Resumão Probabilidade Área 2

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TODA A MATEMÁTICA 
GUSTAVO VIEGAS 
 
PROBABILIDADE 
 
https://www.youtube.com/user/cursogustavoviegas 
 
 
ÍNDICE 
 
01 Variáveis aleatórias 
 
02 Valor esperado 
 
03 Variância 
 
04 Distribuição binomial 
 
05 Distribuição hipergeométrica 
 
06 Aproximação binomial da hipergeométrica 
 
07 Distribuição Poisson 
 
08 Aproximação Poisson da binomial 
 
09 Distribuição normal 
 
10 Aproximação normal da binomial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
Definição – variável aleatória 
Uma variável aleatória X é uma função que associa a um 
número real a cada elemento de um espaço amostral. 
Uma variável aleatória é discreta se pode assumir um 
conjunto de valores que é subconjunto de {0, 1, 2, … }. 
 
Exemplo 1 
Considere o lançamento de duas moedas. Com a notação 
K se sair cara e C se sair coroa, o espaço amostral é: 
S = {KK, KC, CK, CC}. 
 
Seja X o número de coroas que aparecem. 
X(KK) = 0 
X(KC) = 1 
X(CK) = 1 
X(CC) = 2 
 
 
Definição - distribuição de probabilidade 
Seja X uma variável aleatória discreta que pode assumir os 
valores x1, x2, x3… .Uma distribuição de probabilidade é 
uma função que determina a probabilidade de cada um 
dos x: 
 𝑓(x) = P(X = x). 
 
A função possui as seguintes características: 
i) 𝑓(x)  0 
 
ii) 
∑𝑓(x)
x
= 1 
 
Também pode ser chamada de função de probabilidade ou 
função massa de probabilidade. 
 
Exemplo 2 
No lançamento de duas moedas, com K se sair cara e C se 
sair coroa, as possibilidades são: {KK, KC, CK, CC}. 
 
Seja X o número de coroas que aparecem. 
 
P(X = 0) =
1
4
 
 
 
KK 
P(X = 1) =
2
4
 
 
KC 
KC 
P(X = 2) =
1
4
 
 
 
CC 
Note que nenhuma probabilidade é negativa e ainda: 
1
4
+
2
4
+
1
4
= 1 
 
Podemos representar de algumas maneiras: 
 
x 0 1 2 
𝑓(x) 1
4
 
2
4
 
1
4
 
 
Gráfico de barras 
 
 
Histograma 
 
Note que cada retângulo tem base 1 e a área total é 1. 
 
Definição - distribuição acumulada de probabilidade 
A função de distribuição acumulada de X é: 
 F(x) = P(X  x). 
 
Exemplo 3 
No lançamento de duas moedas, 
 
P(X  0) =
1
4
 
 
P(X  1) =
1
4
+
2
4
=
3
4
 
 
P(X  2) =
1
4
+
2
4
+
1
4
= 1 
 
F(x) =
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 0, x < 0
1
4
, 0  x < 1
3
4
, 1  x < 2
1, x  2
 
 
Podemos representar graficamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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VALOR ESPERADO 
 
Nota histórica 
O conceito de valor esperado surgiu basicamente de uma 
troca de cartas entre Pascal e Fermat, discutindo sobre 
apostas em jogos de azar. 
 
 
Blaise Pascal 
(1623 — 1662) 
 
Pierre de Fermat 
(1607 – 1665) 
 
Definição - valor esperado 
Considere a variável aleatória X com distribuição de 
probabilidade: 
 
x x1 x2 xn 
𝑓(x) 𝑓(x1) 𝑓(x2) … 𝑓(xn) 
 
 
O valor esperado  (média ou esperança) da variável X é: 
E(X) = x1𝑓(x1) + x2𝑓(x2) + ⋯+ xn𝑓(xn) = ∑xi𝑓(xi)
n
i=1
 
Exemplo 1 
No lançamento de duas moedas, 
com K se sair cara e C se sair 
coroa, o espaço amostral é 
{KK, KC, CK, CC}. 
 
