LISTA CÁLCULO I - UFS

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Sergipe - UFS
Departamento de Matema´tica - DMA
Ca´lculo I - Unificado - Lista 1
1. Calcule os limites:
(a) limx→1
3
√
x− 1√
x− 1 (b) limx→8
√
2 + 3
√
x− 2
x− 8 (c) limx→1
4
√
x− 1
5
√
x− 1
2. Calcule limx→0
3
√
1 + cx− 1
x
, onde c e´ uma constante.
3. Considere a func¸a˜o f : Df ⊂ R→ R definida pela expressa˜o:
f(t) =
|2t− 1| − |2t+ 1|
t
.
Determine o domı´nio desta func¸a˜o. Em seguida, calcule o limite desta func¸a˜o quando
t tende a` 0.
4. Prove que limx→0+
√
xesen(pi/x) = 0.
5. Demonstre que a func¸a˜o
f(x) =
{
x4 sen (1/x) , se x 6= 0
0, se x = 0
e´ cont´ınua em (−∞,∞) .
6. Encontre os valores de a e b que tornam f cont´ınua em toda parte.
f(x) =

x2 − 4
x− 2 , se x < 2
ax2 − bx+ 3, se 2 ≤ x < 3
2x− a+ b, se x ≥ 3
7. Prove que a equac¸a˜o tem pelo menos uma raiz real.
√
x− 5 = 1
x+ 3
8. Existe um nu´mero que e´ exatamente um a mais que seu cubo?
9. Um monte tibetano deixa o monaste´rio a`s 7 horas da manha˜ e segue sua caminhada
usual para o topo da montanha, chegando la´ a`s 7 horas da noite. Na manha˜ seguinte,
ele parte do topo a`s 7 horas da manha˜, pega o mesmo caminho de volta e chega no
monaste´rio a`s 7 horas da noite. Prove que existe um ponto no caminho que o monge
vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas.
1
10. Suponha que uma func¸a˜o f seja cont´ınua no intervalo fechado [0, 1] e que 0 ≤ f(x) ≤ 1
para qualquer x em [0, 1]. Mostre que deve existir um nu´mero c em [0, 1], de modo que
f(c) = c (c e´ chamado ponto fixo de f).
11. Seja f(x) = 3
√
x.
(a) Se a 6= 0, use a definic¸a˜o de derivada para encontrar f ′(a)
(b) Mostre que f ′(0) na˜o existe.
12. Se f for uma func¸a˜o diferencia´vel e g(x) = xf(x), use a definic¸a˜o de derivada para
mostrar que g′(x) = xf ′(x) + f(x).
13. Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = 2x
(x+1)2
no ponto P0 = (1, 2).
14. Quais as retas tangentes a` curva
x
x+ 1
passam pelo ponto P0 = (1, 2)? Em quais pontos
essas retas tangentes tocam as curvas?
15. Se c > 1
2
, quantas retas pelo ponto (0, c) sa˜o normais a´ para´bola y = x2? E se c < 1
2
?
16. Para quais valores de a e b a func¸a˜o
f(x) =
{
ax, se x < 2
ax2 − bx+ 3, se x ≥ 2
e´ deriva´vel para qualquer valor de x?
17. Encontre a derivada dada encontrando algumas das primeiras derivadas e observando
o padra˜o que ocorre
(a) D74senx
(b) D103cos(2x)
18. Considere as seguintes func¸o˜es
y1 (t) =
1
t2
e y2 (t) = t
−2 ln t.
Verifique se tais func¸o˜es sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial t2y′′+5ty′+4y = 0, t > 0.
19. Encontre os valores de λ para os quais y = eλx satisfaz a equac¸a˜o y + y′ = y′′.
20. Suponha que f seja uma func¸a˜o deriva´vel tal que f(g(x)) = x e f ′(x) = 1 + [f(x)]2.
Mostre que g′(x) = 1
1+x2
.
21. A equac¸a˜o x2 − xy + y2 = 3, representa uma ”elipse girada”, isto e´, uma elipse cujos
eixos na˜o sa˜o paralelos aos eixos coordenados. Encontre os pontos nos quais essa elipse
cruza o eixo x e mostre que as retas tangentes nesses pontos sa˜o paralelas.
2
22. Mostre, fazendo a diferenciac¸a˜o impl´ıcita, que a tangente a` elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1
no ponto (x0, y0) e´
x0x
a2
+
y0y
b2
= 1
23. A Func¸a˜o de Bessel de ordem 0, y = J (x), satisfaz a equac¸a˜o diferencial
xy′′ + y′ + xy = 0
para todos os valores de x e seu valor em 0 e´ J(0) = 1.
(a) Encontre J ′(0)
(b) Use derivac¸a˜o impl´ıcita para encontrar J ′′(0).
