MTM 5151 UNIDADE 1 JURO SIMPLES E DESCONTO SIMPLES

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UFSC – CFM – DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MTM 5151 – MATEMÁTICA FINACEIRA I
PROF. FERNANDO GUERRA.
UNIDADE 1 – JUROS SIMPLES
Conceitos de: juro, capital, taxa de juros, montante e capitalização simples
Juro  j
É uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital, por determinado tempo  n , a uma taxa
combinada. Para o investidor é a remuneração da aplicação e para o tomador é o custo do capital
tomado emprestado.
Capital  P
Em matemática financeira, entendemos por capital qualquer valor expresso em moeda e disponível
em certa época.
Taxa de juros  i
É a razão entre o juro pago ou recebido e o capital inicial. Isto é, ji
P
 .
Exemplo. Um empréstimo de 1.000,00 UM deve ser pago daqui a um ano no valor de 1.150 UM.
Calcular a taxa anual de juros da operação.
Resolução: aa.%15ou15,0
1000
150  ii
A taxa de juros pode ser apresentada nas seguintes formas:
Taxa Percentual - Exemplo: 25% ao ano;
Taxa Unitária - Exemplo: 0,25 ao ano.
A transformação da taxa porcentual (ou percentual) em taxa unitária é feita pela divisão da notação
em percentagem por 100 e para a transformação inversa basta multiplicar taxa unitária por 100.
Exemplos: Taxa Percentual Taxa Unitária
1,25% 0,0125
37,78% 0,3778
153% 1,53
1378% 13,78
0,25% 0,0025
Nota: 1) Nas fórmulas, todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de
juros;
2) Nas fórmulas, tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem
necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo.
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Montante (ou valor futuro)  F
Chamaremos de montante à soma do capital com o juro obtido pela aplicação.
Capitalização Simples:
É aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial (a taxa de juros varia
linearmente em função do tempo).
Cálculo de juros simples
No critério (ou regime) de juros simples, em cada período, os juros são calculados sobre o capital
inicial (ou principal), sendo diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicação.
O valor dos juros simples é obtido pela fórmula:
niPj 
onde
j = valor dos juros
P = principal, capital inicial ou valor presente;
n = prazo;
i = taxa.
Exemplos. 1) Calcular o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de 12.500,00 UM pelo
prazo de 18 meses, à taxa de 1,5% ao mês.
Resolução: Dados do problema: 12.500,00P  UM; 18n  meses;
1,5% 0,015i am am  ; ?j  .
Usando a fórmula acima, vem:
12.500,00 0,015 8 3.375,00j     3.375,00j  UM.
Resposta: O valor dos juros correspondente ao empréstimo é de 3.375,00 UM.
2) Calcular o valor de um empréstimo, à taxa de 36% ao ano, pelo prazo de 8 meses sendo pago de
juros 12.000,00 UM.
Resolução: Dados do problema: 8n  meses; 36%36% 3% 0,03
12
aai aa am am
meses
   
12.000,00j  ; ?P  .
Usando a fórmula acima, vem
12.000,00 50.000,00
0,03 8
P   .
Resposta: O valor do empréstimo é 50.000,00 UM.
3) Uma aplicação de 19.000,00 UM, pelo prazo de 120 dias, obteve um rendimento de 1.825,00
UM. Qual a taxa anual de juros simples dessa aplicação?
Resolução:
Dados do problema: 19.000,00P  UM; 120120
360
n dias ano  ;
1.825,00j  UM;  ?i anual .
3
Usando a fórmula acima, vem:
1201.825,00 19.000,00
360
i    i = 28,82 % ao ano.
Resposta: A taxa de juros desta aplicação é de 28,82% ao ano.
4) Sabendo-se que os juros de 1.251,25 UM foram obtidos com a aplicação de 6.500,00 UM à taxa
de 2,75% ao mês, calcular o prazo da aplicação.
Resolução: Dados do problema:
6.500,00P  UM; 1.251,25j  UM; 2,75% 0,0275i am am  ; ?n 
Usando a fórmula acima, vem:
1.251,25 6.500,00 0,0275n    7n  meses.