Seja X o número de coroas que aparecem. 
 
x 0 1 2 
𝑓(x) 1
4
 
2
4
 
1
4
 
 
E(X) = 0
1
4
+ 1
2
4
+ 2
1
4
= 1 
 
Assim, se uma pessoa jogar duas moedas muitas vezes, na 
média, obterá uma coroa por jogada. 
 
Exemplo 2 
Suponha que uma pessoa joga roleta, pagando R$ 1 para 
escolher um único número. 
 
x +35 −1 
𝑓(x) 1
37
 
36
37
 
 
E(X) = 35
1
37
+ (−1)
36
37
= −0,027 
 
Assim, se jogarmos muitas vezes, perderemos em muitas 
delas, ganharemos vez e outra, o que dá uma média de 
perder 2,7 centavos por jogada. 
VARIÂNCIA 
 
Definição - variância 
Considere a variável aleatória X com distribuição de 
probabilidade: 
x x1 x2 xn 
𝑓(x) 𝑓(x1) 𝑓(x2) … 𝑓(xn) 
 
Seja  o valor esperado. A variância 2 da variável X é: 
 
Var(X) = 𝑓(x1)(x1 − )
2 +⋯+ 𝑓(xn)(xn − )
2 
 
=∑𝑓(xi)(xi − )
2
n
i=1
 
 
Observação 
A variância é uma medida do quanto os valores estão 
dispersos em relação à média. 
 
Nesse exemplo, X e Y possuem a mesma média, com isso, 
Var(X) < Var(Y). 
 
Proposição 
Var(X) =∑xi
2𝑓(xi)
n
i=1
− (∑xi𝑓(xi)
n
i=1
)
2
 
 
= E(X2) − [E(X)]2 
 
Definição - desvio Padrão 
O desvio padrão da variável X é  = √2. 
 
Exemplo 1 
No lançamento de duas moedas, com K se sair cara e C se 
sair coroa, o espaço amostral é {KK, KC, CK, CC}. 
 
Seja X o número de coroas que aparecem. 
x 0 1 2 
𝑓(x) 1
4
 
2
4
 
1
4
 
 
Var(X) =
1
4
(0 − 1)2 +
2
4
(1 − 1)2 +
1
4
(2 − 1)2 
 
=
1
4
1 +
2
4
0 +
1
4
1 = 0,5 
 
Ou ainda, 
E(X) = 0
1
4
+ 1
2
4
+ 2
1
4
= 1 
 
E(X2) = 02
1
4
+ 12
2
4
+ 22
1
4
= 1,5 
 
Var(X) = 1,5 − 12 = 0,5 
 
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
 
Ensaio de Bernoulli 
Um ensaio de Bernoulli é uma 
experiência que permite apenas dois 
resultados possíveis: sucesso com 
probabilidade p e fracasso com 
probabilidade q = 1 − p e essas 
probabilidades não mudam cada vez 
que se efetua a experiência. 
 
Jakob Bernoulli 
(1654 —1705) 
 
Distribuição Binomial 
Realizando o experimento n vezes, a probabilidade de 
haver x sucessos é: 
P(X = x) = Cn
xpxqn−x 
 
Exemplo 1 
No lançamento de um dado, a 
probabilidade de sair o 4 é p = 1/6 
e a probabilidade de não sair o 4 é 
q = 5/6. Essas probabilidades não 
são alteradas, não importa quantas 
vezes o dado seja lançado. 
 Considere que um dado é lançado 3 
vezes. A probabilidade de o 4 sair 2 
vezes é: 
ppq + pqp + qpp = C3
2 (
1
6
)
2 5
6
 
 
 
 
Exemplo 2 
Considere que 3 peças foram selecionadas certa máquina 
com a característica de produzir 20% de peças 
defeituosas. 
A probabilidade de haver 0 defeituosas é: 
P(X = 0) = C3
00,200,83 = 1 ∙ 1 ∙ 0,83 
 
A probabilidade de haver 1 defeituosa é: 
P(X = 1) = C3
10,210,82 = 3 ∙ 0,2 ∙ 0,82 
 
A probabilidade de haver 2 defeituosas é: 
P(X = 2) = C3
20,220,81 =
3 ∙ 2
2 ∙ 1
∙ 0,22 ∙ 0,8 
 
A probabilidade de haver 3 defeituosas é: 
P(X = 3) = C3
30,230,80 =
3 ∙ 2 ∙ 1
3 ∙ 2 ∙ 1
∙ 0,23 ∙ 1 
 
 
 
 
Observação 
O nome distribuição binomial vem do fato de que as 
probabilidades podem ser obtidas através do binômio: 
 
(0,2 + 0,8)3 = 
 
= C3
00,200,83 + C3
10,210,82 + C3
20,220,81 + C3
30,230,80 
 
Propriedades da distribuição binomial 
E(X) = np 
Var(X) = npq 
 
 
Exemplo 3 
Considere que 5 pessoas foram selecionadas de um 
grande grupo com 10% de doentes. 
 
a) Qual a probabilidade de haver no máximo 2 doentes? 
P(X  2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) 
 
= C5
00,100,95 + C5
10,110,94 + C5
20,120,93 
 
= 1 ∙ 1 ∙ 0,95 + 5 ∙ 0,1 ∙ 0,94 +
5 ∙ 4
2 ∙ 1
∙ 0,12 ∙ 0,93 
 
= 0,9914 
 
b) Qual a probabilidade de haver pelos menos 2 doentes? 
P(X  2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) 
 
1 − C5
00,100,95 − C5
10,110,94 = 0,0814 
 
c) Qual o número esperado de doentes e com qual 
variância? 
E(X) = np = 50,1 = 0,5. 
Var(X) = npq = 50,10,9 = 0,45.5 
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DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA 
 
Considere um conjunto com N elementos dos quais r 
possuem certa característica. Escolhendo-se uma amostra 
de tamanho n, a chance de que x possuam a característica 
é: 
P(X = x) =
Cr
xCN−r
n−x
CN
n 
 
Exemplo 1 
Uma caixa contém 6 bolas azuis e 4 vermelhas. Numa 
amostra de 5 bolas, qual a probabilidade de 3 serem 
azuis? 
 
 
O número de casos totais é C10
5 , o número de maneiras de 
escolher 5 bolas dentre as 10 disponíveis. 
Os casos favoráveis são aqueles com 3 bolas azuis e 2 
bolas vermelhas. Existem C6
3 maneiras de escolher 3 bolas 
azuis dentre as 6 azuis disponíveis e C4
2 maneiras de 
escolher 2 bolas vermelhas dentre as 2 vermelhas 
disponíveis. 
P(X = 3) =
C6
3C4
2
C10
5 
 
Propriedades da distribuição hipergeométrica 
E(X) = np
nr
N
 
 
Var(X) = npq
N − n
N − 1
= n
r
N
(1 −
r
N
)
N − n
N − 1
 
 
Exemplo 2 
Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 
estão queimadas. São escolhidas 6 lâmpadas. 
 
 
a) Qual a probabilidade de que nenhuma esteja 
queimada? 
P(X = 0) =
C5
0C7
6
C12
6 =
1 ∙
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
=
1
132
 
 
b) Qual a probabilidade de que pelo menos 1 esteja 
queimada? 
P(X  1) = 1 − P(x = 0) = 1 −
C5
0C7
5
C12
6 
 
c) Qual o número esperado de lâmpadas queimadas e 
com qual variância? 
E(X) = np = 6
5
12
= 2,5 
 
Var(X) = npq
N − n
N − 1
= 6
5
12

7
12

6
11
 
 
APROXIMAÇÃO BINOMIAL DA 
HIPERGEOMÉTRICA 
 
Considere a distribuição hipergeométrica: 
P(X = x) =
Cr
xCN−r
n−x
CN
n 
 
Se o tamanho n da amostra é pequeno em relação ao 
tamanho N da população, a hipergeométrica é 
aproximada pela distribuição binomial com p = r/N. 
 
A aproximação é boa se n/N ≤ 0,05. 
 
