)
5 ab
25a ²−5 ab
i) ac−ad−bc+bd
c ²−d ²
j) x ²+10 x−11
x ²+9 x−10
k) 4 p ²−4 p+1
4 p ²−1
l) 2m ³−18m
2m ²−6
Sequência B
1. Simplifique as seguintes frações:
a) x ²−y ²
x ²+xy
 b) y ²−4 y+4
y ²−4
c) 18 x ²+9 xy−2 y ²
9 x ²−4 y ²
d) 5c+5 d
c ²+cd
 e) t ²−3 t−28
t ²−4 t−21
f) 6 x ²−xy−y ²
2 x ²−9 xy+4 y ²
g) a ²+8a+15
a ²−a−12
 h) 6 x ²+12 x+7
12 x ²+13 x−35
i) x ²−16
4−x
j) x ³−27
x−3
 k) 5−a
a ²−25
l) 2x− y
8 x ³− y ³
2. Simplificar 35+5 x+7 y+xy
5+ y
.
3. Simplifique a fração 15−9 x
18 x ²−50
.
 
P á g i n a | 5
4. Reduza a fração a ²−3a+2
a ²−4a+4
à expressão mais simples e, a seguir, calcule o valor 
numérico para a= 2
3
.
5. Simplificar as frações a seguir:
a) 9−x ²
x ²−6 x+9
 b) a ⁴−b ⁴
a ³+a ²b+ab ²+b ³
c) 2ab+a ²+b ²−c ²
2ab−b ²−c ²+a ²
 d) x ²+x−6
x ³−2 x ²−9 x+18
e) x ³−2 x ²−x+2
x ²−1
 f) 4 x ⁴−x ²+2 x−1
2 x ³+x ²−x
g) x ²−2 x+1
x ³−3 x+2
 h) (a ²−b ²−c ²−2bc)(a+b−c)
(a+b+c)(a ²+c ²−2 ac−b ²)
▄
 
P á g i n a | 6
MÓDULO VII: Frações Algébricas (Aula 2)
Operações com Frações Algébricas
Adição e Subtração de Frações Algébricas. Adicionam-se ou subtraem-se
frações algébricas da mesma forma que se opera com as frações numéricas.
Primeiro, obtém-se frações equivalentes de mesmo denominador (que pode ser o
produto ou o MMC entre os denominadores).Já as operações com os termos das
frações obedecem às regras de operações com polinômios.
Exemplo. Calcule 1
x− y
+ x+3
x ²− y ²
− 2
x− y
.
Resolução:
1ª Etapa: Cálculo do MMC entre os denominadores (que pode ser indicado na 
forma fatorada para facilitar os cálculos algébricos).Este polinômio será o novo 
denominador de todas as frações algébricas.
x− y=x− y
x ²− y ²=( x+ y)⋅(x− y)
mmc (x− y , x ²− y ²)=( x+ y)⋅(x− y )
Observação: 
• O MMC entre polinômios é calculado da seguinte forma: fatoram-se os
polinômios(quando possível) e realiza-se o produto dos fatores comuns e não
comuns de maior expoente.
2ª Etapa: Divisão do MMC pelos denominadores antigos e multiplicação dos 
resultados pelos numeradores para a determinação dos novos numeradores das 
frações equivalentes.
( x+ y )⋅(x− y)
(x− y)
=x+ y ;
( x+ y ) ⋅ (x− y)
( x+ y ) ⋅ (x− y)
=1;
( x+ y )⋅(x− y)
(x− y)
=x+ y ;
(x+ y)⋅1=x+ y ; 1⋅(x+3)=x+3 ; −2⋅(x+ y)=−2 x−2 y ;
1
x− y / x+ y
+ x+3
x ²− y ² /1
− 2
x− y / x+y
= x+ y+x+3−2 x−2 y
( x+ y)⋅( x− y )
 