Resposta: O prazo da aplicação é de 7 meses.
Cálculo do montante (ou valor futuro) -  F
Sabemos que,
jPF  então  )1( niPniPPjPF
)1( niPF  .
Exemplos. 1) Uma pessoa aplicou 2.700,00 UM a uma taxa de juros simples de 2,8% ao mês, pelo
prazo de 3 meses. Quanto resgatou?
Resolução: Dados do problema: 2.700,00P  UM; 3n  meses; 2,8% 0,028i am am  ; ?F  .
Usando a fórmula acima, vem
 2.700,00 1 0,028 3F     2.926,80F  UM.
Resposta: O valor do resgate é 2.926,80 UM.
2) Uma empresa aplicou 54.000,00 UM no mercado financeiro, a uma taxa de juros simples de 18%
ao ano, pelo prazo de quatro meses. Calcule quanto à empresa resgatou.
Resolução:
Dados do problema: 54.000,00P  UM; 4n  meses;
18%18% 1,5% 0,015
12
aai aa am am
meses
    ; ?F 
Usando a fórmula acima, vem
0,1854.000,00 1 4
12
F        57.240,00F  UM.
Resposta: A empresa resgatou 57.240,00 UM
3) Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de 7.500,00 UM aplicado a uma taxa de
juros simples de 20% aa, por 220 dias.
Resolução: Dados do problema: 7.500,00P  UM; 220n dias ;
20% 0,2020%
360 360
aai aa ad
dias
   ; ?j  e ?F  .
Pela fórmula de juros simples, vem
0,207.500,00 220 916,67
360
j     UM..
Pela fórmula do montante, vem: 7.500,00 916,67 8.416,67F    UM.
Resposta: O valor dos juros é 916,67 UM e o montante é 8.416,67 UM.
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Juro Exato e Juro Comercial
Juro Exato ( JE ): É calculado quando o período n está expresso em dias, utiliza-se o ano civil e a
taxa é expressa ao ano. Logo,
365
P i nJE   .
Juro Comercial  JC : É calculado quando se adota como base o ano comercial e o período n
expressa o número de dias. Logo,
360
P i nJC   .
Exemplos. 1) Calcular o juro exato e o juro comercial de um capital de 5.000,00 UM aplicado pelo
prazo de 40 dias à taxa de 36% aa.
Resolução. Pelas fórmulas acima, vem
5.000,00 0,36 40 197,26
365
JE    e 5.000,00 0,36 40 200
360
JC    .
Portanto, o juro exato é 197,26 UM e o juro comercial é 200,00 UM.
2) Calcular o juro exato e o juro comercial de um capital de 4.000,00 UM aplicado no dia
16/04/20X1 e resgatado no dia 23/07/20X1 a uma taxa de juros de 48 % aa.
Resolução. Para calcular o número de dias entre as duas datas, vem
Até dia 23/07/20X1 temos 204 dias (Veja na tabela de contagem de dias, pág.8)
Até dia 16/04/20X1 temos 106 dias.
Assim, 204 106 98n    dias.
Pelas fórmulas acima, temos
4.000,00 0,48 98 515,51
365
JE    e 4.000,00 0,48 98 522,67
360
JC    .
O montante pelo juro exato é 4.515,51 UM e o montante pelo juro comercial é 4.522,67 UM.
3) Um empréstimo de 4.500,00 UM foi realizado em 20/07/20X1 e foi pago decorridos 148 dias.
Sabendo-se que a taxa contratada foi de 45% aa, calcular:
a) a data de vencimento do empréstimo;
b) o valor pago pelo juro exato;
c) o valor pago pelo juro comercial.
Resolução. Dados do problema: 4.500,00P  , 45% aai  = 0,45 aa , 148n  dias.
a) Até o dia 20/07/20X1 temos 201 dias (pela tabela de contagem de dias), assim
201 148 349  dias.
Logo, pela tabela de contagem de dias, a data de vencimento do empréstimo é 15/12/20X1.
b) o valor pago pelo juro exato, pela fórmula do montante, é
0,454.500,00 1 148 4.500,00 1,1824 5.321,25
365
F           .
c) o valor pago pelo juro comercial é
0,454.500,00 148 4.500,00 1,1850 5.332,50
360
F       .
