Cap 7

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Prof Thiago Coelho
Introdução
 Objetivos
 Apresentar Equações de Poisson e Laplace
 Apresentar o teorema da unicidade
Revisão
 Potencial
 Caminho para qualquer informação a respeito do campo 
eletroestático em um ponto
 Campo elétrico
 Pode ser encontrado pela operação do gradiente 
 Densidade de fluxo elétrico
 Determinada a partir da multiplicação do campo elétrico 
com a permissividade
 Densidade volumétrica de cargas
 Determinada através do divergente da densidade de fluxo
Revisão
 Através de integrações podemos encontrar
 Carga total
 Energia armazenada
 Capacitância
 Resistência
 Vamos formalizar estas relações partindo do 
potencial
Equações de Poisson e de Laplace
 Sabemos que
 Sabemos também que

 vv ED 

 que e 
VE 

    


 vv VV 

vV 2
Equação de Poisson
Equações de Poisson e de Laplace
 Se v=0
 Densidade volumétrica de cargas nula
 Podem haver cargas pontuais, distribuição linear de cargas 
ou densidade superficial de cargas nas fronteiras como 
fontes de campo, então
02  V
Equação de Laplace
Equações de Poisson e de Laplace
 Laplaciano 2
 Cartesiano
 Clíndrico
 Esférico
2
2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
V









2
2
2
2
2
2 11
z
VVV
V















 
2
2
222
2
2
2
sen
1
sen
sen
11  



















V
r
V
rr
V
r
rr
V
Equações de Poisson e de Laplace
 Exemplo: Seja
 Determine Vp, Ep, v
 V satisfaz a Equação de Laplace?
322 zxyV 
0   1,2,1 P
Teorema da unicidade
 Exemplo: Calcular a capacitância de um capacitor de placas 
paralelas
 Sabemos que o campo V é função apenas de x
 Equação de Laplace
d
Área S
x
y
V0
00
2
2
2
2



dx
Vd
x
V
A
dx
dV

  BAxxV 
    0 ; 00 VdVV 
dVAB 0 ; 0 
  x
d
V
xV 0
  xa
d
V
VxE
 0
xa
d
V
D
 0
)(fronteira 0
d
V
D SN  
d
SV
dS
d
V
dSQ
SS
S
00   
d
S
V
Q
C 
0
Equação de Laplace
 Caso unidimensional
 Equação diferencial ordinária
 Solução
 Equação da reta
 Duas condições de contorno
 Ex: V=4 em x=1 e V=0 em x=5
  BAxxV 
0
2
2

dx
Vd
Equação de Laplace
 Em resumo
 Qualquer que seja a sua solução e como você a encontrou, 
se
 Satisfizer a Equação de Laplace
 Tem o valor correto na fronteira
 Então, ela está correta!
 É também válido para a Equação de Poisson
 O potencial em um volume v é unicamente determinado 
 Densidade de cargas na região v
 Valor de V nas fronteiras
Equação de Laplace
 Dois planos =0 e  = a encontram-se isolados ao
longo do eixo z, com potencial V=0 e V=V0,
respectivamente. Encontre a expressão para o campo
elétrico entre os planos.
2
2
2
2
2
2 11
z
VVV
V















 
𝛻𝐴 =
𝜕𝐴
𝜕𝜌
â𝜌 +
1
𝜌
𝜕𝐴
𝜕∅
â∅ +
𝜕𝐴
𝜕𝑧
â𝑧
Equação de Laplace
 Resolva a equação de Laplace para a região
homogênea de dielétrico  situada entre duas esferas
de raio a e b (b>a), com V=0 em r=b e V=V0 em r=a.
Determine a capacitância entre as esferas.
2
2
222
2
2
2
sen
1
sen
sen
11  



















V
r
V
rr
V
r
rr
V
𝛻𝐴 =
𝜕𝐴
𝜕𝑟
â𝑟 +
1
𝑟
𝜕𝐴
𝜕𝜃
â𝜃 +
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝐴
𝜕∅
â∅
Lista de exercícios
 6.25, 6.26, 6.27, 6.30, 6.32, 6.37, 6.41