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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE EDUCAÇÃO E SAÚDE UNIDADE ACADÊMICA DE EDUCAÇÃO PERÍODO 2011.2 TURNO: DATA: PROFESSORA: CÉLIA MARIA RUFINO FRANCO Aluno (a): ____________________________________ NOTAS DE AULAS DE CÁLCULO II Capítulo 1 Funções Transcendentes e Funções Trigonométricas Inversas 1.1 Funções Inversas A ideia da função inversa é resolver uma equação y = f(x) para x como função de y; digamos x = f�1(y) de tal maneira que as igualdades i) f�1(f(x)) = x; 8 x no domínio de f , ii) f(f�1(y)) = y; 8 y no domínio de f�1 sejam satisfeitas. De nição 1.1 (Função Injetora) Uma função f(x) é injetora no domínio D se f(x1) 6= f(x2) sempre que x1 6= x2 em D: De nição 1.2 (Função Inversa) Seja f uma função injetora num domínio D com imagem S: A função inversa f�1 é de nida por f�1(a) = b se f(b) = a: O domínio de f�1 é S e a imagem de f�1 é D: 1 Exemplo 1.1 As funções f(x) = x3 e f�1(y) = 3 p y são funções inversas: Observação 1.1 É importante entender que uma função está determinada pela lei que a de ne e não pela letra usada para a variável independente. Assim, f�1(y) = 3 p y; f�1(x) = 3 p x; etc. Exemplo 1.2 As funções f(x) = ex e f�1(x) = lnx são inversas. Observação 1.2 Nem toda função possui inversa. Por exemplo, f : R ! R de nida por f(x) = x2 não possui inversa. Mas, se de nirmos f de R+ em R+ então y = f(x) = x2 admite inversa x = f�1(y) = p y: Observação 1.3 Uma função que é crescente em dado intervalo, satisfazendo f(x2) > f(x1) quando x2 > x1; é injetora e tem inversa. Funções decrescentes também têm inversas. Exercício 1 Determine a inversa de f(x) = 1 2 x + 1 e represente gra camente. Calcule também a derivada de f e a derivada de f�1: Qual a relação existente entre suas derivadas? 1.2 Derivadas de Funções Inversas Existe uma relação de reciprocidade entre as derivadas ou os coe cientes angulares de f e f�1: Se o coe ciente angular de y = f(x) no ponto (a; f(a)) é f 0(a) e f 0(a) 6= 0, então o coe ciente angular de y = f�1(x) no ponto (f(a); a) é o recíproco 1=f 0(a): Considerando b = f(a); então (f�1)0(b) = 1 f 0(a) = 1 f 0(f�1(b)) : Teorema 1.1 (REGRA DA DERIVADA PARA FUNÇÕES INVERSAS) Se y = f(x) é uma função de nida em um intervalo aberto I e f 0(x) existe e nunca é nulo em I, então f�1 é derivável em qualquer ponto de seu domínio e (f�1)0(b) = 1 f 0(f�1(b)) : (1.1) Isto é, o valor de (f�1)0 no ponto b do domínio de f�1 é a recíproca do valor de f 0 no ponto a = f�1(b): 2 Exemplo 1.3 Aplique o Teorema 1.1 para a função f(x) = x2: x > 0: Observação 1.4 A equação (1.1) as vezes nos permite encontrar valores particulares de f�1 sem saber a fórmula para f�1: Exercício 2 Seja f(x) = x2 � 2: Determine o valor de f�1 em x = 6 = f(2) sem achar uma fórmula para f�1(x): Exercício 3 Sabendo que a função exponencial f(x) = ex é derivável em R; aplique o Teorema 1.1 para encontrar a derivada de sua inversa f�1(x) = lnx: 1.3 Funções Exponenciais e Logarítmicas 1.3.1 A Função Logaritmo Natural O logaritmo natural de um número positivo x; denotado por lnx; é o valor de uma integral. De nição 1.3 A função logaritmo natural é de nida por lnx = Z x 1 1 t dt; x > 0: O domínio da função logaritmo natural é o intervalo (0;+1): Se x > 1; então lnx é a área sob o grá co da curva y = 1=t de t = 1 a t = x: Para 0 < x < 1; lnx fornece o negativo da área sob o grá co da curva y = 1=t de t = x a t = 1: Neste caso, lnx = Z x 1 1 t dt = � Z 1 x 1 t dt: Para x = 1; temos ln 1 = Z 1 1 1 t dt = 0: 3 A Derivada da Função Logaritmo Natural Como lnx = R x 1 1 t dt para x > 0; segue do Teorema Fundamental do Cálculo que d dx (lnx) = d dx Z x 1 1 t dt = 1 x : Logo, d dx (lnx) = 1 x ; x > 0: (1.2) Teorema 1.2 Se u é uma função derivável de x; então: 1. d dx (lnu) = 1 u du dx ; se u > 0: 2. d dx (ln juj) = 1 u du dx ; se u 6= 0: Exercício 4 Dado y = ln(3x2 � 6x+ 8); calcule dy dx : Exercício 5 Dado f(x) = 5x ln( p cosx); calcule f 0(x): Exercício 6 Dado y = ln j4 + 5x� 2x3j ; calcule dy dx : Exercício 7 Dado f(x) = jxj ; calcule f 0(x): Propriedades da Função Logaritmo Natural A função lnx tem as seguintes propriedades algébricas: 1. ln(ax) = ln a+ lnx; a > 0; x > 0: 2. ln �a x � = ln a� lnx; a > 0; x > 0: 3. ln � 1 x � = � lnx; x > 0: 4. ln (xr) = r lnx; sendo r qualquer número racional. Essas propriedades são decorrentes da equação (1.2) e do teorema do valor médio para derivadas. 