Flexão em Elementos Prismáticos

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FLEXÃO 
Parte 1 
 
Professor Humberto Ritt 
Engenheiro Civil, M.Sc. 
http://lattes.cnpq.br/1994972650209034 
 
 
Flexão Pura: 
Elementos 
prismáticos 
submetidos a 
momentos fletores 
M e M’ iguais e 
opostos atuando 
num mesmo plano 
longitudinal. 
1 FLEXÃO PURA: 
ESQUEMA ESTÁTICO DA BARRA DO ATLETA 
 
 
Carregamento excêntrico: 
 
- A linha de ação da carga 
não passa pelo centróide 
da seção  força axial e 
momento. 
Carregamento transversal: 
 
- Seção c  força de cisalhamento 
e momento fletor 






MdAyM
dAzM
dAF
xz
xy
xx



0
0
2 BARRAS SIMÉTRICAS SUBMETIDAS À FLEXÃO PURA: 
Qualquer seção entre A e B está 
submetida ao conjugado M e M’ 
Da estática, um momento fletor M 
é composto de duas forças iguais 
e opostas. 
Condições de 
equilíbrio da estática 
• a linha AB ao longo da qual a face superior da 
barra intercepta o plano dos momentos fletores 
terá curvatura constante. 
• qualquer seção transversal perpendicular ao 
eixo da barra permanece plana e o plano da 
seção passa pelo centro C. 
• quando M > 0 a linha AB diminui o 
comprimento enquanto A’B’ aumenta o 
comprimento. 
• A superfície neutra mantém o comprimento 
inalterado e é paralela às superfícies superior e 
inferior. 
• Neste caso, as tensões e deformações são 
negativas (compressão) acima do plano neutro 
e positivas (tração) abaixo. 
Deformações de elemento prismático com um 
plano de simetria em flexão pura: 
• elemento permanece simétrico 
3 DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO PURA: 
Considere um segmento de barra prismática de 
comprimento L. 
 
Após a deformação, o comprimento da superfície 
neutra permanece L. Em outras seções, 
 
 
mx
m
m
x
c
y
c
ρ
c
yy
L
yyLL
yL













ou 
e)linearment variao(deformaçã 
4 DEFORMAÇÃO DEVIDO À FLEXÃO: 
Linha neutra: tensões e deformações 
são nulas (interseção da seção transversal 
com a superfície neutra). 
5 TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM REGIME ELÁSTICO: 
• Para um material linear elástico, 
• Para o equilíbrio estático, 




dAy
c
dA
c
y
dAF
m
mxx


0
0
Momento estático da seção 
transversal em relação à linha neutra 
é zero, portanto, a superfície neutra 
deve passar pelo centro geométrico 
ou centróide da seção. 
• Para o equilíbrio estático, 
   
mx
m
mm
mx
c
y
w
M
I
Mc
c
I
dAy
c
M
dA
c
y
ydAyM
















 doSubstituin
2
e)linearment varia(tensãom
mxx
c
y
E
c
y
E




I
yM
x
.
 Exx / 
• A tensão normal máxima devida à flexão ocorre 
nas faces superior e inferior da viga: 
máxy c
aresistênci de módulo 
inércia de momento 
.




c
I
W
I
W
M
I
cM
m
Quanto maior o módulo de resistência menor é 
a tensão normal solicitante. 
6 PROPRIEDADES DAS SEÇÕES DE VIGAS: 
Determinação do módulo resistente para uma seção retangular: 
h 
b 
6
.
2
12
.
2
3
hb
h
hb
c
I
wx 
x - O eixo x passa 
pelo centróide da 
peça 
6 PROPRIEDADES DAS SEÇÕES DE VIGAS: 
6
. 2hb
w 
Considerando duas vigas com mesma área A de seção transversal: 
 . a opção (b) por ter altura h maior terá um módulo de resistência 
maior  terá maior capacidade para resistir à flexão 
 
(a) 
(b) 
• Os projetos de vigas de aço estrutural proporcionam valores 
altos de I e consequentemente de W. 
6 PROPRIEDADES DAS SEÇÕES DE VIGAS: 
• Deformação devido ao momento fletor M é 
quantificado pela curvatura da superfície neutra 
EI
M
I
cM
cEcEc
mm





1
.
.
1
.
1
• A seção transversal de uma viga em flexão pura 
permanece plana, não excluindo a possibilidade de 
deformações dentro do plano da seção. 


 yy xzxy .... 
• Expansão acima da superfície neutra e contração 
abaixo dela causa uma curvatura no plano, 
neutra superfície da curvatura 
1

 


7 DEFORMAÇÕES EM UMA SEÇÃO TRANSVERSAL: 
Aplicações: 
1) A peça de máquina de ferro fundido é solicitada por um momento M = 3 kN m. 
Sabendo-se que o módulo de elasticidade E = 165 GPa, determine: 
a) as tensões máximas de tração e compressão; 
b) As deformações específicas máximas + e - 
c) o raio de curvatura. 
2) Para a viga e seção transversal mostrada, a tensão normal admissível 
de compressão é de 60 MPa e a tensão normal admissível de tração é de 
100 MPa. Determine o máximo valor de P que pode ser aplicado, em kN. 
3)