Tema 10 Assimetria

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Assimetria
José Tadeu de Almeida
Introdução
Nesta aula, aprofundaremos nosso conhecimento sobre a assimetria. Para isso, verificare-
mos quais as situações em que, utilizando-nos de uma distribuição de dados, é possível identificar 
se há uma tendência de distribuição de dados ao longo da média, ou se o conjunto possui alguma 
desigualdade. Assim, entenderemos o conceito e as características das distribuições simétricas 
e assimétricas. 
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • identificar os tipos de assimetria baseados na posição relativa entre a média e a 
mediana.
1 Conceito de assimetria
Quando pensamos em assimetria, normalmente, estamos considerando uma desigualdade, 
uma discrepância, uma tendência. Já a simetria, por sua vez, pressupõe uma organização de ele-
mentos que segue uma ordem, uma coincidência de informações (CRESPO, 2005). Além disso, 
na Estatística, quando analisamos uma distribuição de dados associada a uma amostra ou a 
uma população, é comum efetuarmos alguns cálculos denominados medidas de posição, como 
a média (que denota o ponto equidistante entre os dois extremos de uma distribuição), a mediana 
(que divide os dados do conjunto em duas partes iguais) e a moda (o elemento que se repete com 
maior frequência). 
Deste modo, quando analisamos graficamente esta distribuição, verificamos se ela é simé-
trica, ou seja, igualmente distribuída em relação à média, ou assimétrica, quando há uma diferença 
em relação à distribuição de dados em torno da média. Assim, quanto maior for esta diferença, 
pode-se dizer que a distribuição é mais assimétrica (CRESPO, 2005).
Para entender melhor o conceito de assimetria, tomemos um exemplo. Um aluno, ao anali-
sar um conjunto de dados, constrói um histograma - uma representação gráfica em colunas, em 
que o eixo horizontal apresenta as classes (intervalos de valores) e o eixo vertical apresenta as 
frequências (o número de vezes em que se visualizou um certo dado) - verificando como se dá a 
distribuição dos valores para uma característica de interesse. 
Figura 1 – HistogramaHistograma
Classe
Fr
eq
uê
nc
ia
1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
0
Fonte: elaborada pelo autor, 2016.
No exemplo, vimos que a distribuição dos dados é simétrica, pois, em cinco classes, há o 
mesmo número de dados distribuídos em torno da média. Mas, como verifi car a simetria de uma 
distribuição de dados de um conjunto, ou de uma amostra de várias classes? Nestes casos, utili-
zamos o primeiro Coefi ciente de Assimetria de Pearson (Ap), um valor adimensional que permite a 
verifi cação da assimetria, conforme a equação:
= X Mo-X Mo-Ap
s
Em que:
Ap = coefi ciente de assimetria;
S = desvio padrão, que é dado pela equação 
( )22 1
n
ii
x Xix Xi
n
=
x X−x X∑
 cujo quadrado corresponde 
à variância; 
O somatório ( )∑
n 2
i
i=1
x X−x X−ix Xi mostra os quadrados dos desvios, ou seja, as diferenças de cada dado 
xi, sendo i =1, 2, 3... até o último dado, n, em relação à média;
x = média das observações, dada pela fórmula ni=1 /∑
 
iX x n
nX x nn /X x n/X x n=X x n=∑X x n∑ iX x ni ;
Mo = Moda, ou seja, o elemento que apresenta maior frequência;
= n – número de observações.
Caso um conjunto de dados não possua moda, utilizamos o segundo coefi ciente de assime-
tria de Pearson dado por:
( )3× −(× −(
=
X Md× −X Md× −
Ap
s
Em que Md representa a mediana, o valor que separa os 50% menores dos 50% maiores 
valores.
2 Tipos de assimetria
Uma distribuição de frequências pode ser classifi cada como simétrica, assimétrica posi-
tiva ou assimétrica negativa, em função de como os dados e frequências são distribuídos 
(CRESPO, 2005).
