Lista_8

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Lista 8
Autovalores e autovetores
1. Considere as matrizes
A =
 2 1 22 2 −2
3 1 1
 e x =
 x1x2
x3

(a) Mostre que a equac¸a˜o Ax = λx pode rescrita como (λI− A)x = 0
(b) Resolva o sistema Ax = 2x.
(c) Resolva o sistema Ax = 4x.
(d) Escreva a equac¸a˜o caracteristica de A e resolva-a.
(e) Comente os resultados obtidos.
2. Expresse os sistemas lineares seguintes na forma (λI − A)x = 0.
(a)
{
x1 + 2x2 = λx1
2x1 + x2 = λx2
(b)
{
2x1 + 3x2 = λx1
4x1 + 3x2 = λx2
3. Para cada uma das seguintes matrizes, encontre a equac¸a˜o caracter´ıstica, os autovalores e
os autovetores correspondentes a cada autovalor.
(a) A =
[
1 0
2 1
]
(b) B =
[
1 2
2 1
]
(c) C =
 1 −2 36 7 −1
0 0 4

(d) D =
 4 0 1−2 1 0
−2 0 1

(e) E =

0 0 2 0
1 0 1 0
0 1 −2 0
0 0 0 1

4. Encontre os autovalores de A9 se
A =

1 3 7 11
0 1
2
3 8
0 0 0 4
0 0 0 2

5. Encontre os autovalores e bases dos auto-espac¸os de A25 se
A =
 −1 −2 −21 2 1
−1 −1 0

6. Seja A uma matriz 6 × 6 com equac¸a˜o carater´ıstica λ2(λ − 1)(λ − 2)3 = 0. Quais sa˜o as
poss´ıveis dimenso˜es geome´tricas dos autovalores de A ?
1
7. Seja
A =
 4 0 12 3 2
1 0 4

(a) Encontre os autovalores de A.
(b) Para cada autovalor λ, encontre o posto de λI − A e indique nul(A) (recorde que
nul(A) = n− pos(A)).
(c) A e´ diagonaliza´vel?
8. Verifique se as matrizes seguintes sa˜o diagonaliza´veis. Se necessa´rio use o me´todo do exerc´ıcio
anterior.
(a)
[
1 0
2 1
]
(b)
 3 0 00 2 0
0 1 2
 (c)
 −1 0 1−1 3 0
−4 13 −1
 (d)

2 −1 0 1
0 3 1 −1
0 0 4 2
0 0 0 1

9. Verifique se as matrizes sa˜o diagonaliza´veis. Caso sejam, determine a matriz P que as
diagonaliza, determine tambe´m as matrizes diagonais respectivas.
(a) A =
[
1 0
6 −1
]
(b) B =
 5 0 01 5 0
0 1 5

(c) C =
 0 0 00 0 0
3 0 1

(d) D =

−2 0 0 0
0 −2 0 0
0 0 3 0
0 0 1 3

10. Determine A2014, onde [
1 0
6 −1
]
11. Em cada parte, calcule a poteˆncia indicada de
A =
 1 −2 80 −1 0
0 0 −1

(a) A1000 (b) A−1000 (c) A2014 (d) A−2014 (e) Ak, k ∈ Z
12. Verifique se as matrizes sa˜o diagonaliza´veis ortogonalmente . Caso sejam, determine a matriz
P que as diagonaliza, determine tambe´m as matrizes diagonais respectivas.
(a) A =
[
3 1
1 3
]
(b) B =
[
6 2
√
3
2
√
3 7
]
(c) C =
 1 1 01 1 0
0 0 0

(d) D =
 2 −1 −1−1 2 −1
−1 −1 2

(e) E =

3 1 0 0
1 3 0 0
0 0 0 0
0 0 0 3

2