MAT cap4v01 (2)

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MÓDULO IV: Equações (Aula 1)
Equação do 1º grau
Sentença Matemática: é toda expressão que possui números, variáveis,
operadores e sinais de igualdade ou desigualdade. Elas podem ser fechadas ou
abertas. 
Sentença Fechada: é aquela que pode ser classificada em verdadeira ou falsa.
Exemplos: 5+2 < 1+4 (falsa); 16−10 = 6 (verdadeira).
Sentença Aberta: é aquela que não pode ser classificada em verdadeira ou falsa.
Exemplos: 3 x+4 = 13; y+5 > 9
Observação: 
• As sentenças são abertas, pois dependem do valor da letra para serem
classificadas em verdadeiras ou falsas.
Expressão Algébrica: é toda sentença aberta que indica operações matemáticas
com letras que podem ser substituídas por um valor qualquer. Por isso, as letras
recebem o nome de variáveis.
Exemplo: 5 x ²+3 x−2 
Se x = 1, teremos 5⋅(1) ²+3⋅(1)−2 = 6
Quando x = −3, então 5⋅(−3) ²+3⋅(−3)−2 = 34
Equação: é toda sentença aberta representada por uma igualdade, em que não se
pode substituir a letra por um valor qualquer. Pelo contrário, é necessário encontrar
o número ou os números que satisfazem esta sentença de modo que ela resulte
sempre em uma sentença fechada e verdadeira. 
Observações:
• Como as letras representam os números desconhecidos nas expressões, são
chamadas de incógnitas. 
• Os lados da igualdade são chamados de membros (1º membro e 2º membro).
Exemplo: 4 x−5 = 23 ⇒ 4⋅7−5 = 23 ⇒ x = 7
 
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Raiz da equação: é o resultado da equação. 
Exemplo: na equação 4 x−5 = 23 , a raiz da equação é o número 7.
Grau de uma equação: é determinado pelo maior expoente da incógnita. 
Exemplos: 4 x−5 = 23 (1º grau); 5 x ²+3 x−6 = 0 (2º grau) 
Observação:
• No primeiro exemplo, a incógnita x não tem expoente (significa expoente 1), por
isso a equação é do 1º grau. No segundo exemplo, a incógnita aparece duas
vezes com expoentes diferentes (expoentes 2 e 1); seu grau será determinado
pelo maior (expoente 2), por isso a equação é do 2º grau.
Conjunto Universo: é o conjunto no qual são escolhidos os valores a serem
atribuídos à incógnita. Ele é representado pelo símbolo U. 
Exemplo: para a resolução da equação 4 x−5 = 23,
podemos considerar U = ℤ (Conjunto dos Números Inteiros).
Observação:
• Quando o conjunto universo não for indicado, devemos considerar U = ℝ (Conjunto dos
Números Reais). 
Conjunto Verdade ou Solução: é formado pelos elementos do conjunto universo
que tornam a sentença verdadeira. Podemos representá-lo pelas letras V ou S . 
Exemplo: o conjunto verdade ou solução da equação 4 x−5 = 23 é V = {7} ou 
S = {7}.
Resolução de uma equação do 1º grau: significa encontrar a raiz que satisfaz a
equação, ou seja, determinar o valor numérico que torna a sentença verdadeira, a
partir do conjunto universo estabelecido. 
Exemplo: sendo U = ℚ, resolva a equação 7 x+2 = 2x−14.
Resolução:
 
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1ª Etapa: Agrupamento dos termos semelhantes no mesmo lado (membro) da 
igualdade; para cada termo que troca de membro deve-se realizar a operação 
inversa (adições e/ou subtrações).
7 x+2 = 2x−14
7 x−2 x = −14−2
2ª Etapa: Redução dos termos semelhantes, obedecendo as regras de sinal.
7 x+2 = 2x−14
7 x−2 x = −14−2
5 x = −16
3ª Etapa: Isolamento da incógnita (o número que acompanha a incógnita passa 
para o outro membro, realizando a operação inversa: multiplicação ↔ divisão).
7 x+2 = 2x−14
7 x−2 x = −14−2
5 x = −16
x = −16
5
 
4ª Etapa: Simplificação do resultado, se necessário.
7 x+2 = 2x−14
7 x−2 x = −14−2
5 x = −16
x = −16
5
x = −3,2 ⇒ V = {−3,2 }
 
Observação:
• Para a determinação do conjunto verdade, deve-se verificar se a raiz pertence ao
conjunto universo estabelecido na questão; se a raiz encontrada não pertencer ao
conjunto universo definido, o conjunto verdade será:
 V = { } ou V = ∅ (conjunto vazio)
EXERCÍCIOS
Sequência A
1. Determinar o conjunto verdade das equações, sendo U = ℤ.
a) 2 x+1=5 b) 3( x−2)−4=6
c) 2( x−1)−3( x+1)=−10 d) 4 (2x−1)−5=18
e) 3 x−4 (x−2)=8 f) 9 z−2(2 z+3)= z−6
 