FIQUE ATENTO!
A distribuição simétrica não é preferível à distribuição assimétrica, ou seja, não há 
um critério de qualidade em relação à simetria de um conjunto de dados, uma vez 
que as características de interesse devem ser fi xadas pelo pesquisador.
Quando o Coefi ciente de Assimetria de Pearson é igual a zero, observamos que a média é 
igual a moda, logo, o ponto que contém a maior frequência corresponde à média, e a distribuição 
é perfeitamente simétrica. Na fi gura anterior, temos um exemplo de distribuição simétrica, uma 
vez que a moda, a mediana e a média são iguais e estão na terceira classe. Assim, há o mesmo 
número de dados à esquerda e à direita desta classe.
Caso haja uma tendência de acumulação das frequências à esquerda ou à direita da moda, 
observaremos que esta distribuição possui uma assimetria. Trata-se do chamado “encauda-
mento” (CRESPO, 2005).
3 Distribuições simétricas - características
A distribuição simétrica ocorre quando uma amostra possui uma característica de interesse 
que tenha valores igualmente dispostos em torno da moda e da média. Para Stevenson (2001, 
p. 48) a distribuição é simétrica quando “a metade esquerda é a imagem refl exa da metade direita”. 
A fi gura a seguir representa uma distribuição simétrica.
Figura 2 – Distribuição simétrica
-3 -25 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Fonte: elaborada pelo autor, 2016.
FIQUE ATENTO!
Em uma distribuição de frequências, a chamada ‘curva normal’ possui uma distri-
buição simétrica, sendo que cerca de 95% dos dados encontra-se em uma distân-
cia inferior a dois desviospadrões em relação à média.
A distribuição simétrica possui as seguintes características:
 • x Md Mox Md Mox Md Mo= =x Md Mo , ou seja, a média, mediana e moda se equivalem;
 • Ap = 0, o coefi ciente de assimetria é nulo;
 • metade do gráfi co é a imagem-espelho da outra.
Portanto, há uma pequena probabilidade de visualização de frequências baixas ou altas nas 
primeiras e últimas classes destas distribuições, fazendo com que este tipo de distribuição tenha 
a forma de um “sino”.
EXEMPLO
Calculemos o coefi ciente de assimetria do conjunto de dados A = {1,2,2,3,3,3,4,4,5}. 
Primeiro, precisamos obter a média, que é dada por:
( )1 2 2 3 3 3 4 4 5/ 3(/ 3( )/ 3)1 2 2 3 3 3 4 4 5/ 31 2 2 3 3 3 4 4 5
9
/ 3
9
/ 3
1 2 2 3 3 3 4 4 5+ + + + + + + +1 2 2 3 3 3 4 4 51 2 2 3 3 3 4 4 5
/ 3
1 2 2 3 3 3 4 4 5+ + + + + + + +1 2 2 3 3 3 4 4 5
/ 3
1 2 2 3 3 3 4 4 5
/ 3= = =/ 3(/ 3(= = =(/ 3( )/ 3)= = =)/ 3)/ 3= = =/ 3∑ iX x n/ 3X x n/ 3X x n/ 3X x n/ 3= = =X x n= = =/ 3= = =/ 3X x n/ 3= = =/ 3X x n= = =X x n= = =∑X x n∑= = =∑= = =X x n= = =∑= = =iX x ni= = =i= = =X x n= = =i= = =nX x nnX x ni=1
A moda é o elemento com a maior repetição: Mo 3Mo 3=Mo 3
A variância desta amostra é dada por:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)
2 2 2 2(2 2 2( )2 2 2) (2 2 2( )2 2 2)2 1
1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3( )1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3( )1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3( )1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3( )1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(2 2 2 2 2 21 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(2 2 2 2 2 2(
