ESTAT_MÓDULO_03

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ESTATÍSTICA-MÓDULO-03 MANUEL 1 
MÓDULO - 03 - MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
Medidas de Posição - são aquelas que indicam a posição da distribuição no eixo das 
abcissas. 
 
Medidas de Tendência Central - são as medidas estatísticas que sintetizam os valores 
das variáveis de um conjunto de dados observados (média, moda, mediana). São assim 
chamadas porque tendem a se localizar no centro da distribuição. 
 
Média Aritmética 
 
Fórmula Geral: x
x
N
i


 , onde: 
xi  variável em estudo 
N  número de observações 
x  média aritmética 
 
Exemplo-1: Calcular a média aritmética do seguinte conjunto de dados: 6,8,0,10 
 
Temos: x 
  

6 8 0 10
4
6 
 
Desvio em Relação a Média 
 
Denominamos de desvio em relação a média, a diferença entre cada elemento de um 
conjunto de valores e a média aritmética. Assim, cada desvio é dado por: di = xi - x . 
 
No exemplo acima, os desvios em relação a média são: d1 = 0; d2 = 2; d3 = - 6 e d4 = 4. 
 
Média Aritmética para Dados distribuídos por Freqüência 
 
Se os valores x1, x2, x3,....., xn ocorrem f1, f2, f3,....., fn vezes respectivamente, a média 
aritmética será : 
 
x = 
f x f x f x f x
f f f f
n n
n
1 1 2 2 3 3
1 2 3
       
   
....
....
 
 
ou x
f x
N
i i


, onde N =  fi (soma das freqüências) e xi é o valor da observação da classe i. 
 
Neste caso, como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da 
variável, elas funcionam como fatores de ponderação (média ponderada). 
 
Exemplo-2: Calcular a média aritmética da seguinte distribuição (dados agrupados): 
 
x 2 3 5 7 9 
f 4 6 10 3 2 
 
 
Temos: x 
        
 
4 2 6 3 10 5 3 7 2 9
25
115
25
4 6, 
ESTATÍSTICA-MÓDULO-03 MANUEL 2 
Cálculo da Média Aritmética para Dados Agrupados em Classes 
 
Neste caso, todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com 
seu ponto médio. 
 
Assim, x
f x
N
i i


 , onde xi é o ponto médio do intervalo de classe i. 
 
N = Soma das freqüências   ifN 
 
 
Exemplo-3: Calcular a média aritmética e os desvios da seguinte distribuição: 
 
 
ì Estatura (cm) fi Ponto Médio(xi) fi x xi di = xi - x (xi-x ) x fi 
1 150 ├ 154 4 152 608 -9 -36 
2 154 ├ 158 9 156 1404 -5 -45 
3 158 ├ 162 11 160 1760 -1 -11 
4 162 ├ 166 8 164 1312 3 24 
5 166 ├ 170 5 168 840 7 35 
6 170 ├ 174 3 172 516 11 33 
  40 6440 0 
 
 
Temos: 

 

i
ii
f
xf
x 
 
 
Logo, x  
6440
40
161 
 
Desvios: di = xi - x 
 
 
Multiplicando cada desvio pela freqüência correspondente vem: 
 
 
 di = fi x (xi - x ) 
 
 
 
Propriedades da Média Aritmética 
 
1. A soma dos desvios em relação a média é igual a zero (0). 
2. A média aritmética é um valor contido entre o menor valor (min) e o maior valor (max). 
3. Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de um conjunto de dados por uma 
constante, a média ficará multiplicada ou dividida por esta constante. 
4. Somando-se ou subtraindo-se a todos os valores de um conjunto de dados uma constante, 
a média ficará aumentada ou subtraída desta constante. 
 
 
ESTATÍSTICA-MÓDULO-03 MANUEL 3 
Mediana 
 
Mediana - é o valor que ocupa a posição central de um conjunto de N dados ordenados. 
Assim, se N for par, a mediana será a média aritmética entre os dois termos centrais. Se N for 
ímpar a mediana é o termo central. 
 
Dados não Agrupados 
 
Achar a mediana do seguinte conjunto de dados: 
 
5 13 10 2 18 15 6 16 9 
 
Ordenando vem: 
 
2 5 6 9 10 13 15 16 18 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
  
 Termo central 
 
Logo a mediana será, Md = 10 
 
Se o conjunto de dados for: 
 
 
2 6 7 10 12 13 18 21 
 1 2 3 4 5 6 7 8 
 Termos centrais 
 
Aqui a mediana será, Md 


10 12
2
11 
 
 
Observações: 
 
1. O valor da mediana pode ou não coincidir com um elemento da série, como vimos. Quando 
o número de elementos da série é ímpar, há a coincidência. O mesmo não acontece, em 
geral, quando esse número é par. 
2. A mediana e a média aritmética não têm necessariamente, o mesmo valor. 
3. A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa 
é uma das diferenças entre a mediana e a média (que é muito influenciada pelos valores 
extremos - outliers). 
4. A mediana é designada muitas vezes por valor mediano. 
ESTATÍSTICA-MÓDULO-03 MANUEL 4 
Dados Agrupados 
 
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está 
compreendida a mediana. 
 