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2. Determinar o conjunto verdade das equações sendo U = ℝ.
a) 2(1−5 p)+3(−1−p )−4 (−7+2 p) = − p
b) 3(5 x+4 )−7( x−1)+11 (3−2 x) = 0
c) 7 = 1−5( y−11)+ 4
7
d) 2( x−1)=x+8
e) 3(2 x+1)−2 (x−2)=16
f) −3 (x+4)−2(3 x−2)+1=15( x+3)
3. Utilize apenas símbolos matemáticos para escrever as sentenças abertas:
a) A terça parte de um número somada com 4 é igual à metade do mesmo número.
b) A soma de cinco com o triplo de um número é igual a catorze.
c) O quadrado de um número é menor que nove.
d) O dobro de um número somado com a sua metade é maior que cinco.
e) A soma de três números inteiros consecutivos é igual a 42.
f) O quociente de um número inteiro pelo seu consecutivo é igual a 2.
g) O produto de um número inteiro pelo seu oposto é igual a -16.
Sequência B
1. Verifique se 5 é raiz de 2( x+1) = 3(2 x+1)−7 ( x−2) , com U = ℚ.
2. Resolva cada uma das equações abaixo, sendo U = ℝ.
a) 13(2 x−3)−5 (2−x) = 5(−3+6 x ) b) 2(2x+7)+3(3x−5) = 3(4 x+5)−1
c) 3−7(1−2 x) = 5−( x+9) d) 1+7 x−3(1−2 x ) = (3−4 x )2−8
e) x−3 (4−x) = 7 x−(1−x ) f) 2ax−3(ax−a) = 2a
g) ax−a ² = a h) mx−k = kx−m
3. Calcule o valor de x na equação (x+3)( x+5) = ( x−3) ² .
4. Qual é o valor de a em C = Ka−b
a
 ?
5. Na equação ax−b = bx−a sabe-se que a≠b , então quanto vale x?
 
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MÓDULO IV: Equações (Aula 2)
Resolução de Equações do 1º Grau com Frações
O objetivo é encontrar a raiz que satisfaz a equação, a partir do conjunto universo
estabelecido. Se este conjunto não for indicado, considera-se U = ℝ.
Exemplo 1. Resolva a equação 2 (7+x)
5
= 13 .
Resolução: 
1ª Etapa: Aplicação da propriedade distributiva 
no primeiro membro.
2 (7+x)
5
= 13
14+2 x
5 = 13
2ª Etapa: O denominador passa para o outro 
membro com a realização da operação inversa 
(divisão → multiplicação).
14+2 x = 13⋅5
3ª Etapa: Agrupamento dos termos semelhantes
no mesmo membro da igualdade; para cada 
termo que troca de lado deve ser realizada a 
operação inversa (adições e/ou subtrações).
2x = 65−14
4ª Etapa: Redução dos termos semelhantes, 
obedecendo as regras de sinal.
2x = 51
5ª Etapa: Isolamento da incógnita (o número 
que acompanha a incógnita passa para o outro 
membro, realizando a operação inversa: 
multiplicação → divisão).
x = 51
2
6ª Etapa: Simplificação do resultado, se 
necessário.
x = 25,5 V = { 25,5 }
Exemplo 2. Resolva a equação (2 x−1)
3
−1=(x+1)
6
.
 
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Resolução:
1ª Etapa: Determinação do MMC (Mínimo Múltiplo Comum) entre os 
denominadores – o método mais prático é o da decomposição simultânea em 
fatores primos; este número é o novo denominador de todos os termos.
3 — 6 2
3 — 3 3
1 — 1 MMC(3,6) = 2 ´ 3 = 6
Observação:
• O processo de decomposição simultânea consiste em fazer a divisão dos
números apenas por números primos e colocar os quocientes abaixo dos
respectivos termos. Deve-se continuar o processo até encontrar quociente 1;
depois, basta multiplicar os fatores primos para determinar o MMC.
2ª Etapa: Divisão do novo denominador pelos 
antigos e multiplicação dos resultados pelos 
respectivos numeradores.
(2 x−1)
36/3=2
−16/1=6 =
(x+1)
66/6=1
2⋅(2 x−1)
6 −
6⋅1
6 =
1⋅(x+1)
6
Observações:
• Quando a equação possui pelo menos um termo fracionário, é necessário igualar
os denominadores, como nas adições e subtrações entre frações;
• Se algum termo da equação não for fracionário, é necessário colocar o número 1
no denominador.
3ª Etapa: Multiplicação através da propriedade 
distributiva (os numeradores são polinômios).
4 x−2
6 −
6
6 =
x+1
6
4ª Etapa: Multiplicaçãode todos os termos da 
equação pelo denominador comum para a 
eliminação do mesmo (o processo prático é 
“cortar” todos os denominadores das frações).
6⋅4 x−26 −6⋅
6
6 = 6⋅
x+1
6
4 x−2−6 = x+1
5ª Etapa: Resolução da equação como no caso 
anterior.
4 x−x−6 = 1+2+6
3 x = 9
x = 93
x = 3 V = { 3 }
 
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Fique atento!
• Ao transpor qualquer termo para o outro lado da igualdade, é necessário efetuar a
operação inversa;
• No caso de equação com fração, deve-se resolver o MMC entre os
denominadores, o qual poderá ser eliminado, desde que a equivalência dos
numeradores seja efetuada e o novo denominador (MMC) seja retirado de todos
os termos.
EXERCÍCIOS
Sequência A
1. Determinar o conjunto verdade das equações sendo U = ℝ.
a) x
2
+ x
3
=16 b)
2 (x+1)
3
−
3( x−1)
2
=
4
5
c) x−3
2
+
x−2
3
=
3
2
d) 
2 (3 x−1)
5
−
3(2 x+1)
2
=14
e)
x+ 1
3
2
−
x− 1
2
4
=6 f) 3 y−2( y− x+4
2
) = 6
2. Determinar o conjunto verdade das equações, sendo U = ℝ.
a) −(x−1)+2 (x−3)= 2
3
b) 1
2
x+ 3
2
x−15=−3
c) 7 x− 2
3
=17
6
d) −x+1
3
+
x
2
=
2
9
e) 
3 (x−4)
2
−
2( x−1)
3
=−2 f) 2 (3 x+1)
4
+3=10
g)
t+ t
3
5
=0 h)
2 x−1
3
2
=1
3
i) 3 y−2( y− y−113 )=−4 j) x−3( x− x+42 )=6
Sequência B
1. Resolva cada uma das equações abaixo, sendo U = ℝ.
a) 0,71a+1,42 = 3,28⋅1,9+0,31 a b) (1,3+ 710 ) x−(7,28+ 272100 ) x = 0,2⋅0,4⋅721100
 