4 3 4 3 5 3)4 3 4 3 5 3) (4 3 4 3 5 3( )4 3 4 3 5 3) (4 3 4 3 5 3(2 2 24 3 4 3 5 32 2 2(2 2 2(4 3 4 3 5 3(2 2 2( )2 2 2)4 3 4 3 5 3)2 2 2) (2 2 2(4 3 4 3 5 3(2 2 2( 12 1,500
1 9 1 8
=
1 3 2 32 3 3 3 3 3 3 3− + − + − + − + − + −1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)− + − + − + − + − + −)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(− + − + − + − + − + −(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3( )1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)− + − + − + − + − + −)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(− + − + − + − + − + −(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3( )1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)− + − + − + − + − + −)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(− + − + − + − + − + −(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3( )1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)− + − + − + − + − + −)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(− + − + − + − + − + −(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3( )1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3)− + − + − + − + − + −)1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3) (1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(− + − + − + − + − + −(1 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3(
+ − + − + −(+ − + − + −(4 3 4 3 5 3+ − + − + −4 3 4 3 5 3)4 3 4 3 5 3)+ − + − + −)4 3 4 3 5 3) (4 3 4 3 5 3(+ − + − + −(4 3 4 3 5 3( )4 3 4 3 5 3)+ − + − + −)4 3 4 3 5 3) (4 3 4 3 5 3(+ − + − + −(4 3 4 3 5 3(
= = = == = = =
(
= = = =
( )
= = = =
) (
= = = =
( )
= = = =
) (
= = = =
( )
= = = =
)
= = = == = = =
− −1 9 1 8− −1 9 1 8
∑
k
ii
x X−x X−ix Xis
n
Deste modo, temos que o desvio padrão amostral é dado pors 2 1,500 1,225= == =2= =2 1,500 1,225= =1,500 1,225 
Assim, o coefi ciente de assimetria é 
3 3
1,225
− −3 3− −3 3
= = == = == = =
X Mo− −X Mo− −Ap
s . Logo, a distribuição de fre-
quências associado ao conjunto A é simétrica.
SAIBA MAIS!
Na Estatística, as distribuições simétricas associadas a uma curva normal são 
muito utilizadas para a formulação de Testes de Hipóteses. Esses testes procuram 
validar o comportamento de características de uma população a partir de uma 
amostra representativa da mesma.
4 Distribuições assimétricas positivas
A distribuição assimétrica positiva é conhecida pelo nome de distribuição assimétrica à 
direita, devido ao fato de a assimetria ser visualizada na parte direita do gráfi co. Na fi gura a seguir, 
a distribuição possui um encaudamento (distorção) à direita, indicando que há pequenas probabi-
lidades de ocorrência de valores mais altos em uma distribuição de dados associada a esta curva.
Figura 3 – Distribuição assimétrica positiva
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Fonte: elaborada pelo autor, 2016.
A distribuição assimétrica positiva possui as seguintes características:
 • Mo Md xMo Md xMo Md x< <Mo Md x , ou seja, a moda é menor que a mediana, que é menor que a média;
 • Ap > 0, ou seja, o coefi ciente de assimetria é maior do que zero;
 • o gráfi co não cria imagem-espelho entre as metades.
EXEMPLO
Vamos calcular o coefi ciente de assimetria do conjunto de dados de uma amostra 
dado por: 
B = {1,1,1,2,2,5,16}. 