P á g i n a | 7
3ª Etapa: Soma algébrica (soma ou subtração) dos termos semelhantes dos 
numeradores e conservação do denominador comum.
1
x− y / x+ y
+ x+3
x ²− y ² /1
− 2
x− y / x+y
= x+ y+x+3−2 x−2 y
( x+ y)⋅(x− y )
= 3− y
(x+ y)⋅(x− y)
4ª Etapa: Resolução do produto do denominador.
1
x− y / x+ y
+ x+3
x ²− y ² /1
− 2
x− y / x+y
= x+ y+x+3−2 x−2 y
( x+ y)⋅( x− y )
= 3− y
(x+ y)⋅(x− y)
= 3− y
x ²− y ²
Observações:
• Antes de resolver o produto do denominador, pode-se verificar se é possível
simplificar a fração (para simplificar, basta cancelar os fatores comuns ao
numerador e ao denominador).
• Os denominadores só devem ser iguais nos cálculos de adição e subtração. 
Multiplicação de Frações Algébricas. Multiplicam-se frações algébricas da
mesma maneira que se faz com os números na forma fracionária. As regras
algébricas são as mesmas utilizadas na multiplicação de polinômios. 
Exemplo. Calcule 3a
x ²−4
⋅x+2
6a
.
Resolução:
1ª Etapa: Fatoração dos termos de cada fração algébrica (quando possível).
3a
x ²−4
⋅x+2
6a
= 3⋅a
(x+2)⋅( x−2)
⋅x+2
6⋅a
Observação:
• Caso de fatoração da diferença de quadrados: produto da soma pela diferença entre as
raízes dos dois termos do polinômio.
2ª Etapa: Simplificação das frações algébricas (cancelamento dos fatores comuns
ao numerador e ao denominador e simplificação dos coeficientes numéricos).
3a
x ²−4
⋅x+2
6a
= 3 ¹⋅a ¹
(x+2)1⋅(x−2)
⋅x+2 ¹
62⋅a1
 
P á g i n a | 8
Fique Atento! 
• A simplificação das frações antes da resolução da multiplicação facilita bastante
o cálculo algébrico. E esta técnica pode ser feita com fatores do numerador de
uma fração e fatores do denominador da outra fração. 
3ª Etapa: Organização das frações simplificadas.
3a
x ²−4
⋅x+2
6a
= 3 ¹⋅a ¹
(x+2)1⋅(x−2)
⋅x+2 ¹
62⋅a1
= 1
( x−2)
⋅1
2
4ª Etapa: Multiplicação das frações algébricas (numeradores entre si e 
denominadores entre si).
3a
x ²−4
⋅x+2
6a
= 3 ¹⋅a ¹
(x+2)1⋅(x−2)
⋅x+2 ¹
62⋅a1
= 1
( x−2)
⋅1
2
= 1
2 x−4
Divisão de Frações Algébricas. O processo de divisão destas frações é o mesmo
da divisão com frações numéricas, ou seja, conserva-se a primeira fração e
multiplica-se pelo inverso da segunda.
Exemplo. Calcule a+1
a−2
: a ²+2a+1
a ²−4
. 
Resolução:
1ª Etapa: Escrita da divisão como a multiplicação da primeira fração pelo inverso 
da segunda.
a+1
a−2
: a ²+2a+1
a ²−4
= a+1
a−2
× a ²−4
a ²+2a+1
2ª Etapa: Fatoração dos termos de cada fração algébrica (quando possível).
a+1
a−2
: a ²+2a+1
a ²−4
= a+1
a−2
× a ²−4
a ²+2a+1
= a+1
a−2
×
(a+2)⋅(a−2)
(a+1)²
Observações:
• Caso de fatoração da diferença de quadrados: produto da soma pela diferença
entre as raízes dos dois termos do polinômio.
• Caso de fatoração do trinômio quadrado perfeito: quadrado da soma das raízes
dos termos quadrados perfeitos.
3ª Etapa: Simplificação das frações algébricas (cancelamento dos fatores comuns
ao numerador e ao denominador).
 