4) Um capital de 2.500,00 UM foi aplicado a certa taxa de juro exato no período de 14/MAI/20X1 e
23/SET/20X1. Sabendo-se que o valor de resgate em 23/SET/20X1 é 2.732,80 UM, determinar a
taxa de juro anual da operação.
Resolução. Dados do problema: 2.500,00P  , 2.732,80F  , ?( )i anual .
Para calcular o número de dias entre as duas datas, vem
5
Até dia 23/SET/20X1 temos 266 dias
Até dia 14/MAI/20X1 temos 134 dias, logo
266 134 132n    dias.
Pela fórmula do montante, temos
2.732,80 2.500,00 1 132
365
i        1 132 1,09312365
i    25,75%i  aa.
Portanto, a taxa de juro da operação é 25,75% aa.
5) Um capital de 1.750,00 UM rendeu 259,29 UM de juro. Sabendo-se que a taxa de juro comercial
contratada foi de 42% aa e que a aplicação foi feita dia 07/JUN/20X1, determinar a data de
vencimentodessa aplicação.
Resolução. Dados do problema: 1.750,00P  , 259, 29JC  , 42%i  aa 0, 42 aa.
Pela fórmula do JC , vem
0,42259,29 1.750,00
360
n    127n  dias.
Agora, até o dia da aplicação 07/JUN/20X1, temos 158 dias, assim,
158 127 285  dias, ou seja, a data de vencimento da aplicação é dia 12/OUT/20X1.
6) Que capital aplicado em 19/02/20X1 à taxa de juro comercial de 1,25% am gerou um montante
de 2.450,00 e, 04/09/20X1?
Resolução. Dados do problema: 2.450,00F  , 1,25%i  am 0,0125 am , ?P 
Para calcular o número de dias entre as duas datas, vem
Até dia 04/09/20X1 temos 247 dias,
Até dia 19/02/20X1 temos 50 dias, logo
247 50 197n    dias.
Pela fórmula do montante, vem
0,01252.450,00 1 197 1,0821
30
P P         
2.450,00 2.264,15
1,0821
P   .
Portanto, o capital aplicado é 2.264,15 UM.
Juro Simples através da Regra dos Banqueiros
É o cálculo em que é usado o ano comercial (360 dias), mas o número de dias segue o calendário do
ano civil.
Exemplos. 1) Calcular o juro, pela regra dos banqueiros, gerado por um capital de 2.000,00 UM,
aplicado no dia 19/FEV/20X1 até dia 28/ABR/20X1, a uma taxa de 24% aa. Calcule também o
montante da aplicação.
Resolução. Dados do problema: 2.000,00P  , 24% aa = 0,24 aai  ,
n  número de dias entre 19/FEV/20X1 e 28/ABR/20X1 = 118 50 68  dias.
Logo, 0,242.000,00 68 90,67
360
J     .
Portanto, o valor do juro pela regra dos banqueiros é R$90,67 e o montante da aplicação é
R$2.90,67.
2) Uma pessoa deve ao banco “Alvorada” a importância de 8.500,00 UM, em 12/03/20X1, pela
regra dos banqueiros, a uma taxa de juros de 48% aa. Decorridos 218 dias, esta pessoa procurou o
banco “Alvorada” para quitar esta dívida. Determinar:
a) a data de vencimento da dívida;
b) o valor pago na data do vencimento da dívida.
Resolução. Dados do problema: 8.500,00P  , 48% aa = 0,48 aai  , 218n  dias e
12/03/20X1 = data em que foi contraída a dívida.
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a) Até a data de 12/03/20X1, pela tabela de contagem de dias, temos decorrido 71 dias, assim
71 218 289  dias.
Logo, pela tabela de contagem de dias, a data de vencimento da dívida é dia 16/OUT/20X1.
b) Calculando o montante em 16/OUT/20X1, vem
0,488.500,00 1 218 10.970,67
360
F         .