4 O Grá co e a Imagem da Função Logaritmo Natural Proposição 1.1 A função lnx é crescente para x > 0: Demonstração. A derivada d dx (lnx) = 1 x é positiva para x > 0; logo lnx é uma função crescente de x: Proposição 1.2 O grá co da função lnx é côncavo para baixo. Demonstração. A segunda derivada, �1=x2; é negativa, logo o grá co de lnx é côncavo para baixo. Observação 1.5 Segue da nossa intuição geométrica que quando x se torna muito grande positivo, lnx se torna muito grande positivo. Isto é, lim x!1 lnx =1: Temos também, lim x!0+ lnx = lim t!1 ln � 1 t � = lim t!1 (� ln t) = � lim t!1 ln t = �1: A função lnx é contínua (pois é derivável) em (0;+1) e pelo Teorema do Valor Intermediário assume qualquer valor real. Portanto, concluímos que a sua imagem é a reta real inteira, o que leva ao grá co de y = ln x mostrado acima. 1.4 Integrais envolvendo Logaritmos Naturais Se u é uma função derivável diferente de zero, entãoZ 1 u du = ln juj+ C pois d du (ln juj+ C) = 1 u : 5 Exemplo 1.4 Vamos calcular as integrais: a) Z �5 �9 1 x+ 1 dx b) Z x x2 + 7 dx c) Z (lnx)2 x dx: 1.4.1 Integrais das Funções: Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 1. R tan x dx = � ln jcosxj+ C 2. R cotx dx = ln jsin xj+ C 3. R sec x dx = ln jsec x+ tan xj+ C 4. R csc x dx = ln jcsc x� cotxj+ C: Exemplo 1.5 Vamos calcular as integrais: a) Z tan(4x)dx b) Z 1 cos(5x) dx c) Z x cot(x2)dx: 1.5 A Função Exponencial Natural A função ln; por ser uma função crescente com domínio (0;1) e imagem (�1;1) possui uma inversa com domínio (�1;1) e imagem (0;1) chamada Função Exponencial Natural e denotada por " exp ": De nição 1.4 A função Exponencial Natural é de nida por: y = exp x() x = ln y; para todo número real x: Como consequência de exp ser a inversa de ln; temos: i) exp(lnx) = x, 8 x > 0 ii) ln(expx) = x, 8 x 2 R: 6 O grá co de y = expx pode ser obtido reetindo-se o grá co de lnx em relação à reta y = x: Note que lim x!1 expx =1 e lim x!�1 expx = 0: De nição 1.5 (O número e): O número "e" é aquele número no domínio do logaritmo que satisfaz ln(e) = Z e 1 1 t dt = 1 Isto é, exp(1) = e: O número "e" é um número irracional, aproximadamente igual a 2; 71828: Se r é um número racional arbitrário, então ln er = r ln r = r(1) = r: (1.3) Uma vez que lnx é injetora e ln(exp r) = r; segue de (1.3) que exp r = er: Isto motiva a seguinte de nição. De nição 1.6 Se x é um número real, então expx = ex e y = ex se e somente se x = ln y: 7 Esta é a razão para chamarmos exp uma função exponencial e referimo-nos a ela como função exponencial de base e: A partir de agora escreveremos ex em vez de expx para denotar valores da função exponencial natural. Assim, i) ln ex = x para todo x 2 R ii) elnx = x para todo x > 0: Teorema 1.3 Se x; x1 e x2 são números reais e r é um número racional, então: i) ex1exx = ex1+x2 ii) e�x = 1 ex iii) ex1 ex2 = ex1�x2 iv) (ex)r = erx: 1.5.1 A Derivada e a Integral de ex A funçãoexponencial é derivável, uma vez que é a inversa de uma função derivável cuja derivada nunca é zero. Calcularemos sua derivada usando o Teorema (1.1). Teorema 1.4 A função y = ex é derivável e d dx (ex) = ex: Observação 1.6 Como ex > 0; sua derivada também é positiva em qualquer ponto, portanto é uma função crescente e contínua para qualquer x Teorema 1.5 Se u = g(x) e g é derivável, então d dx (eu) = eu � du dx : Exemplo 1.6 Calcule a derivada de cada função abaixo. a) y = x2ex b) y = e p x2+1: Teorema 1.6 Se u = g(x) e g é derivável, entãoZ eudu = eu + C: Exemplo 1.7 Calcule as integrais a) Z x2ex 3 dx b) Z 2 1 e3=x x2 dx: 8 1.6 Funções Exponenciais e Logarítmicas Gerais 1.6.1 A Função Exponencial Geral Como a = eln a para qualquer número positivo a, podemos pensar em ax como� eln a �x = ex ln a: Estabelecemos, assim, a seguinte de nição. De nição 1.7 (Funções Exponenciais