P á g i n a | 9
a+1
a−2
: a ²+2a+1
a ²−4
= a+1
a−2
× a ²−4
a ²+2a+1
= a+1 ¹
a−2 ¹
×
(a+2)⋅(a−2)¹
(a+1)2¹
4ª Etapa: Organização das frações simplificadas.
a+1
a−2
: a ²+2a+1
a ²−4
= a+1
a−2
× a ²−4
a ²+2a+1
= a+1 ¹
a−2 ¹
×
(a+2)⋅(a−2)¹
(a+1)2¹
= 1
1
×
(a+2)
(a+1)
5ª Etapa: Multiplicação das frações algébricas.
a+1
a−2
: a ²+2a+1
a ²−4
= a+1
a−2
× a ²−4
a ²+2a+1
= a+1 ¹
a−2 ¹
×
(a+2)⋅(a−2)¹
(a+1)2¹
= 1
1
×
(a+2)
(a+1)
=a+2
a+1
Potenciação de Frações Algébricas. Esta operação, assim como as demais,
também é realizada seguindo as mesmas regras dos números fracionários e das
operações com polinômios.
Exemplo 1. Calcule ( 2 x3 y )
3
.
Resolução:
1ª Etapa: Elevação do numerador e do denominador à potência indicada.
( 2 x3 y )
3
= 8 x ³
27 y ³
Observação:
• Calcula-se a potência do coeficiente numérico e aplicam-se as propriedades da
potência de potência na parte literal.
Exemplo 2. Calcule ( a+b3 x )
−2
.
Resolução:
1ª Etapa: Transformação do expoente negativo em positivo (faz-se o inverso da 
base e troca-se o sinal do expoente).
( a+b3 x )
−2
=( 3 xa+b )
2
2ª Etapa: Elevação do numerador e do denominador à potência indicada.
( a+b3 x )
−2
=( 3 xa+b )
2
= 9 x ²
a ²+2ab+b ²
 
P á g i n a | 10
Radiciação de Frações Algébricas. Esta operação também segue as mesmas
condições da radiciação com números fracionários e as regras com polinômios.
Exemplo. Calcule √ 16 x ⁴ y ⁶25 x ² 
Resolução:
Cálculo da raiz do numerador e do denominador.
√ 16 x ⁴ y ⁶25 x ² = 4 x ² y ³5 x
Observação:
• Calcula-se a raiz do coeficiente numérico e divide-se cada expoente das
variáveis pelo índice da raiz. 
• Na raiz quadrada, o índice é o número 2.
EXERCÍCIOS
Sequência A
1. Calcule o menor múltiplo comum das expressões abaixo:
a) a; 2 a; 3a b) 2 x ; 3 xy ; 2 y
c) m; mn ; n d) 1 ; a; a ²
e) xy ² z ; xyz ² f) 5 p ⁶q ⁶; 6 p⁵q ⁵
g) 2a+4 ; a+2 h) 6m; 3m+1 ; 6m+2
i) x+a; x ²−a ² ; x−a j) a; b ; a+b
k) a ²−b ² ; a ²−2ab+b ² l) x+3 ; x ²+5 x+6 ; x+2
m) a ²+a; a ²−1 ; a ²+2 a+1 n) x ²+9 x+14 ; x ²−4 ; x ²+5 x−14
o) p; p+5 ; p ³−25 p p) 2 x+2 ; 4 x+4 ; x ²+2 x+1
q) t−5 p; t ²−25 p ² ; 5 t−25 p r) x+ y ; x ²+2 xy+ y ² ; x ²− y ²
2. Efetue as operações indicadas:
a) 2
a
−6
a
+ 9
a
−12
a
b) 9
3 x−4
+ 2
3 x−4
+ 1
3 x−4
c) 2x−2
x+6
+ 3x−1
x+6
− 4 x−a
x+6
d) a ²
a ²−4
− 4a
a ²−4
+ 4
a ²−4
e) 2a (a+4)
a ²−20 a
−
3a (a+6)
a ²−20 a
+
2a(a−5)
a ²−20 a
f) x ⁻7x+1
x ²+5 x+6
−
2 x(x−3)
x ²+5x+6
+ x ²+x+2
x ²+5 x+6
 
