Exercícios - Espaço Vetorial

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Universidade Federal Rural do Semi-Árido
Departamento de Ciências Exatas e Naturais
Disciplina: Álgebra Linear Período: 2013.2
Prof
a
: Suene Campos
Lista 1: Espaços Vetoriais
1. Seja V = {(x, y) ∈ R2| y ≥ 0}, com as operações usuais do R2. É o conjunto V um espaço vetorial?
2. Com relação às operações (x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, yy′) e λ(x, y) = (λx, λy), seria o R2 um espaço
vetorial sobre R?
3. Verifique se V = {(x, y) ∈ R2| x, y ∈ R} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição
e de multiplicação por escalar dadas por:
(a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2); α(x, y) = (x, αy).
(b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1); α(x, y) = (αx, αy).
(c) (x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 − 2y2,−x2 + y1); α(x, y) = (x, αy).
(d) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 − 1, y1 + y2 − 1); α(x, y) = (αx− α+ 1, αy − α+ 1).
4. Seja V = {x ∈ R| x > 0} com as operações de adição e de multiplicação por escalares dadas por:
x+ y = xy e α(x, y) = xα, α ∈ R
Verifique que V é um espaço vetorial sobre R.
5. Verifique se os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais, com as operações usuais. No caso
afirmativo, exiba uma base e dê a dimensão.
(a) Matrizes diagonais n× n
(b)
{(
a a+ b
a b
)
: a, b ∈ R
}
.
(c) V = {(a, a, ..., a) ∈ R; a ∈ R}.
(d) {(1, a, b) : a, b ∈ R}.
(e) A reta {(x, x+ 3);x ∈ R}.
(f) {(a, 2a, 3a) : a ∈ R}
6. Verifique se S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V nos seguintes casos:
(a) V = R3 e S = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0}
(b) V = R3 e S = {(x, y, z) ∈ R3 | x é um número inteiro }.
(c) V =M(2, 2) e S = {A ∈M(2, 2) | A é invertível }.
(d) V = P3 e S = {p ∈ P3 | p(t) ≥ 0,∀t ∈ R}.
(e) V = P e S = {p ∈ P | p(0) = 2p(1)}.
7. Mostre que os seguintes subconjuntos de R4 são subespaços.
(a) W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x+ y = 0 e z − t = 0}
(b) U = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x+ y − t = 0 e z = 0}
8. Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços deM(2, 2). Em caso afirmativo exiba geradores.
(a) V = {
(
a b
c d
)
com a, b, c, d ∈ R e b = c}
(b) W = {
(
a b
c d
)
com a, b, c, d ∈ R e b = c+ 1}
9. Mostre que W = {(x, y) ∈ R2 | (x− 1)(y − 1) = 1} não é um subespaço vetorial do R2.
1
10. Por que o subconjunto W = {(x, y, z) ∈ R3 | x+ y − z = 1} não é um subespaço vetorial?
11. Seria W = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 = 1} um subespaço vetorial do R3? Por que?
12. Expresse o vetor v = (1, 1, 2,−1) como combinação linear dos vetores
v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 0), v4 = (1, 0, 0, 1)
13. Identifique o subespaço W de M(2, 2) gerado pelo vetores
v1 =
(
0 1
0 0
)
, v2 =
(
0 0
0 1
)
, v3 =
(
1 0
1 0
)
14. Identifique o subespaço W do R3 gerado pelo conjunto
S = {(1, 0, 0), (1, 0, 1)}
15. Encontre um conjunto gerador do subespaço W = {(x, y, z) ∈ R3 | x+ y + z = 0}.
16. Verifique que os vetores 1, 1− t, (1− t)2 e (1− t)3 geram o espaço P3.
17. Considere dois vetores (a, b) e (c, d) no plano. Se ad−bc = 0, mostre que eles são LD. Se ad−bc 6= 0,
mostre que eles são LI.
18. Considere o subespaço do R4
S = [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)]
• O vetor (2/3, 1,−1, 2) pertence a S?
• O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?
19. Seja W o subespaço de M(2, 2) definido por
W =
{(
2a a+ 2b
0 a− b
)
| a, b ∈ R
}
(a)
(
0 −2
0 1
)
∈W?
(b)
(
0 2
3 1
)
∈W?
20. SejaW o subespaço deM(3, 2) gerado por
 0 01 1
0 0
 ,
 0 10 −1
1 0