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2. Resolva cada uma das equações abaixo, sendo U = ℝ.
a) −1
3
x+2 = 1− x
2
b) x+3
4
− x−1
3
= 7
2
c) 2 y
5
−
3
4
=
3 y
20
d) 2 x−1
10
−2 = 1
5
−
1+x
2
e) m
6
+m
9
= 1
15
+
m− 1
2
3
 f) m+ 3m−9
5
+
5m−12
3
= 4
g) 1+ 5z−36
4
+ 2−z
2
= 2+ z−12
2
h) 1+3x
2
− 1−3 x
4
= 12−x
5
+ x
10
3. Verifique se -3 é raiz de 2 x+1
5
+ x+3
7
= x−1
2
, com U = ℝ.
4. Qual deve ser o número real a para que a expressão a+2
4
− a−1
5
seja igual a 1?
5. Qual deve ser o número real x para que a soma b+x
5
+ b−x
3
dê − x
10
?
6. Sabendo que a ≠ 0 e b ≠ 0, resolva no conjunto ℝ a equação: x−a
b
= 2− x−b
a
.
7. Sabe-se que as expressões (m−n) x+(m+n) x e 10m são iguais. Então, qual é o valor
do número real x?
8. Na igualdade x
a−b
−
5a
a+b
=
2bx
a ²−b ²
, sabe-se que a≠±b . Qual deve ser, então, o
valor do número real x?
9. Sendo x a incógnita, resolva as seguintes equações em ℝ.
a) a+x
2
+a = 4 a−x
3
b) x+b
5
+
b−x
3
+
x
10
= 0
c) x
a
= c+ x
2
a (a≠0) d) am+ x
m
− ax
b
= b (m≠0,b≠0)
e) 2 x−4
5
−6 1
6
= 20− x
4
−
x+
1
2
3
f) 3 x−1
4
−
2(3−x)
3
= 5[ x−2 x+7(4 x−5)15 −1360 ]
g) x+b
a+b
−1 =
x−a
b−a
−
x−a
a ²−b ²
h) x+a
a−b
+
2b−2 x
b−a
=
x−a
a+b
−
x+b
a+b
 
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MÓDULO IV: Equações (Aula 3)
Problemas de equações do 1º grau com uma incógnita 
Na resolução desses problemas, deve-se, inicialmente, montar a equação. Para
isto, é necessário definir a incógnita e organizar a expressão em função do termo
desconhecido.
Exemplo 1. A soma da minha idade com a idade de meu irmão, que é 7 anos 
mais velho do que eu, dá 37 anos. Qual é a minha idade?
Dados da equação: minha idade → x; idade do meu irmão → x+7
Resolução:
1ª Etapa: Determinação da equação com os 
dados definidos.
x+ x+7 = 37
2ª Etapa: Agrupamento dos termos semelhantes
no mesmo lado da igualdade; para cada termo 
que troca de membro deve-se realizar a 
operação inversa (adições e/ou subtrações).
2x+7 = 37
2x = 37−7
3ª Etapa: Redução dos termos semelhantes, 
obedecendo as regras de sinal.
2x = 37−7
2x = 30
4ª Etapa: Isolamento da incógnita (o número 
que acompanha a incógnita passa para o outro 
membro, realizando a operação inversa: 
multiplicação → divisão).
x = 302
5ª Etapa: Simplificação do resultado. x = 15
6ª Etapa: Determinar a resposta (valor de x). x = 15→Tenho 15 anos.
Exemplo 2. Em um estacionamento há carros e motos, totalizando 78 veículos. O 
número de carros é igual a cinco vezes o número de motos. Quantos carros há no 
estacionamento?
Dados da equação: número de motos → x; Número de carros → 5x.
Resolução:
 
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1ª Etapa: Determinação da equação com os 
dados definidos.
x+5x = 78
2ª Etapa: Agrupamento dos termos semelhantes
no mesmo lado da igualdade; para cada termo 
que troca de membro deve-se realizar a 
operação inversa (adições e/ou subtrações).
6 x = 78
3ª Etapa: Redução dos termos semelhantes, 
obedecendo as regras de sinal.
6 x = 78
4ª Etapa: Isolamento da incógnita (o número 
que acompanha a incógnita passa para o outro 
membro, realizando a operação inversa: 
multiplicação → divisão).
x = 786
5ª Etapa: Simplificação do resultado. x = 13
6ª Etapa: Determinar a resposta. Aqui o valor de
x não é o resultado final; deve-se então, efetuar 
os cálculos necessários.
Se x = 13 e há 5 x carros,
temos 5⋅13 = 65. Há no
estacionamento 65 carros.
Exemplo 3. Dois quintos do meu salário são reservados para o aluguel e a 
metade do salário é separada para a alimentação, restando ainda R$45,00 para 
gastos diversos. Qual é o meu salário?
Dados da equação: {meu salário → x ; aluguel → 25 xalimentação → x
2
; gastos diversos → R$45,00}
Resolução:
1ª Etapa: Determinação da equação com os 
dados definidos.
x = 2
5
x+ x
2
+45
2ª Etapa: Agrupamento dos termos semelhantes
no mesmo lado da igualdade; para cada termo 
que troca de membro deve-se realizar a 
operação inversa (adições e/ou subtrações).
x−25 x−
x
2 = 45
3ª Etapa: Resolução do MMC (Mínimo Múltiplo 
Comum) entre os denominadores; este número 
será o novo denominador de todos os termos.
(2,5) 2 5 10MMC   
 
