Exercício - Calculo 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
EXERCÍCIOS DE ECONOMIA MATEMÁTICA
ENTREGA: 11 DE JUNHO DE 2018
Instruções: Escolha vinte questões e deixe claro as vinte que devem ser corrigidas.
1. Determine A = fx 2 R : jx+ 2j+ jx� 4j = 18g :
2. Seja J = (a; b) um intervalo qualquer da reta e c = (b� a)=2. Mostre que x = a+ cp2 2 J:
3. No exercício anterior se a; b 2 Q, então x é irracional. Use este fato para assegurar que em todo
intervalo I � R existem números irracionais.
4. A tabela abaixo é formada apenas por números ímpares. Denote por Sn a soma dos números que
aparecem da n�ésima linha de (�).
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
� � � � � � � � � � � �
(*)
Veri…que que Sn = n3:
5. Seja f : R! R uma função contínua tal que (px� 3)f(x) = x2 � 81. Mostre que f(9) = 108:
6. Seja f : R! R tal que 2x� 7 � f(x) � x2 � 6x+ 9. Encontre limx!4 f(x):
7. Determine f : R! R sabendo-se que f 0(0) = 1 e que para para x; h 2 R,
f(x+ h) = f(x) + f(h) + (x+ h)3 � x3 � h3:
8. Duas …rmas F1 e F2 produzem o mesmo bem e competem em preços. Cada …rma Fi …xa seu preço pi
e oferta quantidade su…ciente para satisfazer a demanda por seu produto. Neste modelo supõe-se que:
� Se p1 = p2 os consumidores se dividirão igualmente entre os produtores.
� Se p1 < p2 todos os consumidores comprarão da …rma F1:
� Se p2 < p1 todos os consumidores comprarão da …rma F2:
Suponha que Q = 20 � 2P e C(q) = 4Q são as funções de demanda e custo. Esboce os grá…cos da
receita R1 e do lucro L1 da …rma F1 sabendo-se que a …rma F2 …xou seu preço em p2 = 7: Mostre que
neste caso R1 e L1são descontínuas.
9. Seja h : R ! R uma função diferenciável tal que 9y4 + 2xy2 � 7x2 � 9 = 0; sempre que y = h(x):
Calcule jh0(0)j :
10. Uma pessoa deposita uma quantia em um banco que remunera à uma taxa de 5% ao mês. Determinar
em quantos meses a quantia depositada será maior ou igual ao triplo do valor inicialmente depositado
11. Um editor paga ao autor de um livro 10% do valor da venda. Sabe-se que8<: C = 10 + 4x+ x
2=5
x = 210� 7p
são o custo de produção e a função demanda pelo livro. Calcule o lucro máximo do autor. Qual o
lucro máximo da editora?
1
12. Seja f : [a; b] ! R uma função estritamente côncava e m o coe…ciente angular da reta que passa por
A = (a; f(a)) e B = (b; f(b)). Veri…que que se a < x1; x2 < b, então
f(x1) + f(x2) > f(a) +m(x1 � a) + f(b) +m(x2 � b): (*)
Use este fato para mostrar que
(a) 7
p
9 + 7
p
11 > 7
p
7 + 7
p
13:
(b) 3
p
49 + 3
p
64 > 3
p
25 + 3
p
100:
13. Encontre a receita máxima de tributação possível a um imposto de t por unidade sabendo-se que a
oferta e a demanda são dadas por Qd = 50� 2P e Qo = �10 + (P � t):
14. A função custo de um monopolista (único produtor de um produto) é C = 200+2x e a função demanda
pelo produto é p = 100 � 2x: Que o preço deve ser cobrado para maximizar o lucro? Se o governo
tabelar o preço do produto de modo que o preço máximo do produto seja R$40; 00, qual preço deve
ser cobrado para maximizar o lucro?
15. Seja f : R! R uma função diferenciável tal que f(2) = 16. Determinar zeros, pontos críticos, pontos
de in‡exão, ponto de máximo e esboce o grá…co de f , sabendo-se que
f 0(x) = 12x2 � 4x3:
16. Esboce o grá…co da função f : R ! R dada por f(x) = x4 � 18x2 + 32. Determinar zeros, pontos
críticos, máximo local e mínimos locais de f .
17. Seja f : R! R a função dada por f(x) = x2 + cosx: Mostre que f é positiva.
18. Seja P0 o preço de um carro popular adquirido sem entrada a uma taxa de juros de i % ao mês. Sabe-se
que i 6= 0 e que o pagamento será efetuado em n-parcelas …xas de x reais. Se � = 1 + i=100 mostre
que:
x =
�n(�� 1)
�n � 1 P0:
19. Após um período de teste, um fabricante determina que se x unidades de um certo produto são
produzidos por semana, o custo marginal é dado por C 0(x) = 0; 3x� 11, onde C(x) é o custo total da
produção de x unidades do produto. Sabe-se ainda que o preço de venda do produto em questão está
…xado em R$19; 00. Determine:
(a) Quantas unidades devem ser produzidos para que se obtenha lucro máximo.
(b) O valor monetário do lucro máximo por semana, sabendo-se que o custo …xo é de R$200; 00 por
semana..
20. Seja g : R! R a função dada por g(x) = x2(x� 5)10. Determinar todas as primitivas de g e calcule o
valor da integral Z 6
5
g(x)dx:
21. Seja � = 3=2 e f(x) = A=x� o número de pessoas cujas rendas são maiores ou iguais a x (Lei de
Pareto). Supondo-se que A é igual a 144 milhões mostre que:qualquer uma das 600 pessoas com maior
remuneração têm renda acima de R$3:861; 00:
2
22. Calcule
(a) a derivada da função f : R! R dada por f(x) = 2ex � xex + x2ex:
(b)
R 1
0
�
1 + x+ x2
�
ex dx:
23. Calcule Z 1
0
"
ex
1 + 3ex
+
x2
(x3 + 3)
3
#
dx:
24. Determine a área do plano limitada pelas curvas y = x+ 2 e y = x2:
x
y
25. Calcule a área A da região limitada pela curva y = x�2 e pelas retas y = x e y = x=8:
26. A receita marginal da venda de x unidades de um produto é R0(x) = 12 � 0; 0004x. Se a receita da
venda das primeiras mil unidades é R$ 12:400; 00, ache a receita de venda das primeiras cinco mil
unidades.
27. Uma mina produz mensalmente 800 tonelada de um certo minério e estima-se que o processo extrativo
dure 25 anos. Sabe-se que a produção e a venda são processadas continuamente e que o preço por
tonelada do minério, daqui a t meses, é dado por P = 400 + 12t� t2=100: Mostre que
Q(t) = t
�
400 + 6t� 1
300
t2
�
é uma primitiva de P e a receita gerada pela mina ao longo do período de 25 anos é dada por
R = 800 Q(300) = 456:000:000:
28. Sejam f : R ! R a função real de…nida por f(x) = (2 � x + x2)ex. Calcule a derivada da função f .
Use este fato para calcular o valor da integralZ 1
0
(1 + x+ x2) ex dx:
29. Encontre a função de produção P (x) de um determinado bem, cujo produto marginal é dado por
P 0(x) = (x+ 1)e�x e P (1) = 5:
30. Mostre que entre as retas paralelas de coe…ciente angular m = 6, apenas uma delas é tangente à curva
y = x2 + x4. Encontre esta reta e o seu ponto de tangência.
x
y
3
31. Sejam f; g : R! R dadas por f(x) = 4 + x2 e g(x) = 4x� x2. Determinar as retas tangentes comuns
aos grá…cos de f e g.
x
y
32. Mostre que entre as retas paralelas de coe…ciente angular m = 12, apenas uma delas é tangente à curva
y = x2 + x4 + x6.
33. Seja f : R! R uma função diferenciável tal que f(1) = 8. Sabe-se que para todo x 2 R,
f 0(x) = 6(x� 1)(x� 3) = 6x2 � 24x+ 18:
Determine zeros, ponto de in‡exão, máximo local e mínimo local de f:
34. Sejam f; g : R! R funções diferenciáveis tais que f 0 = g; g0 = f , f(0) = 1 e g(0) = 0: Mostre que:
a) f2 � g2 = 1, f + g = exp e f � g = 1= exp;
b) 2f(x) = expx+ exp(�x);
c) 2g = expx� exp(�x):
35. Seja F : R! R uma primitiva de f(x) = a0 + a1x+ � � �+ anxn. Mostre que se
a0 +
a1
2
+ � � �+ an
n+ 1
= 0;
(a) F (1)� F (0) = R 1
0
f(x)dx = 0;
(b) f possui uma raiz entre 0 e 1:
36. Determine por qualquer método o valor das integrais:
(a)
R 2
1
[ xex + lnx] dx;
(b)
R 2
0
p
4� x2dx;
(c)
R 1
�1(x+ 2)
2(x+ 1)
10
dx:
37. Esboce o grá…co da função f : R! R dada por f(x) = 1= �1 + x2� : Para isto, veri…que que8<:
f 0(x) = �2xf(x)2
f 00(x) = 2
�
3x2 � 1� [f(x)]3 :
4
38. Seja P : R ! R um polinômio e F : R ! R dada por F (x) = Q(x)ex, em que Q = P � P 0 + P 00 �
P 000 + � � � . Mostre que:
(a) Q+Q0 = P:
(b) F 0(x) = P (x)ex.
39. Seja P : R! R um polinômio e F : R! R dada por F (x) = �Q(x)e�x, em que Q = P + P 0 + P 00 +
P 000 + � � � . Mostre que:
(a) Q�Q0 = P:
(b) F 0(x) = P (x)e�x.
40. Usando os exercícios anteriores, calculeZ 1
0
(x3 + x2 + x+ 1)ex dx+
Z 1
0
x4e�x dx:
41. Esboce o grá…co de f : R+ ! R dada por xf(x) = lnx. Para isto veri…que que:
(a) x2f 0(x) = 1� lnx
(b) f é crescente em (0; e ] e decrescente em [ e;1)
(c) x3f00(x) = 2 lnx� 3 e a = e3=2 é ponto de in‡exão.
42. Sejam a e b números reais positivos. Use o exercício anterior e veri…que que:
a < b < e =) ln a
a
<
ln b
b
=) b ln a < a ln b =) ln ab < ln ba =) ab < ba:
e < a < b =) ln b
b
<
ln a
a
=) a ln b < b ln a =) ln ba < ln ab =) ba < ab:
43. Sob condições ideais sabe-se que certa população P de bactérias dobra a cada 3 horas. Supondo que
inicialmente existam 100 bactérias:
(a) Qual o tamanho da população P (t) após t horas?
(b) Qual o tamanho da população após 15h?
(c) Qual o tamanho da população após 20h?
(d) Trace o grá…co de P (t) e estime o tempo para a população atingir 50.000 bactérias.
5