Vibrações livres não-amortecidas - Apostila
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Vibrações Mecânicas – Resumo
VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA
Introdução:
Vimos em aulas anteriores que a vibração livre é aquela que acontece sem a atuação
de forças externas ao sistema. Ela início após uma perturbação inicial que
desaparece posteriormente.
Também vimos que a vibração não-amo rtecida é aquela cuja energia de vibração não
é dissipada e o sistema permanece vibrando continuamente.
Também foi mostrado que sistemas reais podem ser modelados como um modelo
mais simples com 1 GDL (grau de liberdade), como mostrado na figura abaixo:
Sistema real Modo de Vibrar Modelo simples 1 GDL
Obtenção da Equação Diferencial Ordinária (EDO)
Um dos métodos mais comuns para a obtenção da EDO (Equação Diferencial
Ordinária ) é por meio da elaboração do DCL (Diagrama de Corpo Rígido) e ap licar as
equações de Newton-Euler, que são:
= . Relativo às forças externas
Onde:
F somatório das forças externas, no SI dado em N (Newton)
m massa do sistema, no SI dado em kg (quilograma)
a aceleração, no SI dado em m/s2 (metro por segundo ao quadrado)
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=  .
̈ Relativo ao Momento de Inércia de massa
Onde:
MG somatório de momentos no centro de gravidade G
I momento de inércia de massa com relação ao eixo que passa no centro de
gravidade
̈ aceleração angular
Suponhamos que a massa m foi colocada na posição
onde a figura está tracejada, fazendo o DCL, teremos
uma força de mola oposta ao movimento, ou seja, na direção oposta a direção positiva
de x. No sistema não nada promovendo dissipação de energia, ou sej a, não
amortecedores.
Aplicando a equação da lei de Newton, vem: − =  ̈
Colocando todos os mesmos do mesmo lado da equação:  
̈+  =  . Essa é a
EDO (Equação Diferencial Ordinária) do sistema.
Pensando agora em um sistema massa mola como movimento vertical, como
o indicado na figura ao lado. Nesse sistema, ao ser colocado o peso, a mola irá
se alongar até que a força peso se iguale com a força de mola, passando para
uma nova condição de equilíbrio estático. Essa deformação é chamada de
deformação estática ST. Se considerarmos esse novo ponto de equilíbrio, a
força peso não influenciará no mo vimento oscilatório. De tal sorte, que a ED O
será idêntica ao sistema horizontal, ou seja,  
̈+  =
Solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO):  
̈+  =
Se dividirmos a equação acima por m temos: ̈ +
= 0 (a).
Podemos definir frequência natural angular (
n) como:
=
Onde:
frequência natural angular, no SI dado em rad/s (radianos por Segundo)
K rigidez ou coeficiente de mola, no SI dado em N/m (Newton por metro)
m massa do sistema, no SI dado em kg (quilograma)
Substituindo
n na equação (a), fica: ̈ + 
. = 0 (b)
Admitindo que a resposta da EDO é do tipo: ()=  .
onde C e são constantes a
serem determinadas.
Derivando até 2ª ordem, vem: ̇ ()= .  . 
e ̈ ()=  .
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Substituindo na equação (b), fica:  .
+ 
.  
= 0
Simplificando, vem:  .
(
+ 
) = 0
Se a constante C for zero teríamos uma solução trivial da equação anterior, então não
vamos considerá-la. Sabendo também que
nunca é zero, então, para que a
expressão acima seja verdadeira, temos (
+ 
) = 0. Isolando , temo s
=
− 
e finalmente chegamos a:
=−
Portanto, temos uma solução no conjunto dos números imaginários
, = ± .
Então a solução da EDO será: ()= 
.+ 
.
Lembrando a relação de Euler ± = cos()±  .  ( ) temos:
x(t)= 
[cos(
)+  .  (
)] + 
[cos(
)  .  (
 )]
Simplificando chegamos a: x(t)= (
+ 
). cos(
)+ (
− 
). (
 )]
Chamando C1 + C2 = B e C1 – C2 = A, podemos escrever:
()= . ()+ . ()]
A solução final dessa equação irá depender das condições iniciais do problema.
Fazendo (0)= e ̇ (0)= 
, temos:
(0)= .  (
0)+  .  (
0)] = B =
̇ (0)= . 
. (
0)  .
. (
0)] = 
vo= A.
=
E portanto, obtendo a resposta da EDO: ()=
. ()+ . ()]
Também podemos escrever a equação anterior na forma de uma amplitude e um
ângulo de fase, ficando: ()= .  (
+ ∅) ou ()= .  (
) onde:
A =
+ 
A é a amplitude de deslocamento, no SI dado em m
(metro);
=  
Φ é o ângulo de Fase, no SI dado em rad (radianos)
Representando graficamente temos: