2c2ba ano sistemas lineares v 1 2017

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SISTEMAS 
LINEARES 
Aulas 01 a 04 
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz 
 
 
 
Sumário 
EQUAÇÕES LINEARES ................................................. 1 
Exemplo 1 ..................................................................................................................................................... 1 
Exemplo 2 ..................................................................................................................................................... 1 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 1 
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR ........................................................................................................... 1 
Exemplo 3 ..................................................................................................................................................... 1 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 1 
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES ............................. 1 
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES ..................................................................................... 1 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 2 
2.1. Verifique se a terna ordenada 
 1; 2; 3
 é uma solução do sistema linear 6
2 3 9
2 0
x y z
x y z
x y z
  

  
    
. .................... 2 
Exemplo 1 ..................................................................................................................................................... 2 
Exemplo 2 ..................................................................................................................................................... 2 
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA ................................................................................................................... 2 
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL ........................................................................................................................ 2 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 2 
ESCALONAMENTO ..................................................... 3 
SISTEMA ESCALONADO ................................................................................................................................. 3 
Diz-se que um sistema está escalonado se o número de coeficientes igual a zero antes do primeiro coeficiente não 
nulo aumenta a cada equação. ...................................................................................................................... 3 
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL............................................................................................................................ 3 
ESCALONAMENTO......................................................................................................................................... 3 
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL............................................................................................................................ 4 
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA ................................................................................................................... 4 
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL............................................................................................................................ 4 
PROBLEMAS ............................................................... 4 
PROBLEMAS .................................................................................................................................................. 4 
REGRA DE CRAMER .................................................... 5 
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL............................................................................................................................ 5 
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR .......................... 5 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ......................................................................................................................... 6 
QUESTÕES EXTRAS ........................................................................................................................................ 6 
 
 
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1 
 
AULA 01 
EQUAÇÕES LINEARES 
Denomina-se equação linear nas incógnitas 
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 toda equação do tipo 
𝑎1 ⋅ 𝑥1 + 𝑎2 ⋅ 𝑥2 + … + 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 = 𝑏, 
em que 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são denominados coeficientes 
reais e 𝑏 ∈ ℝ é denominado termo independente. 
Exemplo 1 
 As equações a seguir são exemplos de 
equações lineares 
• 
1 2 32 5 7 3x x x  
 
• 
1 2 3 4 1x x x x   
 
• 
2 3 4 2x y z w   
 
• 
0p q r  
 
 
 
Obs.1: Quando o termo independente de equação é 
nulo, a mesma é dita equação homogênea. 
Exemplo 2 
 As equações a seguir não são exemplos de 
equações lineares 
• 
1 2 35 1x x x  
 
• 
2
1 2 1x x 
 
• 
2
3 2x z
y
   
 
Obs.2: Usualmente denotamos as variáveis com as 
letras 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, … . 
 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 
1.1. Verifique em cada caso a seguir se a equação 
apresentada é linear. 
a) 
2 5 3 2x y z  
 
b) 
3 2x y z    
 
c) 
3 2x y    
 
d) 
2 5 0m n 
 
e) 
2 3
0z w
x y
   
 
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR 
Uma sequência de números reais (𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛) é 
uma solução da equação linear 
 𝑎1 ⋅ 𝑥1 + 𝑎2 ⋅ 𝑥2 + … + 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 = 𝑏, 
se, e somente se, 
𝑎1 ⋅ 𝛼1 + 𝑎2 ⋅ 𝛼2 + … + 𝑎𝑛 ⋅ 𝛼𝑛 = 𝑏,. 
Exemplo 3 
A terna ordenada 
 2, 1, 1
 é solução da equação 
2 3 8x y z  
, pois 
 2 2 1 3 1 8     
. 
 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 
1.2. Dada a equação linear 
2 3 5x y 
 verifique se os 
pares ordenados a seguir são soluções 
a) 
 1, 1
 
b) 
 4, 1
 
c) 
 2, 1
 
1.3. Determine 𝑚 ∈ ℝ de forma que o par ordenando 
 1,m m 
 seja solução da equação 
3 2 5x y 
. 
1.4. Determine uma solução geral da equação 𝑥 +
3𝑦 = 2 em função de um parâmetro real 𝛼 ∈ ℝ. 
1.5. Se um estudante tem em seu cofre muitas 
moedas de 10 e de 25 centavos, de quantas maneiras 
distintas pode pagar seu lanche que custou R$ 2,65 
com essas moedas. 
 