P á g i n a | 11
g) 2 x ²+3 x+6
x ²−121
+ x ²−6 x+8
x ²−121
−3 x ²−4 x+3
x ²−121
h) a+ a
2
i) 2b
3
−b j) 1
x
+ x
2
k) a−7 a
4
−2a
3
l) 1
z
+ 1
z ²
− 1
z ²−1
3. Efetue as operações indicadas:
a) 3 x−5
x−1
+ 2 x−7
x ²−1
+ x−1
x+1
b) 2a−1
3(a−2)
−2a−2
a ²−4
− a
3
c) a+7
a−3
− a−6
a−5
+ 2a−4
a ²−25
d) x+1
x ²−1
+ x−2
x ²−9
− x−3
x ²+5 x+6
+ x+4
x ²−4 x+3
e) 2 x−1
x+3
+3 x+1
x+5
−5 x ²+19 x−2
x ²+8 x+15
f) m+1
m−4
+ m+2
m−5
+ 2m
m ²−9m+20
g) 2
x ²+7 x+12
+ 1
x ²−16
− 3
x ²−9
h) 3 x
3x ²−15 x
+ 4 x
x ²+8 x+15
+ 2x ²−3 x
3 x ²+9 x
i) 2 x
x ²−2 x−24
− x−2
x ²−36
+ x−5
x ²−16
j) 2 x
3 x+15
− x−3
x ²−25
− x−12
6 x
+ 3 x
x−5
4. Efetue as operações indicadas:
a) ( 2aa−3− 6aa ²−9 )× a+32a b) (1+ 1x )÷(1− 1x )
c) (a+ aba+b )⋅( 12+ b2a ) d) ( x− yx+ y −1)⋅(1−x2 y )
e) (a−b):(1− 1a+b ) f) a ²+ab2a ÷(1−1a )
g) 2a
5b
− 3b
b−1
×b ²−1
2
h) ( a+bb −a−ba )⋅ 2aba ²+b ²
i) ( xx+1+ xx−1−1)⋅(x ²−1) j)
3
2
+ 5
5
2
15
5. Efetue as operações indicadas:
a) ( 4 x6 y )
2
b) ( 2 x+ y6 x+3 y )
−2
c) √ 25 x6 y 916 x2 d) 3√ 27 x3 y3x6
 
P á g i n a | 12
Sequência B
1. Calcule o mdc e o mmc de 5 xy ², 15 x ³ e 17 x ⁵ y .⁴
2. Determinar o mdc e o mmc das expressões x ²−1 e x ²+2 x−3.3. Calcular o mdc e o mmc entre a ²−b ² e a ²−2ab+b ².
4. Calcular o mdc e o mmc das expressões ax−a , x ²−2 x+1 e a ² x ²−a ².
5. Calcule o mdc e o mmc dos polinômios 2 x ²−x−1 e 2 x ³+2 x ²−2 x−2.
6. Efetue as operações indicadas e simplifique os resultados:
a) a+1
a ³
−a+2
a ²
+ a+3
a
b) ( x ²−x−125 x−5 )( 3 x−3x ²−9 )
c) x ²−3 xy−4 y ²
x ²−xy−2 y ²
× x ²−xy−6 y ²
x ²−xy−12 y ²
d) x−2 y
x+2 y
−2 x−y
2 x+ y
e) 2 t+1
3t−3
+ 6−t
t ²−5 t+4
f) 4a ²−3ab−b ²
16 a ² b ²−b ⁴ ⋅
b ²−4ab
b−a
g) x ²−y ²
xy−2 y ²
÷ x ²−2 xy+ y ²
2 x ²−4 xy
h) 9 y ³−18 y ²−4 y+8
3 y ²−4 y−4
:(8−12 y)
i) a
b−a
⋅a ²+b ²
a+b
: a ²−b ²
a ²−2ab−b ²
j) c ⁴
9a ²−b ²
⋅27a ³−b ³
ac+bc
: ac ³−bc ³
36 a ²−2ab−b ²
k)
a
2
−a
3
a
2 +
a
3
l)
x−1
x+1
−1
x−1
x+1 +1
m)
1
x−2
− 1
x+2
1
x ²−4
n)
a
b
−b
a
1
a−
1
b
o) 1+ 1
1+ 1x
p) 1
1− 1
1−1x
q)
2+ 3 x ²−x
5
2− x ²−110
r)
a− ab
a+b
1− ba+b
s)
a−b
a
−a+b
a
1
a
7. Simplifique a expressão
a−b
a+b
− b
a+b
1+b ( 2a+b− 3b−a )
.
 
