Aula 2 ´REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA

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Grandezas
Cursista entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser 
medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas 
aumentadas ou diminuídas.
Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a 
superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o 
tempo, o custo e a produção.
É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos 
duas ou mais grandezas. Por exemplo:
Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto 
maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. 
Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.
Num forno utilizado para a produção de ferro fundido 
comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a 
produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a 
produção.
As grandezas podem ser diretamente ou inversamente
proporcionais, vamos aprender!!
Grandezas diretamente proporcionais
Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo 
com a tabela abaixo:
Tempo (minutos) Produção (Kg)
5 100
10 200
15 300
20 400
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas 
grandezas são variáveis dependentes. Observe que:
Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.
↓5 min ----> 100Kg
10 min ----> 200Kg
Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.
5 min ----> 100Kg
15 min ----> 300Kg
Assim
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente 
proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a 
razão entre os valores correspondentes da 2ª
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma 
grandeza é igual a razão entre os dois valores 
correspondentes da outra grandeza.
Veja essa situação:
3. Em uma papelaria, cobram R$ 0,20 por páginas xerocopiada. 
Assim os preços variamda seguinte maneira
Quantidade pgs 1 2 3
Preço (R$) 0,20 0,40 0,60
Observe que apesar das duas grandezas, quantidade de 
páginas e preço sofrerem alteração em seus valores a razão 
entre elas permanece a
mesma:
= =
Também podemos verificar que se a quantidade de páginas 
xerocopiada aumenta o preço e se a quantidade de páginas 
xerocopiadas diminui o preço também irá diminuir na mesma 
razão.
Então dizemos que o preço é, então diretamente proporcional 
à quantidade de páginas.
Grandezas inversamente proporcionais
Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o 
relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e 
obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela 
abaixo
Velocidade 
(m/s)
Tempo (s)
5 200
8 125
10 100
16 62,5
20 50
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas 
grandezas são variáveis dependentes. Observe que:
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido 
à metade.
5 m/s ----> 200s
10 m/s ----> 100s
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido 
à quarta parte.
5 m/s ----> 200s
20 m/s ----> 50s
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente 
proporcionais quando
a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual 
ao inverso da razão entre os
valores correspondentes da 2ª.
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma 
grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores 
correspondentes da outra grandeza.
Veja esse exemplo de operação inversa. 
Observe na tabela, o tempo gasto para percorrer uma mesma 
distância, variando 
a velocidade Média
Velocidade 
Média 
(km/h)
7,5 15 30 60
Tempo (h) 8 4 2 1
Nesse caso as razões entre a velocidade média e o tempo não são 
iguais, veja:
= = =
Perceba também que quando a velocidade dobra o tempo reduz 
pela metade e quando a velocidade reduz pela metade o tempo 
dobra, ou seja, fazem a operação inversa.
Então dizemos que o tempo é inversamente proporcional à 
velocidade média
Assista o vídeo que está disponível para você e verá situações 
práticas de como aplicar regra de três no dia a dia, acredito que 
facilitará a compreensão.
Pronto, já podemos entender com facilidade onde aplicar regra 
de três e sabermos diferenciar regra de três Simples e 
Composta, não esquecendo que nas duas temos grandezas 
diretamente e inversamente proporcionais.
Vamos ver agora!
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver 
problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos 
três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos 
três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma 
espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas 
de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente 
proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma 
lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 
400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 
1,5m2, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 X
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que 
contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia 
solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), 
podemos afirmar que as grandezas são diretamente 
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo 
sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e 
resolvendo a equação temos:
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 
400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em 
quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade 
utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade 
(Km/h)
Tempo (h)
400 3
480 X
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que 
contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do 
percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), 
podemos afirmar que as grandezas são inversamente 
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no 
sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a 
proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas 
e 30 minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela 
pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas Preço (R$)
3 120
5 X
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o 
preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), 
podemos afirmar que as grandezas são diretamente 
proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação 
temos:
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou 
determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for 
reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo 
trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por 
dia
Prazo para término 
(dias)
8 20
5 X
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o 
prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), 
podemos afirmar que as grandezas são inversamente 
proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Cursita esta claro o que acabou de aprender? Então vamos 
continuar com nosso conteúdo, lembrando bem que você não está 
sozinho e pode tirar dúvidas sempre que precisar.
Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de 
duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. 
Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para 
descarregar 125m3?Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as 
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de 
espécies diferentes que se correspondem:
Horas
Caminhõ
es
Volume
8 20 160
5 x 125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que 
contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o 
número de caminhões. Portanto a relação é inversamente
proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de 
caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para 
baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo 
x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 
carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 
homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
Homens
Carrinho
s
Dias
8 20 5
4 x 16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de 
carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente 
proporcional(não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de 
carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente 
proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos 
igualar a razão que contém o termo x com o produto das 
outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m 
de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 
4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que 
contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as 
grandezas diretamente proporcionais com a incógnita 
e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra 
a figura abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Mais se você tiver dificuldade em entender os exemplos com 
flechinha, temos outra forma de aprender, veja novamente o 
mesmo exemplo: 
Vamos colocar letrinha D (diretamente) sempre para a grandeza 
que tiver a incógnita,
Analisando as grandezas altura e dias, percebemos que se a 
altura aumenta então dias também irá aumentar, logo são duas 
grandezas diretamente proporcionais, então letrinha D para as 
duas grandezas.
Analisando as grandezas pedreiro e dias, percebemos que se a 
quantidade de pedreiros aumentou então dias irá diminuir, logo 
são duas grandezas inversamente proporcionais, sendo uma com 
letrinha D e outra com I
pedreiros altura dias
I D D
Para calcular iremos inverter sempre a ordem da grandeza que 
tiver o I, vejamos:
= =
=
=
.
6x= 72 
X = 
X =12
Bibliografia:
http://www.somatematica.com.br/soexercicios/proporcoes.php
DANTE, Luis Roberto, Projeto Telares: matemática. Ed. – São Paulo: Ática, 
2012