apostila de mecanismos2

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Apostila Prof. Patric Daniel Neis - Disciplina: MECANISMOS 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE CAMES, QUATRO BARRAS, CURSOR MANIVELA, 
GARFO ESCOCÊS, MECANISMOS DE RETORNO RÁPIDO E 
MANIVELA ARTICULADA 
 
Disponível em: Ebah – Patric Daniel Neis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila da disciplina mecanismos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Porto Alegre, 2014 
 
Prof. Patric Daniel Neis - MECANISMOS 
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Conceitos e definições de Mecanismos 
Mecanismo é um conjunto de corpos rígidos de tal modo interligados que o movimento de um 
provoca o movimento dos restantes. Quando há uma fonte de energia e consequente realização 
de trabalho associada aos elementos em movimento relativo, trata-se de uma máquina. 
Quando não há especificado, dentre os elementos, qual é a base (frame) ou elemento fixo do 
sistema, esse sistema recebe o nome de cadeia cinemática. Uma vez definidos um ou mais 
elementos fixos, o sistema recebe o nome de mecanismo. Em outras palavras, em um 
mecanismo pelo menos um dos elementos deve ser o elemento fixo. 
Além disso, para um mecanismo ser considerado útil, é ainda necessário que o mesmo possa 
produzir um movimento próprio, de forma que o projeto seja capaz de desempenhar a tarefa 
para o qual o mecanismo foi designado. A função de uma junta ou conexão é definir o 
movimento relativo entre os elementos acoplados. 
Cinemática: estudo do movimento independentemente das forças que o originaram. São 
estudados, por exemplo, posição, geometria, deslocamento, rotação,velocidade e aceleração. 
Pares cinemáticos são as conexões ou juntas entre as barras ou elementos de um sistema que 
transmite movimento de uma entrada para uma saída (pode ser de um mecanismo ou de uma 
cadeia cinemática). A literatura [Norton, 2009] classifica as juntas pelo tipo de contato entre seus 
elementos (ponto, linha e superfície), pelo número de graus de liberdade permitidos por este 
elemento, pelo tipo de fechamento (por forma ou por força) e ainda pelo número de elementos 
unidos pela junta. 
Quanto ao tipo de contato, os pares cinemáticos podem ser de 2 tipos: 
i) Pares inferiores (lower pairs): correspondem àqueles em que ocorre contato entre a área ou 
superfície de seus elementos. Exemplo: porca e parafuso, manivela-cursor, junta universal. Um 
sistema articulado (4 barras, por exemplo) é conectado somente por pares inferiores. 
ii) Pares superiores (higher pairs): o contato ocorre entre pontos ou entre uma linha. Exemplos 
de pares superiores: par de engrenagens, uma roda rolando e/ou escorregando sobre uma 
superfície e um came em contato com seu seguidor. 
A seguir, a 
Figura 1 mostra os 6 pares cinemáticos (ou conexões) inferiores: 
 
Figura 1 - Pares cinemáticos inferiores: (a) par de revolução, (b) par prismático, (c) par 
helicoidal, (d) par cilíndrico, (e) par esférico e (f) par plano. 
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A seguir, é mostrada a relação entre cada par cinemático e o seu respectivo número de 
graus de liberdade: 
 
Figura 2 - Par de revolução: movimento circular - 1 grau de liberdade. 
 
Figura 3 - Par prismático: movimento retilíneo - 1 grau de liberdade. 
 
Figura 4 - Par helicoidal: movimento helicoidal - 1 grau de liberdade. 
 
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Figura 5 - Par cilíndrico: movimento cilíndrico - 2 graus de liberdade. 
 
Figura 6 - Par esférico: movimento esférico- 3 graus de liberdade. 
 
 
Figura 7 - Par plano: movimento planar - 3 graus de liberdade. 
 
Critério de Kutzbach: fornece a mobilidade ou grau de liberdade. A equação de Kutzbach está 
descrita a seguir: 
 
M=3(n-1)-2j1-j2 
 
Onde, M é o número de graus de liberdade, n é o número de elementos, j1 é o número de 
elementos de 1 grau de liberdade, j2 é o número de elementos de 2 graus de liberdade (pares 
superiores). 
Se m = 1, é preciso travar um único elemento para parar o mecanismo. Se m=2, é necessário 
travar 2 elementos. 
Se m=0, então o movimento é impossível e o mecanismo forma uma estrutura. 
Se m<0, então há restrições redundantes e a estrutura hiperestática. 
 
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Figura 8 – Graus da liberdade calculado de acordo com o critério de Kutzbach. 
 
Dica: se um elemento desliza e rola, ele é j2. 
 
 
Classificação de mecanismos 
Mecanismos se dividem em 3 categorias, de acordo com as características de movimentação 
entre seus elementos: 
i) Mecanismos planares: utilizam somente sistemas articulados planares. Maioria dos 
mecanismos se enquadram nesta categoria. Todos eixos são compostos por pares de revolução 
e prismáticos. Os pares de revolução são normais ao plano de movimento enquanto todos pares 
prismáticos são paralelos. São exemplos deste tipo de mecanismo: manivela-cursor, came 
seguidor e mecanismos de 4 barras.Todos movimentos deste tipo de mecanismo podem ser 
representados em uma vista única (coplanar). 
ii) Mecanismos esféricos: cada ponto descreve uma curva contida em uma esfera. As superfícies 
concêntricas definidas por vários pontos escolhidos arbitrariamente são todas concêntricas. 
Exemplo deste tipo de mecanismo é o eixo cardan ou junta universal. 
iii) Mecanismos espaciais: o movimento não é coplanar e nem esférico. Um mecanismo espacial 
pode ter partículas com localização de dupla curvatura. Qualquer sistema articulado que 
contenha um par de parafuso é, na verdade, um mecanismo espacial (movimento helicoidal). 
Observação: considere um mecanismo de 4 barras. O paralelismo entre suas barras é, na 
verdade, uma hipótese matemática e não é a realidade. Se há um desalinhamento elevado, o 
mecanismo só opera devido à flexibilidade dos seus elementos, produzindo sobrecarga nos 
rolamentos e mancais. Se os eixos são pouco desalinhados, o mecanismo opera devido às 
folgas dos mancais e flexibilidade das barras. Nestas condições, tal mecanismo planar é, ainda 
que em um grau baixo, um mecanismo espacial. Assim, a esmagadora maioria dos mecanismos 
são, na realidade, mecanismos espaciais. 
Quanto ao tipo de função e de transformação de movimento, Torfason menciona 262 diferentes 
mecanismos, os quais são categorizados conforme segue: 
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1) Mecanismo de estalo (Figura 9): estão nesta categoria chaves comutadoras, mecanismos 
flip-flop usado como chaves e abraçadeiras. 
 
Figura 9 – Típicos mecanismo de estalo. 
2) Mecanismos de atuadores lineares:encontram-se nesta categoria os cilindros hidráulicos e 
pneumáticos bem como os parafusos e porcas. 
3) Mecanismos de ajuste fino: mecanismos de rosca de parafuso, engrenagem sem-fim e 
sistemas de alavancas. 
4) Mecanismos de abraçadeira (Figura10): inclui abraçadeira C, morsa e abraçadeiras em geral. 
 
 (a) (b) 
Figura10 – Típicos mecanismo de abraçadeira: (a) abraçadeira C e (b) morsa. 
5) Mecanismos de catraca (Figura 11): são empregados em travas, mecanismos de alavanca, 
relógios e demais aplicações que requerem movimento intermitente. 
 
Figura 11 – Típicos mecanismos de catraca. 
Da esquerda para direita, o primeiro mecanismo permite rotação apenas em um sentido. O 
mecanismo apresentado ao meio possui o controle pela roda da esquerda, a qual gira 
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continuamente e produz movimento intermitente na roda guiada, em direção oposta. O 
mecanismo da direita é empregado em relógios de pêndulo, no qual a catraca gira 
continuamente, produzindo o movimento oscilatório do pêndulo. 
6) Mecanismos de indexação (Figura 12): da mesma forma que os mecanismos de catraca, os 
mecanismos de indexação também produzem movimento intermitente. Um exemplo clássico é o 
a roda de Genebra,que é muito usada em projetores de filme para apresentar uma imagem por 
vez. Outro exemplo é o mecanismo de engrenagens mostrado pela Figura 13. 
 
Figura 12– Roda de Genebra. 
 
Figura 13– Mecanismo de indexação formado por engrenagens. 
6) Mecanismos de balanço ou osciladores: o elemento de saída oscila em um ângulo geralmente 
menor do que 360º. Enquadram-se nesta classificação mecanismos de 4 barras (Figura 14) e 
mecanismos de came e seguidor, de acordo com a configuração mostrada na Figura 15. O 
sistema mostrado pela Figura 16, onde uma manivela (a) ligada a um elemento de ligação que 
possui uma cremalheira e faz a engrenagem (c) oscilar, também configura um oscilador. Por fim, 
o mecanismo de retorno rápido mostrado pela Figura 17 também é um exemplo de oscilador. 
 
Figura 14 – Oscilador: mecanismo de 4 barras. 
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Figura 15 – Oscilador: mecanismo de cames. 
 
 
Figura 16 – Oscilador: configuração formada por manivela (elemento a), cremalheira (elemento 
b) e engrenagem (elemento c). 
 