P á g i n a | 13
8. Nos exercícios abaixo, a expressão dada é similar às que aparecem em Cálculo. 
Obtenha uma expressão racional similar mais simples.
a)
1
x+h
− 1
x
h
b)
1
(x+h)³
− 1
x ³
h
c)
1
3 x+3h+2
− 1
3 x+2
h d)
1
2 x+2h−5
− 1
2 x−5
h
9. Escreva a expressão dada como uma fração mais simples e contendo apenas 
expoentes positivos.
a) x
−1− y−1
x ²− y ²
b) a
−1+b−1
a−2−b−2
c) b ² a
−2−a ² b−2
ba−1+ab−1
d) 2 x
−1+3 xy−2
4 x−2−9 x ² y−4
e) (x−1+ y−1)−1 f) ( x
−1+ y−1
x−1− y−1 )
−1
10.As expressões a seguir apresentam expoentes fracionários. Reescreva-as de modo que
a variável só apareça uma vez e com os expoentes positivos. Suponha que todas as 
variáveis são positivas. 
a) x−1/3 ⋅ x1/2 b) a5/8 : a1/4 c) (x ⁶)4/3
d) (x−3/4)−1/3 e) x−3/4⋅x5/6⋅x−1/3 f) ( y
−3/4
y3 /2 )
−1/9
g) 10a
1/3b−1/4
15a−1/2b3/4
h) ( t
−3 s1/2
t 1/3 s−2 )
1/5
i) ( u
−2/3 v−4/3w−4
u−1/3v2/3w−7 /3 )
−3
11. Determine os produtos e dê os resultados com expoentes positivos. Suponha que todas 
as variáveis são positivas. 
a) a−1/4(a3 /8+a3/2) b) (x1/3−x−2/3)(x2/3−x−1/3) c) (a1/4−a1/2)(a−1/4+a−1/2)
12. Racionalize os denominadores. Suponha que todas as variáveis são positivas. 
a) 5√3−4√5
2√5+3√3
b) 1
2√ x+√ y
c) √a+√b
√a−√b
 
P á g i n a | 14
13. Nos exercícios abaixo, a expressão dada é similar às que aparecem em Cálculo. 
Racionalize-as. Todos os radicandos e todos as variáveis representam números 
positivos. Nenhum denominador é nulo.
a) √x−3
x−9
b) √x−2
x−4
c) √x+4−2
x
d) √x+3−√3
x
e) √2(x+h)+1−√2x+1
h
f) √3(x+h)−2−√3 x−2
h
14. Sendo r1=
−b+√Δ
2a
e r2=
−b−√Δ
2a
, com Δ=b ²−4ac , determine:
a) r1 + r2 b) r1 ⋅ r2 c) r1
2 − r2
2 d) r1
2 + r2
2
▄
 
P á g i n a | 15
MÓDULO VII: Frações Algébricas (Aula 3)
Equações Fracionárias
Denomina-se equação fracionária toda equação em que existe pelo menos uma
incógnita no denominador. 
Exemplo 1: 3
4
+ 2
x
= 1
3
 