 
 
AULA 02 
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 
Um conjunto de duas ou mais equações lineares é 
denominado sistema de equações lineares. 
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
n n
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
S a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
        

        

         


        
 
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES 
LINEARES 
Uma sequência de números reais (𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛) é 
uma solução de um sistema linear se, e somente se, 
EQUAÇÃO 
HOMOGÊNEA 
TAREFA 1 – No capítulo “Equações lineares”, fazer 
PSA 1 e 2. 
 
 
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2 
 
ela é uma solução de todas as equações desse 
sistema. 
 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 
2.1. Verifique se a terna ordenada 
 1; 2; 3
 é uma 
solução do sistema linear 6
2 3 9
2 0
x y z
x y z
x y z
  

  
    
. 
Exemplo 1 
 O sistema de equações {
𝑥 − 𝑦 = −3
𝑥 − 𝑦 = 5
 não 
admite solução real, visto que é impossível que a 
subtração de dois númerosreais seja igual a −3 e 5 ao 
mesmo tempo. 
Exemplo 2 
 O sistema de equações {
𝑥 − 𝑦 = 0
2𝑥 − 2𝑦 = 0
 admite 
infinitas soluções, como por exemplo (0; 0) e (1; 1). 
 
Obs.3: Quando os termos independentes 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛 
forem iguais a zero, o sistema linear denomina-se 
sistema linear homogêneo. Todo sistema homogêneo 
admite a solução trivial (0; 0; … ; 0). 
Obs.4: Não necessariamente um sistema admite 
solução única. Ele pode não ter solução ou ter infinitas 
soluções. 
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA 
Podemos classificar um sistema, quanto as suas 
soluções, dentre as seguintes categorias. 
• Sistema Possível e Determinado (SPD): uma única 
solução. 
• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): terá 
infinitas soluções. 
• Sistema Impossível (SI): não tem solução, ou seja, 
seu conjunto solução será vazio. 
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL 
A cada sistema linear podemos associar três matrizes 
que resumem o sistema: a matriz dos coeficientes, a 
matriz das incógnitas e a matriz dos termos 
independentes. 
No sistema 𝑆 a seguir temos associado a ele a matriz 
dos coeficientes 𝐴, das incógnitas 𝑋 e dos termos 
independentes 𝐵. 
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
n n
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
S a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
        

        

         


        
 
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
1
2
3
n
x
x
X x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
1
2
3
m
b
b
B b
b
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que assim o sistema S pode ser escrito como 
uma operação entre essas matrizes, ou seja, 
A X B 
. 
11 12 13 1 1 1
21 22 23 2 2 2
31 32 33 3 3 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn n m
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
     
     
     
      
     
     
     
     
 
Exemplo 1 
Considere o sistema linear 2 3 5 3
2 2
2 1
x y z
x y z
y z
  

  
  
, 
podemos escrevê-lo da forma a seguir. 
2 3 5 3
1 2 1 2
0 1 2 1
x
y
z
     
     
       
          
 
 
 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 
2.2. Reescreva os sistemas lineares a seguir utilizando 
suas matrizes associadas. 
a) 3 5
7 5 6
0
x y z
x y z
x y z
  

  
    
 
MATRIZ DOS 
TERMOS 
INDEPENDENTES 
MATRIZ DOS 
COEFICIENTES 
MATRIZ DAS 
INCÓGNITAS 
 
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3 
 
b) 2 2 1
3
3 2
x y z
x z
y z
  

  
  
 
c) 1
7 2
1
x z
x y
y z
  

 
  
 
 
 
 