Exemplo 1 
Um fabricante de pneus relatou que, entre um 
carregamento de 5000 envidados a um distribuidor local, 
1000 estavam levemente manchados. Determine a 
probabilidade de alguém comprar 10 desses pneus e 
encontrar 3 que sejam manchados, utilizando: 
 
a) a distribuição hipergeométrica. 
P(X = 3) =
C1000
3 C4000
7
C5000
10 
 
=
1000 ∙ 999 ∙ 998
3 ∙ 2 ∙ 1 ∙
4000 ∙ 3999 ∙ … ∙ 3994
3 ∙ 2 ∙ 1
5000 ∙ 4999 ∙ … ∙ 4992 ∙ 4991
10 ∙ 9 ∙ … ∙ 2 ∙ 1
 
 
= 0,2014 
 
b) a aproximação binomial. 
P(X = x) = Cn
xpxqn−x. 
 
P(X = 3) = C10
3 (
1
5
)
3
(
4
5
)
7
 
 
=
10 ∙ 9 ∙ 8
3 ∙ 2 ∙ 1
∙ (
1
5
)
3
(
4
5
)
7
= 0,2013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DISTRIBUIÇÃO POISSON 
 
Considere que um evento ocorre com média  por 
unidade de medida. A probabilidade de ocorrerem x 
eventos na mesma unidade de medida é: 
P(X = x) =
e−x
x!
 
 
Observação 
Em 1711, Moivre trabalhou na distribuição que acabou 
levando o nome de Poisson, que pensou no assunto em 
1837. 
 
Abraham de Moivre 
(1667 –1754) 
 
Siméon Poisson 
( 1781 — 1840) 
 
Exemplo 1 
Em 1898, o modelo foi usado para estudar 
o número de soldados da Prússia mortos 
por atropelamento a cavalo. 
 
Considere que ocorrem 2 mortes desse tipo 
por mês num batalhão. 
 
a) Qual a probabilidade de não haver mortes em 1 mês? 
Com,  = 2 mortes por mês, 
P(X = 0) =
e−220
0!
 
 
b) Qual a probabilidade de haver 1 morte em 1 mês? 
Com,  = 2 mortes por mês, 
P(X = 1) =
e−221
1!
 
 
c) Qual a probabilidade de haver 3 mortes em 1 mês? 
Com  = 2 mortes por mês, 
P(X = 3) =
e−223
3!
 
 
d) Qual a probabilidade de haver 3 mortes em 2 meses? 
Com  = 4 mortes por 2 meses, 
P(X = 3) =
e−443
3!
 
 
e) Qual a probabilidade de haver 3 mortes em 3 meses? 
Com  = 2 mortes por 3 meses, 
P(X = 3) =
e−663
3!
 
 
Propriedades da distribuição Poisson 
E(X) =  
Var(X) =  
 
 
Exemplo 2 
Em 1909, Erlang utilizou a 
distribuição Poisson para analisar o 
número de ligações recebidas numa 
central telefônica 
 
Considere que uma central receba 3 
ligações por minuto. 
Agner Erlang 
(1878– 1929) 
 
a) Qual a probabilidade de a central receber no máximo 2 
ligações em 6 minutos? 
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 
 
=
e−660
0!
+
e−661
1!
+
e−662
2!
 
 
b) Qual a probabilidade de a central receber pelo menos 
1 ligação em 6 minutos? 
1 − P(X = 0) = 1 −
e−660
0!
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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APROXIMAÇÃO POISSON DA BINOMIAL 
 
Considere a distribuição binomial: 
P(X = x) = Cn
xpxqn−x. 
 
Se n é grande e p é um evento raro, a binomial é 
aproximada pela distribuição Poisson com λ = np. 
 
A aproximação é boa se n ≥ 50, np ≤ 5. 
 
Exemplo 1 
Uma amostra de 50 peças é retirada de uma máquina 
produz 2% de peças defeituosas. Determine a 
probabilidade de se encontrarem duas peças defeituosas 
na amostra, utilizando: 
 
a) a distribuição binomial 
P(X = 2) = C50
2 (0,02)2(0,98)48 
 
=
50 ∙ 49
2 ∙ 1
(0,02)2(0,98)48 
 
= 0,1857 
 
b) a aproximação de Poisson 
λ = np = 50 ∙ 0,02 = 1 
 
P(X = x) =
e−x
x!
 