A média é dada por 
( )1 1 1 2 2 5 16/ 4(/ 4( )/ 4)
7
1 1 1 2 2 5 16+ + + + + +1 1 1 2 2 5 16
/ 4= = =/ 4/ 4= = =/ 4∑ iX x n/ 4X x n/ 4X x n/ 4X x n/ 4X x n= = =X x n= = =/ 4= = =/ 4X x n/ 4= = =/ 4= = =X x n= = =∑X x n∑= = =∑= = =X x n= = =∑= = =iX x ni= = =i= = =X x n= = =i= = =nX x nnX x ni=1
A moda é o elemento que apresenta a maior repetição, logo Mo 1Mo 1=Mo 1 
A variância amostral é dada por
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)
2 2
2 1
1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4( )1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4( )1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4( )1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4( )1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(2 2 2 2 2 21 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 42 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(2 2 2 2 2 2(
16 4 180 30
1 7 1 6
=
1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4− + − + − + − + − + −1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)− + − + − + − + − + −)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(− + − + − + − + − + −(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4( )1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)− + − + − + − + − + −)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(− + − + − + − + − + −(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4( )1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)− + − + − + − + − + −)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(− + − + − + − + − + −(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4( )1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)− + − + − + − + − + −)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(− + − + − + − + − + −(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4( )1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4)− + − + − + − + − + −)1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4) (1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(− + − + − + − + − + −(1 4 1 4 1 4 2 4 2 4 5 4(
+ −(+ −(16 4+ −16 4
= = = == = = == = = == = = =
− −1 7 1 6− −1 7 1 6
∑
k
ii
x X−x X−ix Xis
n
Como a variância é igual a 30, o desviopadrão associado a esta amostra é
2 30 5,477= == =30 5,477= =30 5,477s
Assim, o coefi ciente de assimetria é
4 1 0,548
5,477
− −4 1− −4 1
= = == = == = =
X Mo− −X Mo− −Ap
s
Como o valor é maior que zero, temos que a distribuição é assimétrica positiva.
Para descobrir o sinal da assimetria (negativa ou positiva), apenas, não é necessário o cálculo 
do Coefi ciente de Assimetria, basta observar o sinal da diferença entre a Moda e a Média, uma vez 
que o Desvio Padrão é sempre maior ou igual a zero. 
Na Demografi a, área que estuda o comportamento da população sob uma perspectiva esta-
tística, podemos encontrar exemplos de distribuições assimétricas. Em muitos países em desen-
volvimento, de menor nível de renda, costuma-se observar um predomínio de habitantes de menor 
idade, uma vez que a baixa expectativa de vida e o crescimento populacional recente fazem com 
que a porcentagem de idosos nestes grupos seja pequena (CARVALHO, 2004). Assim, quando dis-
tribuímos os dados por faixas etárias, percebemos uma participação muito grande de indivíduos 
com idade inferior à média.
FIQUE ATENTO!
Valores extremamente desassociados a uma distribuição de frequências, ou seja, 
atípicos, são denominados outliers. Eles prejudicam a análise estatística, pois inter-
ferem no cálculo da média e dos coefi cientes de dispersão e assimetria. 
5 Distribuições assimétricas negativas
A distribuição assimétrica negativa recebe a denominação de distribuição assimétrica à 
esquerda, pois o “encaudamento” (distorção) está presente na parte esquerda do gráfi co. Uma 
distribuição assimétrica negativa pode ser evidenciada quando há dados que estejam mais asso-
ciados a um limite inferior, relacionado a classes ou intervalos de classes mais baixos (classes 1, 
2, 3...) para uma característica de interesse, de maneira que poucos valores sejam pertencentes a 
estas classes.
Figura 4 – Distribuição assimétrica negativa
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
Fonte: elaboradapelo autor, 2016.
A distribuição assimétrica negativa caracteriza-se por:
 • x Md Mox Md Mox Md Mo< <x Md Mo , ou seja, a média é menor que a mediana, que é menor que a moda;
 • Ap < 0, o coefi ciente de assimetria é menor que zero;
 • o gráfi co não cria imagem-espelho entre as metades.