AULA 03 
ESCALONAMENTO 
SISTEMA ESCALONADO 
Diz-se que um sistema está escalonado se o número 
de coeficientes igual a zero antes do primeiro 
coeficiente não nulo aumenta a cada equação. 
Exemplo 1 
Os sistemas lineares a seguir são exemplos de 
sistemas lineares escalonados 
• 2 3 5 3
2 2
2 1
x y z
y z
z
  

 
 
, 
• 
5 0
2 3 1
2 5
x y z w
y z w
z w
   

   
  
 
• 
2 3
2
x y z w
z w
   

 
 
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 
3.1. Resolva, em ℝ, o sistema 2 3 5 3
2 2
2 1
x y z
y z
z
  

 
 
. 
ESCALONAMENTO 
Escalonar um sistema é fazer combinações lineares 
com suas equações até obter um sistema equivalente 
na forma escalonada. 
 
PASSO A PASSO 
1. Utilizando a primeira equação faça 
combinações lineares com as equações 
seguintes de modo a zerar o coeficiente da 
primeira incógnita de todas elas. 
2. Do novo sistema utilizando a segunda 
equação faça combinação linear com as 
demais equações de modo a zerar o 
coeficiente da segunda incógnita de todas 
elas. 
3. Repita o processo para cada equação até 
obter um sistema escalonado. 
Exemplo 2 
Vamos escalonar o sistema linear a seguir 
3 2 1 (I)
2 3 (II)
3 2 5 (III)
x y z
x y z
x y z
  

  
    
 
1º: Com a 1ª equação vamos zerar os coeficientes de x 
nas equações seguintes. Para isso faça o seguinte: 
• 2 6 4 2
2 (I) (II) 2 3
5 3 1
x y z
x y z
y z
    
       
 
 
• 
3 9 6 3
3 (I) (III) 3 2 5
8 8 8
1
x y z
x y z
y z
y z
  
      
  
  
 
3 2 1 (I)
5 3 1 (II)
1 (III)
x y z
y z
y z
  

  
   
 
2º: Com a 2ª equação vamos zerar os coeficientes de y 
na equação seguinte. Para isso faça o seguinte: 
• 
5 3 1
(II) 5 (III) 5 5 5
2 6
3
y z
y z
z
z
 
      

 
 
Obtendo assim o sistema na forma escalonada. 
3 2 1
5 3 1
3
x y z
y z
z
  

 
 
 
Uma vez na forma escalonada fica fácil determinar a 
solução do sistema, basta substituir as soluções 
obtidas nas equações da última para a primeira. 
Assim, no exemplo acima podemos determinar a 
seguinte solução. 
TAREFA 2 – No capítulo “Equações lineares”, fazer 
PSA 3 e 4. 
 
 
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  
3 5 3 3 1 2
3 e y=2 3 2 2 3 1 1
1, 2, 3
z y y
z x x
S
      
        
 
 
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 
3.2. Escalone e resolva os sistemas lineares a seguir 
a) 2 1
3 5 2 4
3 3 1
x y z
x y z
x y z
  

  
     
 
b) 2 1
3 2 1
3 1
x y z
x y z
x y z
  

  
     
 
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA 
Podemos classificar o sistema entre SPD, SPI e SI no 
meio de escalonamento: 
• Sistema Possível e Determinado pode ser 
identificado quando for obtido uma solução única 
ao fim do processo. 
• Sistema Possível e Indeterminado pode ser 
identificado quando uma vez escrito na forma 
escalonada o número de equações for menor que 
o número de incógnitas. 
• Sistema Impossível pode ser identificado quando 
no processo de escalonamento do sistema 
acontecer algum absurdo (do tipo 0 = 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.1: As incógnitas que não iniciam nenhumas das 
equações de um sistema linear escalonado são 
chamadas de variáveis independentes e são a elas que 
atribuímos valores para resolver um sistema possível 
indeterminado. 
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 
3.3. Escalone, classifique e resolva os sistemas 
lineares a seguir. 
a) 2 1
2 1
2 3 4
x y z
x y z
x y z
  

    
   
 
b) 2 1
2 1
2 7 5 2
x y z
x y z
x y z
  

    
   
 
c) 2 3 2
2 3 1
3 8 5
x y z
x y z
x y z
  

    
   
 
d) 
 
