Uso de Equações Diferenciais no Estudo da Cinética Química de uma Reação de 1ª Ordem

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Uso de Equações Diferenciais no Estudo da Cinética Química de uma 
Reação de 1ª Ordem 
Guilherme Henrique Wendland, gui_weendland@hotmail.com1 
Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ 
 
1. Introdução 
A cinética química é o ramo da Química que estuda a velocidade de uma reação, bem 
como os fatores que a influenciam, tais como a concentração, temperatura e pressão 
(CHANG, 2008). Apesar de a termodinâmica nos esclarecer a direção e a extensão de 
uma mudança química, ela não nos diz como e nem a que velocidade a reação se 
realiza. (ANGELUCCI, C. A; GODOI, G.S, 2010) 
Ao estudar a termodinâmica, consideramos somente os estados iniciais e finais de um 
processo químico, mas ignoramos o que acontece entre eles, no entanto o interesse de 
estudo da cinética química está baseado nos estados intermediários de um processo 
químico, investigando os detalhes das mudanças que os átomos e moléculas sofrem 
durante uma reação. (ATKINS, P.W, JONES, L, 2006) 
O presente trabalho tem o intuito de demonstrar a utilização de equações diferenciais 
no estudo da cinética química, mais especificamente em reações de primeira ordem, 
onde será abordado o estudo da cinética química na reação de decomposição catalítica 
do peróxido de hidrogênio em meio aquoso. 
 
2. Metodologia 
A velocidade de uma reação química refere-se à variação da concentração de uma 
substância por unidade de tempo (CHANG, 2008). Durante uma reação química, as 
quantidades de reagentes diminuem com o passar do tempo, e as quantidades de 
produtos aumentam. 
Para que uma reação química ocorra é preciso que as moléculas dos reagentes 
interajam entre si, de modo com que seus átomos sejam trocados ou rearranjados. 
A partir de experimentos científicos pode-se obter informações sobre as 
concentrações das espécies reagentes em função do tempo, onde a equação de 
 
1 
 
 
velocidade que rege a reação é uma equação diferencial que nos dá as velocidades de 
variação das concentrações das espécies reagentes (
𝑑[𝐴]
𝑑𝑡
) (ANGELUCCI, C. A; 
GODOI, G.S). Para obter-se as concentrações frente ao tempo a partir da equação 
cinética deve-se integrar a equação. 
A relação entre a velocidade de uma reação química e as concentrações dos reagentes 
é complexa e deve ser determinada experimentalmente. Com relação à equação geral 
apresentada, usualmente a velocidade da reação pode ser expressa como: 
α [A]x[B]y = k[A]x[B]y 
Esta equação, conhecida como a lei de velocidade, nos diz que a velocidade de uma 
reação não é constante, seu valor em um tempo t qualquer é proporcional às 
concentrações de A e B elevadas a determinadas potências. (CHANG, 2008) A 
constante de proporcionalidade, k, é denominada constante de velocidade, e é definida 
nos termos das concentrações dos reagentes. De acordo com Chang (2008), a 
constante de velocidade para determinada reação não depende das concentrações dos 
reagentes e é afetada somente pela temperatura. 
Ao expressar a velocidade de uma reação podemos definir a ordem de reação, por 
exemplo, dizemos que a reação é de ordem x com relação a A e de ordem y com 
relação a B (CHANG, 2008). Assim, a reação tem uma ordem total (x+y), sendo de 
grande importância entender que a ordem de um reagente na expressão de velocidade 
não possui relação com o coeficiente estequiométrico em uma equação química 
balanceada. 
A ordem de uma reação pode ser zero, um número inteiro ou um número fracionário. 
Podemos usar a lei de velocidade para determinar as concentrações de reagentes em 
qualquer tempo durante o curso de uma reação. (CHANG, 2008), para determinar a 
lei de velocidade devemos integrar as expressões da lei de velocidade. 
 