3) O Sr. Epaminondas obteve um empréstimo no banco “Salvador da Pátria”, em 09/AGO/20X1,
pela regra dos banqueiros e a taxa contratada é de 36% aa. Em 15/FEV/20X2 o montante da dívida
é de 7.458,63 UM. Calcular o valor do empréstimo.
Resolução. Dados do problema: 7.458,63F  , 36% aa = 0,36 aai  ,
n  número de dias entre 09/AGO/20X1 e 15/FEV/20X2.
Para calcular o número de dias entre as duas datas, temos
De 09/AGO/20X1 até 31/12/20X1 = 365 221 144  dias e
até 15/FEV/20X2 = 144 46 190  dias. Assim, 190n  dias.
Pela fórmula do montante, vem
0,367.458,63 1 190 1,19
360
P P          6.267,76P  .
Portanto, o valor do empréstimo é de 6.267,76 UM.
4) Um empréstimo de 2.500,00 UM foi realizado em 22/05/20X1 e foi pago em 09/11/20X1.
Sabendo-se que a taxa contratada foi de 3,5% am, determinar o valor pago em 09/11/20X1, pela
regra dos banqueiros.
Resolução. Dados do problema: 2.500,00P  , 3,5% am = 0,035 ami  ,
n  número de dias entre as duas datas.
Até 09/11/20X1 temos 313 dias,
Até 22/05/20X1 temos 142 dias.
Assim, 313 142 171n    dias.
Pela fórmula do montante, vem
0,0352.500,00 1 171 2.998,75
30
F         .
Portanto, o valor pago em 09/11/20X1 é 2.998,75 UM.
Exercícios Propostos
1) Qual o capital a ser aplicado no período de 05/03/20X1 a 27/11/20X1, à taxa de 43% aa, para
render juro exato de 566,19 UM e juro comercial de 621,89 UM?
Resposta. Juro exato: Capital = 1.800,00 UM e Juro comercial: Capital = 1.950,00 UM.
2) Um empréstimo de 8.000,00 UM foi realizado em 27/02/20X1 e foi pago em 03/AGO/20X3.
Sabendo-se que a taxa contratada é 38,5% aa, determinar:
a) o valor pago em 03/AGO/20X3 pelo juro exato;
b) o valor pago em 03/AGO/20X3 pelo juro comercial.
Resposta. a) 15.484,82 UM; b) 15.588,78 UM.
3) O capital de 1.500,00 foi aplicado em08/04/20X1, à taxa de juro exato de 27% aa, para render
juro de 86,55 UM após 78p dias. Calcular a data de vencimento desta aplicação e o valor de resgate.
Resposta. Data de vencimento: 25/JUN/20X1 e valor de resgate = 1.586,55 UM.
4) determinar o montante, pela regra dos banqueiros, gerado pela aplicação de um capital no valor
de 3.500,00 UM, aplicado no período de 18/05/20X1 até 07/03/20X3, a uma taxa de 23,5% aa.
7
Resposta. 5.003,34 UM.
5) Um investidor aplica 2
5
de seu capital a 26% aa e o restante a 31% aa. Sabendo-se que esta
aplicação ocorreu em 11/07/20X1 e que em 22/12/20X1 recebeu 321,74 UM de rendimentos,
determinar o seu capital inicial pela regra dos banqueiros.
Resposta. 2.435,37 UM.
6) Um empréstimo de 4.000,00 UM foi realizado em 21/05/20X1 e foi pago em 17/10/20X2. Se a
taxa de juros comercial contratada é 4,5% am, determinar o valor pago em 17/10/20X2.
Resposta. 7.084,00.
8
TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
31 31 90 151 212 243 304 365
9
Método Hamburgês
Conceito: Envolve problemas de capitalização simples, em que há diversos capitais, aplicados em
diversos prazos, rendendo juro a uma taxa única.
Exemplo 1. Determinar o valor dos juros referentes às aplicações dos capitais de 2.000 UM, 1.500
UM e 2.500 UM, pelos prazos de 57 dias, 72 dias e 26 dias, respectivamente, a taxa de 48% ao ano.