Figura 17 – Oscilador: mecanismo de retorno rápido. 
Uma particularidade de mecanismos de retorno rápido é a razão dos tempos R, definida pela 
relação entre os tempos relativos ao curso de avanço e retorno da manivela ou simplesmente 
pela relação entre os ângulos de avanço (α) e de retorno (β) do mecanismo. Assim, pela 
Equação 1 tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 (1) 
São também muitas vezes considerados mecanismos de retorno rápido o manivela-biela 
desalinhada e o mecanismo de barras ilustrado pela Figura 18. 
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Figura 18 - Mecanismo de retorno rápido. 
7) Mecanismos de movimento recíproco ou vai e vem (reciprocating) ou alternado: movimento 
retilíneo de vai e vem pode ser obtido por cilindros, sistema de porca e parafuso, sistemas de 
came e seguidor, manivela-cursor, mecanismo de garfo escocês e mecanismo Whitworth de 
retorno rápido (Figura 19). 
 
Figura 19 – Típico mecanismo de movimento recíproco: mecanismo whitworth de retorno rápido 
(configuração normal e invertida). 
8) Mecanismos de reversão: tratam-se de sistemas capazes de entregar a rotação de saída em 
direções opostas. Eixos de entrada podem girar em direções opostas e um sistema de 
embreagens acopla o eixo de saída de acordo com a direção do movimento desejado. 
Transmissão automotiva também é um exemplo de mecanismo de reversão. 
9) Acoplamento e conectores: são elementos para transmitir movimento entre eixos. 
Engrenagens, correias, 4 barras e juntas de diversos tipos (universal, Reuleaux). 
10) Parada, pausa e hesitação mecanismo: em um motor automotivo, uma válvula precisa abrir, 
permanecer aberta por um curto espaço de tempo e então fechar. Dentro desta categoria, 
existem os mecanismos para e permanece, para e retorna e para e avança. Cames, 
mecanismos de indexação, mecanismos de catracas, engrenagens com embreagens e sistemas 
articulados no limite de seus movimentos. 
11) Mecanismos geradores de curva: composto por sistema de barras articuladas, como um 
quatro barras. 
12) Mecanismos geradores de reta: durante o século XVII, antes do desenvolvimento do 
processo de fresagem, era extremamente difícil de se obter superfícies planas. Por 
consequencia, isso dificultava a obtenção de uma conexão ou junta prismática sem folgas. 
Assim, especial atenção foi dada ao desenvolvimento de geradores de reta a partir de sistemas 
articulados. Esses mecanismos poderiam ser assim empregados como guia de peças móveis em 
máquinas. A Figura 20-a apresenta o mecanismo de Watt,o qual é capaz de gerar uma boa 
aproximação para uma linha reta. Outro gerador de retas é o mecanismo de Robert (Figura 20-
b). Neste mecanismo, o ponto P é usado para gerar a traço. As linhas tracejadas sobre a referida 
figura servem para mostrar que o mecanismo de Robert consiste de uma configuração de 3 
triângulos isósceles. O sistema articulado descrito pela Figura 20-c é o mecanismo de 
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Chebychev. O traço de P descreve uma linha reta. Finalmente, o sistema articulado descrito pela 
Figura 20-d trata-se do mecanismo de Peaucillier inversor. O traço do ponto P deste mecanismo 
é gerador de linha reta. Pantógrafo é também um exemplo de mecanismo traçador de linhas 
retas. 
 
Figura 20 – Traçadores de linha reta: (a) Mecanismo de Watt, (b) Mecanismo de Robert, (c) 
Mecanismo de Chebychev e (d) Mecanismo de Peaucillier inversor. 
 
Mecanismo manivela-biela ou manivela-cursor 
É um mecanismo planar de movimento alternativo, empregado para transformar movimento 
rotativo em alternativo (Ex.: Compressores, onde a entrada do movimento dá-se pela manivela; 
Bombas manuais; Serras de pedras) ou movimento alternativo em rotativo (Ex.: Motores a 
combustão interna; Motor rotativo usado na aviação antiga). 
 Aplicações: Compressores, locomotivas a vapor, motores rotativos, bomba de água manual, 
motores a combustão interna, bomba extratora de petróleo, moinho, prensas, molinete de pesca 
e serras de madeira. 
Um mecanismo manivela-biela pode ser alinhado (Figura 21) ou desalinhado (Figura 22) em 
relação ao centro do eixo da manivela ao centro do eixo do cursor. No mecanismo manivela-
biela alinhado e no desalinhado, o movimento não é harmônico. Porém, o tempo de avanço e 
retorno são iguais. No desalinhado, o tempo de retorno é diferente do tempo de avanço. No 
alinhado, o ponto máximo e mínimo sempre é em 0° e 180°, respectivamente. No desalinhado, a 
posição máxima e mínima ocorrem em ângulos diferentes de 0° e 180°. 
 
 
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O mecanismo manivela-biela desalinhado traz como benefício o fato de que é mais difícil de 
ocorrer o trancamento, uma vez que suas barras (manivela e biela) nunca estarão alinhadas a 
180º. 
 
 
Figura 21– Mecanismo de manivela-biela alinhado. 
 
Figura 22 – Mecanismo de manivela-biela desalinhado. 
A distância máxima percorrida pelo cursor do mecanismo manivela biela é chamada de curso, 
sendo seu máximo deslocamento conhecido como PMS (ponto morto superior) e seu mínimo 
deslocamento como PMI (ponto morto inferior). No caso do mecanismo manivela-biela alinhado, 
PMS= L+R, PMI=L-R e curso=2R. 
Equacionamento do manivela biela alinhado, em função de θ. Caso seja necessário colocar a 
equação em função de tempo, basta fazer θ=ωt. 
 Posição: 
Em x: 
Em y: 
 
 
 
 (3) 
Da identidade trigonométrica: 
 
 
Substituindo (3) em (5), temos: 
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Substituindo (6) em (1), consegue-se deixar toda a equação em função de θ: 
 
 
 
 
 
 
 Velocidade: 
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, o que faz aparecer o termo de 
velocidade angular ω multiplicando d/dθ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aceleração: 
A aceleração é igual a derivada da velocidade em relação ao tempo, o que faz aparecer o termo 
de velocidade angular ao quadrado ω²: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: pode-se usar o maple para encontrar as derivadasde X e V. Os comandos em 
maple para se encontrar essas derivadas são descritos a seguir: 
> restart; 
> x(theta):= R*cos(theta)+L*sqrt(1-
((R^2/L^2)*sin(theta)^2)); 
> V:=omega*diff(x(theta),theta); 
> Acel:=(omega)*diff(V,theta); 
 
 := Acel 
2
























   R ( )cos 
R
4
( )sin 
2
( )cos 
2
L
3










1
R
2
( )sin 
2
L
2






3
2
R
2
( )cos 
2
L 1
R
2
( )sin 
2
L
2
R
2
( )sin 
2
L 1
R
2
( )sin 
2
L
2
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Equacionamento do manivela biela desalinhado (veja Figura 22): 
 Posição: 
Em x: 
Em y: 
 
 
 
 (3) 
Da identidade trigonométrica: 
 
 
Substituindo (3) em (5), temos: 
 
 
 
 
 
 
Substituindo (6) em (1), consegue-se deixar toda a equação em função de θ: 
 
 
 
 
 
 
Observação: o sinal do desalinhamento “e” modifica-se conforme o desalinhamento. Se o 
desalinhamento é para cima, o sinal de “e” na equação final é negativo. Se o desalinhamento é 
para baixo em relação a linha de centro da manivela, então o sinal de “e” na equação final é 
positivo. 
 Velocidade e aceleração: 
A velocidade e a aceleração calculadas, respectivamente, como sendo a derivada da posição 
e da velocidade em relação ao tempo, e determinadas pelo programa maple (linha de 
comando e equação) é igual a: 
> restart; 
> x(theta):= R*cos(theta)+L*sqrt(1-((R/L)*sin(theta)-
(e/L))^2); 
> 
 
> V:=omega*diff(x(theta),theta); 
 
> Acel:=(omega)*diff(V,theta); 
 := ( )x  R ( )cos  L 1 





R ( )sin 
L
e
L
2
 := V 


















 R ( )sin 






R ( )sin 
L
e
L
R ( )cos 
1 





R ( )sin 
L
e
L
2
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Inversões do manivela-biela: 
Inversões manivela-cursor: o processo de escolha de diferentes elementos para ser o elemento 
fixo se chama inversão. Lembrando que um mecanismo de manivela-cursor possui 4 elementos 
(manivela, biela, cursor e cilindro), são possíveis 4 diferentes inversões: 
Para “visualizar” as inversões, é preciso decompor o mecanismo de manivela-biela em 4 
elementos: estrutura, cursor, manivela e biela. 
1) O elemento fixo é a estrutura de apoio: a estrutura de apoio refere-se ao cilindro externo e o 
ponto de apoio da manivela. É o caso típico de motores a combustão interna (Figura 23). No 
caso da entrada de energia se der pela manivela, o mecanismo é um compressor. 
 
Figura 23 – Inversão do mecanismo de manivela-curso com elemento fixo no cilindro: motores à 
combustão interna. 
 
2) O elemento fixo é a manivela: um exemplo típico deste mecanismo são os motores rotativos 
empregados na aviação antiga, conforme mostra a Figura 24. 
 