 
P(X = 2) =
e−112
2!
= 0,1839 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
Curva gaussiana 
A curva em forma de sino foi estudada em 1733, por 
Moivre. Um entendimento maior de sua importcia 
aconteceu em 1774, com Laplace, e em 1809 com Gauss. 
 
 
 
 
Abraham de Moivre 
(1667 – 1754) 
 
 
Pierre Laplace 
(1749 — 1827) 
 
Carl Gauss 
(1777 – 1855) 
 
Distribuição normal 
A versão moderna da distribuição 
normal é de 1915, com Fischer. 
Uma variável aleatória X tem 
distribuição normal se sua função 
densidade é: 
𝑓(x) =
1
√2π
e
−
(x−)2
22 
 
 para x ∈ (−,). 
 
Ronald Fisher 
(1890 – 1962) 
 
Observação 
 é a média e  o desvio padrão. 
 
Distribuição normal padrão 
A normal padrão (ou reduzida) tem média  = 0 e desvio 
padrão  = 1. A notação é N(0,1). 
𝑓(z) =
1
√2π
e−
z2
2 
 
Função de distribuição normal padrão 
 O cálculo da probabilidade P(Z  z) é tabelado. 
 
P(Z  z) = ∫
1
√2π
e−
t2
2 dt
z
−
 
 
 
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Exemplo 1 
a) P(Z  1,02) = 
 
= ∫
1
√2π
e−
t2
2 dt
1,02
−
 
 
= 0,8461 
 
 
 
b) P(0,41  Z  0,90) = 
 
= P(Z  0,90) − P( Z  0,41) 
 
= 0,8159 − 0,6591 
 
= 0,1568 
 
 
 
c) P(Z  0,25) = 
 
= 1 − P(Z  0,25) 
 
= 1 − 0,5987 
 
= 0,4013 
 
 
 
Mudança de variável 
Se a variável aleatória X tem distribuição normal de média 
 e desvio padrão , indicado por X~N(,), calculamos 
sua probabilidade através da mudança de variáveis: 
 
Z =
X − 

 
 
 
Exemplo 2 
Certo grupo de cachorros tem 
massa com média 10 kg e desvio 
padrão 2 kg. 
Considere a variável aleatória X 
que representa a massa do 
cachorro e a mudança de 
variáveis: 
 
 
Z =
X − 10
2
 
 
 
 
a) Qual a probabilidade de um cachorro ter menos do 
que 10,9 kg? 
 
Z =
10,9 − 10
2
= 0,45 
 
P(X  10,9) = P(Z  0,45) = 0,6736 
 
b) Qual a probabilidade de um cachorro ter entre 11 kg e 
12 kg? 
 
Z =
11 − 10
2
= 0,5 
 
Z =
12 − 10
2
= 2 
 
P(11  X  12) = 
 
= P(0,5  Z  1) 
 
= P(Z  1) − P( Z  0,5) 
 
= 0,8413 − 0,6915 
 
= 0,1498 
 
c) Qual a probabilidade de um cachorro ter mais do que 
10,3 kg? 
 
Z =
10,3 − 10
2
= 0,15P(X  10,3) = 
 
= P(Z  0,15) 
 
= 1 − P(Z  0,15) 
 
= 1 − 0,5596 
 
= 0,4404 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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APROXIMAÇÃO NORMAL DA BINOMIAL 
 
Considere a distribuição binomial: 
P(X = x) = Cn
xpxqn−x. 
 
Se n é grande e p e q não são muito próximos de zero, a 
binomial é aproximada pela distribuição normal com 
 = np e 2 = npq. 
 
A aproximação é boa se np ≥ 5 e nq ≥ 5. 
 