e
 0 10 0
0 0

. O vetor
 0 23 4
5 0

pertence a W?
21. Quais são as coordenadas de x = (1, 0, 0) em relação à base β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}?
22. Seja V =M(2, 2), e seja W o subespaço gerado por(
1 −5
−4 2
)
,
(
1 1
−1 5
)
,
(
2 −4
−5 7
)
,
(
1 −7
−5 1
)
Encontre uma base, e a dimensão de W .
23. Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (−2, 2, 1, 1, )
e v4 = (1, 0, 0, 0).
(a) O vetor (2,−3, 2, 2) ∈ [v1, v2, v3, v4]? Justifique.
(b) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]. Qual é a dimensão?
(c) [v1, v2, v3, v4] = R4? Por que?
2
24. Considere o subespaço de R3 gerado pelos vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (0,−1, 1) e v3 = (1, 1, 1).
[v1, v2, v3] = R3? Por que?
25. Seja W = [v1, v2, v3] o subespaço do R3, gerado pelos vetores
v1 = (2, 1, 0), v2 = (−1, 0, 1), v3 = (1, 1, 1)
(a) Determine uma base e a dimensão de W .
(b) Determine o valor de λ para que o vetor v = (λ, 2,−2λ) pertença à W .
26. No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau ≤ 2, verifique se os vetores são LI ou LD.
(a) p1(t) = 1 + 2t+ t
2, p2(t) = 2 + 4t+ 2t
2
.
(b) p1(t) = t+ t
2, p2(t) = 2, p3(t) = 1 + 2t
2
.
(c) p1(t) = 1 + t, p2(t) = 2 + t, p3(t) = 2t
2
.
27. Mostre que β = {(0, 2, 2), (0, 4, 1)} é uma base do subespaço W = {(x, y, z) ∈ R3 | x = 0}.
28. Determine a dimensão do subespaço do R3 gerado pelo conjunto de vetores
S = {(1, 0, 2), (0,−1, 2), (2, 1, 1), (2, 2, 2)}
29. Verifique se os vetores
v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3, 2), v3 = (2, 5, 6, 4), v4 = (2, 6, 8, 5)
formam uma base do R4. Se não, encontre a dimensão e uma base do subespaço gerado por eles.
30. Seja W = [v1, v2, v3, v4] o subespaço do R4 gerado pelos vetores
v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 = (−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0)
(a) O vetor v = (2,−3, 2, 2) está em W?
(b) Exiba uma base do espaço W?
(c) W = R4 ou W é um subespaço próprio do R4.
31. Sejam W1 e W2 os subespaços do R3 dados por
W1 = {(x, y, 0) | x, y ∈ R} e W2 = {(x, y, x− y) | x, y ∈ R}
(a) Calcule dim(W1 ∩W2) e dim(W1 +W2).
(b) O conjunto W1 ∪W2 é um subespaço vetorial do R3? Se for, qual a dimensão?
32. Considere os seguintes subespaços do R4:
W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ y = z − t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x− y − z + t = 0}
Determine bases dos subespaçosW1,W2,W1∩W2 eW1+W2. É correto afirmar queW1+W2 = R4?
33. No espaço M(2, 2), considere os subespaços
W1 =
{(
a b
b a
)
: a, b ∈ R
}
e W1 =
{(
x y
x y
)
: x, y ∈ R
}
(a) Determine bases de W1,W2,W1 ∩W2 e W1 +W2.
(b) Exiba um vetor do espaço M(2, 2) que não pertença a W1 +W2.
34. (a) Dado o subespaço V1 = {(x, y, z) ∈ R3 | x + 2y + z = 0} ache um subespaço V2 tal que
R3 = V1 ⊕ V2.
(b) Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de R3 tais que V1 + V2 = R3. A soma é
direta?
3
35. Seja W = [v1, v2, v3] o subespaço de P2, gerado pelos vetores
v1 = 1, v2 = 1− t+ t2 e v3 = 1− 2t+ 2t2
(a) Os vetores v1, v2 e v3 são LI ou LD?
(b) Determine uma base e a dimensão de W .
(c) Construa uma base de P2, da qual façam parte os vetores v1 e v2.
36. Mostre que R3 = [(1, 0, 0)]⊕ [(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0,−1)].
37. Se W1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + 2y + z = 0}, encontre um subespaço W2, de dimensão 1, tal que
R3 =W1 ⊕W2. Por que dimW2 deve ser igual a 1?
38. Sejam β{(1, 0), (0, 1)}, β1 = {(−1, 1), (1, 1)}, β2 = {(
√
3, 1), (
√
3,−1)} e β3 = {(2, 0), (0, 2)} bases
ordenadas de R2.
(a) Ache as matrizes de mudança de base:
(i)[I]β1β (ii)[I]
β
β1
(iii)[I]β2β (iv)[I]
β3
β
(b) Quais são as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relação à base:
(i)β (i)β1 (iii)β2 (iv)β3
(c) As coordenadas de um vetor v em relação à base β1 são dadas por
[v]β1 =
(
4
0
)
Quais são as coordenadas de v em relação à base:
(i)β (ii)β2 (iii)β3
39. Se
[I]α
′
α =
 1 1 00 −1 1
1 0 −1

ache
(a) [v]α onde [v]α′ =
 −12
3

(b) [v]α′ onde [v]α =
 −12
3

40. Em R3 considere as bases
β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)} e β′ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
(a) Encontre as matrizes de mudança de base [I]β
′
β e [I]
β
β′ e verifique que [I]
β′
β [I]
β
β′ = I3
(b) Determine as coordenadas do vetor v = (1, 2,−1) nas bases β e β′.
41. No espaço dos polinômios P2 considere as bases β = {1, 1 + t, t2} e β′ = {2,−t, 1 + t2}
(a) Encontre as matrizes de mudança de base [I]β
′
βe [I]
β
β′ e verifique que [I]
β′
β [I]
β
β′ = I3
(b) Determine as coordenadas do vetor v = t2 + t− 2 nas bases β e β′.
42. Determine [v]β′ , sabendo que as coordenadas do vetor v do R3 na base β e a matriz de mudança
[I]β
′
β são dadas por
[v]β =
 −12
3
 e [I]β′β =
 1 1 00 −1 1
1 0 −1

4