Figura 24 – Inversão do mecanismo de manivela-cursor com elemento fixo na manivela: motores 
rotativos empregados na aviação antiga. 
Acel 2 R ( )cos 






R ( )sin 
L
e
L
2
R2 ( )cos  2







1






R ( )sin 
L
e
L
2
( )/3 2
L
R2 ( )cos  2
1 





R ( )sin 
L
e
L
2
L
  











 := 






R ( )sin 
L
e
L
R ( )sin 
1 





R ( )sin 
L
e
L
2












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3) O elemento fixo é a biela ou barra de ligação: um exemplo típico deste mecanismo são os 
motores empregados nas locomotivas a vapor antiga e também em motores de navios, conforme 
mostra a Figura 25. 
 
Figura 25 – Inversão do mecanismo de manivela-cursor com elemento fixo na biela. 
4) O elemento fixo é o cilindro: um exemplo típico deste mecanismo são as bombas de água 
manuais empregadas em jardins, conforme mostra a Figura 26. Atenção para a diferença da 
inversão do primeiro elemento, a barra 1 (chamada de estrutura). Nesse caso, ela não é fixa, 
apenas o cilindro. 
 
Figura 26 – Inversão do mecanismo de manivela-cursor com elemento fixo no cursor: aplicação 
em bombas de água manuais. 
 
Derivada da posição x(theta) em função do tempo para mecanismo biela-manivela 
> restart; 
> theta:=omega*t; 
> X(theta):=R*cos(theta)+ L*sqrt(1-(R/L*sin(theta))^2); 
 
 
> diff(X(theta),t); 
 :=   t
 := ( )X  t R ( )cos  t L 1
R2 ( )sin  t 2
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Garfo escocês ou Scotch-Yoke ou par senoidal 
É um mecanismo que, na configuração clássica (Figura 27) se encontra na categoria de 
mecanismo planar de movimento alternativo. A saída do movimento de um garfo escocês é um 
movimento harmônico simples. Utilizado em mesas vibratórias, agitadores, geradores de seno e 
cosseno. 
 
Figura 27 – Mecanismo de garfo escocês. 
Equacionamento: 
Considerando o ponto P da Figura 27 à direita. Assuma o lado esquerdo como sendo o sentiddo 
positivo. Outra alternativa é assumir o ângulo theta iniciando entre o segundo e terceiro 
quadrantes, daí o sentido do x será como positivo à direita. 
 Posição: 
 
 
 Velocidade: 
 
 
 Aceleração: 
 
 
Há de se destacar que na configuração da Figura 28, a classificação do mecanismo de garfo 
escocês se altera, sendo considerado como um mecanismo de repouso, pausa ou hesitação. 
 
 
Figura 28 – Uma possível variação no mecanismo de garfo escocês. 
 R ( )sin  t 
R2 ( )sin  t ( )cos  t 
L 1
R2 ( )sin  t 2
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Mecanismos de retorno rápido 
Esses mecanismos enquadram-se na categoria de mecanismos planares osciladores. 
Mecanismos de retorno rápido possuem uma característica importante, chamada de razão dos 
tempos R, definida pela relação entre os tempos relativos ao curso de avanço e retorno da 
manivela ou simplesmente pela relação entre os ângulos de avanço (α) e de retorno (β) do 
mecanismo. Assim, pela Equação 1 tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 (1) 
Para R=1, tem-se tempo de avanço igual ao tempo de retorno. Para R<1, tem-se um tempo de 
avanço menor que o de retorno, configurando um mecanismo de avanço rápido. Para R>1, tem-
se o tempo de avanço maior do que o de retorno,o que configura um mecanismo de retorno 
rápido. Observe que a simples inversão do sentido de giro faz o retorno rápido se tornar avanço 
rápido ou vice-versa. 
A Figura 29 apresenta um mecanismo de retorno rápido, onde é possível visualizar a relação 
entre os ângulos de avanço e retorno. Neste mecanismo, o elemento número 2 é a manivela, o 
elemento 3 é uma guia e o elemento 4 é chamado de balancim. Uma particularidade específica 
deste mecanismo é que quanto mais próximo o ponto de pivotamento O4 do balancim, maior a 
diferença entre os tempos de avanço e retorno do mecanismo. 
 
Figura 29 – Mecanismo de retorno rápido. 
São também muitas vezes considerados mecanismos de retorno rápido o manivela-biela 
desalinhada, o mecanismo de Whitworth (Figura 30) e o mecanismo de barras ilustrado na 
Figura31. O mecanismo de Whitworth é empregado em máquinas do tipo plaina limadora. 
 
Figura 30 - Mecanismos de retorno rápido (da esquerda para direita): whitworth normal, invertido 
e empregado em plainas limadoras. 
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Figura 31 - Mecanismo de barras para retorno rápido. 
 
Mecanismo de alavanca articulada 
Emprega-se um mecanismo de alavanca articulada (Figura 32) quando é necessário superar 
uma grande resistência a custa de uma diminuta força motriz. É um mecanismo muito utilizado 
em britadoras, prensas e máqiuinas de rebitar. 
 
Figura 32 - Mecanismo de alavanca articulada. 
Considerando a Figura 32, onde a força F é a força de entrada e a força P é a força de saída do 
mecanismo de alavanca articulada, tem-se a Equação (1). Repare que para pequenos ângulos α 
entre as barras, a força de saída P tende a infinito. Ao mesmo tempo, para ângulo α de 90°, tem-
se força de saída P tendendo a zero. 
 
 (1) 
 
 
Cames 
Came ou camo é um elemento mecânico usado para comandar um outro elemento, chamado 
seguidor, através de um movimento específico por meio de contato direto. O conjunto formado 
pelos 2 elementos citados é chamado “came-seguidor”. Cames são muito usados pelas 
seguintes características: baixo custo, poucas partes móveis e pouco espaço requerido. 
Como desvantagem, as cames podem apresentar elevado desgaste, aquecimento e problemas 
de flutuação do seguidor, o qual será explicado mais adiante. 
 
 
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19 
 
Classificação das cames 
De acordo com a forma (geometria), as cames são classificadas de acordo com a ilustração da 
Figura 33: 
- Came radial ou de disco (a),(b),(c) e (d) 
- Came linear ou em cunha (e) 
- Came cilíndrica ou de tambor (f) 
- Came de face ou extremidade ou frontal (g) 
- Came de forqueta (h) 
 
O tipo mais comumente usado é a came radial e a menos empregada é a came linear devido à 
necessidade de movimento alternado como entrada. 
Existe ainda a came invertida, que é o exemplo da alavanca de câmbio de um automóvel em 
relação ao caminho que deve ser percorrido pela mesma sobre os sulcos. Chama-se came 
invertida porque a entrada do movimento dá-se pelo seguidor (a alavanca de marchas), o qual 
segue o perfil dos sulcos da transmissão de um veículo. 
 
Quanto à característica de movimento do seguidor, as cames podem ser classificadas como: 
- Seguidor de translação (a), (b), (c), (d), (f), (g) e (h) 
- Seguidor oscilante (b) e (f) 
 
Quanto à forma do seu seguidor, as cames podem ser classificadas como: 
- Seguidor de ponta ou seguidor de aresta/ponta de faca (c) 
- Seguidor de face plana, prato ou chato (a) 
- Seguidor de rolete (d), (e), (f), (g) e (h) 
- Seguidor de face esférica (b) 
 
Uma última classificação diz respeito à posição da haste do seguidor, podendo ser de 2 formas: 
- Deslocada (a), (d) 
- Radial (b), (c) e (h) 
 
A descrição completa de cada item da Figura 33 é indicada a seguir: 
(a) came radial e seguidor de translação de face plana deslocado; 
(b) came radial e seguidor oscilante de face esférica; 
(c) came radial e seguidor de aresta de faca e translação; 
(d) came de dois lóbulos radiais e seguidor de rolete de translação deslocado; 
(e) came de cunha e seguidor de translação com rolete; 
(f) came cilíndrico e seguidor de rolete oscilante; 
(g) came de face ou extremidade ou frontal e seguidor de rolete de translação; 
(h) came de forqueta e seguidor de rolete de translação. 
 
Como exemplos típicos de aplicação, cames podem ser empregadas em comando de válvulas 
de veículos e maquinas em geral (indústria têxtil, empacotadoras, etc). 
 
 
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20 
 
 
Figura 33– Exemplos de cames. 
 
A Figura 34 – Exemplos de cames cilíndricas ou de tambor.apresenta um outro exemplo de 
came cilídrica e seguidor tipo esférico de translação (acima) e tipo rolete oscilante (abaixo). 
 
 
Figura 34 – Exemplos de cames cilíndricas ou de tambor. 
A Figura 35 – Exemplo de cames de face ou de extremidade ou frontal. apresenta 
um exemplo de came de face, frontal ou de extremidade e seguidor de translação de rolete. 
 
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21 
 
 
Figura 35 – Exemplo de cames de face ou de extremidade ou frontal. 
Um outro tipo de came é a de retorno comandado ou também chamado de quadro com 
came (Figura 36 – Exemplo de came de retorno comandado ou sistema de quadro com 
came circular.). 
 