Fórmula Geral 
 
Md l
f
Faa
f
hi
i
md
 



[ ]
2
 onde: 
 
li  limite inferior da classe em que está a mediana 
Faa  freqüência acumulada da classe anterior a classe da mediana 
h  amplitude do intervalo da classe da mediana 
fmd  freqüência simples da classe da mediana 
 
Regra Prática 
 
1. Determinar a freqüência acumulada. 
2. Calcular 
f i
2
 
3. Marcar a classe correspondente a freqüência acumulada imediatamente superior a f i
2
 
(classe mediana). 
 
4. Aplicar a fórmula geral. 
 
Exemplo- 4: Determinar a mediana da seguinte distribuição de freqüência: 
 
Classe i Estatura (cm) fi Fi 
1 150 ├ 154 4 4 
2 154 ├ 158 9 13 
3 158 ├ 162 11 24  
4 162 ├ 166 8 32 
5 166 ├ 170 5 37 
6 170 ├ 174 3 40 
  40 
 
Temos: 
 
f i
2
 = 20 , logo a classe mediana é a Classe 3 
li = 158 
Faa = 13 
h = 4 
f
md = 11 
 
Aplicando a fórmula vem: 
 
Md  

158
20 13
11
4
( )
  Md  

158
7 4
11 = 158 + 
28
11
 = 158 + 2,54 = 160,54 
Classe da mediana 
ESTATÍSTICA-MÓDULO-03 MANUEL 5 
Moda 
 
Moda - é o valor que ocorre com mais freqüência em um conjunto de dados. 
 
 
Dados Não-Agrupados 
 
Na série 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11 a moda é 10 (Unimodal). 
 
No entanto, podemos encontrar séries nas quais não existe uma moda (Amodal). 
 
Exemplo-5: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 
 
Em outros casos pode haver dois ou mais valores de concentração (Polimodal/Plurimodal). 
 
Exemplo-6: 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11 
 
Temos duas modas 4 e 10 (Bimodal). 
 
Exemplo-7: 1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9 
 
Neste exemplo temos três modas: 1, 4 e 5 (Trimodal ou Polimodal) 
 
 
Dados Agrupados 
 
Sem Intervalos de Classe 
 
Agrupados os dados é fácil determinar a moda, basta fixar o valor da variável de maior 
freqüência. 
 
Na tabela seguinte o valor correspondente a freqüência máxima é 12, logo a moda da 
distribuição é Mo = 3. 
 
 Nº meninos fi 
 0 2 
 1 6 
 2 10 
Moda  3 12  Maior freqüência 
 4 4 
 
 
Com Intervalos de classe 
 
A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. Pela definição, 
podemos afirmar que a moda, neste caso é o valor dominante que está compreendido entre os 
limites da classe modal. 
 
ESTATÍSTICA-MÓDULO-03 MANUEL 6 
Moda Czuber 
 
Fórmula de CZUBER 
 
 
Mo l
D
D D
hi  

1
1 2
 onde: 
 
 
li  limite inferior da classe modal 
h  amplitude da classe modal 
D1  f fmo ant 
D2  f fmo pos 
f mo  freqüência simples da classe modal 
fant  freqüência simples da classe anterior à classe modal 
f pos  freqüência simples da classe posterior à classe modal 
 
 
Exemplo-8: Determinar a moda da seguinte distribuição de freqüência (Fórmula de Czuber). 
 
Classe i Estatura (cm) fi Fi 
1 150 ├ 154 4 4 
2 154 ├ 158 9 13 
3 158 ├ 162 11 24  classe modal 
4 162 ├ 166 8 32 
5 166 ├ 170 5 37 
6 170 ├ 174 3 40 
  40 
 
Temos: 
 
A maior freqüência é 11, logo, a classe modal é a de ordem i = 3. 
 
Então: 
li = 158 
h = 162 - 158 = 4 
D1 = f fmo ant = 11 - 9 = 2 
D2 = f fmo pos = 11 - 8 = 3 
 
Aplicando a fórmula Mo l
D
D D
hi  

1
1 2
 vem: 
 
Mo  

  

    158
2
2 3
4 158
2 4
5
158
8
5
158 16 159 6. , 
 
 
ESTATÍSTICA-MÓDULO-03 MANUEL 7 
Posição Relativa da Média e da MedianaEm uma distribuição simétrica as três medidas de posição são iguais, porém, quanto mais 
assimétrica for a curva, maior será a diferença entre essas medidas. Para uma distribuição em 
forma de sino (Normal) pode-se visualizar essas diferenças nos exemplos que se seguem. 
 
Em uma distribuição simétrica, verifica-se que: x = Md = Mo ( Fig. A) 
 
 
 
Em uma distribuição assimétrica positiva (à direita), verifica-se que: x > Md > Mo 
(média > mediana > moda) (Fig. B) 
 
 
 
Em uma distribuição com assimetria negativa (à esquerda), verifica-se que: x < Md < Mo 
(média < mediana < moda) (Fig. C) 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA-MÓDULO-03 MANUEL 8 
SEPARATRIZES 
 
Como vimos, a mediana separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo número de 
valores. Existe um grupo de medidas que juntamente com a mediana são conhecidas pelo 
nome genérico de separatrizes. Essas medidas são: os quartis, os decis e os percentis. 
 
