circuitos Primeira Ordem

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Circuitos de Primeira Ordem
Professor: Kennedy Reurison Lopes
Email: kenreurison@dca.ufrn.br
Departamento de Engenharia de Computac¸a˜o e Automac¸a˜o
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Teoria de Circuitos
Prof. Kennedy Lopes Circuitos de Primeira Ordem
Circuitos de Primeira Ordem
Circuitos de Primeira Ordem
Sa˜o circuitos em que suas equac¸o˜es esta˜o caracterizadas por
equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem.
C dvdt +
v
R = 0
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Descarregamento de capacitor
Considere que o capacitor estava inicialmente carregado
(v(0) = V0) quando de repente (t = 0), a chave se fecha.
Determine enta˜o para o capacitor:
a) A tensa˜o no instante t = 0+.
b) A tensa˜o no instante t æŒ.
c) A corrente no instante t = 0≠.
d) A corrente no instante t = 0+.
e) A tensa˜o em func¸a˜o do tempo.
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Descarregamento de capacitor
a) A tensa˜o no instante t = 0+.
Como o capacitor impede
variac¸o˜es bruscas de tensa˜o, a tensa˜o em t = 0+ sera´ a
mesma que em t = 0≠: V0.
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Descarregamento de capacitor
a) A tensa˜o no instante t = 0+. Como o capacitor impede
variac¸o˜es bruscas de tensa˜o, a tensa˜o em t = 0+ sera´ a
mesma que em t = 0≠: V0.
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Descarregamento de capacitor
b) A tensa˜o no instante t æŒ.
Neste momento o capacitor ira´
descarregar completamente no resistor, logo v(t æŒ) = 0.
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Descarregamento de capacitor
b) A tensa˜o no instante t æŒ. Neste momento o capacitor ira´
descarregar completamente no resistor, logo v(t æŒ) = 0.
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Descarregamento de capacitor
c) A corrente no instante t = 0≠.
No instante anterior ao
fechamento da chave, na˜o existira´ uma corrente. Portanto:
i0 = 0.
d) A corrente no instante t = 0+.
e) A tensa˜o em func¸a˜o do tempo.
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Descarregamento de capacitor
c) A corrente no instante t = 0≠. No instante anterior ao
fechamento da chave, na˜o existira´ uma corrente. Portanto:
i0 = 0.
d) A corrente no instante t = 0+.
e) A tensa˜o em func¸a˜o do tempo.
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Descarregamento de capacitor
d) A corrente no instante t = 0+.
Neste momento, a corrente
podera´ ter saltos para compensar a manutenc¸a˜o da tensa˜o no
capacitor. Portanto, a corrente sera´:i(0+) = V0R .
e) A tensa˜o em func¸a˜o do tempo.
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Descarregamento de capacitor
d) A corrente no instante t = 0+. Neste momento, a corrente
podera´ ter saltos para compensar a manutenc¸a˜o da tensa˜o no
capacitor. Portanto, a corrente sera´:i(0+) = V0R .
e) A tensa˜o em func¸a˜o do tempo.
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Descarregamento de capacitor
d) A corrente no instante t = 0+.
Neste momento, a corrente
podera´ ter saltos para compensar a manutenc¸a˜o da tensa˜o no
capacitor. Portanto, a corrente sera´:i(0+) = V0R .
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Descarregamento de capacitor
d) A corrente no instante t = 0+. Neste momento, a corrente
podera´ ter saltos para compensar a manutenc¸a˜o da tensa˜o no
capacitor. Portanto, a corrente sera´:i(0+) = V0R .
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Descarregamento de capacitor
e) A tensa˜o em func¸a˜o do tempo.
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Descarregamento de capacitor
Fazendo ana´lise nodal no topo do cicuito.
iC + iR = 0
C dvdt +
v
R = 0
dv
dt = ≠
v
RC
dv
v = ≠
1
RC
v = V0e≠t/RC
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Constante de Tempo(·)
Constante de Tempo(·)
A constante de tempo de um circuito e´ o tempo necessa´rio para que
a resposta alcance um fator de e≠1 ou aproximadamente 36.8% de
seu valor inicial
Para o carregamento, e´ o tempo necessa´rio para que o circuito al-
cance uma resposta alcance um fator de e ou 63.2% do seu valor
final.
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Constante de Tempo(·)
Para um circuito RC: ·C = RC
Para um circuito RL: ·L = L/R
Sendo R medido em torno do dispositivo armazenador de energia
(L e C).
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Exemplo 01
Para o circuito abaixo, determine a corrente que passa no resistor
de 6k�.