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4ª Etapa: Divisão do novo denominador pelos 
antigos e multiplicação dos resultados pelos 
respectivos numeradores.
x
110/1=10
−
2
510/5=2
x− x210/2=5
= 45
10⋅x
10
−2⋅2 x
10
−5⋅x
10
= 45
10 x
10
−4 x
10
−5 x
10
= 45
5ª Etapa: Redução dos termos semelhantes, 
obedecendo as regras de sinal.
x
10
= 45
6ª Etapa: Isolamento da incógnita (o número 
que acompanha a incógnita passa para o outro 
membro, realizando a operação inversa: divisão 
→ multiplicação).
x = 10⋅45 ∴ x = 450
7ª Etapa: Determinar a resposta (valor de x). Meu salário é de R$ 450,00.
EXERCÍCIOS
Sequência A
1. Qual é o número cujos 2
7
somando com seus 3
5
, mais 12 é igual ao próprio número?
2. João e Maria ganham juntos R$ 3600,00. Sabendo-se que o salário de Maria é a terça
parte do salário de João. Quanto ganha cada um?
3. Dois adolescentes estavam brincando de adivinhar idade e um disse para o outro. Meu pai
tem o dobro da idade da minha mãe e juntos eles têm 93 anos. Qual é a idade da minha
mãe?
4. João ao fazer compras de mercado gastou um quarto do seu salário, e a metade com
despesas de aluguel, condomínio, água e luz. Como ainda restaram R$ 300,00, qual é o
salário de João?
5. A soma de três números inteiros consecutivos é -51. Obtenha esses três números.
6. Na sucessão de números ímpares, ache dois ímpares consecutivos de modo que sua
soma seja 314.
7. Determine três números consecutivos do conjunto ℤ de modo que sua soma seja 1197.
Sequência B
1. Carla fez um concurso em duas fases. Na primeira fase, ela tirou nota x e na segunda
fase obteve três pontos a mais que na primeira. A média foi calculada da seguinte
 
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forma: 1ª nota+2⋅(2ª nota)
3
. Se a média de Carla foi 8, que nota ela tirou em cada
fase?
2. Viajando a uma certa velocidade média, um carro percorreux km em 5 horas. Se tivesse
aumentado sua velocidade em 20 km/h, teria encurtado a viajem em 1 hora. Qual foi a
distância x percorrida?
3. O regulamento de um torneio de vôlei marca dois pontos por vitória e um ponto por
derrota. Uma equipe jogou sete partidas e somou 12 pontos. Quantas vitórias e quantas
derrotas a equipe obteve?
4. Maria e José trabalharam juntos e receberam R$ 900,00 pelo serviço. Como Maria
trabalhou mais do que José, este recebeu apenas 80% da quantia que coube a Maria.
Quanto recebeu cada um?
5. Para comprar um livro, Roberto precisa de R$ 40,00 a mais do que tem. Mas, se ele
tivesse o dobro da quantia que tem, compraria o livro e ainda lhe restariam setenta
reais. Qual é o preço do livro? Qual é a quantia que ele tem?
6. Uma indústria produziu x pares de sapato. Vendeu 50% da produção para a loja A, 30%
para a loja B e os 1000 pares restantes para a loja C. Quantos pares de sapato foram
produzidos?
7. Usando apenas a metade do seu salário, Ricardo compraria um celular que custa R$
932,60 e ainda sobrariam R$ 176,10. Qual é o salário de Ricardo?
8. Metade da distância de Belo Horizonte a São Paulo e mais 15 km é o mesmo que a
distância de São José dos Campos até o Rio de Janeiro, que é de 300 km. Calcule a
distância de Belo Horizonte a São Paulo.
9. Em uma oficina mecânica cuja folha de pagamento é de R$ 48000,00 existem 3
mecânicos, 2 ajudantes, 2 eletricistas e 2 vigias. Para funções iguais paga-se salários
iguais (por exemplo, os 3 mecânicos ganham salários iguais). Um mecânico ganha
mensalmente R$ 3600,00 mais que um eletricista. Um ajudante ganha o mesmo que um
vigia e este recebe R$ 600,00 menos que um eletricista. Calcule o salário mensal de um
mecânico.
10. Em um concurso de beleza participaram três candidatas: Ágata, Tábata e Erundina.
Ágata teve 50 votos menos que Tábata e esta teve quatro vezes mais votos que
Erundina. Se votaram 1085 eleitores e houveram 28 votos anulados, quantos votos
Tábata recebeu?
11. Divide-se uma fita de 247 metros em duas partes tais que uma tem 37 m mais que a
outra. Quanto mede cada parte?
 