Exemplo 2: x
x−3
= 1
x+3
+ x ²+1
x ²−9
 
Observações:
• Equação é uma sentença aberta que possui pelo menos uma incógnita (letra),
representada por uma igualdade.
• Conjunto universo é o conjunto onde são escolhidos os valores da incógnita.
Este conjunto é representado pelo símbolo U.
• Conjunto verdade ou conjunto solução é o conjunto formado pelos elementos do
conjunto universo que tornam a sentença verdadeira. Este conjunto é
representado pelas letras V ou S.
A resolução de uma equação fracionária é igual à resolução de uma equação
inteira. No entanto, é necessário ter atenção com as restrições da incógnita em relação ao
denominador, pois não existe divisão por zero. 
Exemplo. Resolva em ℚ , a equação 2
x−3
= 3
x+2
, sendo x≠3 e x≠−2.
Resolução:
1ª Etapa: Cálculo do MMC entre os denominadores (o MMC será o novo 
denominador das frações que formam a equação).
mmc (x−3, x+2)=( x−3)⋅(x+2)
Observação:
• Neste caso não é necessário fatorar os polinômios para o cálculo do MMC. 
• O MMC entre polinômios é calculado da seguinte forma: fatoram-se os
polinômios (quando possível) e realiza-se o produto dos fatores comuns e não
comuns de maior expoente.
 
P á g i n a | 16
2ª Etapa: Divisão do MMC pelos denominadores antigos e multiplicação dos 
resultados pelos numeradores para a determinação dos novos numeradores das 
frações equivalentes.
2
x−3 / x+2
= 3
x+2 / x−3
2⋅(x+2)
( x−3)⋅(x+2)
=
3⋅(x−3)
(x−3)⋅(x+2)
2 x+4
( x−3)⋅(x+2)
= 3 x−9
(x−3)⋅(x+2)
3ª Etapa: Eliminação dos denominadores. 
2
x−3 / x+2
= 3
x+2 / x−3
2⋅(x+2)
( x−3)⋅(x+2)
=
3⋅(x−3)
(x−3)⋅( x+2)
2 x+4
( x−3)⋅(x+2)
= 3 x−9
(x−3)⋅( x+2)
2 x+4=3 x−9
4ª Etapa: Resolução da equação.
2 x+4=3 x−9
2 x−3 x=−9−4
−x=−13 ×(−1)
x=13
Observação:
• Na resolução de uma equação do 1º grau, deve-se isolar a incógnita da seguinte
forma: qualquer termo ao ser transposto para o outro lado da igualdade deve ser
levado fazendo-se a operação inversa. As adições e subtrações são feitas
apenas com termos semelhantes.
5ª Etapa: Determinação do conjunto solução.
S={13 }
 
P á g i n a | 17
Observação:
• O conjunto universo é o conjunto dos racionais e as restrições para o
denominador são x≠3 e x≠−2. Portanto, não há problema com o valor
encontrado.
Problemas com Equações Fracionárias 
Exemplo 1. Uma torneira enche um tanque em 3 horas. Outra torneira enche o 
mesmo tanque em 6 horas. Juntas, elas demorarão quanto tempo para encher o 
tanque?
Resolução:
1ª Etapa: Determinação da equação, considerando x≠0.
1
3
+ 1
6
= 1
x
2ª Etapa: Cálculo do MMC entre os denominadores.
3=3
6=2⋅3
x=x
mmc (3,6, x)=2⋅3⋅x=6 x
3ª Etapa: Divisão do MMC pelos denominadores antigos e multiplicação dos 
resultados pelos numeradores para a determinação dos novos numeradores das 
frações equivalentes.
1
3 / 2x
+ 1
6 /1 x
= 1
x / 6
4ª Etapa: Eliminação dos denominadores. 
1
3 / 2x
+ 1
6 /1 x
= 1
x / 6
2 x
6 x
+ x
6 x
= 6
6 x
2 x+x=6
5ª Etapa: Resolução da equação.
2 x+x=6
3 x=6
x=2
6ª Etapa: Determinação da resposta.
As duas torneiras juntas encherão o tanque em 2 horas.
 