Gerais): Sejam a > 0 e x um número real qualquer. A função exponencial de base a é de nida por: ax = ex ln a: Pela primeira vez, temos um signi cado preciso para um expoente irracional. Se a = e; a de nição leva a ax = ex ln a = ex ln e = ex�1 = ex: O Teorema (1.3) também é válido para ax: Por exemplo, ax1 � ax2 = ex1 ln a � ex2 ln a = ex1 ln a+x2 ln a = e(x1+x2) ln a = ax1+x2 : Teorema 1.7 Se a > 0; então d dx (ax) = ax ln a: Teorema 1.8 Se a > 0 e u é uma função derivável de x, então au é uma função derivável de x e d dx (au) = au ln a � du dx Exemplo 1.8 Calcule a derivada das funções: a) y = 10x b) y = 2x 2 c) y = 3tanx d) y = (x2 + 1)10 + 10x 2+1: 9 Teorema 1.9 (Regra Geral da Potência): Seja n 2 R e seja f(x) = xn de nida para qualquer x > 0: Então f 0(x) = nxn�1: Exercício 8 Calcule a derivada das funções: a) f(x) = x p 2 b) f(x) = (1 + e2x)� c) f(x) = xx; x > 0: Teorema 1.10 Se a > 0, a 6= 1 e u é uma função derivável de x, entãoZ audu = au ln a + C: Exemplo 1.9 Calcular as integrais a) Z 3xdx b) Z x3(x 2)dx c) Z 1 0 3�xdx d) Z 5sin(2x) cos(2x)dx: 1.6.2 A Função Logaritmo Geral Se a é qualquer número positivo diferente de 1, a função ax é injetora e tem uma derivada não nula em qualquer ponto. Tem, portanto, uma inversa derivável chamada de logaritmo de x na base a e denotada por loga x: De nição 1.8 Para qualquer número positivo a 6= 1; loga x é a função inversa de ax: Assim, y = loga x se e somente se x = a y: Por exemplo, log6 36 = 2; pois 36 = 6 2: Quando a = e; temos que y = loge x signi ca que x = e y; isto é, y = lnx: Portanto, lnx = loge x: Vamos expressar loga x em termos de logaritmos naturais: De x = a y; temos lnx = ln(ay) = y ln a 10 ou seja, y = lnx ln a : Como y = loga x; então loga x = lnx ln a : (1.4) Teorema 1.11 Para quaisquer números x1 > 0 e x2 > 0; a > 0; a 6= 1; temos 1. loga x1x2 = loga x1 + loga x2 2. loga x1 x2 = loga x1 � loga x2 3. loga 1 x1 = � loga x1 4. loga x x2 1 = x2 loga x1: Derivada da Função Logaritmo Geral A função y = loga x é derivável para x > 0; a > 0 e a 6= 1. A partir da fórmula (1.4) de mudança de base, obtemos d dx (loga x) = 1 x ln a : Se u é uma função derivável de x; então: d dx (loga juj) = 1 u ln a � du dx : Exemplo 1.10 Calcule a derivada das funções a) y = log2(x 2 + 5) b) y = log 3 p (2x+ 5)2: Teorema 1.12 lim h!0 (1 + h)1=h = e: 11 1.7 Derivada das Funções Trigonométricas Inversas 1.7.1 A Função Arco Seno Consideremos a função f(x) = sin x de nida em [��=2; �=2]. Temos que a imagem de f é o intervalo [�1; 1] e f 0(x) = cosx > 0; para todo x 2 (��=2; �=2) : Logo, f é crescente em [��=2; �=2] e portanto é injetiva. Pelo Teorema (1.1), a função f(x) = sinx possui inversa de nida no intervalo [�1; 1], chamada função arco seno e denotada por f�1(x) = arcsin x ou f�1(x) = sin�1 x: Assim, y = arcsinx se e somente se x = sin y: Temos ainda que � f�1 �0 (x) = 1 f 0(f�1(x)) = 1 cos(arcsinx) = 1 cos y ; 8x 2 (�1; 1): (1.5) Mas, cos2 y + sin2 y = 1 ) cos2 y = 1� sin2 y ou seja, cos y = p 1� x2; pois cos y > 0 8y 2 (��=2; �=2): (1.6) Substituindo (1.6) em (1.5), obtemos � f�1 �0 (x) = 1p 1� x2 ; para todo x 2 (�1; 1): Desta forma, a função arco seno é derivável no intervalo (�1; 1) e d dx (arcsinx) = 1p 1� x2 : 1.7.2 A Função Arco Cosseno Consideremos a função f(x) = cosx de nida em [0; �]. Temos que a imagem de f é o intervalo [�1; 1] e f 0(x) = � sin x < 0; para todo x 2 [0; �] : Logo, f é decrescente em [0; �] e portanto é injetiva. Pelo Teorema (1.1), a função f(x) = cosx possui inversa de nida 12 no intervalo [�1; 1], chamada função arco cosseno e denotada por f�1(x) = arccos x ou f�1(x) = cos�1 x: Assim, y = arccosx se e somente se x = cos y: Além disso,� f�1 �0 (x) = 1 f 0(f�1(x)) = 1 � sin(arccos x) = 1 � sin y ; 8x 2 (�1; 1): (1.7) Mas, cos2 y + sin2 y = 1 ) sin2 y = 1� cos2 y ou seja, sin y = p 1� x2; pois sin y > 0 8y 2 (0; �): (1.8) Substituindo (1.8) em (1.7), obtemos� f�1 �0 (x) = � 1p 1� x2 ; para todo x 2 (�1; 1): Desta forma, a função arco cosseno é derivável no intervalo (�1; 1) e d dx (arccos x) = � 1p 1� x2 : 1.7.3 A Função Arco Tangente Consideremos a função f(x) = tanx