Resolução:
Exemplo 2. Calcular o valor do juro incidente sobre os saldos devedores de um cliente, durante o
mês de abril/X1, a taxa de 7,5% am, conforme extrato a seguir(em UM).
A B A x B
DATA HISTÓRICO VALOR D/C SALDO D/C NO DE DIAS
01/04/X1 Transporte 25.000 C -
05/04/X1 Cheque 30.000 D 5.000 D 7 35.000
12/04/X1 Cheque 5.000 D 10.000 D 1 10.000
13/04/X1 Depósito 18.000 C 8.000 C -
18/04/X1 Aviso de Débito 12.500 D 4.500 D 3 13.500
21/04/X1 Cheque 8.500 D 13.000 D 5 65.000
26/04/X1 Depósito 7.000 C 6.000 D 4 24.000
Total: 147.500
Portanto,
Juro pago =
10
Valor Nominal de um título  N
É quanto o título vale na data de seu vencimento.
Valor Atual de um título  V
É o valor que um título tem em uma data que antecede ao seu vencimento.
Sabemos que (1 )F P i n    , como P é o valor presente ou valor atual e F é o valor futuro ou
valor nominal, tem-se a seguinte fórmula:
 1N V i n    ou
1
NV
i n
   .
Exemplos: 1) Calcularo valor nominal de um título de 5.000,00 UM, assinado hoje, com
vencimento daqui a 9 meses, se a taxa de juros for de 36% aa.
Resolução:
Dados: 5.000,00V  ; 9n  meses; 36% 3% 0,03i aa am am   , ?N  .
Usando a fórmula acima vem:
 5.000,00 1 0,03 9 6.350,00N      UM.
2) O valor nominal de um título é 8.000,00 UM. Qual seu valor atual cinco meses antes de seu
vencimento, se a taxa de juros é 24% aa?
Resolução:
Dados: 8.000,00N  UM; 5n  meses; 24% 2% 0,02i aa am am   ; ?V  .
Pela fórmula do valor presente acima, vem:
8.000,00 8.000,00 7.272,73
1 0,02 5 1,1
V     UM.
11
Unidade 2. Descontos Simples.
Desconto: é a quantia a ser abatida do valor nominal de um título.
Valor Desconto (ou valor atual): é a diferença entre o valor nominal e o desconto.
2.1 Desconto comercial simples (ou por fora) - CD
É obtido pelo cálculo de juros simples sobre o valor nominal do compromisso saldado “n” períodos
antes do vencimento, logo
CD N i n  
onde
N = valor nominal do título;
n = número de períodos antes do vencimento;
i = taxa de desconto.
O valor atual ou valor descontado ou ainda valor de face ( CV ) é dado por
 1C CV N D N in     ou (1 )CV N i n   
Exemplos:
1) Uma Nota Promissória, no valor de 15.000,00 UM em seu vencimento, foi descontada 3 meses
antes de seu vencimento (prazo de resgate). Sabendo que a taxa de desconto comercial é 60% aa.
Calcular o valor do desconto, valor atual ou valor descontado comercial e a taxa de juros da
operação (mensal).
Resolução:
Dados do problema: 15.000,00N  UM; 3n  meses; 60% 5% 0,05i aa am am   ;
?CD  ?CV  ' ?i  (taxa de juros da operação)
CD = 15.000,00 x 0,05 x 3 = 2.250,00
CV = 15.000,00 - 2.250,00 = 12.750,00
'
c
c
Di
V n
 
2.250, 00
' 5, 88%
12.750, 00 3
i am  .
Resposta: O valor do desconto é 2.250,00 UM, o valor atual é 12.750,00 UM e a taxa mensal de
juros da operação é 5,88 %.
2) Calcular a taxa de desconto “por fora” de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento,
sendo o seu valor de resgate igual a 2.600,00 UM e seu valor atual na data de desconto igual a
2.260,87 UM, calcular também a taxa de juros mensal da operação.
Resolução:
2.600,00 2.260,87 339,13CD   
339,13 2.600,00 2 6,52%i i     am.