 
Figura 36 – Exemplo de came de retorno comandado ou sistema de quadro com came circular. 
O seguidor pode ser vinculado ao cames por: 
- mola 
- gravidade 
- vínculo mecânico 
Em altas rotações, um problema comum com cames é a flutuação do seguidor. Dependendo da 
geometria (perfil da came), do tipo de vínculo e rotação da came, a mesma pode saltar e/ou o 
seguidor poderá ficar sujeito a altas acelerações. Um exemplo de came com vínculo ou restrição 
mecânica é a came com retorno comandado, mostrada pela Figura 36 – Exemplo de came de 
retorno comandado ou sistema de quadro com came circular.. Trata-se de uma came de 
disco com seguidor do tipo de face plana e movimento de translação, que possui 2 pontos de 
contato como vínculo. O vínculo impede a flutuação do seguidor, porém essa configuração pode 
ter aquecimento elevado. Além disso, caso os materiais da came e do seguidor forem feitos de 
materiais diferentes, pode haver dilatações térmcas diferentes, levando o mecanismo a quebra. 
O uso de molas também pode ser considerada uma alternativa que minimiza a possibilidade de 
flutuação do seguidor (Figura 37). 
 
Figura 37 – Cames de disco e seguidor de face plana, de translação e vínculo por molas. 
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22 
 
Tipos de movimento do seguidor 
Na rotação do cames, o seguidor executa os seguintes eventos, conforme ilustra a Figura 38: 
- elevação 
- repouso 
- retorno 
 
Figura 38 – Diagrama de deslocamento de uma came, mostrando os eventos de elevação, 
repouco e retorno. 
 
Como existem várias formas de elevação e retorno, os diagramas de deslocamentos deverão ser 
construídos para os movimentos: 
- uniforme (ou velocidade constante) 
- parabólicos (ou aceleração constante) 
- harmônico simples 
- cicloidais 
 
O movimento do seguidor de uma came pode ser de 4 tipos diferentes: 
a) Movimento uniforme ou velocidade constante: 
As curvas da velocidade, aceleração e impulso são mostradas na Figura Figura 39-a, enquanto 
logo abaixo é apresentado um gráfico resumo deste tipo de movimento. 
 
 
 
Figura 39 - Movimento uniforme. 
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23 
 
No caso da velocidade constante, o deslocamento do seguidor é simplesmente uma função 
constante do ângulo da came. 
y=ax+b 
 
onde: y – deslocamento do seguidor 
 a – coeficiente angular da reta 
 b – constante 
Como passa pela origem , b=0. 
Designando a elevação total d, correspondente a um ângulo de cames de β rad, tem-se 
 
y=(d/β)θ 
 
onde: d – elevação máxima do seguidor 
 β – ângulo de máxima elevação do seguidor 
Essa é a equação para o movimento uniforme. 
A velocidade e aceleração do seguidor são a primeira e a segunda derivada respectivamente. 
 
Velocidade  






d
dt
dd
y
 
 
Aceleração 
0
dt
dd
y 



 
ω é a velocidade angular do cames e é constante, portanto sua derivada é igual a zero, exceto 
no início e fim da elevação onde vai imediatamente ao infinito. 
Para construção de uma came com o perfil que gere um movimento uniforme, é construir uma 
came de disco cujo tamanho de raio aumente linearmente com o ângulo. 
b) Movimento comaceleração constante ou parabólico 
As curvas da velocidade, aceleração e impulso são mostradas na Figura 40. A curva de 
deslocamento é uma parabola, equação de 2º grau. Essa curva possui uma descontinuidade no 
ponto de inflexão 
 
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24 
 
 
Figura 40 - Relações de deslocamento, velocidade, aceleração e aceleração segunda para o 
movimento parabólico. 
 
No caso do movimento parabólico, o deslocamento do seguidor segue uma função do segundo 
grau do ângulo da came. 
y=ax²+b 
 
onde: y – deslocamento do seguidor 
 x – é a variável (nesse caso x é θ) 
 a – coeficiente angular da curva 
 b – constante 
 
Como passa pela origem , b=0. 
Designando a elevação total na primeira metade d/2, correspondente a um ângulo de cames de 
β/2 rad, tem-se 
d/2=a(β/2)² 
 a=2d/ β² 
 
onde: d/2 – elevação máxima do seguidor na metade do curso 
 β/2 – ângulo onde ocorre a máxima elevação do seguidor 
Substituindo a em y=a θ² 
2
d2y 








 
A velocidade e aceleração do seguidor são a primeira e a segunda derivada respectivamente. 
 
Velocidade  


2
4d
y  
 
Aceleração 
2
2d4
y



 
 
 
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25 
 
A aceleração é constante e a velocidade máxima ocorre no ponto de inflexão onde θ= β/2. 

d
y
2
max 
 
 
Para a segunda metade do deslocamento usa-se a equação de segundo grau completa: 
 
y=C1+C2 θ+C3 θ² 
 
Derivando, temos a velocidade: 
 
y
= C2 ω + 2C3 ω θ 
 Condições de contorno: 
y(θ= β)=d 
y
(θ= β/2)= 

d2
(a velocidade é máxima quando θ= β/2) 
y
(θ= β)= 0 
Fazendo 
y
(θ= β)= 0 na equação da velocidade: 
0= C2 ω + 2C3 ω β 
C2 = -2C3 β 
Fazendo 
y
(θ= β/2)= 

d2
na equação da velocidade e substituindo C2: 

d2
= -2C3 β ω + 2C3 ω β/2 

d2
= -C3 β ω 
C3=-2d/β² 
Substituindo C3 em C2 = -2C3 β: 
C2=-2(-2d/β²) β = 4d/β 
C2 = 4d/β 
Por último, falta encontrar C1. Fazendo y(θ= β)=d na equação do deslocamento 
y = C1 + C2θ + C3θ² 
d= C1 + (4d/β) β + (-2d/β²) β ² = C1 + 4d – 2d => C1 = -d 
Logo, a equação completa do deslocamento é: 
y=(-d) + (4d/β) θ+ (-2d/β²) θ² 
A equação da velocidade é: 
 
y
= (4d/β)ω + 2 ω (-2d/β²) θ 
A equação da aceleração é igual a: 
y
= -4 ω² (d/β²) 
 
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26 
 
Para construção do diagrama do deslocamento do movimento parabólico, são usadas 6 ou 8 
divisoes em x. Uma sequencia de números (6 ou 8 ) é usada para cada divisão. No caso da 
sequencia de 6 números, divide-se por 18 pequenas divisões ou em 32 pequenas divisões para 
a sequencia de 8. 
As partes divididas são proporcionais à: 
- 1,3,5,5,3,1  para 6 divisões na escala X 
- 1,3,5,7,7,5,3,1  para 8 divisões 
 
 
Figura 41 - Movimento parabólico 
 
 
c) Movimento harmônico simples 
As curvas da velocidade, aceleração e impulso são mostradas na Figura 42. A curva de 
deslocamento segue um cosseno. 
 
 
Figura 42 - Relações de deslocamento, velocidade, aceleração e aceleração segunda para o 
movimento harmônico simples 
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27 
 
 
Ao contrário do movimento parabólico, não há descontinuidade no ponto de inflexão. A curva de 
deslocamento está baseada na relação de cosseno por: 
 
y = a Cos(θπ/β) + b (quando θ=90° é β/2 e quando θ=180° é β) 
 
Dadas as condições de contorno 
 y(θ=β/2)=d/2 e y(θ=β)=d 
Tem-se que: 
d/2=a Cos(π/2) + b 
b=d/2 
d = a Cos(π) + d/2 
d/2 = a (-1) 
a = -d/2 
Logo, a equação do deslocamento de um seguidor cujo movimento é harmônico simples é: 
y = -d/2 Cos(θπ/β) + d/2 
A equação da velocidade é: 
 
y
= πd ω /2β Sen(θπ/β) 
A equação da aceleração é igual a: 
y
= π²d ω² /2β² Cos(θπ/β) 
 
Para construção do diagrama de deslocamento da came com, movimento harmônico simples, 
constrói-se um semi-cículo de diâmetro igual ao deslocamento do seguidor, conforme mostra a 
Figura 43. 
 
 
Figura 43 - Movimento harmônico simples 
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28 
 
d) Movimento cicloidal 
As curvas da velocidade, aceleração e impulso são mostradas na Figura 44 - Relações de 
deslocamento, velocidade, aceleração e aceleração segunda para o movimento cicloidal. 
O movimento cicloidal tem uma curva senoidal para a aceleração.Utiliza-se o mesmo 
procedimento do movimento parabólico para as deduções das equações do deslocamento, 
velocidade e aceleração. 
 
 
Figura 44 - Relações de deslocamento, velocidade, aceleração e aceleração segunda para o 
movimento cicloidal 
 
Deslocamento  













2
sen
2
1
dy
 
 
Velocidade 












2
cos1
d
y
 
 
Aceleração 











2
send2y
2

 
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29 
 
 
No movimento cicloidal, a aceleração segunda é finita, sendo, portanto, o melhor dos 
movimentos apresentados. Aceita altas velocidades de rotação. 
Para a construção do diagrama de deslocamento do movimento cicloidal de um seguidor, rola-se 
sem deslizamento um círculo de diâmetro igual a L/2π. Os pontos daordenada são ligados a 
absissa de acordo com o passo (divisões) escolhido. Faz-se 4 cículos dentro da elevação da 
came, à esquerda do gráfico. Cada círculo conterá um ponto a 120º, os quais serão ligados aos 
pontos 2,4,6 do gráfico. Os pontos 1 e 5 (60 e 300º) são traçados paralelos a linha que liga o 
ponto 3 em relação ao círculo superior direito. 
A Figura 456 apresenta um exemplo de construção do referido diagrama. 
 