de nida em (��=2; �=2). Quando x se aproxima de �=2 a tan x assume valores positivos arbitrariamente grandes e quando x se aproxima de ��=2 a tan x assume valores negativos arbitrariamente grandes. Isto signi ca que as retas x = ��=2 e x = �=2 são assítotas verticais da função f(x) = tanx: Temos que a imagem de f é o conjunto dos números reais e f 0(x) = sec2 x = 1 + tan2 x > 0; para todo x 2 (��=2; �=2) : Logo, f é crescente em (��=2; �=2) e portanto é injetiva. Pelo Teorema (1.1), a função f(x) = tanx possui inversa de nida em R, chamada função arco tangente e denotada por f�1(x) = arctanx ou f�1(x) = tan�1 x: Assim, y = arctan x se e somente se x = tan y: 13 Além disso, � f�1 �0 (x) = 1 f 0(f�1(x)) = 1 sec2(arctanx) = 1 sec2 y = 1 1 + tan2 y = 1 1 + x2 ; 8x 2 R: (1.9) Desta forma, a função arco tangente é derivável em R e d dx (arctanx) = 1 1 + x2 : 1.7.4 A Função Arco Cotangente Consideremos a função f(x) = cotx de nida no intervalo (0; �). Temos que f 0(x) = � csc2 x < 0; para todo x 2 (0; �) : Logo, f é decrescente em (0; �) e portanto é injetiva. Além disso, a imagem de f é o conjunto dos números reais. Pelo Teorema (1.1), a função f(x) = cotx possui inversa de nida em R, chamada função arco cotangente e denotada por f�1(x) = arccotx ou f�1(x) = cot�1 x: Assim, y = arccotx se e somente se x = cot y: Usaremos a identidade, arccotx = � 2 � arctanx; 8x 2 R para obter a derivada da função arccot x: Temos, d dx (arccotx) = d dx ( � 2 � arctanx) = � d dx (arctanx) = � 1 1 + x2 : Desta forma, a função arco cotangente é derivável em R e d dx (arccotx) = � 1 1 + x2 : 14 1.7.5 A Função Arco Secante Consideremos a função f(x) = sec x de nida em [0; �=2) [ (�=2; �] : Temos que f 0(x) = sec x � tan x = 1 cosx � sin x cosx = sin x cos2 x > 0; para todo x 2 (0; �=2) [ (�=2; �): Logo, f é crescente em [0; �=2)[ (�=2; �] e portanto é injetiva. Pelo Teorema (1.1), a função f(x) = cotx possui inversa de nida em (�1;�1][ [1;+1), chamada função arco secante e denotada por f�1(x) = arcsecx ou f�1(x) = sec�1 x: Assim, y = arcsec x se e somente se x = sec y: Além disso, � f�1 �0 (x) = 1 f 0(f�1(x)) = 1 f 0(arcsecx) = 1 sec y � tan y (1.10) = 1 x tan y ; 8x 2 (�1;�1) [ (1;+1): (1.11) Mas, tan2 y = sec2 y � 1 =)tan y = � p sec2 y � 1 = � p x2 � 1: (1.12) Substituindo (1.12) em (1.10), obtemos � f�1 �0 (x) = 1 �xpx2 � 1 : Como (f�1)0 (x) > 0; 8x 2 (�1;�1) [ (1;+1) então � f�1 �0 (x) = 1 jxjpx2 � 1 : Desta forma, a função arco secante é derivável em (�1;�1) [ (1;+1) e d dx (arcsecx) = 1 jxjpx2 � 1 : 1.7.6 A Função Arco Cossecante Consideremos a função f(x) = cscx de nida em [��=2; 0) [ (0; �=2] : Temos que f 0(x) = � csc x � cotx = � cosx sin2 x < 0; 8x 2 (��=2; 0) [ (0; �=2): Logo, f é decrescente em 15 [��=2; 0) [ (0; �=2] e portanto é injetiva. Pelo Teorema (1.1), a função f(x) = csc x possui inversa de nida em (�1;�1][ [1;+1), chamada função arco cossecante e denotada por f�1(x) = arccscx ou f�1(x) = csc�1 x: Assim, y = arccsc x se e somente se x = csc y: Usaremos a identidade, arccsc x = � 2 � arcsec x; jxj > 1: para obter a derivada da função arccot x: Temos, d dx (arccscx) = d dx ( � 2 � arcsec x) = � d dx (arcsecx) = � 1jxjpx2 � 1 : Desta forma, a função arco cossecante é derivável em (�1;�1) [ (1;+1) e d dx (arccscx) = � 1jxjpx2 � 1 : Em resumo, se u é uma função derivável de x; então: 1. d dx (arcsinu) = 1p 1�u2 du dx ; juj < 1 2. d dx (arccosu) = � 1p 1�u2 du dx ; juj < 1 3. d dx (arctanu) = 1 1 + u2 du dx 4. d dx (arccotu) = � 1 1 + u2 du dx 5. d dx (arcsecu) = 1 jujpu2 � 1 du dx ; juj > 1 6. d dx (arcsecu) = � 1jujpu2 � 1 du dx ; juj > 1: 16 Exercício 9 Derive as seguintes funções: a) y = arcsin(x2) b) y = cos�1(1=x) c) y = arctan( p x) d) y = arccot � 2x 3 � e) y = arcsec � 2 3x � f) y = arccsc �p x2 + 9 � 1.8 Integrais que Produzem Funções Trigonométricas Inversas 1. R 1p 1� x2dx = arcsinx+ C; jxj < 1 2. R 1 1 + x2 dx = arctan x+ C 3. R 1 x p x2 � 1dx = arcsec jxj+ C; jxj > 1: As integrais (1), (2) e (3) podem ser facilmente generalizadas: 1. R 1p a2 � x2dx = arcsin �x a � + C; a > 0; jxj < a 2. R 1 a2 + x2 dx = 1 a arctan �x a � + C: 3. R 