Correção da continuidade 
A aproximação da binomial por uma normal melhora com 
a correção: 
 
 Correção 
P(X ≤ b) P(X ≤ b + 0,5) 
P(X < b) P(X < b − 0,5) 
P(X ≥ a) P(X ≥ a − 0,5) 
P(X > a) P(X > a + 0,5) 
P(X = a) P(a − 0,5 < X < a + 0,5) 
 
Exemplo 1 
Determine a probabilidade de se obter entre 3 e 6 caras 
(inclusive) em 10 jogadas de uma moeda, utilizando: 
a) distribuição binomial; 
P(X = 3) = C10
3 (
1
2
)
3
(
1
2
)
7
=
10 ∙ 9 ∙ 8
3 ∙ 2 ∙ 1
1
210
=
120
1024
 
 
P(X = 4) = C10
4 (
1
2
)
4
(
1
2
)
6
=
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
1
210
=
210
1024
 
 
P(X = 5) = C10
5 (
1
2
)
5
(
1
2
)
5
=
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
1
210
=
252
1024
 
 
P(X = 6) = C10
6 (
1
2
)
6
(
1
2
)
4
=
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
1
210
=
210
1024
 
 
P(3 ≤ X ≤ 6) =
792
1024
= 0,7734 
 
b) a aproximação normal da binomial. 
 = np = 10 (
1
2
) = 5 
2 = npq = 10 (
1
2
) (
1
2
) = 2,5 
 
Z =
X − 

=
2,5 − 5
√2,5
= −1,58 
 
Z =
X − 

=
6,5 − 5
√2,5
= 0,95 
 
P(2,5 ≤ X ≤ 6,5) 
 
= P(−1,58 ≤ Z ≤ 0,95) 
 
= 0,8289 − 0,0571 
 
= 0,7718 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
Exercício 1 
Determine a probabilidade de, em 4 lançamentos de um 
dado, o número 5 sair na face voltada para cima: 
a) pelo menos uma vez; 
b) no máximo duas vezes. 
 
Exercício 2 
A taxa de imunização de uma doença é de 80%. Num 
grupo de 20 pessoas vacinadas, qual a chance de 15 
estarem imunizadas? 0,175 
 
Exercício 3 
20% das peças produzidas por uma máquina são 
defeituosas. 
a) Determine a probabilidade de que, em 5 peças 
escolhidas aleatoriamente, menos de duas sejam 
defeituosas. 
b) Num lote de 400 peças, qual a média de peças 
defeituosas e com qual desvio padrão? 
 
Exercício 4 
O “peso” médio de um grande grupo de alunos é 70 kg 
com desvio padrão de 4 kg. Determine a probabilidade de 
uma parte deles ter: 
a) menos de 60 kg; 
b) entre 68 kg e 72 kg; 
c) mais de 78 kg. 
 
Exercício 5 
Determine a probabilidade de se obter entre 240 e 260 
caras (inclusive) em 500 jogadas de uma moeda, 
utilizando: 
a) distribuição binomial (apenas indique as contas); 
b) aproximação normal da binomial. 
 
Exercício 6 
No lançamento de 30 moedas honestas, a probabilidade 
de saírem exatamente 12 caras, utilizando: 
a) distribuição binomial; 8,06% 
b) a aproximação normal da binomial. 8,11% 
 
Exercício 7 
Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, 
ocorrem defeitos a uma taxa de 1 a cada 2000 metros. 
Qual a probabilidade de que um rolo com 6000 metros de 
fita magnética tenha: 
a) no máximo dois defeitos? 
b) pelo menos dois defeitos? 
 
Exercício 8 
Se a probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa 
à injeção de determinado soro é 0,001, determine a 
probabilidade de que, em 2000 indivíduos, exatamente 
mais de 2 acusem reação negativa. 
Utilize a aproximação Poisson da binomial. 0,323 
 
 
Exercício 9 
Uma caixa contém 16 fichas azuis e 4 vermelhas. Se 5 
fichas forem retiradas, qual a chance de 2 serem 
vermelhas? 0,217 
 
Exercício 10 
Uma caixa contém 1600 fichas azuis e 400 vermelhas. Se 
5 fichas forem retiradas, qual a chance de 2 serem 
vermelhas? 
Utilize a aproximação binomial da hipergeométrica.