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MÓDULO IV: Equações (Aula 4)
Sistemas de equações do 1º grau (Duas equações e duas incógnitas)
Os sistemas de equações são ferramentas muito comuns na resolução de
problemas de várias áreas, como Matemática, Química, Física e Engenharia. Um sistema
é do 1º grau quando o maior expoente das variáveis das equações é o número 1. 
Equação do 1° grau com duas variáveis: Esta equação admite infinitas soluções,
pois é possível atribuir qualquer valor a uma das variáveis, e encontrar o valor da
outra a partir desse resultado.
Exemplo. A equação −3 x+ y = 14 tem infinitas soluções, como:
a) para x = 2: −3⋅(2)+ y=14 → −6+ y=14 → y=14+6 → y=20
Substituindo as duas variáveis:
−3 x+ y=14 → −3⋅(2)+(20)=14 → −6+20=14 → 14=14 (Verdadeira)
b) para y = 5:
−3 x+(5)=14 → −3x=14−5 → −3 x=9⋅(−1) →
→ 3 x=−9 → x=−(93 ) → x=−3
Substituindo as duas variáveis:
−3 x+ y=14 → −3⋅(−3)+(5)=14 → 9+5=14 → 14=14 (Verdadeira)
Entretanto, se é preciso determinar dentre estas soluções, aquela que é comum à
outra equação, simultaneamente, é necessário montar o sistema. Então, resolver 
um sistema de equações é encontrar os valores das variáveis que satisfazem às 
equações dadas, ao mesmo tempo.
Conjunto Verdade ou Solução de um Sistema de Equações. 
Este conjunto será determinado pelo par ordenado (x, y), que corresponde aos valores
das incógnitas do sistema.
Exemplo. O sistema de equações {x + y = 7x −y = 3 tem como solução o par 
ordenado (5, 2), ou seja, V={(5, 2)}.
 
P á g i n a | 9
Resolução de Sistemas de Equações 
Existem alguns métodos de resolução que consistem em, a partir das equações
estabelecidas, gerar outra, com uma única incógnita. Os métodos mais comuns são o
método da adição e o método da substituição. 
Método da Adição. O método da adição é o mais adequado quando o coeficiente
de uma das incógnitas, x ou y, na primeira equação, é simétrico do coeficiente da
mesma incógnita na segunda equação. Dessa maneira, efetua-se a soma das
equações, eliminando uma incógnita e reduzindo o sistema a uma equação de uma
incógnita. 
Exemplo 1. Resolver o sistema de equações {−3x + y = 14 4 x − y = 8 .
Resolução:
1ª Etapa: Adição algébrica dos termos semelhantes (a incógnita y tem coeficientes
opostos nas duas equações, assim a soma será zero).
{−3 x + y = 14 4 x − y = 8
 x +0 y = 22
 x = 22
2ª Etapa: Determinação do valor de y (basta substituir o valor encontrado de x em 
qualquer equação e resolvê-la).
−3 x+ y = 14 → −3⋅(22)+ y = 14
−66+ y = 14 → y = 14+66 → y = 80; V={(22,80) }
 
Conjunto solução: V={(22, 80)}. 
Observação:
• Depois da substituição, faz-se o agrupamento dos termos semelhantes no mesmo
membro da igualdade (para cada termo que troca de lado deve ser realizada a
operação inversa – adições e/ou subtrações); depois, a redução dos termos
semelhantes e o isolamento da incógnita, obedecendo as regras de sinal;
Exemplo 2. Resolver o sistema de equações { 4 x +3 y = 6 2 x +5 y = −4 .
Resolução:
1ª Etapa: Como não há coeficientes simétricos de mesma incógnita, deve-se usar 
a multiplicação por números, tais que se consiga a simetria desejada. 
 
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{ 4 x +3 y = 6 ×(2) 2 x +5 y = −4 ×(−4) ” { 8x +6 y = 12 −8 x −20 y = 16
2ª Etapa: Adição algébrica dos termos semelhantes e resolução da equação (a 
incógnita x se anula).
{ 8 x +6 y = 12 −8 x −20 y = 16
 0 x −14 y = 28
Resolvendo a última equação: 
−14 y = 28 ×(−1)
14 y = −28
 y = −28÷14
 y = −2
3ª Etapa: Determinação do valor de x (basta substituir o valor encontrado de y em 
qualquer equação e resolvê-la).
4 x+3 y = 6
4 x+3⋅(−2) = 6
4 x−6 = 6
4 x = 6+6
4 x = 12
x = 12÷4
x = 3 V={(3,−2) }
Observações:
• As equações encontradas a partir das multiplicações são equivalentes às
anteriores;
• A escolha dos números fica a critério da incógnita que se deseja anular e não há
restrições para esta escolha, ela pode ser feita a partir dos cálculos mais
convenientes;
• É possível alterar apenas uma das equações. A equivalência do novo sistema é
garantida.
 
Método da substituição. Esse processo consiste no isolamento de uma das
incógnitas em uma das equações, e sua posterior substituição na outra.
Exemplo. Resolver o sistema de equações { x + y = 112x −4 y = 10 .
Resolução:
 
P á g i n a | 11
1ª Etapa: Escolha de uma das equações para isolar uma das incógnitas no 
primeiro membro (deve-se efetuar a operação inversa com os termos que trocam 
de lado). 
{ x + y = 11 → x=11− y2x −4 y = 10
2ª Etapa: Substituição do valor da incógnita isolada na outra equação.
2x−4 y = 10
2⋅(11− y )−4 y = 10
3ª Etapa: Resolução da equação.
2⋅(11− y )−4 y = 10
22−2 y−4 y = 10
−2 y−4 y = 10−22
−6 y = −12⋅(−1)
6 y = 12
y = 12÷6
y = 2
4ª Etapa: Determinação do valor de x (basta substituir o valor encontrado de y em 
qualquer equação, e resolvê-la).
x+ y = 11
x+2 = 11
x = 11−2
x = 9 V={(9, 2 )}
Observação:
• É possível isolar qualquer variável de qualquer uma das equações. O critério de
escolha fica a cargo do cálculo mais conveniente.
Sequência A
1. Resolva pelo método da substituição:
a) { x+ y = 11x− y = 7 b) { x−2 y = 07 x+11 y = 50 c) { x−3 y = 13 x−2 y = 4
2. Resolva os sistemas abaixo usando o método da substituição.
a) { x = y−2x+2 y = 13 b) { y = 2x−1x+2 y = 8 c) { x = y11x−17 y = 6
d) { a+b = 45a−3b = 12 e) { x+ y = 1− y7 x− y = 4−3 x f) { m = −nm+n = 2n−1
 