1 x p x2 � a2dx = 1 jaj arcsec ���x a ���+ C; a 6= 0 e jxj > jaj : Exercício 10 Calcule as integrais: a) Z 1p 4� x2dx b) Z x2 5 + x6 dx c) Z 1 x p x4 � 9dx d) Z dxp 8x� x2 e) Z 3x+ 2p 1� x2dx: 17 Capítulo 2 Técnicas de Integração 2.1 Integração por Partes Se f e g são funções deriváveis de x; a regra do produto diz que d dx [f(x)g(x)] = f 0(x)g(x) + f(x)g0(x): Em termos de integrais inde nidas, essa equação se tornaZ d dx [f(x)g(x)] dx = Z [f 0(x)g(x) + f(x)g0(x)] dx ou Z d dx [f(x)g(x)] dx = Z f 0(x)g(x)dx+ Z f(x)g0(x)dx: Assim, Z f(x)g0(x)dx = Z d dx [f(x)g(x)] dx� Z f 0(x)g(x)dx o que leva à fórmula da integração por partesZ f(x)g0(x)dx = f(x)g(x)� Z f 0(x)g(x)dx: (2.1) Sejam u = f(x) e v = g(x): Então, du = f 0(x)dx e dv = g0(x)dx 18 e substituindo em (2.1), obtemos: Z udv = uv � Z vdu: (2.2) Supondo que tando f 0 quanto g0 sejam contínuas ao longo do intervalo [a; b] ; o Teorema Fundamental do Cálculo nos leva a fórmula de integração por partes para integrais de nidas:Z b a f(x)g0(x)dx = f(x)g(x)]ba � Z b a f 0(x)g(x)dx ou (2.3)Z b a udv = uv]ba � Z b a vdu; se u = f(x) e v = g(x): Exemplo 2.1 (Integral do Logaritmo Natural) R lnxdx = x lnx� x+ C Exemplo 2.2 Vamos calcular as integrais a) Z x cosxdx b) Z xexdx c) Z x2exdx d) Z arcsinxdx d) Z 4 0 xe�xdx e) Z ex cosxdx: 2.2 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Recorde que uma função racional é da forma p(x) q(x) ; onde p(x) e q(x) são polinômios e q(x) 6= 0: Quando o grau de p(x) é menor que o grau de q(x); a função racional p(x) q(x) é chamada função racional própria. Vamos descrever um método para calcular R p(x) q(x) dx; onde p(x) q(x) é uma função racional própria. A idéia básica é escrever a função racional dada como uma soma de frações mais simples. Para isto, usaremos alguns resultados importatntes da Álgebra, que serão apresentados a seguir. Proposição 2.1 Se q(x) é um polinômio com coe cientes reais, q(x) pode ser expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coe cientes reais. 19 Exemplos 1 a) q(x) = x2�3x+2 = (x�2)(x�1): b) q(x) = x3�x2+x �1 = (x2+1)(x�1): c) q(x) = x2 � 2x� 3 = (x+ 1)(x� 3): De nição 2.1 Um polinômio quadrático é irredutível se não puder ser escrito como o produto de dois fatores lineares com coe cientes reais. Proposição 2.2 Toda função racional própria pode ser expressa como uma soma p(x) q(x) = F1(x) + F2(x) + � � �+ Fn(x) (2.4) onde F1(x); F2(x); : : : ; Fn(x) são funções racionais da forma A (ax+ b)k ou Ax+B (ax2 + bx+ c)k (2.5) nos quais os denominadores são fatores de q(x): A soma (2.4) é a decomposição em frações parciais de p(x) q(x) e cada termo Fi(x); i = 1; : : : ; n é uma fração parcial. Exemplo 2.3 A função racional 5x� 3 x2 � 2x� 3 pode ser escrita como 5x� 3 x2 � 2x� 3 = 2 x+ 1 + 3 x� 3 : No caso do exemplo acima, o método das frações parciais consiste em achar constantes A e B tais que 5x� 3 x2 � 2x� 3 = A x+ 1 + B x� 3 : Diretrizes para obter a decomposição de uma função racional p(x)=q(x)em frações parciais 1. O grau de p(x) dever ser menor que o grau de q(x): Se não for, divida p(x) por q(x) e trabalhe com o resto. 2. Devemos fatorar q(x) completamente em fatores lineares (ax + b)k e/ou quadráticos irredutíveis (ax2 + bx+ c)k; onde k é um inteiro não negativo. 20 3. As formas das respectivas frações parciais são asseguradas por resultados da Álgebra e não serão demonstradas: (a) Fatores Lineares: Para cada fator da forma (ax+b)m; ondem é a maior potência de ax+ b que divide q(x); associe a soma de m frações parciais A1 ax+ b + A2 (ax+ b)2 + � � �+ Am (ax+ b)m : (b) Fatores Quadráticos: Para cada fator da forma (ax2+bx+c)n; onde n é a maior potência de ax2 + bx+ c que divide q(x); associe a soma de n frações parciaiss B1x+ C1 ax2 + bx+ c + B2x+ C2 (ax2 + bx+ c)2 + � � �+ Bnx+ Cn (ax2 + bx+ c)n : 4. A1; A2; : : : ; Am; B1; B2; : : : ; Bn e C1; C2; : : : ; Cn são constantes a serem determinadas. Exemplo 2.4 (Fatores Lineares Distintos) Calcule as integrais usando frações parciais. a) Z 1 x2 � 1dx b) Z x2 + 4x+ 1 (x� 1)(x+ 1)(x+ 3)dx Exemplo 2.5 (Um Fator Linear Repetido) Calcule a integralZ 6x+ 7 (x+ 2)2 dx: Exemplo 2.6 (Integrando com um fator quadrático irredutível no denominador) Calcule as integrais a) Z 1 x(x2 + 1) b) Z �2x+ 4 (x2 + 1)(x� 1)2dx: Exemplo 2.7 (Um fator quadrático irredutível repetido) Calcule a integralZ 4x3 � x (x2 + 5)2 dx: Exemplo 2.8 (Integrando uma fração imprópria) Calcule a integralZ 2x3 � 4x2 � x� 3 x2 � 2x� 3 dx: 21 2.3 Integrais Trigonométricas 2.3.1 Produtos de Potências de Senos e Cossenos Vamos calcular integrais da formaZ sinm x � cosn xdx (2.6) onde m e n são inteiros não negativos (positivos ou zero). Os três casos possíveis estão descritos a seguir. Caso 1: Se m é ímpar; escrevemos m = 2k+1 e usamos a identidade sin2 x = 1�cos2 x para obter sinm x = sin2k+1 x = � sin2 x �k sin x = (1� cos2 x)k sin x: Então, realizamos a substituição u = cos x; du = � sin xdx: Caso 2: Se m é par e n é ímpar; escrevemos n = 2k + 1 e usamos a identidade cos2 x = 1� sin2 x para obter cosn x = cos2k+1 x = � cos2 x �k cosx = (1� sin2 x)k cosx: Então, realizamos a substituição u = sinx; du = cos xdx: Exemplo 2.9 Calcular as integrais a) Z sin3 xdx b) Z cos5 xdx c) Z sin3 x cos2xdx d) Z sin2 x cos5 xdx: Caso 3: Se tantom quanto n são pares em (2.6), usamos as identidades trigonométricas sin2 x = 1� cos 2x 2 e cos2 x = 1 + cos 2x 2 que são consequências da fórmula do cosseno da soma: cos(2x) = cos(x+ x) = cosx cosx� sin x sin x: Exemplo 2.10 Calcule as integrais a) Z sin2 xdx b) Z cos2(2x)dx c) Z sin2 x cos4 xdx d) Z �=4 0 p 1 + cos 4xdx: 22 2.3.2 Integrais de Potências de tan x e sec x Já sabemos como integrar a tangente e a secante e seus quadrados. Para integrar potências maiores, usamos as identidades sec2 x = 1 + tan2 x e tan2 x = sec2 x� 1 e integramos por partes quando necessário, a m de reduzir potências maiores a potência menores. Exemplo 2.11 Calcule as integrais a) Z tan4 xdx b) Z sec3 xdx c) Z tan3 x sec5 xdx d) Z tan2 x sec4 xdx: 2.3.3 Produtos de Senos e Cossenos Se um integrando tem uma das formas sin(mx) cos(nx); sin(mx) sin(nx) ou cos(mx) cos(nx) podemos aplicar integração por partes duas vezes para calcular tais integrais. Neste caso é mais simples usar as identidades: 1. sin (a) cos (b) = 1 2 [sin(a+ b) + sin(a� b)] 2. sin(a) sin(b) = 1 2 [cos(a� b)� cos(a+ b)] 3. cos(a) cos(b) = 1 2 [cos(a� b) + cos(a+ b)] Exemplo 2.12 Calcule as integrais a) Z sin(3x) cos(5x)dx b) Z cos(5x) cos(3x)dx: Exercício 11 Calcule as integrais a) Z sin(5x) cos(2x)dx b) Z cos(4x) cos(3x)dx c) Z sin(7u) sin(3u)du: 23 2.4 Integração por Substituição Trigonométrica Usamos substituição trigonométrica para calcular integrais envolvendo expressões do tipo p a2 � x2; p a2 + x2 ou p x2 � a2 onde a é uma constante positiva. Caso 1: A função integrando envolve p a2 � x2: Neste caso, usamos x = a sin �: Então, dx = a cos �d�: Supondo que �� 2 � � � � 2 ; temos: p a2 � x2 = p a2 � a2 sin2 x = q a2(1� sin2 x) = p a2 cos2 x = a cos �: Caso 2: A função integrando envolve p a2 + x2: Neste caso, usamos x = a tan �: Então, dx = a sec2 �d�: Supondo que �� 2 < � < � 2 ; temos: p a2 + x2 = p a2 + a2 tan2 � = q a2(1 + tan2 �) = p a2 sec2 � = a sec �: Caso 3: A função integrando envolve p x2 � a2: Neste caso, usamos x = a sec �: Então, dx = sec � tan �d�: Supondo que 0 � � < � 2 ou 24 � � � < 3� 2 ; temos: p x2 � a2 = p a2 sec2 � � a2 = p a2(sec2 � � 1) = p a2 tan2 � = a tan �: Exemplos 2 Calcule as integrais 1. R p9� x2 2x2 dx 2. R 1 x2 p x2 + 9 dx 3. R dx x3 p x2 � 16 4. R x2 (4� x2)3=2dx 5. R dxp 25x2 � 4 ; x > 2 5 6. R 2 0 dx (x2 + 4)2 . 25 Capítulo 3 Aplicações da Integral De nida 3.1 Área de uma região no plano 3.1.1 Áreas sob curvas Se f é uma função contínua em [a; b] e f(x) � 0 8x 2 [a; b] ; a área da região limitada pelo grá co de f; pelas retas x = a, x = b e o eixo x é dada por A = Z b a f(x)dx: Se f(x) � 0 8x 2 [a; b] ; então a área da região limitada pelo grá co de f; pelas retas x = a, x = b e o eixo x é dada por A = � Z b a f(x)dx: Exemplo 3.1 Calcule a área da região limitada pela curva y = x2 � 4x; o eixo x e as retas x = 1 e x = 3: Exemplo 3.2 Calcule a área da região limitada pelo grá co da função y = 1� x; o eixo x e as retas x = �1 e