Resposta:i=0.67e
≠100t
(mA)
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Exemplo 01
Para o circuito abaixo, determine a corrente que passa no resistor
de 6k�.
Resposta:i=0.67e
≠100t
(mA)
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Carregamento de um capacitor
Considere que um capacitor esta´ inicialmente descarregado,
quando uma fonte cont´ınua comec¸a a atuar nele conforme o
circuito abaixo.
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Carregamento de um capacitor
Considere que um capacitor esta´ inicialmente descarregado,
quando uma fonte cont´ınua comec¸a a atuar nele conforme o
circuito abaixo.
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Carregamento de um capacitor
Considere que um capacitor esta´ inicialmente descarregado,
quando uma fonte cont´ınua comec¸a a atuar nele conforme o
circuito abaixo.
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Carregamento de um capacitor
Observando que a tensa˜o da fonte sera´ igual a tensa˜o dois dois
componentes passivos (t > 0).
vR + vC = V0
Ri + vC = V0
R
3
C dvcdt
4
+ vc = V0
dvc
dt +
1
RC vc =
1
RC V0
Considerando que vc(0+) = vc(0≠) = 0.
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Carregamento de um capacitor
Soluc¸a˜o de vc
1dvc
dt + 1RC vc = 1RCV0
2
A soluc¸a˜o pode ser separada em uma parte homogeˆnea e outra
particular.
vc(t) = vch(t) + vcp(t) = V0 + Ae≠
t
RC
Para a soluc¸a˜o homogeˆnea:
vch(t) = Ae≠
t
RC
dvch
dt +
1
RC vch = 0
≠ ARC e
≠ tRC + ARC e
≠ tRC = 0
Para a soluc¸a˜o particular:
vcp(t) = V0
Para a soluc¸a˜o geral:
v(t) = V0 + Ae≠
t
RC
A encontrado pelas condic¸o˜es ini-
ciais.
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Exemplo 02
Um capacitor de 4µF com uma voltagem inicial de v(0≠) = 2V
esta´ conectado a uma bateria de 12V atrave´s de um resistor de
5k�. Encontre a voltagem e a corrente para o capacitor em t > 0.
Resposta:v(t)=12≠10e
≠50t
(V)ei(t)=2e
≠50t
(mA)
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Exemplo 02
Um capacitor de 4µF com uma voltagem inicial de v(0≠) = 2V
esta´ conectado a uma bateria de 12V atrave´s de um resistor de
5k�. Encontre a voltagem e a corrente para o capacitor em t > 0.
Resposta:v(t)=12≠10e
≠50t
(V)ei(t)=2e
≠50t
(mA)
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Exemplo 02
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Descarregamento do Indutor
No circuito RL abaixo, assuma que em t = 0 a corrente no indutor
e´ I0. Para t > 0, i devera´ satisfazer Ri + L didt = 0. Neste caso,
uma soluc¸a˜o para a corrente em qualquer instante pode ser
definido como i = Aest .
Sendo assim:
A(R + Ls)est = 0
R + Ls = 0
s = ≠RL
i(t) = Ae≠RL t
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Exemplo 03
De acordo com a configurac¸a˜o das chaves e do circuito abaixo,
determine a corrente e tensa˜o no indutor nos instantes t = 0+,
t = 0≠,t æŒ.
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Exemplo 03
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Carregamento do Indutor
Se uma fonte cont´ınua for conectada instantaneamente a um ramo
de um circuito RL, qual sera´ o comportamento da corrente no
indutor?
Utilizando ana´lise de malha.
Ri + L didt = V0A soluc¸a˜o pode ser separada em
uma homogeˆnea e outra particu-
lar:
iL(t) = iLH(t) + iLP(t)
i(t) = Ae≠
t
L/R + V0R
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Carregamento do Indutor
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Exemplo 04
Encontre a expressa˜o da corrente indicada na figura (t > 0).
Resposta:i(t)=2+3e
≠15t
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Exemplo 04
Encontre a expressa˜o da corrente indicada na figura (t > 0).
Resposta:i(t)=2+3e
≠15t
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Exemplo 05
Encontre a expressa˜o da corrente indicada na figura (t > 0).
Resposta:i(t)=6e
≠4t
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Exemplo 05
Encontre a expressa˜o da corrente indicada na figura (t > 0).
Resposta:i(t)=6e
≠4t
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Exemplo 06
Encontre a expressa˜o da corrente indicada na figura (t > 0).
Considere que o indutor possui uma corrente inicial de 12A.
Resposta:12e
≠2t
A
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Exemplo 06
Encontre a expressa˜o da corrente indicada na figura (t > 0).
Considere que o indutor possui uma corrente inicial de 12A.