AULA 04 
PROBLEMAS 
PROBLEMAS 
4.1. Uma loja de doces vende brigadeiro, bombom e trufa. 
Sabe-se que um brigadeiro custa 𝑅$2,00, um bombom 
𝑅$4,00 e uma trufa 𝑅$3,00. Um cliente comprou 100 
doces, gastando 𝑅$280 reais. Se o total de brigadeiros 
comprados é igual a soma das quantidades dos outros dois 
doces. então o número de trufas compradas foi 
A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E)30 
4.2. De quantas maneiras pode-se comprar selos de 3 
reais e de 5 reais de modo que se gaste 50 reais. 
4.3. Uma pessoa comprou cavalos e bois. Foram 
pagos 31escudos por cavalo e 20 por boi e sabe-se 
que todos os bois custaram 7 escudos a mais do que 
todos os cavalos. Determine quantos cavalos e 
quantos bois foram comprados, sabendo que o 
número de bois está entre 30 e 45. 
 
 
Resolução de um sistema possível indeterminado 
Considere o sistema 
5
2 1
x y z
y z
  

 
, observe que ele 
está na sua forma escalonada e que o número de 
equações é menor que o número de incógnitas, assim 
esse sistema é possível e indeterminado (SPI). 
Observe que para cada valor de 𝑧 que escolhermos 
encontraremos um único valor de 𝑥 e 𝑦 que resolve o 
sistema. Assim vamos escolher um valor arbitrário 
para 𝑧, por exemplo, tomemos 
z 
, com 𝛼 ∈ ℝ. 
Assim, o sistema ficará da seguinte forma: 
5
1 2
x y
y


  

 
 
Se substituirmos o valor de y na primeira equação 
teremos o seguinte 
1 2 5 4x x         
Temos assim os valores de x, y e z em função de um 
valor 

 escolhido. Podemos então escrever a 
solução geral desse sistema na forma. 
𝑆 = {(4 − 𝛼, 1 + 2𝛼, 𝛼); 𝛼 ∈ ℝ} 
 
TAREFA 3 – No capítulo “Equações lineares”, fazer 
PSA 5 a 10. 
 
 
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AULA 05 
REGRA DE CRAMER 
A regra de Cramer utiliza o cálculo de determinantes 
para determinar as incógnitas de um sistema linear. 
PASSO A PASSO 
1. Calcule o determinante, 
D
, da matriz dos 
coeficientes do sistema. 
2. Na matriz dos coeficientes, substitua a 
coluna dos coeficientes de x pela coluna dos 
termos independentes e calcule o seu 
determinante, 
xD
. 
3. O valor da incógnita 𝒙 será dado por 
xDx
D

. 
4. Repita o processo para cada incógnita do 
sistema. 
Exemplo 1 
Vamos determinar a solução 
 , ,x y z
 do sistema 
3 2 1
2 3
3 2 5
x y z
x y z
x y z
  

  
    
 
1º: Vamos calcular o determinante, D, da matriz dos 
coeficientes. 
1 3 2
2 1 1 2 9 4 6 12 1 16
3 1 2
D

         

 
2º: Calcule 
, ,x y zD D D
 
1 3 2
3 1 1 2 15 6 10 18 1 16
5 1 2
xD

         
 
1 1 2
2 3 1 6 3 20 18 4 5 32
3 5 2
yD        

 
1 3 1
2 1 3 5 27 2 3 30 3 48
3 1 5
zD

         

 
2º: Calcule 
, ,x y z
 
16
1
16
xDx
D
  
 
32
2
16
yDy
D
  
 
48
3
16
zDz
D
  
 
Portanto, 
  1, 2, 3S 
 
Obs.1: Só será possível resolver um sistema utilizando 
a regra de Cramer se o determinante da matriz dos 
coeficientes for diferente de zero, e nesse caso o 
sistema será possível e determinado. 
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 
5.1. Resolva, utilizando a regra de Cramer, os sistemas 
lineares a seguir. 
a) 
2 3 1
3 4 1
x y
x y
 