Figura 45 - Movimento cicloidal 
Desenvolvimento de cames: 
 
Figura 46 - Desenvolvimento de um came a partir do diagrama de deslocamento. (a) 
nomenclatura do came; (b) diagrama de deslocamento 
Círculo de base: menor círculo tangente à superfície do came. 
Ponto de traçado: ponto teórico sobre o seguidor, usado para gerar a curva primitiva. 
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30 
 
Ângulo de pressão: é o ângulo entre a direção do movimento do seguidor e uma normal à curva 
primitiva. 
Ponto primitivo: indica a localização do máximo ângulo de pressão. 
Círculo primitivo (pitch): seu centro coincide com o do came e passa pelo ponto primitivo. 
Círculo principal (prime): é o menor círculo com centro coincidente com o centro do seguidor (no 
caso de rolete) ou simplesmente com a face (no caso de seguidor do tipo de face), passando 
pela curva primitiva. As divisões dos ângulos são feitas com relação ao circulo principal. 
Para desenvolver uma came cujo seguidor é de face plana (Figura 478), deve-se marcar os 
pontos (distância) sobre as retas em relação ao círculo de primário ou primitivo. Note que a curva 
primitiva passa pelos pontos, mas não coincide com o perfil da came. 
 
Figura 47 - Desenvolvimento de uma curva de cames para um seguidor de translação de face 
plana 
Equação de cames radiais excêntricas com seguidor não deslocado 
Equação de uma came de disco excêntrica, de excentricidade “e” , inciando o deslocamento do 
seguidor em 0º. 
 Posição do seguidor: 
 
 Velocidade do seguidor: 
 
 Aceleração do seguidor: 
 
Observe que o máximo deslocamento de uma came excêntrica é igual a 2e, ou seja, duas vezes 
a sua excentricidade. 
Mecanismo 4 barras 
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31 
 
O mecanismo de 4 barras é uma mecanismo planar de movimento oscilatório. É também 
chamado de quadrilátero articulado. Basicamente um mecanismo 4 barraspossui 3 funções: 
1) Transformar movimento oscilante em rotacional. 
2) Ampliar ou reduzir o movimento/deslocamento ou a força. 
 3)Transformar o movimento rotacional em oscilante. 
Em uma configuração especial, o mecanismo de 4 barras pode funcionar como traçador de 
retas, como no caso do mecanismo de Watt. 
 
 
Figura 48 – Mecanismo de Watt. 
 
Aplicações de 4 barras: braços robóticos, pantógrafos, luminárias de arquitetos, alicate de 
pressão, mola aérea de portas e traçadores de retas.. 
Dependendo da configuração ou dimensionamento das peças podem ocorrer pontos mortos do 
mecanismo, que são os pontos onde o mecanismo trava. Volantes e contrapesos ajudam a 
impedir os pontos mortos, uma vez que evitam o alinhamento das barras. 
O mecanismo 4 barras é constituído de uma barra fixa de comprimento R1, a qual não translada; 
de uma barra acionadora ou motriz de comprimento R2; de uma barra de ligação ou acopladora 
de comprimento R3 e por uma barra movida ou seguidora de comprimento R4. 
 
Equacionamento e desenho (Figura 49) do mecanismo de 4 barras: 
 
 
Figura 49– Mecanismo de 4 barras. 
 
Onde: 
 ângulo de entrada 
Z: Linha imaginária que serve para dar semelhança entre os triângulos 
 = ângulo de saída 
 ângulo de transmissão 
 ângulos auxiliares 
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32 
 
Pela lei dos cossenos: 
 
 
 (1) 
 
 
 (2) 
 
Assim, igualando (1) e (2): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (4) 
 
Da figura: 
 
 
 (5) 
 
 
 (6) 
 
 
 
 
 
 
 (7) 
 
 
 
 
 (8) 
 
 (9) 
 
 
 
 
 
 
 
 (10) 
 
Como (11) 
Então: 
 
 
 
 
 
 (12) 
 
 
 Exercício: Dado o mecanismo de 4 barras com R1 = 0.8m, R2 = 0.4, R3 = 1.8 e R4 = 
1.5m. 
R: 
 
 
 
Vantagem mecânica para mecanismo de 4 barras: é a razão do torque de saída 
exercido pela barra principal movida pelo torque de entrada da barra motora. 
 
 
Figura 501 – Esquema do mecanismo de 4 barras utilizado para o cálculo da vantagem 
mecânica. 
 
Desconsiderando perdas e dado que . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (perpendicularismo) 
 
Quando ou a vantagem mecânica tende ao infinito e o mecanismo pode 
ser usado como grampo (Figura 51). Atenção: Ф=θ2- θ3 e Ƴ= θ3- θ4.Na verdade tanto faz fora 
ou dentro das barras. 
Quando ou => 
 
 
 (esses são pontos mortos, pois um 4 
barras verificado por Grashoff terá seus pontos mortos quando quaisquer duas barras estejam 
alinhadas, ou seja, colinearmente sobrepostas ou estendidas ou ainda caso não seja verificado 
por Grashoff pela colineariedade de quaisquer duas barras. 
φ
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33 
 
Pode-se usar ângulo interno entre R2 e R3 em substituição ao externo. As reações na 
junta de um mecanismo são uma força radial e outra tangencial. Quanto maior a tangencial a 
barra 4, maior a vantagem mecânica. E a força tangencial é máxima com ângulo de transmissão 
de 90graus. A força F23 é igual a F34, caso não haja aceleração envolvida. 
 
 
Figura 51 – Esquema do 4 barras na condição de VM tendendo ao infinito. 
 
Lei de Grashoff 
 “Para uma articulação plana de 4 barras, a soma das barras maior e menor não pode ser 
maior que a soma das barras restantes se for desejável uma rotação contínua de pelo menos 
uma barra. 
 Matematicamente, temos que: 
 
M = maior, m = menor, a+b = demais. 
 
Obs: Essa lei vale apenas para uma avaliação rápida se o mecanismo pode fazer uma revolução 
completa em pelo menos uma das barras. Entretanto, caso o mecanismo em geral não satisfaça 
Grashoff, ou seja, caso , este pode oscilar. 
Dado R1= 7cm, R2 = 3cm, R3 = 8cm, R4 = 6cm e 
 , encontre ang. transmissão, 
saída, VM e desenhe. 
 
 
 
Resolução de um quatro barras pelo método da malha fechada (ou laço de vetores 
Os elos são representados por vetores de posição. 
 
Exercício 1: Encontre ângulo de transmissão e saída para o caso do exemplo acima, onde 
R1= 7cm, R2 = 3cm, R3 = 8cm, R4 = 6cm e 
 , encontre ang. transmissão, saída, VM e 
desenhe. Veja desenho da Figura 52. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 52 – Representação vetorial para cálculo do 4 barras. 
Passos para solução: 
i) Soma vetorial: R2+R3-R4-R1=0 
ii) Inicialmente fazer a soma direta entre R2 e R1 (na verdade pelo sentido convencionado, é 
uma subtração de R2-R1), encontrando a resultante Res. 
 
 
 
 
 
 
Figura 53 – Esquema para determinação da resultante entre R2 e R1. 
Vetor Res é igual a 6,08cm e θres=154,7º. 
Φ=180°
Φ=0°
R1 
R2 
R3 
R4 
R1 
R2 Res 
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34 
 
Então, agora passamos a ter Res +R3-R4 = 0 
 
iii) Passar equação vetorial para o número complexo na forma polar , onde é Rcos(θ) + i 
sen(θ) (equação ou identidade ou relação de Euler). Na verdade, ambos e Rcos(θ) + i sen(θ) 
são formas de representação por número complexo. 
 
Res + R3 - R4 = 0 
 
iv) Dividir toda a equação pelo termo de que é conhecido: 
 
6,08 
 
 
 + 8 
 
 
 - 6 
 
 
 = 0 
 
6,08 + 8 - 6 
 
v) Transformar toda a equação em cos e sen: 
 
6,08 + 8 cos(θ3-154,7) = 6 cos(θ4 -154,7) 
 8 sen(θ3-154,7) = 6 sen(θ4 -154,7) 
 
vi) Elevar os 2 lados das esquações de sen e de cos ao quadrado: 
 
36,97 + 97,28 cos(θ3-154,7) + 64 cos²(θ3-154,7) = 36 cos²(θ4 -154,7) 
 64 sen²(θ3-154,7) = 36 sen²(θ4 -154,7) 
 
vii) Somar as duas equações, lembrando que sen²θ + cos² θ =1: 
 
36,97 + 97,28 cos(θ3-154,7) + 64 = 36 
 
cos(θ3-154,7) = -0,667 (aplica-se cos 
-1 
nos 2 lados) 
 
θ3-154,7 = ±131,90 
θ3 = 289,60º ou θ3 = 22,8º (sempre haverá dois, escolhe-se um deles. Nesse caso 22,8º, de 
acordo com o desenho inicial) 
 
viii) Para encontrar θ4, basta substituir θ3 = 22,8º em uma das equações: 
 8 sen(22,8-154,7) = 6 sen(θ4 -154,7) 
-5,95 / 6= sen(θ4 -154,7) 
- 82,93 + 154,7 = θ4 
θ4 = 71,76 
 
ix) Para encontrar Ƴ, faz-se θ4 – θ3 =Ƴ (veja Figura 54 para melhor compressão). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 54 – Esquema representativo dos ângulos que compõe ângulo de transmissão. 
 
Logo, θ4 – θ3 =Ƴ  71,76 – 22,8 = 48,96º 
 
Para encontrar o ângulo Ф entre as barras 2 e 3, faça 180 – (θ4 – θ3). Fazendo as contas, chega-
se a 142,8º. 
 