12
a.m.7,5%
22.260,87
339,13
=' i
Resposta: O valor da taxa mensal de desconto deste título é 6,52% e a taxa mensal de juros da
operação é 7,5%.
3) O desconto por fora de um título foi de 3.375,00 UM e a taxa de desconto foi de 30% ao ano
Quanto tempo faltaria para o vencimento do título, se seu valor nominal fosse de 15.000,00 UM,
calcular também a taxa de juros (mensal) da operação.
Resolução:
3.375,00 15.000,00 0,3 n  
0,75n  ano = 9 meses
3.375,00
' 3, 23%
11.625 9
i   am.
Resposta: Para o vencimento do título, faltariam 9 meses e a taxa de juros mensal é 3,23%.
4) Um cliente realiza uma operação de desconto comercial de duplicata no valor de 4.000,00 UM no
banco XX, com vencimento para 32 dias a uma taxa de desconto de 3,5% am. A alíquota do IOF é
de 0,0041% ao dia sobre o valor nominal do título. Calcular:
a) o valor do desconto;
b) o valor do IOF;
c) o valor a ser creditado ao cliente;
d) a taxa de juros (mensal) da operação.
Resolução:
a) 0,0354.000,00 32 149,33
30C
D     .
b) 4.000,00 0,000041 32 5,25IOF     .
c) C CV N D IOF    3.845,42.
d) 149,33 5,25' 3,77%323.845,42
30
i  

am.
Resposta: O valor do desconto desta operação é 149,33 UM, o valor do IOF é 5,25 UM, o valor a
ser creditado o cliente é de 3.845,42 e a taxa de juros mensal da operação é 3,77%.
5)Calcular o valor do desconto “por fora” de um título de valor nominal 5.400,00 UM descontado
95 dias antes de seu vencimento à taxa de desconto de 6,5% am. Calcular também o valor atual do
título e taxa de juros (mensal) da operação.
Resolução:
13
0 ,0 6 5
 5 .4 0 0 9 5 = 1 .1 1 1 ,5 0
3 0C
D   
5.400,00 1.111,11 4.288,50CV    .
Resposta: O valor do desconto é de 1.111,50 UM, o valor atual do título é de 4.288,50 UM e a taxa
de juros mensal da operação é 8,18%.
2.1.1 - Taxa média e prazo médio para operações de desconto comercial simples
2.1.1.1 - Taxa média
A determinação da taxa média é feita com base no cálculo em que as taxas de descontos são
ponderadas pelos prazos e pelos valores nominais dos títulos apresentados para desconto, dada pela
expressão:
2.1.1.2 - Prazo Médio
É ponderado pelos valores nominais dos títulos e pelas respectivas taxas, é dado pela expressão:
onde
K = 1, 2,..., T representa cada um dos títulos apresentados para desconto;
N = o valor nominal do título;
i = a taxa de desconto;
n = o prazo.
Exemplos:
1) Calcular a taxa média o prazo médio correspondentes a uma operação de desconto comercial
simples de quatro títulos no valor de 4.000,00 UM, 3.500,00 UM, 6.000,00 UM e 2.500,00 UM, de
prazo 3, 6, 2 e 4 meses, respectivamente, descontado na ordem dada às taxas de 3%, 5%, 4% e 2%
am.







 T
K
KK
T
K
KKK
TT
TTT
nN
niN
nNnNnN
niNniNniN
i
1
1
2211
222111
...
...
1 1 2 2 1
1 2
1
...
...
T
K H
T T K
T
T
K
K
N n
N n N n N n
n
N N N N
 

        


1 .1 1 1 ,5 0
' 8 ,1 8 % a m9 54 .2 8 8 ,5 0
3 0
i  

14
Resolução:
Dados do problema:
N1 = 4.000,00 UM N2 = 3.500,00 UM N3 = 6.000,00 UM N4 = 2.500,00 UM;
N1 = 3 meses n2 = 6 meses n3 = 2 meses n4 = 4 meses;
i1 = 3% am i2 = 5% am i3 = 4% am i4 = 2% am.