  
 
b) 2 3 9
3 4 3 5
5 10 5 5
x y z
x y z
x y z
  

    
   
 
5.2. Uma distribuidora de lanches vende suco, misto-
quente e hambúrguer. Sabe-se que o preço de um 
suco é R$ 1,00, um misto quente R$ 2,00 e um 
hambúrguer é R$ 4,00. Uma lanchonete comprou 60 
desses três produtos da distribuidora, gastando R$ 
170,00. Se o total de sucos comprados é igual à 
diferença entre a quantidade de hambúrgueres e 
mistos-quentes comprados, nessa ordem, então o 
número de mistos-quentes comprados foi igual a 
A) 5. B) 10. C)20. D)30. E)50. 
AULA 06 
DISCUSSÃO DE UM 
SISTEMA LINEAR 
Discutir um sistema em função de um parâmetro real 
k é dizer para quais valores de k o sistema será 
possível e determinado (SPD), possível e 
indeterminado (SPI) e impossível (SI). 
PASSO A PASSO 
1. Calcule o determinante, 
D
, da matriz dos 
coeficientes do sistema. 
2. Quando 
0D 
 temos que o sistema será 
possível e determinado. 
3. Quando 
0D 
 temos que o sistema será 
possível e indeterminado ou impossível. 
 
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 6 
 
4. Escalone o sistema após substituir o valor do 
parâmetro que zera o determinante para 
decidir se o sistema será SPI ou SI. 
Exemplo 1 
Vamos discutir o sistema a seguir em função do 
parâmetro real k 
3 1
2 3
x y
x ky
 

 
 
1º: Vamos calcular o determinante, D, da matriz dos 
coeficientes. 
1 3
6
2
D k
k

   

 
2º: Verifique para quais valores de k temos 
0D 
. 
 
0 6 0 6D k k     
 
Ou seja, 
• 
6k SPD 
 
• 
6 ou k SPI SI 
 
3º: Para o caso 
6k 
 decida se o sistema é SPI ou SI, 
utilizando o escalonamento. 
 
3 1
2
2 6 3
3 1
0 1
x y
I II
x y
x y
 
  
 
 
 

 
Logo o sistema é impossível para 
6k 
. 
Assim, 
6
6
k SPD
k SI
 

 
 
 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 
6.1. Discuta, em função do parâmetro real k, os 
sistemas lineares a seguir. 
a) 
2 3 1
3 2
x y
x ky
 

 
 
b) 3 2
4 3 3
2 13 3
x y z
x y z
x y kz
  

    
   
 
c) 
 
4
2 3
2 3 1 1
x y z
x ky z
x y k z
   

   
    
 
6.2. Discuta, em função dos parâmetros reais m e n, o 
sistema linear a seguir. 
2 3x y
x my n
 

  
 
6.3. Determine o valor do parâmetro real k de modo 
que o sistema linear homogêneo a seguir admita 
apenas a solução trivial. 
2 3 0
2 0
0
x y z
x y z
x y kz
  

  
   
 
 
 
 
EXTRA 
QUESTÕES EXTRAS 
1. Em um restaurante, há 16 mesas e 62 fregueses, 
todos sentados. Algumas mesas estão ocupadas por 
cinco fregueses e as demais, por dois fregueses. 
Sendo x o número de mesas ocupadas por cinco 
fregueses e y o número de mesas ocupadas por dois 
fregueses determine 
x y
. 
 
2. Classifique e determine o conjunto-solução, 
emℝ × ℝ, do sistema 2 4
3
3 6
2
x y
x
y
 


 

, nas incógnitas x 
e y. 
 
3. João entrou em uma lanchonete e pediu três 
hambúrgueres, um suco de laranja e duas cocadas, 
gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas 
pediram oito hambúrgueres, três sucos de laranja e 
cinco cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo que o 
preço de um hambúrguer, mais o de um suco de 
laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00, 
determine o preço, em reais, de um hambúrguer. 
 
4. Determine o valor real de m para que o sistema 
0
2 3 0
4 0
x y z
x y z
x my z
  

  
   
 
seja SPI. 
 
