Exercícios de Álgebra Linear

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MA 327 A´lgebra Linear
Turma Y – Segundo Semestre de 2010
Petronio Pulino
DMA/IMECC/UNICAMP
e-mail: pulino@ime.unicamp.br
www.ime.unicamp.br/∼pulino/MA327/
Exerc´ıcios Selecionados
Transformac¸o˜es Lineares
Exerc´ıcio 1. Determine explicitamente a expressa˜o de uma transformac¸a˜o linear
T : P2(IR) −→ IR3
satisfazendo simultaneamente as seguintes condic¸o˜es:
(a) O elemento p(x) = ( 1 + x ) ∈ Ker(T ).
(b) O elemento q(x) = x 6∈ Ker(T ).
(c) Im(T ) = [(1, 1, 1)].
Exerc´ıcio 2. Considere a transformac¸a˜o linear T : IR3 −→ P3(IR) definida por:
T (1, 0, 1) = 2 + x2 + x3 , T (0, 1, 0) = 1 + x2 e T (0, 0, 1) = x2 − x3 .
(a) Calcule T (a, b, c) para a transformac¸a˜o linear T .
(b) Determine uma base para o subespac¸o Im(T ).
(c) A transformac¸a˜o linear T e´ injetora ?
Exerc´ıcio 3. Considere a transformac¸a˜o linear T : IR4 −→ IR3 definida por:
T (x, y, z, t) = (x − 2y + t , 2x + y − z , 5y − z − 2t) .
(a) Determine uma base para o subespac¸o Ker(T ).
(b) Determine uma base para o subespac¸o Im(T ).
(c) Determine uma base γ para o espac¸o vetorial IR4 contendo uma base de Ker(T ).
(d) Determine a matriz [T ]γβ , onde β e´ a base ordenada de IR
3 dada por:
β = { (1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (0, 1, 1) } .
Exerc´ıcio 4. Considere T : IR2 −→ P1(IR) a transformac¸a˜o linear tal que
T (1, 1) = 1 − x e T (1,−1) = 1 + 3x .
Mostre que T e´ um isomorfismo de IR2 em P1(IR). Determine explicitamente a expressa˜o do
isomorfismo inverso T−1(a0 + a1x).
Exerc´ıcio 5. Seja T : IR2 −→ IR3 a transformac¸a˜o linear tal que
T (1, 2) = (1, 0, 1) e T (2, 1) = (1, 1, 0) .
(a) Mostre que T e´ uma transformac¸a˜o linear injetora.
(b) Determine a matriz [T ]βγ , onde β = { (1, 2) , (2, 1) } e´ a base ordenada de IR2 e γ e´ a
base canoˆnica de IR3.
(c) Exiba uma transformac¸a˜o linear P : IR3 −→ IR2 tal que Ker(P ) = Im(T ).
Exerc´ıcio 6. Considere o operador linear T : P1(IR) −→ P1(IR) dado por:
T (p(x)) = p′(x) + (x + 1)p(1) .
Sejam β = { 1, 7− 4x } e γ = { q(x), 2x− 1 } bases para P1(IR) tais que
[T ]βγ =
[
3 s
−1 1
]
.
(a) Determine o polinoˆmio q(x) e o paraˆmetro s ∈ IR.
(b) T e´ um automorfismo? Em caso afirmativo, determine o automorfismo inverso.
Exerc´ıcio 7. Sejam T um operador linear sobre IR4, γ = { v1, v2, v3, v4 } uma base
ordenada para o espac¸o vetorial real IR4 e o subespac¸o S = [v1, v2, v3].
(a) Sabendo que T (v) = v para todo v ∈ S e T (v4) = v1 + v3 , determine [T ]γγ .
(b) Sabendo que
[I]βγ =

0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0
 ,
onde β = { e1, e2, e3, e4 } e´ a base canoˆnica de IR4, determine [T (e1)]γ .
Exerc´ıcio 8. Considere o operador linear T sobre P2(IR) , definido por:
T (p(x)) = p′(x) + p(x) ,
e a transformac¸a˜o linear P : P2(IR) −→ IR3 definida por:
P (a+ bx+ cx2) = (a+ b, c, a− b) .