Por exemplo, no conjunto de dados: C = {1,1,2,3,4,4,4}, a média é dada por
n
i=1
( )1 1 2 3 4 4 4/ 2,714(/ 2,714( )/ 2,714)1 1 2 3 4 4 4/ 2,7141 1 2 3 4 4 4
7
/ 2,714
7
/ 2,714
1 1 2 3 4 4 4+ + + + + +1 1 2 3 4 4 4
/ 2,714= = =/ 2,714/ 2,714= = =/ 2,714∑ iX x nnX x nn / 2,714X x n/ 2,714X x n/ 2,714X x n/ 2,714X x n= = =X x n= = =/ 2,714= = =/ 2,714X x n/ 2,714= = =/ 2,714= = =X x n= = =∑X x n∑== =∑= = =X x n= = =∑= = =iX x ni= = =i= = =X x n= = =i= = =
A moda é 4=Mo
A variância da amostra é
( )22 1
1
==
−
∑
k
ii
x X−x X−ix Xis
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)
2
1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714( )1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714( )1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714( )1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714( )1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(2 2 2 2 2 21 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,7142 2 2 2 2 2(2 2 2 2 2 2(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(2 2 2 2 2 2( )2 2 2 2 2 2)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)2 2 2 2 2 2) (2 2 2 2 2 2(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(2 2 2 2 2 2(
4 2,714
7 1
1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714− + − + − + − + − + −1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)− + − + − + − + − + −)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(− + − + − + − + − + −(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714( )1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)− + − + − + − + − + −)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(− + − + − + − + − + −(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714( )1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)− + − + − + − + − + −)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(− + − + − + − + − + −(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714( )1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)− + − + − + − + − + −)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(− + − + − + − + − + −(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714( )1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714)− + − + − + − + − + −)1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714) (1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(− + − + − + − + − + −(1 2,714 1 2,714 2 2,714 3 2,714 4 2,714 4 2,714(
+ −(+ −(4 2,714+ −4 2,714
=
7 1−7 1
11,429
6
=
( )22 1 11,429 1,904
1 6
== = == = == = =
−
∑
k
ii
x X−x X−ix Xis
n
Logo, o desvio padrão amostral é 2 1,904 1,38= == =2= =2 1,904 1,38= =1,904 1,38s . Assim, temos que o coefi ciente de assi-
metria é 
2,714 4 0,932
1,38
− −2,714 4− −2,714 4
= = = −= = = −= = = −
X Mo− −X Mo− −Ap
s . Como Ap é menor que zero, a distribuição é assimé-
trica negativa. Aqui, da mesma forma que no exemplo anterior, não é necessário o cálculo do 
Coeficiente de Assimetria para saber o sinal da assimetria, pois como a Média (2,714) é menor que 
a Moda (4), a assimetria é negativa.
Para sabermos se uma distribuição é pouco ou muito assimétrica, com base na análise do 
coefi ciente de assimetria de Pearson, temos de tomar o módulo, que representa os valores abso-
lutos, de tal coefi ciente. Assim, temos que, caso o valor, em módulo, para o coefi ciente seja inferior 
a 1, a distribuição é pouco assimétrica. No entanto, quando o valor é superior a 1, a distribuição é 
muito assimétrica.
SAIBA MAIS!
Conheça exemplos de distribuições simétricas e assimétricas no estudo do Instituto 
Brasileiro de Geografi a e Estatística (IBGE) sobre a população brasileira. Acesse:
http://www.ibge.gov.br/home/presidencia/noticias/imprensa/ppts/00000014425
608112013563329137649.pdf .
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • entender o que são distribuições simétricas e assimétricas;
 • conhecer o Coefi ciente de Assimetria de Pearson;
 • conhecer a classifi cação das distribuições assimétricas.
Referências
CARVALHO, José Alberto Magno. Crescimento populacional e estrutura demográfica no Brasil. 
Texto para Discussão. n. 227, Cedeplar/UFMG, 2004. Disponível em: <http://cedeplar.face.ufmg.
br/pesquisas/td/TD%20227.pdf>. Acesso em: 17 fev 2017.
CRESPO, Antonio. Estatística Fácil. São Paulo: Saraiva, 2005.
INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA (IBGE). Projeção da população por sexo 
e idade: Brasil 2000-2060. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/presidencia/noticias/
imprensa/ppts/00000014425608112013563329137649.pdf.>. Acesso em: 13 fev. 2017.
STEVENSON, William J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Editora Harbra, 2001.