Cálculo da taxa média
Cálculo do prazo médio
Resposta: A taxa média é 3,8% ao mês e o prazo médio é 3,4375 meses.
2) O capitais de 3.000 UM, 5.000 UM e 8.000 UM foram aplicados todos ao mesmo prazo, a taxa
de 6% ao mês, 4% ao mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Obtenha a taxa média de aplicação
desses capitais.
Resposta: A taxa média é 4% ao mês
3) Determinar a taxa média e o prazo médio dos seguintes títulos descontados
Número
ordem
Taxa mensal de
desconto
Prazo
(dias)
Valor do título
(UM)
1 7,25% 94 10.000
2 8,5% 65 8.700
3 6,3% 48 4.750
4 9,4% 58 11.800
Resposta: A taxa média é 8,06% ao mês e o prazo médio é 2,2864 meses.
2.2 Desconto racional simples (ou desconto por dentro)
r
D
É obtido pelo cálculo de juros simples sobre o valor atual do compromisso saldado n períodos antes
de seu vencimento, ou seja,
r r
D V i n  
onde
r
V é o valor atual racional ou valor descontado racional.
Como
1r
NV V
i n
    , temos 1r
N i nD
i n
    .
Assim, o cálculo do valor atual racional é dado pela fórmula
meses4375,3
00,000.16
00,000.55
00,500.200,000.600,500.300,000.4
400,500.2200,000.6600,500.3300,000.4 
n
am%8,3i038,0
00,000.55
00,090.2
00,000.1000,000.1200,000.2100,000.12
00,20000,48000,050.100,360 - 
i


400,500.2200,000.6600,500.3300,000.4
402,000,500.2204,000,000.6605,000,500.3303,000,000.4i
15
1r
NV
i n
   .
Exemplo 1. Uma pessoa pretende saldar um título de 4.600 UM, quatro meses antes de seu
vencimento a uma taxa de desconto racional de 30% aa, determinar:
a) o valor do desconto por dentro; b) o valor descontado, c) a taxa de juros anual da
operação.
Resolução:
Exemplo 2. O desconto racional de um título, vencendo 247 dias, é igual a 1.687,25 UM. Calcular o
valor nominal se a taxa de desconto é 30% aa.
Resolução:
Exemplo 3. Um título de valor nominal 8.856 UM, com vencimento em quatro meses foi comprado
por 8.200 UM. Calcular a taxa de desconto racional (anual).
Resolução:
Exemplo 4. A diferença entre o desconto comercial simples e o desconto racional simples devido a
uma promissória, a taxa de 4% ao mês, 3 meses antes do vencimento é igual a 75 UM. Determineo
valor nominal da promissória.
16
Relação dentre o desconto racional
r
D e do desconto comercial CD .
Sabemos que
1r
N i nD
i n
    e CD N i n   então 1
C
r
DD
i n
    (1 )C rD D i n   
Exemplo 1. O desconto comercial de um título, descontado 3 meses antes de seu vencimento a taxa
de desconto de 36% aa é 955 UM. Calcular o desconto racional.
Resolução:
Exemplo 2. A diferença entre os descontos por fora e por dentro de um título, calculado um ano
dois meses e vinte dias antes de seu vencimento a 24% aa, é 550 UM. Determinar o valor nominal
do título.
Resolução:
2.3 Desconto bancário BD
Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa prefixada (h), cobrada sobre o valor
nominal do título, logo
B CD D h N    ( )BD N i n h N N i n h         . Portanto,
( )BD N i n h    .
O cálculo do valor atual ou valor descontado bancário bV é dado por
   1 ( )b BV N D N N i n h N i n h            . Portanto,
 1 ( )BV N i n h     .
Exemplo 1. Um título de valor nominal 8.000 UM foi descontado em um banco que cobra 1,25% de
taxa de serviço cinco meses antes de seu vencimento a taxa de desconto de 48% aa, calcular:
a) o valor do desconto; b) o valor atual bancário; c) a taxa de juros anual da operação.