P á g i n a | 12
3. Resolva pelo método da substituição:
a) {2 x− y =−43 x+ y =−1 b) {3 t−5 s = 72 t+4 s = 9 c) { a+2b = 05a−2b = 1
d) {5 x+3 y = 7−2 x4x+ y = 2− y−x e) {a+b2 = ba−1
3
= 2b
4. Resolva, pelo método da adição, os seguintes sistemas:
a) { x+2 y = 73 x−2 y = −11 b) {3 x+4 y = 2x+ y = 1 c) { a−b = 12a+5b = 16
d) {2u−7v = 1u+5v = 1 e) { p−q = 5p+5q = −7 f) {11 t−2s = 125 t+4 s = 30
g) { x+2 y = 52 x−4 y = 2 h) {2x+4 y = 63 x−6 y = 21
5. Use o método da adição para resolver os sistemas abaixo:
a) { x+ y = 2 y+5x− y = 3 y+11 b) { p+2q = 123 p−2q = 3
2
c) {a−12 = bb−1
3
= a
d) {r−1 = s+4s−3 = 4 r−2 e) { 2 x = 1−3 yx+ y2 = 2x f) {m = n+3n = 2m−5
6. Determine dois números cuja diferença é 3, sabendo que a soma do primeiro com o
dobro do segundo é 47.
7. Em certa escola há 70 professores, entre homens e mulheres. Se a metade do número
de mulheres é igual ao triplo do de homens, quantos são os homens?
8. Para fazer uma limonada mistura-se água com suco de limão, sendo que este deve
corresponder a 1/10 do volume de água. Para preparar cinco litros de limonada, qual é o
volume de água e de suco que se deve usar?
9. Em um mês uma montadora de carros produziu 787 unidades em dois modelos: A e B.
Se o número de carros do modelo A superou os do modelo B em 51 unidades, quantos
carros foram produzidos de cada modelo?
 
P á g i n a | 13
Sequência B
1. O par ordenado (17,−14) é uma solução da equação cujo primeiro membro é
2 x+3 y e o segundo membro é um número. Qual é esse número?
2. Ache três soluções para a equação y = 2x−7.
3. Dados os pares (1,−3), (3, 1) e (2, 3), quais deles são soluções do sistema
{ 2x+ y = 76 x− y = 9 .
4. Determine uma fração equivalente a 11
7
em que a diferença entre numerador e
denominador seja 36.
5. A população do Brasil é de aproximadamente 206.553.079 milhões de habitantes. A
população urbana é 3/2 da rural. Qual é o número de habitantes que moram nas
cidades? E no campo?
6. Resolva pelo método que achar mais conveniente os sistemas abaixo:
a) { x+ y = 117x− y = −323 b) {x−2 y = 172x+3 y = 277 c) {3 x+ y = 3178 x− y = 431
d) {2a+3b = 14 a+5b = 3 e) { 3m−7n = 55m−12n = 7 f) {7 t+11 y =−12 t+3 y =−5
g) { a+b = 2a+3ba+b+1 = 2b h) {x+ y−1 = 3− yx− y+1 = 5+ y i) { m = 5n−m+13n = m−n+7
j) {5 (x+1)+3( y−2) = 48 (x+1)+5( y−2) = 9 k) { 9( x+2) = 11(2 y−3)4 (1−2 x ) = 5 (1− y )+3 l) {x− y = 5x2 = y3
 
7. Em uma certa competição olímpica o ingresso para arquibancada custava R$ 100,00 e
para cadeira numerada custava R$ 300,00. A competição foi vista por 1.575 pessoas e
deu renda de R$ 269.500,00. Quantas pessoas usaram a arquibancada?
8. Um time de futebol disputa um campeonato em que marca, em média, 2 gols para cada
gol que toma. No fim do campeonato o saldo de gols (gols marcados menos gols
tomados) é de 38. Quantos gols o time marcou e quantos tomou?
9. Numa caixa, o número de bolas vermelhas é o triplo do número de bolas pretas. Se
tirarmos duas bolas pretas e 26 bolas vermelhas, o número de bolas de cada cor ficará
igual. Quantas bolas há de cada cor?
10. Para embalar 1650 livros, uma editora utilizou 27 caixas, umas com capacidade para 50
livros e outras para 70 livros. Quantas caixas de cada tipo foram utilizadas?
 