P á g i n a | 18
Observação:
• Este exemplo trata da resolução de uma situação problema, por isso, ao invés
de escrever o conjunto solução, pode-se apenas responder a questão.
Exemplo 2. Os alunos de uma classe resolveram dar à professora um presente 
de casamento que custava R$720,00. Como 5 alunos de outra classe também 
quiseram participar da compra do presente, coube a cada aluno R$2,00 a menos 
na quantia anteriormente combinada. Quantos alunos há nessa classe?
Resolução:
1ª Etapa: Determinação da equação, considerando x≠0 e x≠−5. 
720
x+5
= 720
x
−2
2ª Etapa: Cálculo do MMC entre os denominadores.
x+5=x+5
x=x
mmc (x+5, x)=(x+5)⋅x
3ª Etapa: Divisão do MMC pelos denominadores antigos e multiplicação dos 
resultados pelos numeradores para a determinação dos novos numeradores das 
frações equivalentes.
720
x+5 / x
= 720
x / x+5
− 2
1 / x(x+5)
720⋅x
x⋅(x+5)
=
720⋅(x+5)
x⋅(x+5)
−
2⋅x⋅(x+5)
x⋅(x+5)
720 x
x⋅(x+5)
= 720 x+3600
x⋅( x+5)
−
(2 x ²+10 x)
x⋅( x+5)
4ª Etapa: Eliminação dos denominadores. 
720
x+5 / x
= 720
x / x+5
− 2
1 / x(x+5)
720⋅x
x⋅(x+5)
=
720⋅( x+5)
x⋅(x+5)
−
2⋅x⋅(x+5)
x⋅(x+5)
720 x
x⋅(x+5)
= 720 x+3600
x⋅( x+5)
−
(2 x ²+10 x)
x⋅( x+5)
720 x=720 x+3600−2 x ²−10 x
 
P á g i n a | 19
5ª Etapa: Organização da equação.720 x=720 x+3600−2 x ²−10 x
−2 x ²−10 x+720 x−720 x+3600=0
−2 x ²−10 x+3600=0 ÷(−2)
x ²+5 x−1800=0
Observação: 
• A equação do 2º grau encontrada pode ser simplificada por 2. Desta forma, tem-
se uma equação equivalente mais simples.
6ª Etapa: Resolução da equação.
x ²+5 x−1800=0
(x+45)⋅( x−40)=0
x=−45 ou x=40
Soma e Produto das raízes:
Soma: x1+x2=5 ⇒ 45+(−40)=5
Produto: x1⋅x2=−1800 ⇒ 45⋅(−40)=−1800
Observação:
• A equação do 2º grau foi resolvida pela técnica conhecida como “soma e
produto” que consiste em determinar as raízes de uma equação do 2º grau, sem
aplicar a fórmula de Bhaskara, através da seguinte condição:
x ²−Sx+P=0, para a=1 ( coeficiente numérico de x ² )
7ª Etapa: Determinação da resposta.
A equação do 2º grau apresentou as raízes x=−45 ou x=40. No entanto, deve-
se descartar o resultado negativo, pois a questão pede o número de alunos da 
classe. 
Resposta: A classe tem 40 alunos.
Observações:
• A resolução de equações fracionárias, após a eliminação dos denominadores,
fica reduzida ao cálculo de equações.
• Deve-se sempre obedecer às restrições impostas em relação ao denominador,
ao conjunto universo e ao contexto, no caso de uma situação problema.
 
P á g i n a | 20
EXERCÍCIOS
Sequência A
1. Determinar o conjunto verdade das equações, sendo U=ℝ .
a) 1
x
+ 1
3
=4 b) 1
2
+ 1
3
= 1
x
c) 3+ 5
x−2
=20 d) 3
x
+
4
x
+
5
x
=4
e) 2
x−2
= 3
x+3
f) 1
x−1
= 2
(x−1)2
g) 3
x−5
− 4
x+5
=0 h) 1
x−5
+ 3
x+5
= 2
x2−25
2. Determinar o conjunto verdade das equações, sendo U=ℝ . Escreva a condição de 
existência de cada uma.
a) 2
x−2
+ 3
x+2
= 18
x−4
b) 4
x−3
− 9
x−4
+ 3 x+3
x ²−7 x+12
=0
c) 2
3 x−4
= 5
6 x−7
d) 3
x ²−9
− 7
x−3
=− 4
x+3
3. Papai Noel gastou $400,00 na compra de bolas para distribuir no dia do Natal. Com um 
desconto de $4,00 em cada uma ele teria comprado cinco bolas a mais. Quantas bolas 
Papai Noel comprou?
4. Um carro desenvolvendo certa velocidade, percorre 240 km em t horas. Mantendo a 
mesma velocidade média, vai percorrer (t+2) horas. Qual é o número t de horas?
 