2.1 Reações de Primeira Ordem 
Uma reação de 1ª ordem é aquela em que a velocidade da reação depende somente da 
concentração do reagente elevada a primeira potência: (CHANG, 2008) 
 
(1) 
2 
 
 
Velocidade = 
−𝑑[𝐴]
𝑑𝑡
 = k[A] 
Onde o k, como falado anteriormente é a constante de velocidade. Rearranjando está 
equação teremos: 
−𝑑[𝐴] 
𝑑𝑡
 = kdt 
Integrando entre t=0 e t=t com concentrações [A]0 e [A], obtemos a seguinte equação: 
 
∫
𝑑[𝐴]
[𝐴]
[𝐴]
[𝐴]0
 = - ∫ 𝑘𝑑𝑡
𝑡
0
 
[𝐴]
[𝐴]0
 = -kt 
 
[A] = [A]0 𝑒−𝑘𝑡 
 
A primeira expressão para a lei de velocidade integrada para uma reação de primeira 
ordem é a equação de uma reta, portanto se a equação em estudo for de primeira ordem 
o gráfico de ln
[𝐴]𝑡
[𝐴]0
 = -kt contra o tempo (t), terá de ser uma reta. (CHANG, 2008) 
 
2.2 Meia-vida de uma Reação de Primeira Ordem 
O tempo de meia-vida de uma reação química possui grande importância prática em 
estudos cinéticos. Uma reação de primeira ordem, independendo da concentração 
inicial possui um tempo de meia-vida bem definido, e pode ser tratado como o tempo 
com que a concentração de um reagente diminui pela metade do seu valor original 
(CHANG, 2008). O tempo de meia vida pode ser determinado através da seguinte 
equação: 
T1/2 = 
𝑙𝑛2
𝑘
 
3. Resultados e Discussões 
Para o estudo cinético foi realizado o experimento da decomposição catalítica do 
peróxido de hidrogênio em meio aquoso, com a seguinte reação química: 
2H2O2(aq) 2H2O(l) + O2(g) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
(7) 
3 
 
 
O experimento foi realizado nas dependências da Universidade Regional do Noroeste 
do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ, na disciplina de Físico-Química II, e teve 
como objetivo avaliar a ação do catalisador Fe (III) sobre a decomposição do peróxido 
de hidrogênio, e calcular o tempo de meia-vida para o mesmo. Para a avaliação foram 
realizados 7 ensaios, onde utilizou-se solução de H2SO4, 1:5 (v/v), solução de 0,16 
mol/L de H2O2, substância em estudo, e solução 6% de Fe (III), por fim para titulação, 
solução de KMnO4 8,0 x 10
-3 mol/L. A seguinte reação de oxirredução ocorre no 
experimento: 
2MnO4
-
(aq) + 5H2O2(aq) + 6H
+
(aq) 2Mn2+(aq) + 8H2O(l) + 5O2(g) 
 
Utilizando os dados da tabela 1, foram realizados os seguintes cálculos para os sete 
ensaios, tomando por exemplo o frasco 1, foi calculado o número de mols de MnO4
-: 
 
 
 
 
Pela estequiometria da reação temos a relação de 2 mol de MnO4
- para 5 mol de H2O2, 
deste modo descobrimos o número de mols de H2O2 presente na solução: 
 
 
 
 
Como foram adicionados 5 mL de H2O2 na solução, a concentração final de H2O2 
será: 
 
 
 
 
 
 
 2MnO4----5H2O2 
 8,8x10-5------x 
 X = 2,2x10-4 mol/L 
 
5mL----2,2x10-4 mol/L 
1000mL--------x 
 X = 0,044 mol/L 
 
1000 mL---- 0,008 mol/L 
11 mL---------- x 
 X = 8,8 x 10-5 mol/L 
 
4 
 
 
Abaixo os dados para o experimento, sendo na Tabela 1 o ln V[KMnO4] e na tabela 
2 o ln [H2O2]: 
 
 
 
Pode-se observar neste experimento que a substância em estudo tanto na comparação 
do ln V[KMnO4] e do ln[H2O2] versus o tempo, tratou-se de uma reação de primeira 
ordem. Os gráficos plotados em função do tempo nos dois casos nos forneceram em 
ambos uma reta, onde os gráficos 1 e 2 comprovam afirmação de que se trata de uma 
reação de primeira ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
Frasco Tempo(s) 
Volume de Permanganato 
gasto na titulação 
ln V[KMnO4] 
1 0 11 2,3978 
2 3,36 8,5 2,1400 
3 6,43 6,1 1,8080 
4 8,27 5 1,6090 
5 10,1 4,5 1,5040 
6 11,5 3,7 1,3080 
7 14,46 2,8 1,0290 
Frasco Tempo(s) Concentração de H2O2 (mol/L) ln [H2O2]1 0 0,044 -3,12357 
2 3,36 0,034 -3,38139 
3 6,43 0,024 -3,72970 
4 8,27 0,020 -3,91202 
5 10,1 0,0180 -4,01730 
6 11,5 0,0148 -4,21313 
7 14,46 0,0112 -4,49184 
Tabela 1 – Tempo x Volume x ln V[KMnO4] 
Gráfico 1 – ln V[KMnO4] x Tempo 
 Fonte: Autor 
 