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11. Uma certa mercadoria é vendida nas lojas A e B. Na loja A a mercadoria fica 18 reais
mais caro. Se a loja A der um desconto de 20%, o preço nas duas lojas será o mesmo.
Qual é o preço inicial em cada loja?
12. Um frasco com medicamento, cheio, tem 420 g. Uma pessoa, após tomar a metade do
conteúdo, verificou que o frasco passou a ter 235 g. Quantos gramas tem o frasco
vazio?
13. Seis pessoas vão a um restaurante e pedem 6 pratos do dia. No final, apenas uma
delas não pediu sobremesa. A diferença entre um prato com e sem sobremesa é de 5
reais. O grupo gastou, ao todo, 107 reais. Quanto custa o prato do dia?
14. Um barqueiro, no final de um dia de trabalho, transportou 100 passageiros, entre
adultos e crianças, e apurou R$ 620,00. Cada adulto paga 8 reais pela viagem e as
crianças pagam apenas meia passagem. Quantas crianças ele transportou?
15. Para construir a usina hidrelétrica de Itaipu foram usados 12,5 milhões de metros
cúbicos de concreto (equivalente a 210 estádios do Maracanã) e aço suficiente para
construir 350 torres Eiffel. Em 18 anos de trabalho, foram removidos 63,8 milhões de
metros cúbicos de rocha e terra (oito vezes mais que no Eurotúnel). Considerando
essas informações, responda:
(a) Quanto de concreto, aproximadamente, foi usado na construção do Maracanã?
(b) Quantos metros cúbicos de rocha e terra foram removidos por ano, em média, 
na construção de Itaipu?
(c) Quantos metros cúbicos de rocha e terra foram removidos para a construção do 
Eurotúnel?
 
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Módulo IV: Equações (Aula 5)
Equação do 2º grau
Uma equação é do 2º grau quando o maior expoente da incógnita é o número 2. 
Definição. Sendo a, b, c números reais e a ¹ 0, a equação do 2º grau é definida
como qualquer sentença matemática que pode ser reduzida à forma:
ax² + bx + c = 0
Onde a, b, c são chamados de coeficientes (a é o coeficiente de x², b é o coeficiente
de x e c é o termo independente).
Equação completa
A equação do 2º grau é completa quando apresenta os coeficientes a, b, c diferentes de
zero: ax² + bx + c = 0.
Equação incompleta
A equação do 2º grau é incompleta quando apresenta b=0, c=0 ou b=0 e c=0.
ax ²+bx = 0 → c=0
ax ²+c = 0 → b=0
ax ² = 0 → b=0 e c=0
Resolução da Equação do 2º grau
Resolver uma equação do 2º grau é encontrar os valores de x que satisfazem à
equação. Esses valores são chamados de zeros ou raízes da equação. Dentre alguns
métodos, destacam-se a fórmula geral conhecida como fórmula de Bhaskara e a técnica
de soma e produto.
Fórmula Geral (Fórmula de Bhaskara). Esse método consiste em encontrar as
raízes de qualquer equação do 2º grau (completa ou incompleta) a partir de seus
coeficientes (sendo a, b, c os coeficientes da equação).
x=−b±√b ²−4 ac
2a
 
P á g i n a | 16
A expressão b²−4ac é chamada de discriminante da equação e é representada
pela letra grega D (delta). Esse cálculo é muito importante, pois determina o
número de raízes de uma equação do 2º grau.
D > 0 ” duas raízes reais e diferentes
D = b²−4ac D = 0 ” duas raízes reais e iguais
D < 0 ” não existem raízes reais
Exemplo. Resolver a equação x² − 3x + 2 = 0 através da fórmula de Bhaskara:
Resolução:
1ª Etapa: Identificação dos coeficientes a, b, e c: 
a = 1 b = −3 c = 2
2ª Etapa: Substituição dos coeficientes na fórmula de D e resolução da expressão.
Δ = b ²−4 ac
Δ = (−3) ²−4⋅1⋅2 = 9−8
Δ = 1
3ª Etapa: Substituição dos valores encontrados na fórmula de Bhaskara e 
determinação das raízes.
x=−b±√Δ2a
x1=
−b+√Δ
2a
=
−(−3)+√1
2⋅1
=3+1
2
= 4
2
=2
x2=
−b−√Δ
2a
=
−(−3)−√1
2⋅1
=3−1
2
=2
2
=1 
4ª Etapa: Conjunto solução: S = {1, 2}. 
Observação:
• Como o valor de D (delta) foi positivo, a equação tem como solução duas raízes reais e
diferentes, determinadas pelos sinais + e – que aparecem na frente da raiz quadrada de
delta. Estes sinais dão origem a duas expressões distintas.
Fórmula da Soma e Produto. A soma e a multiplicação das expressões que
definem x1 e x2 na fórmula de Bhaskara resultam nas seguintes relações: 
Soma: (S)=−b
a
Produto: (P)= c
a
 
 
P á g i n a | 17
Assim, com a utilização dessas expressões é possível determinar as raízes de uma
equação do 2º grau, sem aplicar a fórmula de Bhaskara, através da seguinte
condição: x² − Sx + P = 0. 
Observação:
• Esta técnica só é válida quando a = 1.
Exemplo. Resolver a equação x² − 3x + 2 = 0 através da fórmula de soma e 
produto:
Resolução:
1ª Etapa: Identificação dos coeficientes a, b, e c :
a = 1 b = −3 c = 2
2ªEtapa: Substituição dos coeficientes nas fórmulas de soma e produto e 
resolução das expressões.
(S )=−b
a
=
−(−3)
1
=3 (P)= c
a
=2
1
=2
 
3ª Etapa: Determinação das raízes, a partir dos resultados da soma e do produto. 
x1+x2=3 → 1+2=3 x1⋅x2=2 → 1⋅2=2 
 x1 = 1 e x2 = 2. 
Observação:
• Nesta regra, as raízes são encontradas por meio de tentativas, após a
determinação da soma e do produto, através das fórmulas indicadas.
Fatoração de um trinômio do 2º grau
Esta fatoração é dada pela seguinte expressão: ax ²+bx+c = a[(x−x1)⋅(x−x2)] onde x1
e x2 são as raízes da equação.
Exemplo. Fatore o trinômio x² − 5x + 6.
1ª Etapa: Identificação dos coeficientes a, b, e c :
a = 1 b = −5 c = 6
2ª Etapa: Substituição dos coeficientes nas fórmulas de soma e produto e 
resolução das expressões.
 