Resposta:12e
≠2t
A
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Influeˆncia da constante de tempo (·)
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Quadro Resumo - RC
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Quadro Resumo - RL
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Exemplo 07
O capacitor do circuito mostrado tem carga inicial de
Q0 = 800µC . Se a chave for fechada no instante t = 0, qual sera´
a carga e a corrente para t > 0 ?
Resposta:i=≠10e
≠25000t
;q=4ú10
≠4
(1+e
≠25000t
)
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Exemplo 07
O capacitor do circuito mostrado tem carga inicial de
Q0 = 800µC . Se a chave for fechada no instante t = 0, qual sera´
a carga e a corrente para t > 0 ?
Resposta:i=≠10e
≠25000t
;q=4ú10
≠4
(1+e
≠25000t
)
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Exemplo 08
No circuito RC mostrado, a chave e´ fechada para a posic¸a˜o 1 no
instante t = 0 e movida para a posic¸a˜o 2 depois da passagem de
uma constante de tempo. Determine a corrente nos instantes (a)
0 < t < · e (b) t > · .
Resposta:i=0.5e
≠200t
;i=≠0.516e
≠200(t≠·)
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Exemplo 08
No circuito RC mostrado, a chave e´ fechada para a posic¸a˜o 1 no
instante t = 0 e movida para a posic¸a˜o 2 depois da passagem de
uma constante de tempo. Determine a corrente nos instantes (a)
0 < t < · e (b) t > · .
Resposta:i=0.5e
≠200t
;i=≠0.516e
≠200(t≠·)
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Exemplo 09
No circuito RL mostrado, determine a corrente iL nos instantes:
a) ≠1 ms
b) 0+ ms
c) 0.3 ms
d) Œ
Resposta:2A;2A;2.78A;3A
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Exemplo 09
No circuito RL mostrado, determine a corrente iL nos instantes:
a) ≠1 ms
b) 0+ ms
c) 0.3 ms
d) Œ
Resposta:2A;2A;2.78A;3A
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Exemplo 10
No circuito RL mostrado, a chave e´ fechada para a posic¸a˜o 1 no
instante t = 0 e movida para a posic¸a˜o 2 depois de 1ms.
Determine o tempo no qual a voltagem do resistor inverte a
polaridade.
Resposta:t=1.261ms
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Exemplo 10
No circuito RL mostrado, a chave e´ fechada para a posic¸a˜o 1 no
instante t = 0 e movida para a posic¸a˜o 2 depois de 1ms.
Determine o tempo no qual a voltagem do resistor inverte a
polaridade.
Resposta:t=1.261ms
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Exemplo 10
Para 0 < t < 1 ms:
50 = 500i1 + vl
vl = L
di1
dt = 0.2
di1
dt
500i1 +
3
0.2di1dt
4
= 50
di1
dt +
500
0.2 i1 =
50
0.2
di1
dt + 2500i1 = 250
Com i1(0) = 0.
Soluc¸a˜o homogeˆnea e particular
2500K1 = 250∆ K1 = 0.1
i1(t) = 0.1 + K2e≠2500t
i1(0) = 0.1 + K2e≠2500ú0 = 0
Portanto, K2 = ≠0.1 e
i1(t) = 0.1(1≠ e≠2500t)
Sabendo disso, podemos calcular
a corrente no instante de 1ms:
i1(1ms) = 0.1(1≠ e≠2500ú10≠3)
i1(1ms) = 91.7m A
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Exemplo 10
Para t > 1ms:
≠50 = 500i2 + vl
vl = L
di2
dt = 0.2
di2
dt
500i2 +
3
0.2di2dt
4
= ≠50
di2
dt +
500
0.2 i2 = ≠
50
0.2
di2
dt + 2500i2 = ≠250
Com i2(0) = i1(1ms) = 91.7m.
Soluc¸a˜o homogeˆnea e particular
2500K1 = ≠250∆ K1 = ≠0.1
i2(t) = ≠0.1 + K2e≠2500t
i2(0) = ≠0.1 + K2e≠2500ú0
91.7m = ≠0.1 + K2e≠2500ú0
Portanto, K2 = 91.8m+100m =
191.8m e
i2(t) = ≠0.1 + 0.1918e≠2500t
Ou enta˜o:
i(t) = ≠0.1+0.1918e≠2500(t≠1m)
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Exemplo 10
O tempo necessa´rio para a tensa˜o do resistor inverta a polaridade e´
o mesmo tempo necessa´rio para que a corrente alcance o valor 0
(zero). Ou seja,
≠0.1 + 0.1918e≠2500(t≠1m) = 0
Isolando t:
t ƒ 1.261mA
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