E para encontrar a velocidade, dado ω2: 
θ3 
θ4 
θ4 θ3 
Ƴ 
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35 
 
i) Deriva-se R1 + R3 + R3 - R4 = 0 
R1ω1 + R2 ω2 + R3 ω3 - R4ω4 = 0 
 
Como ω1 = 0 e R2 ω2 é uma constante C: 
C + R3 ω3 - R4ω4 = 0 
 
Temos 2 incógnitas, ω3 e ω4. E os passos seguintes são os mesmos a partir do passo iv do 
deslocamento. 
 
Exercício 2: Dados o comprimento da barra 2 = 3 cm, barra de ligação = 8 cm, barra de 
saída = 6 cm, ângulo da barra 2 = 60° e ângulo da barra de saída = 71,8°.Calcule o 
comprimento da barra fixa e θ3. 
 
Pela malha fechada: -R1cos(θ1) + R2cos(θ2) + R3Cos(θ3) –R4cos(θ4)=0 
 -R1senb(θ1) + R2sen(θ2)+ R3sen(θ3) –R4sen(θ4)=0 
 
Como θ1 =0°: 
-R1+ 3cos(60) + 8Cos(θ3) –6cos(71,8)=0 
 0 + 3sen(60) + 8sen(θ3) –6sen(71,8)=0 
 
 θ3=22,8° e R1=7cm 
 
Exercício 3: Dado VBA= 14,14 cm/s, para o mecanismo abaixo, encontre a velocidade 
absoluta no ponto B e indique sua direção e sentido. Dados: R2=6cm, R3=18cm, 
R4=12cm, θ2 = 135°, θ4 = 68,4°, giro da barra 2 em sentido horário. 
 
 
Solução: W3=VBA/R3 = 14,14/18 = 0,785rad/s 
 
Agora, precisamos encontrar R1 e θ3 por malha fechada: encontramos , R1= 8cm, theta3=22,6°. 
Utilizando 
 
 
 e 
 
 
 
Encontramos: w4=1,19 rad/s, w2=1,85 rad/s, 
 
VB=W4*R4 = 1,19*(12)=14,28cm/s (90° do R4) 
 
VB=14,28 cm/s < 338,4° ou 13,28i – 5,21j 
A
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36 
 
 
Equação de Fraudenstein 
 
 Método muito parecido com malha fechada, porém sem utilizar a equação de euler e 
sem simplificar para 3 barras. As posições angulares são diferentes. Considerando-se a 
articulação mostrada na figura: 
 
 
 
 As posições vetoriais das barras são: 
 
 
0a b c d   
 
 Equacionando as distâncias horizontais: 
 
 
1 2 3 4cos cos cos cos 0a b c d       
 
 E as distâncias verticais: 
 
 
1 2 3 4sen sen sen sen 0a b c d       
 
 Assumindo 
1 180  
 então 
1sen 0 
 e 
1cos 1  
, assim: 
 
 
2 3 4cos cos cos 0a b c d      
 
E 
 
2 3 4sen sen cos 0b c d    
 
 Isolando os termos contendo “c” para o lado direito da igualdade e elevando ao quadrado 
ambos os lados: 
 
 
 
22 2
3 2 4cos cos cosc a b d    
 
 
 
22 2
3 2 4sen sen senc b d    
 
 
 Adicionando ambas as equações e utilizando a relação 
 2 4 2 4 2 4cos cos cos sen sen       
 e 
2 2sen cos 1  , têm-se: 
 
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37 
 
 
 
2 2 2 2
2 4 2 4cos cos cos
2
c a b d a a
bd d b
          
 
 A equação de Fraudenstein resulta dessa relação como: 
 
 
 1 2 2 4 3 2 4cos cos cosK K K      
 
Sendo: 
 
1
a
K
d

; 
2
a
K
b

; 2 2 2 2
3
2
c a b d
K
bd
  

 
 
Exemplo: Encontre comprimento da barra r1 para o caso do exemplo acima, onde 
R1= a, R2 = 3cm, R3 = 8cm, R4 = 6cm e 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 1 2 2 4 3 2 4cos cos cosK K K      
 
 
 
1
a
K
d

; 
2
a
K
b

; 2 2 2 2
3
2
c a b d
K
bd
  

 
 
K1 = a/6 K2 = a/3 K3 = (8²)-(a²)-(3²)-(6²)/2(3)(6) 
 
(a/6)Cos(60) + (a/3)Cos(251,8) + (19-a²)/36 = Cos(60-251,8) 
(a/6)1/2 + (a/3)(-0,31) + (19-a²)/36 = -0,97886 
a/12 - 0,31a/3 + (19-a²)/36 = -0,97886 
3a/36 – 3,72a/36 + (19-a²)/36 = -35,239/36 
 
3a - 3,72a +19 – a² = -35,239 -> -0,72a – a² +19 = -35,239 -> a² +0,72a – 54,24 = 0 
 
Resposta: a=7m 
 
Mobilidade ou Graus de liberdade de um mecanismo 
Graus de liberdade de um mecanismo diz repeito ao número de movimentos independentes que 
ele possui. A mobilidade de um mecanismo pode ser definida como o número mínimo de 
parâmetros requeridos para especificar o a localização de cada elemento dentro de um 
mecanismo. 
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38 
 
 
 
 
 
Mecanismo de 1 grau de liberdade: 
 
 
Síntese gráfica de mecanismos 
Antes de entrarmos na síntese gráfica propriamente dita, é preciso conhecer os conceitos 
básicos de movimento de um ponto em um mecanismo. Os movimentos podem ser expressos 
como deslocamento, velocidade e aceleração, lineares ou angulares. A análise cinemática de 
mecanismos pode ser complexa, uma vez que ocorrem movimentos que são combinações de 
rotação e translação. Ocorrem acelerações e velocidades relativas entre os corpos. Algumas 
hipóteses importantes: 
-Pelo menos uma peça é fixa 
-Não há deformações relativas entre as peças 
No caso de ocorrer deformações relativas, como em molas, a análise vibratória é mais adequada 
para descrição do movimento. 
Para corpos (rotor) que giram em torno de um ponto fixo: 
 
 
Velocidade tangencial: V=ωR 
Aceleração centrípeta: A
n
=v
2
/R= ω²R 
Aceleração tangencial: A
t
=αR 
Os métdos para análise de forças e movimentos (velocidade e aceleracão) em mecanismos 
pode ser de 3 tipos: 
a) Análise vetorial: é uma forma analítica, porém os movimentos e forças são decompostos em 
vetores. 
b) Análise gráfica, baseia-se na análise gráfica do polígono determinado a partir de cálculos 
analíticos 
c) Análise analítica: são empregadas equações escritas na forma complexa, como por meio da 
equação de euler, onde é Rcos(θ) + i sen(θ) 
 
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39 
 
Análise de um ponto sob trajetória circular: 
 
 
 
 
 
 
Para o cálculo das velocidades, devem ser consideradas duas componentes: uma componente 
devido ao deslocamento angular (ωR) e outra devido a variação do comprimento do raio (dR/dt). 
Logo, a velocidade do ponto é: 
Vp = ωR + dR/dt 
Caso R seja contantes, tem-se simplesmente a contribuição da velocidade de rotação: 
Vp = ωR 
Raciocínio análogo pode ser feito com respeito a aceleração. 
 
 
 
 
 
 
Como houve uma modificação da aceleração em direção e sentido, houve uma combinação de 
aceleração tangencial (ΔVP/Δt)
t
 e normal (ΔVP/Δt)
n 
 
(Ap)
n 
= ω.(ωR) + (ω.dR/dt) 
(Ap)
t 
= α.R + ω.dR/dt + d²R/dt² 
Para curvatura R constante: (Ap)
t 
= α.R e (Ap)
n 
= ω.(ωR) 
Aceleração resultante no ponto é: 
Ap = (Ap)
n 
+ (Ap)
t
 = ω.(ωR) + (ω.dR/dt) + α.R + (ω.dR/dt) + d²R/dt² = ω.(ωR) + 2(ω.dR/dt) + α.R 
+ d²R/dt² 
No caso da aceleração, mesmo com o raio constante, teremos duas componentes, uma 
centrípeta, normal ao raio, e outra tangencial. 
P 
P’ 
ΔθR 
R 
R+ΔR 
ΔS 
C 
C’ 
ΔθR 
R 
R+ΔR 
C 
C’ 
P 
P’ 
VP 
VP’ 
VP 
VP’ 
ΔVP 
(ΔVP)
t 
(ΔVP)
n 
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40 
 
Conceitos de velocidade relativa 
Antes ainda de adentrarmos nos cálculos pelo método gráfico, é importante definirmos 
alguns conceitos básicos em mecanismos: 
VBA = VB - VA 
VB = VBA + VA 
A partir deste cálculo de velocidade relativa, podemos verificá-lo graficamente em um 
mecanismo de 4 barras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABC – sujeito a w3 
VA = ω2(AO2) -> velocidade absoluta 
VA = ω3(I13A) -> velocidade absoluta 
VB = ω3(I13B) -> velocidade absoluta 
VB = ω4(O4B) -> velocidade absoluta 
VBA = ω3(AB) -> velocidade relativa 
VCA = VC - VA --> VC = VCA + VA 
VC = ω3(AC) + ω2(AO2) [aponta 90graus com o CI I13] 
VCB = VC – VB --> VC = VCB + VB 
B 
O2 O4 
A 
C 
I13 
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41 
 