 
QUARTIS  Dividem os valores de uma série em 4 (quatro) partes iguais (freqüências). 
 
0% 25% 50% 75% 100% 
├───────────┼───────────┼───────────┼───────────┤ 
 25% Q1 25% Q2 25% Q3 25% 
 
Q1 (1º quartil)  é um valor tal que a quarta parte (25%) dos dados é menor que ele. 
 
Q2 (2º quartil)  coincide com a mediana, deixa 50% dos valores abaixo e 50% acima dele. 
 
Q3 (3º quartil)  é um valor tal que (75%) dos valores é menor que ele. 
 
A fórmula usada para determinação dos quartis é a mesma da mediana substituindo-se apenas: 
 
fi
2
 por 
k fi
4
 , onde k é o número de ordem do quartil ( k = 1,2 e 3). 
 
 
Temos: Md l
f
Faa
f
hi
i
md
 



[ ]
2
 
 
Assim, 
 
Q l
f
Faa
f
hi
i
q
1
4
 



[ ]
 k = 1 ( 1/4 = 25% ) 
 
 
Q2 = Md e k = 2 ( 2/4 = 1/2 = 50% ) 
 
Q l
f
Faa
f
hi
i
q
3
3
4
 




[ ]
 , k = 3 ( 3/4 = 75% ) 
 
Onde: 
li  limite inferior da classe do quartil 
Faa  freqüência acumulada da classe anterior a classe do quartil 
fq  freqüência simples da classe do quartil 
 
Obs. Os QUARTIS são 3  Q1, Q2 e Q3. 
 
ESTATÍSTICA-MÓDULO-03 MANUEL 9 
 
DECIS  separatrizes que dividem a série em 10 partes iguais. 
 
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 
├────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┼────┤ 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
 
 
Da mesma forma que os quartis, basta substituir na fórmula da mediana: 
 
 
fi
2
 por 
k fi
10
 , onde k é o número de ordem do decil (k = 1,2,3,4,5,6,7,8,e 9) 
 
 
OBS: 
Os DECIS são 9  D1 , D2 , D3 , D4 , D5 , D6 , D7 , D8 , D9 
D5 = Md  o quinto DECIL é igual a MEDIANA. 
 
 
PERCENTIS  são os valores que dividem uma série em 100 partes iguais. 
 
 
0% 1% 2% 3% ••••••••••• 50% ••••••••• 97% 98% 99% 100% 
├───┼───┼───┼─────────┼─────────┼───┼───┼───┤ 
 P1 P2 P3 ••••••••••••••••••••••••••••• P97 P98 P99 
 
 
 
Para determinar os percentis basta substituir na fórmula da mediana: 
 
 
fi
2
 por 
k fi
100
 , onde k é o número de ordem do percentil (k = 1,2,3,.......97,98,99) 
 
 
 
Os PERCENTIS são 99  P1 , P2 , P3,................................,P97 , P98 , P99 
 
OBS: P25 = Q1 (o percentil 25 é igual ao 1º quartil - Q1) 
 P50 = Q2 (o percentil 50 é igual ao 2º quartil - Q2)  MEDIANA (50% / 50%) 
 P75 = Q3 (o percentil 75 é igual ao 3º quartil - Q3) 
 
Da mesma forma: 
P10 = D1 (o percentil 10 é igual ao 1º decil - D1) 
P50 = D5 = Q2 (o percentil 50 é igual ao 5º decil-D5 que é igual a o 2º quartil-Q2) 
P90 = D9 (o percentil 90 é igual ao 9º decil - D9) 
 
ESTATÍSTICA-MÓDULO-03 MANUEL 10 
Exemplo-9: Determinar o 1º e o 3º quartis da seguinte distribuição de freqüência: 
 
 
Classe i Estatura (cm) fi Fi 
1 150 ├ 154 4 4 
2 154 ├ 158 9 13  Classe do 1º Quartil 
3 158 ├ 162 11 24 
4 162 ├ 166 8 32  Classe do 3º Quartil 
5 166 ├ 170 5 37 
6 170 ├ 174 3 40 
  40 
 
Temos: 
 
Primeiro Quartil 
 
Temos: 
k fi
4
 (Primeiro Quartil, k=1) 
 
f i
4
 = 10, logo a classe é a de ordem 2 
 
li = 154 
Faa = 4  (freqüência acumulada anterior a classe do 1º quartil) 
h = 4 
fq1 = 9  (freqüência simples da classe do 1º quartil) 
 
Q cm1 154
10 4
9
4 154
24
9
154 2 66 156 7 

     
( )
, , 
 
 
Terceiro Quartil 
 
3
4

 f i = 30, logo a classe é a de ordem 4 
 
li = 162 
Faa = 24  (freqüência acumulada anterior a classe do 3º quartil) 
h = 4 
fq3 = 8  (freqüência simples da classe do 3º quartil) 
 
Q cm3 162
30 24
8
4 162
24
8
165 

   
( )