5. Em um processo seletivo contendo 40 questões 
objetivas, para cada resposta correta ganha-se 4 
TAREFA 4 – Do capítulo "Sistemas lineares -
discussão" fazer PSA 1 a 6, 10 e 12. 
 
 
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 7 
 
pontos e, para cada resposta errada, perde-se 2 
pontos. Se um candidato respondeu todas as 
questões e obteve 100 pontos, quantas questões ele 
acertou? 
 
6. Classifique e determine o conjunto-solução do 
sistema {
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5
𝑦 − 𝑧 = 6
2𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 10
. 
 
7. Julgue os itens 
 
 
 
Na confecção de ursos, coelhos e elefantes de pelúcia, 
uma indústria utiliza três tipos de materiais: tecido, 
espuma e plástico. A quantidade de material usado na 
fabricação de cada um desses brinquedos está 
indicada na tabela acima, onde 𝑝 ∈ ℝ+
∗ . Nessa 
indústria, um funcionário, para produzir 𝑥 ursos, 𝑦 
coelhos e 𝑧 elefantes de pelúcia em um dia de 
trabalho, utiliza 3 kg de plástico; 4,4 kg de tecido e 5,2 
kg de espuma. 
1. Se 𝑝 = 100, então o referido funcionárioproduziu 
mais ursos do que elefantes em um dia de trabalho. 
2. Para qualquer valor de 𝑝 ∈ ℝ+
∗ o número de ursos, 
elefantes e coelhos produzidos pelo referido 
funcionário será único e possível de determinar. 
 
GABARITO 
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 
1.1. a) linear b) linear c) linear d) não linear e) não 
linear 
1.2. a) é solução b) é solução c) não é solução 
1.3. 𝑚 =
2
5
 
1.4. 𝑆 = {(2 − 3𝛼; 𝛼); 𝛼 ∈ ℝ 
1.5. 4 maneiras distintas 
2.1. É solução 
2.2. a) (
1 3 −1
7 5 1
−1 1 −1
) (
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
5
6
0
) 
b) (
2 1 −2
1 0 1
0 3 −1
) (
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
1
−3
2
) 
c) (
1 0 −1
7 1 0
0 1 −1
) (
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
−1
2
1
) 
3.1. 𝑆 = {(
17
8
;
5
4
;
1
2
)} 
3.2. a) 𝑆 = {(4; 2; 1)} b) 𝑆 = {−1; 0; 2} 
3.3. a) SPD 𝑆 = {(0; 1; 1)}b) SPI 𝑆 = {(1 − 𝛼; 𝛼; 𝛼)} 
c) SI 𝑆 = ∅ 
4.1. C 
4.2. 𝑆 = {(7; 5); (4; 10); (1; 15)} 
4.3. Bois: 36 cavalos: 23 
5.1. a) 𝑆 = {(−7; 5)} b) 𝑆 = {(3; 1; 0)} 
5.2. C 
6.1. a) {
𝑘 =
9
2
⇒ 𝑆𝐼
𝑘 ≠
9
2
⇒ 𝑆𝑃𝐷
 
 b) {
𝑘 = 6 ⇒ 𝑆𝑃𝐼
𝑘 ≠ 6 ⇒ 𝑆𝑃𝐷
 
 c) {
𝑘 = −2 ⇒ 𝑆𝑃𝐼
𝑘 ≠ −2 ⇒ 𝑆𝑃𝐷
 
6.2. {
𝑚 ≠ −2 ⇒ 𝑆𝑃𝐷
𝑚 = 2 𝑒 𝑛 = −3 ⇒ 𝑆𝑃𝐼
𝑚 = 2 𝑒 𝑛 ≠ −3 ⇒ 𝑆𝐼
 
6.3 𝑘 ≠ 0 
QUESTÕES EXTRAS 
1. 60 
2. SPI 𝑆 = (4 + 2𝛼; 𝛼)} ; 𝛼 ∈ ℝ 
3. R$ 4 
4. 𝑚 = 2 
5. 30 
6. SPI 𝑆 = {(−1 + 𝛼; 6 + 𝛼; 𝛼)}𝛼 ∈ ℝ 
7. EC