VC = ω3(CB) + ω4(O4B) 
Por exemplo: no 4 barras acima são conhecidas as dimensões e os ângulos, a velocidade 
ω2 e ω3. É possível conhecer VB por: 
VB= VBA + VA ----> VB = ω3(AB) + ω2(AO2) 
VBA -> módulo conhecido e direção perpendicular a AB 
VA-> módulo conhecido e direção perpendicular a O2A 
Exemplo: considere um manivela-biela com 45° na manivela, R=0,025m e L=0,25m, 
manivela 20pi.rad/s. O ângulo theta3 é 4,05°. Calcule a velocidade absoluta do ponto B. 
Pela malha fechada encontramos w3: -r1w1cos(theta1) + Rw2cos(theta2)+ 
Lw3cos(theta3)=0 (ATENÇÃO: quando for velocidade, usar somente parte real – 
cosseno. Isso é porque a parte imaginária terá um componente a mais da derivada). 
W1=0, logo 
 0,025*20*PI*cos(45)+ 0,25*w3*cos(4,05)=0 
W3=4,45rad/s 
Considere o ponto B sobre o cursor e o ponto A sobre a manivela: 
VBA=VB-VAVB=VBA+VA 
 
 
VB=(w3*L)*sen(4,05) +w2*(R)*cos(45) = 
4,45*0,25*sen(4,05)+20*Pi*(0,025)*cos(45)= 1,18m/s 
 - Refaça os cálculos para Theta2=90°: 
Calculando w3 pela malha fechada (theta3 é 5,74°): 
W2Rcos(theta2) + W3Lcos(theta3) = 0 
20*pi*0,025*cos(90) + W3*0,25*cos(5,74) = 0 
W3=0 = VBA=0 
VB=VBA+VA = 0 + (20*Pi*0,025) = 1,57m/s 
 
VBA 
VA 
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42 
 
 Agora, utilizando o método gráfico, determina-se VB: 
 
 
 
 
 
Assim, o método gráfico serve para determinar as relações de velocidade. Mas antes, é 
preciso conhecer as relações de velocidade entre as barras, que podem ser calculadas 
pelas relações do centro instantâneo. 
Outros exemplos de métodos gráficos: 
 
 
 
 
 
Pelo método gráfico: 
Em P2 (com relação a A): VP2 = VP2A + VA = ω3(AP2) + ω2(O2A) 
 
 
Em P1 (com relação a A): VP1 = VP1A + VA = ω3(AP1) + ω2(O2A) 
 
 
Em P2 (com relação a B): VP2 = VP2B + VB = ω3(BP2) + ω4(O4B) 
Perceba que esse VP2 é igual ao VP2 
calculado em relação a A. 
 
 
VA 
VBA 
VB 
VA 
VBA 
VB 
B 
A 
C 
P1 
P2 
VA VP2A 
VP2 
O2 O4 
VA 
VP1A 
VP1 
VB 
VP2B 
VP2 
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43 
 
Cálculo da velocidade pelo método gráfico para 3 corpos quaisquer 
Neste caso, usa-se o Teorema de Kennedy, segundo o qual os 3 corpos independentes 
possuem centros instantâneos em uma reta comum. 
 
 
 
 
 
 
 
Toda a construção do teorema de Kennedy baseia-se no método gráfico. Primeiramente, 2 
pontos são escolhidos ao acaso em cada peça. A 90 graus da direção da velocidade é traçado o 
eixo de rotação. O ponto de encontro entre os eixos de rotação de A1 e A2 e de B1 e B2 dá 
origem aos centros instantâneos I1 e I2. Por fim, graficamente é possível encontrar o terceiro 
centro instantâneo (I3). Traça-se uma reta de encontro entre I1 e I2. Sobre essa reta haverá um 
ponto onde as velocidades relativas a I1 e I2 serão iguais. Esse é o centro instantâneo I3. 
Graficamente ele é encontrado pelo desenho de vetores ao longo da reta I1 e I2. Onde houver 
igualdade entre seus tamanhos e direções é porque ali é o ponto I3. Neste ponto as velocidades 
relativas são nulas, uma vez que V1=V2. 
OBS.: Sempre que velocidades relativas são nulas, é centro instantâneo. 
O método gráfico na análise de engrenagens 
 
 
 
 
 
 
 
Sempre que um ponto tiver velocidade relativa zero, é ponto de centro instantâneio. Então, em 
um trem de engrenagens simples ou em uma planetária, temos 3 centros instantâneos. 
Do método gráfico, coonsiderando centro instantâneio I3: 
Para engrenagem 1: 
 
Peça fixa 
A1 
A2 
B1 B2 
I1 
I2 
I3 
I1 
I2 
I3 
R2 
R1 
ωb 
ω1R1 ωbR1 
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44 
 
Para engrenagem 2: 
 
 ω1R1 - ωbR1 = ω2R2 – ωbR2 
R1(ω1-ωb) = R2 (ω2 – ωb) 
R1/ R2 = (ω2 – ωb) /(ω1-ωb) 
Caso ωb = 0, é trem simples e R1/ R2 = ω2 / ω1 
O método gráfico na análise de cames 
Dois casos diferentes podem ocorrer, dependendo do tipo de contato do seguidor: 
- Cames com seguidor de contato de rolete 
Calculado em relação ao centro do rolete 
 
 
 
 
 
Pela equação das velocidadesrelativas: V21= V2 – V1 
Repare que a construçãodo polígono de vetores (método gráfico) foi feita em 2 etapas, onde no 
segundo caso (mais a direita) temos a resultante entre V2 e –V1. 
A velocidade relativa de V21 é sempre tangente a circunferência da came. 
A velocidade V2 é a velocidade absoluta do seguidor. 
V1= ω1R1 
V2= ω2R2 
- Cames com seguidor de contato de ponta 
 
 
 
 
 
V2 
V1 
V2 
-V1 
V21 
V21 1 
2 
R2 
R1 
1 
2 
R2 
R1 
V2 
V1 
V2 
-V1 V21 
V21 
ω2R2 ωbR1 
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45 
 
Aqui, novamente pelo método gráfico, determinamos V21. Convém destacar que com o seguidor 
de contato de ponta a velocidade do mesmo segue a linha do próprio elemento. 
 
 
 
 
 
Sempre que envolver velocidades relativas, o método gráfico é útil. No exemplo acima, temos 
velocidade relativa de P em relação a Q. O movimento circular de P em relação a Q (movimento 
relativo) é igual ao movimento circular de P em relação a um ponto fixo. Por isso ωr e αr (r de 
relativos) são iguais a ω3 e α3 (velocidade e aceleração absolutas). No caso de APQ, dR/dt =0. 
Então: 
(APQ)
t
 = α3R e (APQ)
n 
= (ω3)
2
R = (vPQ)
2
/R 
Sabendo-se que APQ = AP - AQ e uma vez que APQ pode ser determinado pela soma das 
componentes (APQ)
t
 e (APQ)
n
 e assumindo AQ conhecido, pode-se graficamente determinar 
a aceleração absoluta em P (termo AP). 
 
Dicas matemáticas para encontrar ponto máximo e mínimo: 
 
 
Lista de exercícios garfo escocês, cursor manivela, alavanca articulada e mecanismo de 
retorno rápido 
1) Considerando um garfo escocês com velocidade de rotação de 300rpm e manivela de 
5cm: 
a) Desenhe o gráfico da aceleração vs ângulo para um ciclo completo, considerando 
um passo de 45° 
b) Determine os ângulos e os tempos em que ocorrem as máximas acelerações 
negativa e positiva 
c) Desenhe o gráfico da velocidade vs ângulo para um ciclo completo, considerando 
um passo de 45° 
d) Determine os ângulos e os tempos em que ocorrem as máximas velocidades 
negativa e positiva 
e) Desenhe o gráfico da velocidade vs tempo para um ciclo completo, considerando 
um passo de tempo (em s) correspondente a um ângulo de 45° 
(APQ)
t (APQ)
n 
P 
Q 
αr= α3 
ωr= ω3 
3 
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46 
 
 
2) Se a peça 2 do mecanismo de garfo escocês gira a 100 rpm, determine a velocidade 
máxima e a aceleração máxima da peça 4 para um curso de 10 mm. 
 
 
3) Num mecanismo biela-manivela, com R=1m, L=5m e Omega=π rad/s, uma aceleração 
nula do cursor é alcançada quando o ângulo da manivela é de 79° e 281°. A máxima 
aceleração do cursor vale -11,84m/s² e ocorre quando a manivela encontra-se em 0° e 
360°. A partir destas informações, calcule a máxima velocidade do cursor. Lembrando 
que a equação que descreve a velocidade é 
 
2
2
2
2
sen cos
sen
1 sen
R
x R
R
L
L
 
  

 
 
   
 
 
 
. 
 
4) Dado o gráfico de aceleração de um mecanismo de manivela-biela, com raio de 
manivela de 0,5m e comprimento da biela de 4m 
 
Calcule a máxima velocidade do cursor desse mecanismo, dado que a manivela 
leva 1s para dar uma volta completa. Lembrando que a equação que descreve a 
velocidade é  
2
2
2
2
sen cos
sen
1 sen
R
x R
R
L
L
 
  

 
 
   
 
 
 
. 
 