x = 2: Exemplo 3.3 Calcule a área da região limitada pela curva y = 4� x2 e o eixo x: 26 3.1.2 Área entre curvas Consideremos duas funções f e g contínuas no intervalo [a; b] ; tal que f(x) � g(x) 8x 2 [a; b] : A área da região limitada pelas curvas y = f(x), y = g(x) e as retas x = a e x = b é A = Z b a [f(x)� g(x)] dx: Exemplo 3.4 Calcule a área da região limitada pelas curvas y = x2 e y = �x2 + 4x: Exemplo 3.5 Calcule a área da região limitada pelas curvas y = x2 e y = x+ 2: Exemplo 3.6 Calcule a área da região limitada por y = p x; y = 0 e y = x� 2: 3.1.3 Integração em y Consideremos agora uma região compreendida entre os grá cos de duas funções x = f(y) e x = g(y); com f e g contínuas e f(y) � g(y) 8y 2 [c; d] :Neste caso, a área da região limitada pelas curvas x = f(y) e x = g(y) e as retas y = c e y = d é dada por A = Z d c [f(y)� g(y)] dy: Exemplo 3.7 Calcule a área da região limitada pelas curvas y2 = 2x� 2 e y = x� 5: Exemplo 3.8 Calcule a área da região limitada por y = p x; y = 0 e y = x� 2: Exemplo 3.9 Calcule a área da região limitada por �x = y2 e x = �2: Exercício 12 Encontre a área da região delimitada pela curva y = xe�x e pelo eixo x de x = 0 até x = 4: Exercício 13 Encontre a área da região delimitada pela circunferência x2 + y2 = 9: 27 3.2 Volume de um sólido 3.2.1 Método das Fatias De nição 3.1 Uma seção transversal de um sólido S é a região plana formada pela interseção entre S e um plano. Da geometria clássica, sabemos que o volume de um cilindro que tem uma área de base A e altura h é V = A � h: Essa equação serve de base para de nirmos os volumes de muitos sólidos não cilíndricos usando o método das fatias. Se a seção transversal do sólido S em cada ponto x no intervalo [a; b] é uma região de área A(x); e A é uma função contínua de x; podemos de nir e calcular o volume do sólido S como uma integral de nida como veremos a seguir. Dividimos [a; b] em n subintervalos de largura �xi e fatiamos o sólido por planos perpendiculares ao eixo x nos pontos de partição a = x0 < x1 � � � < xn�1 < xn = b: Aproximamos a fatia situada entre o plano em xi�1 e o plano em xi por um sólido cilíndrico com área de base A(xi) e altura �xi = xi � xi�1: O volume Vi desse sólido cilíndrico é A(xi) ��xi, aproximadamente o mesmo valor da fatia: Volume da i-ésima fatia � Vi = A(xi) ��xi: O volume V do sólido inteiro S é, então, aproximado pela soma desses volumes cilíndricos: V � nX i=1 Vi = nX i=1 A(xi) ��xi que é uma soma de Riemann para a função A(x) em [a; b] : Esperamos que as aproximações dessas somas melhorem à medida que aumentamos o número de fatias, isto é, fazendo n!1: Assim, teremos V = lim n!1 nX i=1 A(xi) ��xi = Z b a A(x)dx: 28 De nição 3.2 O volume de um sólido compreendido entre os planos x = a e x = b e cuja área da seção transversal por x é um função integrável A(x) é V = Z b a A(x)dx: Exemplo 3.10 Um pirâmide com 3 m de altura tem uma base quadrada com 3 m de lado. A seção transversal da pirâmide, perpendicular à altura x m abaixo do vértice, é um quadrado com x m de lado. Determine o volume da pirâmide. 3.2.2 Sólidos de Revolução: O método do disco Um sólido de revolução é obtido através da rotação de uma região do plano xy em torno de uma reta chamada eixo de rotação. Para determinar o volume de um sólido de revolução precisamos observar que a seção transversal é um disco e, portanto, A(x) = �(raio)2: Caso 1: O volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo x; de uma região compreendida entre o eixo x e a curva y = R(x); a � x � b é: V = Z b a � [R(x)]2 dx onde R(x)é o raio da seção transversal, que corresponde a distância entre a fronteira da região bidimensional e o eixo de revolução. Exemplo 3.11 Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região compreendida entre a curva y = p x; 0 � x � 4 em torno do eixo x: Exemplo 3.12 O círculo x2 + y2 = a2 é girado em torno do eixo x para gerar uma esfera. Determine seu volume. Caso 2: O volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y; de uma região compreendida entre o eixo y e a curva x = R(y); c � y � d é: V = Z d c � [R(y)]2 dy 29 onde