Tabela 2 – Tempo x Concentração H2O2 x ln V[H2O2] 
-5
-4,5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
1 2 3 4 5 6 7
ln
 V
[K
M
n
O
4
]
Tempo
ln Linear (ln)
Fonte: Autor 
Fonte: Autor 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Já conhecida a ordem de reação através do experimento, podemos por meio das 
equações diferenciais determinar a expressão, lei de reação, de primeira ordem. A 
equação 6, já integrada é a lei da reação de primeira ordem, e para este estudo a 
usamos para determinação da constante k, e por fim efetuar o cálculo do tempo de 
meia-vida através da equação 7. Abaixo, tomamos por exemplo o frasco 2 para os 
cálculos da constante, k, e o tempo de meia vida: 
[A] = [A]0 𝑒−𝑘𝑡 
0,034 = 0,044 e-k x 3,36 
0,034
0,044
 = e-k x 3,36 
ln 0,7727 = ln e-k x 3,36 
-0,2578 = -k x 3,36 
−0,2578
3,36
 = -k 
𝑘 = 0,0767 
 
T1/2 = 
𝑙𝑛2
𝑘
 
T1/2 = 
ln 2
0,0767
 
T1/2 = 9,0371 s 
Gráfico 2 - ln[H2O2] x Tempo 
Fonte: Autor 
-5
-4,5
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
1 2 3 4 5 6 7
ln
 [
H
2O
2]
Tempo
ln Linear (ln)
6 
 
 
Na tabela 3 os resultados, tanto para constante, k, como o tempo de meia-vida para os 
sete ensaios: 
 
 
A partir dos cálculos do tempo de meia vida observou-se que conforme a 
decomposição do H2O2 ocorria, sua concentração diminuía, o que ocasionou o 
decaimento do tempo de meia-vida. No gráfico 3 pode ser visto a diminuição do 
tempo de meia-vida conforme o decaimento da concentração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Considerações Finais 
Através deste experimento a importância do uso de catalisadores em reações químicas 
se mostrou de grande importância, pois o peróxido de hidrogênio em meio aquoso 
possui velocidade de reação lenta, e com o uso do catalisador Fe (III) conseguimos 
Frasco Tempo (s) [H2O2] mol/L 
Constante de 
Velocidade (k) 
Tempo de 
meia-vida (t1/2) 
1 0 0,044 - - 
2 3,36 0,034 0,0767 9,0371 
3 6,43 0,024 0,0942 7,3582 
4 8,27 0,020 0,0953 7,2733 
5 10,1 0,018 0,0884 7,8410 
6 11,5 0,0148 0,0947 7,3194 
7 14,46 0,0112 0,0946 7,3271 
Tabela 3 – Tempo x Concentração H2O2 x Constante de velocidade (k) x Tempo de meia -vida 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 2 3 4 5 6 7
[H
2
O
2
]
Tempo de meia-vida
Tempo
Gráfico 3 – [H2O2] x Tempo de Meia-Vida 
Fonte: Autor 
Fonte: Autor 
7 
 
 
acelerar sua reação de decomposição, o que facilitou a determinação da lei de 
velocidade de 1ª ordem. 
O uso das Equações diferenciais mostram-se importante em vários aspectos. Na 
cinética química as equações diferenciais são essenciais, tanto no cálculo da constante 
de velocidade em qualquer tempo, como no cálculo do tempo de meia-vida. 
O experimento tinha por objetivo avaliar a decomposição do peróxido de hidrogênio, 
e determinar sua lei de reação. Através dos gráficos ln V[KMnO4] e ln [H2O2] 
constatou-se que a reação proposta tratava-se de uma equação de primeira ordem. 
 
5. Referências 
[1] CHANG, R. Físico-Química para as Ciências Químicas e Biológicas. 3ª ed. São Paulo: 
McGrawHill, 2008, v.1. 
[2] ATKINS, P.W; JONES, Loretta. Princípios de Química: questionando a vida moderna e o meio 
ambiente. 3ª ed. Porto Alegre. Editora Bookman, 2006. 
[3] ATKINS, P.; PAULA, J. Físico-química. 9.ed. Rio de Janeiro: LTC , 2012. v.2. 
[4] ANGELUCCI, C. A; GODOI, G.S. Cinética Química. São Cristovão. 2010.