1,4486 4,8346 
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47 
 
5) Para um mecanismo biela-manivela com manivela de 25mm, barra de união de 
25cm e dado que o tempo para a manivela alcançar 90° é de 0,025s. 
a) Desenhe o gráfico da posição vs ângulo para um ciclo completo (passo de 45°) 
b) Desenhe o gráfico da posição vs tempo para um ciclo completo 
Lembrando que a equação que descreve o deslocamento é 
 
2
2
2
cos 1 sen
R
x R L
L
    
. 
 
6) Para o mecanismo de alavanca articulada abaixo, o que ocorre com a carga P 
caso o ângulo alfa seja muito pequeno? E caso alfa seja próximo a 90°, o que 
ocorre com a carga P? 
 
 
7) Dê oito (8) exemplos para o uso do mecanismo biela-manivela diferentes de motores 
de combustão interna e de compressores. Desenhe se necessário. 
 
8) O que é razão dos tempos? De um exemplo através de um desenho. 
 
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49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista de exercícios quatro barras e cames 
1) Como podem ser classificadas as cames? Desenhe um exemplo para 3 casos distintos. 
2) Verifique se pelo menos uma das barras do mecanismo de quatro barras da figura a 
seguir será capaz de dar uma revolução completa: Dados: a = 50 cm; b = 20 cm; c = 35 
cm; d = 15 cm. 
 
3) Represente graficamente e explique o movimento de um seguidor radial de uma came 
de disco com de 60 mm de diâmetro e excentricidade de 18 mm. Passo de 45°. 
 
4) Desenhar a came a partir do gráfico de deslocamento de um seguidor dado abaixo: 
 
 
5)Verifique se o mecanismo de quatro barras irá emperrar quando a barra motora for 
posta para girar: Dados: r1 = 40 cm; r2 = 15 cm; r3 = 40 cm; r4 = 25 cm. 
 
6) Ainda para o mecanismo de quatro barras da questão anterior, determine o ângulo de 
transmissão se o ângulo de entrada for igual a 52°. Calcule também a vantagem mecânica 
e desenhe o mecanismo. 
 
Formulário: 
2 2 2
2 1 1 2 22 cosz r r rr   
; 
2 2 2
3 4 3 42 cosz r r r r   
; 2 2 2
3 4
3 4
arccos
2
z r r
r r

  
  
 
; 
 4 180    
 
0 
2 
4 
6 
8 
10 
12 
0 45 90 135 180 225 270 315 360 405 
D
e
sl
o
ca
m
e
n
to
 s
e
gu
id
o
r 
[m
m
] 
Angulo [graus] 
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2 2 2
4 3
4
arccos
2
z r r
zr

  
  
 
; 2 2 2
1 2
1
arccos
2
z r r
zr
     
 
; 2 2 2
3 4
3
3
arccos
2
z r r
zr
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Marque V para verdadeiro ou F para falso: 
 
( ) A equação do deslocamento do mecanismo a seguir é 
 
 
 
 
 
 
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60 
 
 
( ) Considere um mecanismo de 4 barras com uma das barras sendo fixa e com 4 
articulações simples que permitem apenas a rotação. Esse mecanismo possui 1 grau de 
liberdade. 
 
( ) No mecanismo a seguir, quanto mais próximo o ponto de pivotamento O4 do centro 
da manivela O2, mais próxima da unidade (“1”) se aproxima a razão dos tempos. 
 
( ) O mecanismo a seguir transforma o movimento de rotação (barra b) em movimento 
de oscilação no elemento f. 
 
 
7) Dado o quatro barras, calcule ω4 pelos métodos da malha fechada e do centro 
instantâneo. Considere a velocidade na barra 2 igual a 10rad/s. 
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61 
 
 
 
Solução: 
- malha fechada 
 
 
 
 
 
Determinou-se geometricamente 
 
W4=30.(10).sen(25,91-30)/35.sen(25,91-60) = 1,09rad/s 
 
- Centro instantâneo: 
 
Determinou-se I24=4,9 
 
 
 
 
 
 
4,9.w2 = 44,9.w4 
49 = 44,9.w4 
w4 = 1,09 rad/s 
 
 
 
 
 
Respostas: V, V,F, F 
 
 
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62 
 
Exercício revisão de 4 barras: 
Velocidade da barra 2 é 5rad/s. Encontre a velocidade das barras 3 e 4. 
Considere o ângulo entre as barras 2 e 3 como sendo 145,56. Resolva 
pelos métodos da malha fechada e do centro instantâneo. É dado I13 e não 
é dado I24. 
 
 
 
 
 
 
Solução 
Pelo método da malha fechada: 
 
 
 
 =15*(5)*sen(72,85-52)/ 40*sen(72,85-17,56) = 26,69/32,88=0,81 rad/s 
 
 
 
=15*(5)*sen(17,56-52)/25*sen(17,56 – 72,85)= -42,42/-20,55 = 2,06 rad/s 
Pelo método do centro instantâneo: 
Precisamos encontrar I23: 
Calculando por geometria, encontramos θ3 = 17,56°. 
Y=11,82m 
a = 15*cos(52) = 9,23 
t = 11,82/(tan(17,56)) = 37,35 
I24 = t – a = 28,12 
 
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ω2 . RI24I12 = ω4. RI24I14 
 
5 . 28,12 = ω4 . 68,12 ---> ω4 = 2,06rad/s 
 
ω2 . RI23I12 = ω3. RI23I13 
5 . 15 = ω3 . 92,39 
ω3 = 0,81rad/s 
 
 
1)Numere as colunas de acordo com os desenhos: 
( ) Came de disco e seguidor de translação de face plana deslocado 
( ) Came de disco e seguidor oscilante de face esférica 
( ) Came de disco e seguidor de translação com rolete 
( ) Came linear com seguidor oscilante de rolete 
( ) Came cilíndrica com seguidor de translação de face esférica 
 (1) (2) (3) (4) 
 (5) (6) (7) (8) 
 
 
2) Qual das opções acima possui vínculo mecânico, vínculo por gravidade e 
vínculo por mola? 
 
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3) V ou F: ( ) A menor distância entre o centro de giro O e um ponto de contato 
de uma came de disco com um seguidor de ponta é o definido como raio 
principal 
 
1) Resposta: 2, 7, 8, 4, 6 
2) Vínculo mecânico: 6, vínculo por gravidade: 1,2,4,5,7; vínculo de mola: 8,3. 
3) V 
 
4) Dados r2=3, r3=8, r4=6, calcule r1. Considere theta2=60° e theta4=71,8°. 
Descubra theta 3 e r1. Dado que w1=10rad/s, calcule w3 e w4. Determine a VM. 
 
 
 
SÍNTESE GRÁFICA DE MECANISMOS 
Muitos projetos de mecanismos são realizados de modo interativo entre síntese e análise. 
Projetos baseados em análise são mais adequados para problemas quando a solução já 
está definida, onde o numero de variáveis é menor ou igual ao número de equações. 
Quando o número de variáveis é maior do que o número de equações, geralmente é 
indicada a síntese qualitativa. Uma forma de análise qualitativa é a análise gráfica, 
baseada na visualização gráfica por meio de esboços, arcos e/ou vistas ortogonais do 
mecanismo. A síntese do tipo é a escolha do tipo mais adequado de mecanismo para o 
cumrpimento de uma dada função. Exige experiência do projetista a fim de se encontrar a 
solução mais otimizada em termos de desempenho e custos. A síntese dimensional é a 
determinação dos comprimentos dos elos (ou membros) de um mecanismos. Caso hajam 
mais variáveis do que equações ela é qualitativa. 
A análise gráfica pode ser simples para determinação das posições de um mecanismo. 
Basta desenhar o mecanismo em escala. A vantagem do método gráfico para 
determinação da velocidade é a rapidez e simplicidade para se chegar a uma solução. A 
desvantagem é que depende da habilidade do desenhista e também se forem necessárias 
mais posições, o problema pode ser um tanto quanto fatigante. 
A síntese cinemática dos mecanismos se divide em 3: i) geração de função, onde é 
definido o tipo de movimento, a relação entrada e saída; ii) Geração de trajetória: onde é 
definida uma trajetória de um ponto que deve ser seguida pelo mecanismo; iii) Geração 
de movimento: onde o mecanismo projetado deverá seguir uma linha reta, podendo ser de 
2 ou 3 posições, por exemplo. 
Os pontos mortos ou singularidades de um mecanismo são os limites do mecanismo. Em 
um mecanismo de 4 barras verificado por Grashoff, o ponto morto é obtido quando as 
barras 2 e 3 estão colinearmente sobrepostas ou estendidas. Já caso o mecanismo não sejaGrashoff, os pontos mortos ocorrem quando as barras 3 e 4 são colineares (alinhadas) ou 
quando as barras 2 e 3 são colineares. 
As posições de um mecanismo de 4 barras podem ser rapidamente determinadas a partir 
do conhecimento dos comprimentos de todas as barras bem como de uma único ângulo. 
 
SÍNTESE ANALÍTICA DE MECANISMOS 
São os métodos algébricos. São baseados em trigonometria, análise de vetores e/ou 
identidade de Euler. 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
American National Standard Gear Nomenclature (AGMA) 1012-F90. Definitions of Terms with 
Symbols, Estados Unidos, 1990. 
 
SHIEGLEY, J.; Mischke, E.; Budynas, C.R. Projeto de Engenharia Mecânica, Bookman 
 
Uicker, J.J.; Pennock, G. R.;J.; Shigley, J. E. Theory of Machines and Mechanisms, Oxford 
University Press, 2011.