R(y)é o raio da seção transversal, que corresponde a distância entre a fronteira da região bidimensional e o eixo de revolução. Exemplo 3.13 Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região de nida pelacurva y = x3 e pelas retas x = 0 e y = 8 em torno do eixo y: Caso 3: O volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta y = c; de uma região compreendida entre a reta y = L e a curva y = R(x); a � x � b é: V = Z b a � [R(x)� L]2 dx: Caso 4: O volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta x = c; de uma região compreendida entre a reta x = M e a curva x = R(y); c � y � d é: V = Z d c � [R(y)�M ]2 dy: Exemplo 3.14 Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região de nida pela curva y = p x e pelas retas y = 1 e x = 4 em torno da reta y = 1: Exemplo 3.15 Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região de nida pela curva x = 1 2 y2 + 1 e pelas retas x = �1; y = �2 e y = 2 em torno da reta x = �1: 3.2.3 Sólidos de Revolução: o método do anel Se a região que giramos para gerar um sólido não atingir ou cruzar o eixo de revolução, o sólido resultante terá um orifício no meio. As seções transversais perpendiculares ao eixo de revolução serão anéis e não discos. As dimensões de um anel típico são Raio externo: R(x) e Raio interno: r(x): A área do anel é A(x) = � [R(x)]2 � � [r(x)]2 = � �[R(x)]2 � [r(x)]2� : De acordo com a de nição de volume, temos V = Z b a � � [R(x)]2 � [r(x)]2� dx: 30 Exemplo 3.16 Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x; da região de nida pela curva y = x2 + 1 e pela reta y = �x+ 3: Exemplo 3.17 Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x; da região de nida pela curva y = 1 4 (13� x2) e pela reta y = 1 2 (x+ 5): Exemplo 3.18 Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y; da região de nida pela curva y = x2 e pela reta y = 2x no primeiro quadrante. 3.2.4 Método das cascas cilíndricas Suponhamos que um sólido S é gerado pela rotação, em torno da reta vertical x = L; da região D delimitada pelo grá co de uma função contínua não negativa y = f(x) e o eixo x ao longo do intervalo fechado nito [a; b] : Pressupomos a � L; portanto a reta vertical x = L pode tocar a região, mas não atrvessá-la. O eixo de rotação é perpendicular ao eixo que contém o intervalo natural de integração. Seja P uma partição do intervalo [a; b] formada pelos pontos a = x0 < x1 < � � � < xn = b e seja ci o ponto médio do i-ésimo subintervalo [xi�1; xi] : Aproximamos a região D usando retângulos com base nessa partição de [a; b] : O i-ésimo retângulo tem altura f(ci) e largura �xi = xi�xi�1: Girando esse retângulo em torno da reta vertical x = L; geramos uma casca cilíndrica de volume Vi. Imagine agora que estamos cortando e desenrolando essa casca cilíndrica para obter um sólido plano retangular (aproximadamente) plano. O volume da casca cilíndrica é o volume da fatia retangular (aproximadamente) plana, isto é, largura� altura� espessura ou seja, Vi = 2�(ci � L)f(ci)�xi: Fazemos uma aproximação para o volume do sólido S somando os volumes das cascas geradas pelos n retângulos com base em P: Assim, V � nX i=1 Vi: 31 O limite dessa soma de Riemann quando n!1 fornece o volume do sólido como uma integral de nida: V = lim n!1 nX i=1 Vi = lim n!1 nX i=1 2�(ci � L)f(ci)�xi = Z b a 2�(x� L)f(x)dx: Exemplo 3.19 A região compreendida pelo eixo x e pela parábola y = f(x) = 3x� x2 gira em torno da reta x = �1 para gerar o formato de um sólido. Qual o volume do sólido? Exemplo 3.20 A região limitada pela curva y = p x; pelo eixo x e pela reta x = 4 gira em torno do eixo x gerando um sólido. Determine o volume desse sólido usando o método das cascas cilíndricas. Exemplo 3.21 A região limitada pelos grá cos de y = p x; y = 1 e x = 4 gira em torno da reta y = �2 gerando um sólido. Determine o volume desse sólido usando o método. Exercício 14 Use o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado pala rotação da região de nida pela curva y = p x pelo eixo x e pela reta x = 4 em tono do eixo indicado a) x = 4 b) y = 2 c) eixo y: 32
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