24. Sejam f e g func¸o˜es deriva´veis em I, com f(x) > 0. Verifique que, para todo x ∈ I,[
f(x)g(x)
]′
= f(x)g(x)g′(x) ln f(x) + g(x)f(x)g(x)−1f ′(x).
25. Mostre que qualquer func¸a˜o da forma
y = A senh(mx) +B cosh(mx)
satisfaz a equac¸a˜o diferencial
y′′ = m2y.
3
Sugesto˜es e Respostas
1. A questa˜o 1 mostra como podemos calcular limites na˜o usuais mediante a uma mudanc¸a
de varia´vel adequada. Tal mudanc¸a de varia´vel tem por finalidade eliminar ra´ızes e
transformar as expresso˜es em polinoˆmios. Esses polinoˆmios sera˜o fatorados para ser
poss´ıvel calcular os limites simplesmente substituindo o valor de x pelo ponto. No
item (a), fac¸a x = t6. Ja´ no item (b), comece multiplicando pelo conjugado do termo
presente no denominador. Logo apo´s, tome x = t3. No item (c), o aluno e´ convidado
a descobrir qual substituic¸a˜o elimina simultaneamente as duas ra´ızes.
(a) 2
3
(b) 1
48
(c) 5
4
2. A ideia para resoluc¸a˜o da questa˜o 2 e´ a mesma da questa˜o 1. Tente eliminar a ra´ız
mediante uma substituic¸a˜o adequada da varia´vel x. Resposta: c
3
3. Comece utilizando a definic¸a˜o de mo´dulo para escrever as func¸o˜es modulares presentes
em f(t) como func¸o˜es definidas por va´rias sentenc¸as. Dessa forma, voceˆ percebera´ que
o limite solicitado sera´ o mesmo independente da aproximac¸a˜o ser pela esquerda ou
pela direita de 0. Resposta: −4.
4. Comece usando a limitac¸a˜o da func¸a˜o seno. Lembre-se que ex e´ uma func¸a˜o crescente.
Use, enta˜o, o Teorema do Confronto.
5. Para todo x 6= 0, a func¸a˜o e´ cont´ınua (por que?). Basta enta˜o mostrar que a mesma e´
cont´ınua em 0 fazendo uso mais uma vez do Teorema do Confronto.
6. Note que, independente de a e b, a func¸a˜o e´ cont´ınua nos intervalos (−∞, 2) , (2, 3) e
(3,∞) (por que?). Agora, encontre os valores de a e b para que a func¸a˜o satisfac¸a as
condic¸o˜es de continuidade nos nu´meros 2 e 3. Resposta: a = b = 1
2
.
7. Use o Teorema do Valor Intermedia´rio.
8. Chame o nu´mero desconhecido de x e tente interpretar a questa˜o de modo que a mesma
seja representada por uma equac¸a˜o. Dessa forma, sera´ poss´ıvel usar o Teorema do Valor
Intermedia´rio.
9. Tente descobrir uma func¸a˜o que descreve a trajeto´ria do monge e o intervalo de cam-
inhada. Assim, sera´ poss´ıvel usar o Teorema do Valor Intermedia´rio.
10. Defina a func¸a˜o g(x) = f(x)− x e use o Teorema do Valor Intermedia´rio.
11. Para o item (a), olhe para a questa˜o 1. Para o item (b), use a definic¸a˜o de derivada
no ponto 0.
12. Aplique diretamente a definic¸a˜o de derivada para encontrar g′(x).
4
13. Observe que o ponto P0 na˜o esta´ na curva.
14. Resposta: duas retas tangentes que passam pelos pontos
(
−2±√3, 1±
√
3
2
)
.
15. Para a primeira pergunta, a resposta e´ 3. Para a segunda a resposta e´ uma reta. Note
que o eixo dos y esta´ entre essas retas.
16. a = 3
4
e b = 9
4
.
17. Basta derivar as expresso˜es e perceber o padra˜o.
18. Encontre as derivadas e substitua diretamente na equac¸a˜o.
19. Calcule as derivadas de y e substitua diretamente na equac¸a˜o.
20. Comece derivando ambos os membros de f(g(x)) = x.
21. Os pontos em que a elipse cruza o eixo x sa˜o os pontos em que y = 0. Agora, para
mostrar que as retas tangentes nesses pontos sa˜o paralelas, mostre que os coeficientes
angulares dessas retas sa˜o iguais (para isso, voceˆ vai precisar de
dy
dx
).
22. Mostre inicialmente que
dy
dx
= − b
2x
a2y
. Agora, basta usar a forma ponto-coeficiente
angular y − y0 = m (x− x0) e desenvolver a expressa˜o para chegar na forma desejada.
23. (a) 0
(b) −1
2
.
24. Use ax = ex ln a. Voceˆ tambe´m pode usar derivac¸a˜o logar´ıtmica.
25. Calcule a derivada segunda de y e substitua diretamente na equac¸a˜o.
5