P á g i n a | 18
(S )=−b
a
=
−(−5)
1
=5 (P)= ca=
6
1=6
 
3ª Etapa: Determinação das raízes, a partir dos resultados da soma e do produto.
x1+x2=5 → 2+3=5 x1⋅x2=6 → 2⋅3=6 
 x1 = 2 e x2 = 3. 
4ª Etapa: Substituição dos valores encontrados na forma fatorada.
a [(x−x1)⋅(x−x2)] = 1⋅[(x−2)⋅(x−3)] = (x−2)⋅(x−3)
Observação:
• As raízes da equação também poderiam ser encontradas pela fórmula de
Bhaskara.
EXERCÍCIOS
Sequência A
1. Encontre em ℝ o conjunto solução das equações:
a) 8 x ²−6 x=0 b) −4 x ²+12 x=0 c) 6 x ²−x=0
d) x ²−18=0 e) 16 y ²=9 f) −20 x ²−5 x=0
g) 4 x ²=100 h) 7=3 x ² i) x ²
25
−1
9
= 0
2. Determine o conjunto solução das equações sendo U = ℝ.
a) (x−6)(x+5)+x=51 b) x ²+3 x( x−12)=0
c) (x−3)²=5 x+9 d) 2x (x+1)−x (x+5)=3 (12−x)
e) 5 x(x+1)+( x−4)²=16+3 x f) 3 x− 1
3 x
=0, com x≠0
3. Determinar o conjunto verdade das equações sendo U = ℝ.
a) x2−3 x+2=0 b) x2−2x+1=0 c) 2 x2−3 x+1=0
d) 6 x2+x−1=0 e) 9 x2−36 x=0 f) x2+2=27
4. Resolva em ℝ: (x−5) ² = 2 x (x−5).
5. Resolva a equação: (2 x−1)(x−4) = (7+ x)(−x−2).
 
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Sequência B
1. Resolva as seguintes equações sobre o universo ℝ.
a) 3 x ²+7 x = 0 b) x ²
4
+2 x
3
= 0 c) 5 x ² = 3 x
d) x ² = x d) 2 x ² = −4 x e) (x−3) ² = 9
f) 5 x ²+7 x+1 = 3 x ²+2 x+1
g) (2 x+1)² = (3 x−1)(5 x−1)
h) (2 x−3)(x+4) = (x+2)(5 x−6)
2. Determine o conjunto solução das equações sendo U = ℝ.
a) 1+ x ²
4
= 5
2
b) x
x+1
=
8
3
+
x
1−x
, com x≠1 e x≠−1
c) x−3
x ²−4
+1 = 1
x−2
, com x≠2 e x≠−2
d) 2
x
+
1−x
x ²
=
5
8
+
1
x ²
, com x≠0
3. Calcule as raízes reais das seguintes equações:
a) x ²+8 x+15 = 0 b) x ²−x−6 = 0
c) x ²−11 x+28 = 0 d) 20 x ²−11 x−3 = 0
e) 1
4
x ²+ 1
3
x+ 1
12
= 0 f) 1
2
x ²− x+ 4
9
= 0
g) 5 y ²−9 y−2 = 0 h) 4 t ²−20 t+25 = 0
i) 21m ²−26m+8 = 0 j) z ²−3 z+1 = 0
4. Em um quadrado, o número que expressa a área é igual ao número que expressa o
perímetro. Sendo x a medida do lado desse quadrado, determine o valor de x .
5. Qual deve ser o valor do número real t para que os números A e B sejam iguais, sendo
A= t ²+2 t+1
2
e B= t ²+3 t +6
3
?
6. As seguintes equações são literais na incógnita x. Resolva cada uma delas.
a) x ²−25a ² = 0 b) x ²−3bx = 0
c) 2 x ²+ax = 2ax d) (x+a)(x−a) = 36m ²−a ²
e) (x−a) ²+(x+a) ² = 10 a² f) k ² x ²+(k ²−2 k )x−2(k+1) = 0 (k≠0)
 
P á g i n a | 20
g) (ax−1)(x+a) = (ax−1)(2 x+a) h) abx ²+(a²−b ²) x−ab = 0 (a⋅b≠0)
i) (a²−b ²)(x ²+1)
a ²+b ²
= 2 x j) x+a
x−a
+
x+b
x−b
= −2
7. Subtraímos 3 do quadrado de um número. Em seguida, calculamos a soma de 7 com o
triplo desse mesmo número e obtemos nos dois cálculos o mesmo resultado. Qual é o
número?
8. Um quadro tem forma retangular de dimensões externas 80×50cm . A moldura tem
uma largura x uniforme. Calcule a largura, sabendo que a área da região interna à
moldura é 2 800 cm².
9. Um pedaço de arame de 40 cm de comprimento foi cortado em dois pedaços de
comprimentos diferentes. Os pedaços foram usados para fazer dois quadrados que,
juntos, formam uma área de 58 cm² . Determine o comprimento em que cada pedaço foi
cortado.
10. O quadrado e o triângulo da figura têm a mesma área. Qual é essa área?
11. A distância entre as cidades A e B é de aproximadamente 300 km. Um carro levou x
horas para fazer esse percurso a uma certa velocidade média. Se aumentasse a
velocidade média em 40 km/h economizaria 2 horas na viagem. Quantas horas o carro
gastou para percorrer os 300 km?
Referências:
• IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade. – 2. ed. 
revista e atualizada – São Paulo : Atual, 1991.
• GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JR, José Ruy. A Conquista da
Matemática: a + nova. – São Paulo : FTD, 2002.
 
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