(a) Determine a transformac¸a˜o linear P ◦ T : P2(IR) −→ IR3.
(b) Determine a matriz [P ◦ T ]βγ , onde β e´ a base canoˆnica de P2(IR) e γ e´ a base canoˆnica
de IR3.
(c) Verifique se P e´ um isomorfismo de P2(IR) em IR3. Em caso afirmativo, determine o
isomorfismo inverso P−1 : IR3 −→ P2(IR).
Exerc´ıcio 9. Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, com dim(V ) = n, e T um
operador linear sobre V tal que Im(T ) = Ker(T ).
(a) Mostre que n e´ par.
(b) Considerando V = IR4, determine um operador linear T sobre V com essas propriedades.
Exerc´ıcio 10. Considere o operador linear T sobre IR2 tal que
[T ]αγ =
[−1 −1
0 −1
]
,
onde α = { (0, 1) , (1, 0) } e γ = { (−1, 0) , (0,−1) } sa˜o bases ordenadas de IR2.
(a) Determine T (1, 0) e T (0, 1).
(b) Determine a matriz [I]αγ .
(c) Determine explicitamente a expressa˜o do operador linear T .
Exerc´ıcio 11. Determine explicitamente a expressa˜o de uma transformac¸a˜o linear T de
P2(IR) em IM2(IR) satisfazendo simultaneamente as seguintes condic¸o˜es:
(a) O elemento p(x) = ( 1 + x2 ) ∈ Ker(T ).
(b) O elemento q(x) = 1 6∈ Ker(T ).
(c) O elemento A =
[
2 0
0 1
]
∈ Im(T ).
Exerc´ıcio 12. Diga se e´ Falsa ou Verdadeira cada uma das afirmac¸o˜es abaixo, justificando sua
resposta.
(a) Existe uma transformac¸a˜o linear T : IR4 −→ IR3 que e´ injetora.
(b) Existe uma transformac¸a˜o linear T : IR4 −→ P2(IR) que e´ sobrejetora.
(c) Existe uma transformac¸a˜o linear T : IR2 −→ P2(IR) que e´ bijetora.
Exerc´ıcio 13. Considere T : IR2 −→ P1(IR) a transformac¸a˜o linear tal que
T (1,−1) = 2 + x e T (0, 1) = x − 1 .
Mostre que T e´ um isomorfismo de IR2 em P1(IR). Determine o isomorfismo inverso T−1 de
P1(IR) em IR2.
Exerc´ıcio 14. Considere o espac¸o vetorial real IR3 e S o subespac¸o definido por:
S = { (x, y, z) ∈ IR3 / x + y + z = 0 } .
Determine um operador linear T : IR3 −→ IR3 tal que Im(T ) = S.
Exerc´ıcio 15. Seja T : IR2 −→ IR2 o operador linear definido por:
T (x, y) = (3x − 2y, −2x + 3y) .
(a) Determine uma base para cada um dos seguintes subespac¸os:
U1 = { (x, y) ∈ IR2 / T (x, y) = 5(x, y) }
U2 = { (x, y) ∈ IR2 / T (x, y) = (x, y) }
(b) Mostre que o conjunto β = β1 ∪ β2 , onde β1 e´ uma base para U1 e β2 e´ uma base
para U2 , e´ uma base para IR
2 e determine [T ]ββ.
Exerc´ıcio 16. Sejam U e W subespac¸os vetoriais de IR3 definidos por:
U = { (x, y, z) ∈ IR3 / x + y + z = 0 }
W = [(1, 0, 1), (0,−1, 1)]
Determine um operador linear T sobre IR3 tal que Im(T ) = U e Ker(T ) = U ∩W .
Exerc´ıcio 17. Considere o operador linear T : P3(IR) −→ P3(IR) definido por:
T (p(x)) = p(x) + (1 + x)p′(x) .
Verifique se T e´ um automorfismo de P3(IR) e determine a matriz [T ]ββ , onde β e´ a base
canoˆnica de P3(IR).
Exerc´ıcio 18.