Resolução:
17
Exemplo 2. O valor atual bancário de um título, descontado 7 meses antes de seu vencimento é de
8540 UM. Determinar a taxa de juros (anual) da operação, se a taxa de desconto é de 18,75% aa e
taxa administrativa de 0,95%.
Resolução:
Exemplo 3. Um banco cobra, em seus financiamentos, a taxa administrativa de 1,8% e sua taxa de
desconto bancário é de 39,5% aa. Que financiamento por 4 meses deverá um cliente pedir a este
banco se esta pessoa necessitar HOJE de 10.000UM?
Resolução:
2.4.Taxa efetiva ( )fi
Definição. É a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado, comercial ou bancário, gera no
período considerado um montante igual ao valor nominal. Temos:
a) Taxa efetiva para o desconto comercial
1
(1 ) cc f f
N
VN V i n i
n

      .
b) Taxa efetiva para o desconto bancário
1
(1 ) bb f f
N
VN V i n i
n

      .
c) Taxa efetiva para o desconto racional. Neste caso fi i .
Exemplo 1. Usar dados do exemplo 1 do desconto comercial e do desconto bancário. Calcular a
taxa efetiva.
18
Exemplo 2. Uma duplicata de valor nominal 4.500 UM foi descontada 1a 7 m 25 d antes de seu
vencimento a taxa de desconto bancário de 28,5% aa.Calcular a taxa efetiva anual se a taxa
administrativa é de 1,5%.
Resolução:
A taxa efetiva será aquela que conduz pelo desconto racional, ao mesmo valor calculado pelo
desconto comercial ou bancário.
Sabemos que ' Cf
C
Di i
V n
   substituindo CD N i n   , (1 )CV N i n    , vem
1f
ii
i n
   onde i é a taxa de desconto.
Exemplo 1. Dados do exemplo 1 do desconto comercial e exemplo 1 do desconto bancário.
Calcular a taxa efetiva.
Exemplo 2. Seja a taxa efetiva de 30% aa e o período de 7 meses. Determinar a taxa de desconto
anual.
19
2.5 Equivalência de Capitais.
Conceito de data focal ou data de referência. É a data que se considera como base de comparação
dos valores referidos a diferentes datas.
Equação de Valor. Permite que sejam igualados capitais diferentes, referidos as datas diferentes, em
uma mesma data focal.
Capitais Equivalentes. Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento
determinadas, dizem-se EQUIVALENTES quando, descontados para uma mesma data focal à
mesma taxa de juros e em idênticas condições, produzirem valores iguais.
Nota. No regime de juros simples, a equivalência de capitais depende da data focal considerada e o
tipo de desconto.
Exemplo 1. Três títulos, um para doze meses no valor de 9.000 UM, outro para quinze meses no
valor de 12.000 UM e outro para vinte e quatro meses no valor de 10.000 UM, foram substituídos
por dois outros, sendo o primeiro de 15.000 UM para nove meses e o segundo para um ano e meio.
Sabendo-se que a taxa de desconto racional adotada é de 48% aa, qual será o valor do titulo para um
ano e meio? Escolher data focal zero para comparação.
Exemplo 2. Resolver o exemplo 1 considerando-se data focal 18 e o critério de desconto racional.
Exemplo 3. Resolver o exemplo 1 considerando-se o critério de desconto comercial e data focal
zero.
20
Exemplo 4 Resolver o exemplo 3 considerando-se o critério de desconto comercial e data focal 18.
Exemplo 5. Quero substituir um título de 5.000 UM vencível em 3 meses, por outro com
vencimento em 5 meses. Sabendo-se que estes títulos podem ser descontados comercialmente à taxa
de 3,5% ao mês, qual o valor nominal do novo titulo? Considerar data focal ZERO.
Resposta: 5.424,2 UM
Exemplo 6. Uma dívida no valor de 2.600 UM é negociada para pagamento em três parcelas no
segundo mês, no quinto mês e no décimo mês. Se a taxa de desconto racional simples é de 4% ao
mês, o valor da primeira parcela é 648 UM e o valor da segunda parcela é o dobro do valor da
terceira, determinar o valor da terceira parcela. Considerar data focal ZERO. Resposta. 840 UM.