P á g i n a | 21
Sequência B
1. Determinar o conjunto verdade das equações, sendo U=ℝ . Escreva a condição de 
existência de cada uma.
a) t+3
t−2
− t−3
t+2
= 5
t ²−4
b) x+17
x ²−6 x+8
+ x−2
x−4
= x−4
x−2
c) 3 x ²+4
x ³+8
= 3
x+2
d) w
3w ²−8w+4
= w+2
3w ²+w−2
2. Nos exercícios a seguir, resolva em termos de x ou y. Isto é, isole o x ou o y.
a) 3ax+6ab=7ax+3ab b) a+3 x
b
= c
2
c) a( y−a)−2b( y−3b)=ab d) 5a(5a+ x)=2a(2a−x)
e) x+b
3a−4b
= x−a
2a−5b
f) 1
c−y
+ 2
c+ y
= 1
y
3. Se um retângulo tem um comprimento 3 cm menor que quatro vezes a sua largura, e 
seu perímetro é de 19 cm, quais são suas dimensões?
4. Uma pessoa investe parte de R$15000,00 a uma taxa de 12% ao ano, e o restante a 
8% ao ano. Se seu rendimento anual proveniente desses dois investimentos é de 
R1456,00, qual o valor de cada um dos investimentos?
5. Determinar quantos litros (L) de uma solução de ácido a 7% e de uma outra solução de 
ácido a 12% devem ser misturadas para obter 6 L de uma solução ácida a 10%.
6. Um atleta leva 3 min 45 s para terminar uma corrida, enquanto que outro necessita de 4 
min para a mesma corrida. A velocidade do atleta mais rápido é 0,4 m/s maior que a do 
atleta mais lento. Calcular essas velocidades.
7. Um pai e sua filha saem de casa ao mesmo tempo em diferentes automóveis. O pai vai 
ao escritório, distante 24 km, e a filha vai à escola que está a 28 km de distância. Ambos
chegam aos seus destinos ao mesmo tempo. Calcule as velocidades médias de cada 
um, sabendo que a velocidade do pai é 12 km/h inferior à da filha?
8. Um homem consegue pintar uma casa em 12 horas, e um outro consegue pintar essa 
mesma casa em apenas 10 horas. Se os dois trabalharem juntos, quanto tempo será 
gasto para a casa ficar totalmente pintada?
 
P á g i n a | 22
9. Uma liga metálica contém 80% de ouro (em massa) e uma outra contém 55% de ouro. 
Quantos gramas de cada liga se deve combinar para obter 40 g de uma liga contendo 
70% de ouro?
10. Deseja-se mesclar uma bebida que vale R$4,10 por litro com uma outra que vale 
R$4,90 por litro. Quantos litros de cada uma devem-se misturar para obter 25 L de uma 
nova bebida cujo valor seja de R$4,40 por litro?
▄
Referências: 
• BEZERRA, Manoel Jairo; Questões de Matemática. – 2. ed. – São Paulo : Companhia 
Editora Nacional, 1972.
• LEITHOLD, Louis; Álgebra y Trigonometría com Geometría Analítica. – 2. ed. – México D.F.
: Oxford University Press, 1994.
• CAMPOS, Ximena; SCHMIDT, Ximena. Álgebra Arrayán. – 2. ed. – Santiago de Chile :
Arrayán, 2006
 
P á g i n a | 23