(a) Exiba uma transformac¸a˜o linear T : IR3 −→ P2(IR) tal que dim(Ker(T ) ) = 1 .
(b) A transformac¸a˜o linear T e´ sobrejetora ? Justifique.
Exerc´ıcio 19. Considere os seguintes subespac¸os de IR4
U = [(1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1)]
W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x + y = 0 e z + t = 0 }
Determine um operador linear T sobre IR4 tal que Ker(T ) = W e Im(T ) = U .
Exerc´ıcio 20. Considere a transformac¸a˜o linear T : P2(IR) −→ P1(IR) dada por:
T (p(x)) = ap(0) − p′(x)
com
[T ]αβ =
[
3 −3 b
3 −3 −2
]
,
considerando α = { 1, cx + 1, x2 } a base para P2(IR) e β = { 1 − x, x } a base para
P1(IR).
(a) Determine os paraˆmetros a, b, c ∈ IR.
(b) Determine [T (q(x))]β e [T (q(x))]γ, com γ = { 1, x } a base canoˆnica de P1(IR),
sabendo que
[q(x)]α =
 1−1
2
 .
Exerc´ıcio 21. Sejam V o subespac¸o de IM2(IR) das matrizes sime´tricas e a transformac¸a˜o
linear T : V −→ P2(IR) dada por:
T
( [
a b
b c
] )
= (a + b) − b x + (c − a + b)x2 .
Mostre que T e´ um isomorfismo. Considerando a base canoˆnica γ para o P2(IR) e a base
canoˆnica β para o subespac¸o V , determine a matriz [T ]βγ .
Exerc´ıcio 22. Seja T : IR2 −→ IR3 a transformac¸a˜o linear tal que
T (2, 1) = (3, 0, 2) e T (1, 2) = (1, 1, 0) .
Pede–se:
(a) Mostre que T e´ injetora.
(b) Exiba uma transformac¸a˜o linear P : IR3 −→ IR2 tal que Ker(P ) = Im(T ).
Exerc´ıcio 23. Considere o operador linear T : P1(IR) −→ P1(IR) dado por:
T (p(x)) = p′(x) + (x + 1)p(0) .
Sejam β = { 1, 1− x } e γ = { q(x), 1− x } bases para P1(IR) tais que
[T ]βγ =
[
2 1
1 s
]
.
(a) Determine o polinoˆmio q(x) e a constante s ∈ IR.
(b) T e´ um isomorfismo ? Justifique sua resposta.
Exerc´ıcio 24. Considere o operador linear
T : P4(IR) −→ P4(IR)
p −→ q = T (p)
com q(x) = T (p)(x) = x2 p′′(x) ; x ∈ IR.
(a) Determine a representac¸a˜o matricial de T com relac¸a˜o a` base canoˆnica.
(b) Determine o nu´cleo e a imagem do operador T .
(c) T e´ um operador linear injetor ? Justifique.
Exerc´ıcio 25.
(a) Considere U e V espac¸os vetoriais sobre o corpo IF e T uma transformac¸a˜o linear de
U em V . Se dim(U) > dim(V ), prove que existe um elemento na˜o nulo u ∈ U tal que
T (u) = 0V .
(b) Considerando U = IR3 e V = P1(IR),deˆ um exemplo de uma transformac¸a˜o linear T
de U em V que seja sobrejetora.
Exerc´ıcio 26.
(a) Sejam V e W um espac¸os vetoriais sobre o corpo IF . Definir isomorfismo de V em W .
(b) Considere os seguintes elementos do espac¸o vetorial real IR3:
v1 = (1, 2, 3) , v2 = (1, 0, 1) e v3 = (1, 1, 1)
w1 = (2, 0, 9) , w2 = (0, 0, 1) e w3 = (0, 1, 3) .
Mostre que existe um u´nico operador linear T : IR3 −→ IR3 tal que
T (vi) = wi para i = 1, 2, 3 .
(c) Determine a matriz [T ]ββ , onde β e´ a base canoˆnica de IR
3.
(d) T e´ um automorfismo de IR3 ? Justifique sua resposta.